Nội dung ôn tập cuối kì môn toán kinh tế | Trường Đại học Kinh Tế - Luật, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Nội dung ôn tập
Dạng 1: Tính giới hạn dạng 0/0 sử dụng Quy tắc Lôpitan 5x
e − 5x −1 0  Ví dụ 1: lim 3 2   x→0 x + x  0 
Áp dụng quy tắc Lô pi tan 5x 5x 5x 5x 5 − 5x −1 0  ( − 5x −1)' 5e − 5  0  (5e − 5)' 25 x e e e 25 lim = lim = lim = lim = lim = 3 2   3 2 2   2 x→0 x→0 x→0 x→0 x→0 x + x  0  (x + x )'
3x + 2x  0  (3x + 2x)' 6x + 2 2 5 ln(5x +1)  0  5 Ví dụ 2: + lim = lim 5x 1 = 2   x→0 x→0
x + 2x + sin 2x  0  2x + 2 + 2cos2x 4
Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm
Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 nếu thỏa mãn:
+ f(x) xác định tại x0 và trong lân cận của x0
+ lim f (x) = f (x )  lim f (x) = lim f (x) = f (x ) 0 0 x→x x→x + x→x − 0 ( 0 0 ) 2 6 x x + e − 1  khi x  0
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x=0 biết 2
f (x) =  x + 4x 2 khi x = 0 Tại x=0=> f (0) =2 2 x 2 6x + e − 1 6 + 2 x e 6 + 2 lim f (x) = lim = lim = = 2 2 x→0 x→0 x + 4x x→0 2x + 4 0 + 4
=> lim f (x) = f (0) = 2 . Vậy hàm số f(x) liên tục tại x=0. x 0 →
Dạng 3: Ứng dụng đạo hàm trong kinh tế
- Tốc độ thay đổi tức thời của f(x) tại x=c là f’ (c)
- Tốc độ thay đổi phần trăm của f(x) theo x là 100.f’(x)/f(x)
- Phân tích cận biên: MC=TC’(Q), MR=TR’(Q), lợi nhuận cận biên và ý nghĩa
- Bài toán tối ưu trong kinh tế: tối đa lợi nhuận, tối đa doanh thu, tối thiểu chi phí
(giải cả điều kiện cần và đủ)   ' = 0 MR = MC
- Lợi nhuận π=TR-TC đạt tối đa 
, Lợi nhuận đạt tối đa      '  0 MR'  MC '
Ví dụ 1. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu
𝑄 = 300 − 𝑃 và hàm tổng chi phí 3 2
TC(Q) = Q −19Q + 333Q +10 .
a. Hãy xác định mức sản lượng Q sao cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.
b. Sử dụng chi phí cận biên để ước lượng chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 11? HD:
+ Q=300-P=>P=300-Q=> TR=PQ=300Q-Q2 + Lợi nhuận: 2 3 2
 = TR(Q) −TC(Q) = 300Q − Q − (Q −19Q + 333Q +10) 3 2 = Q −
+18Q − 33Q −10 Q =1 + 2  ' = 3
− Q + 36Q − 33 = 0 →  Q =11 
 '(1) = 30  0 → cuctieu + ' = 6 − Q + 36 →   '(11) = 3 − 0  0 → cucdai
Vậy với Q=11 và P=289 thì lợi nhuận đạt tối đa và π=….
b. ước lượng chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 11: MC(10)=?
Ví dụ 2. Mary là một nhân viên bưu điện. Cô ấy đi làm lúc 6 giờ sáng và t giờ sau đó cô
ấy sắp xếp được khoảng 3 2 f (t) = 2
− t +12t +100t bức thư. Hỏi vào thời điểm nào trong
khoảng từ 6 giờ sáng đến 11 giờ sáng, cô ấy đang thực hiện công việc với hiệu suất cao
nhất (tốc độ làm việc)?
HD: Tìm t để tốc độ sản xuất f’(t) =-6t2+24t+100 đạt cực đại
+ Tính f’’(t)= -12t+24=0=>t=2
+ Tính f’’’(t)=-12<0➔t=2 (tức là 8h sáng)
Vậy tại thời điểm 8h sáng thì hiệu suất làm việc cao nhất
Ví dụ 3. Trong thời kỳ suy thoái, chính phủ ra quyết định kích thích nền kinh tế bằng
cách cung cấp vốn để thuê các công nhân thất nghiệp vào làm việc cho các dự án của
chính phủ. Giả sử rằng, t tháng sau khi chương trình kích thích bắt đầu, có N(t) nghìn người thất nghiệp với 3 2 N(t) = t
− + 45t + 408t + 3078. Để ngăn ngừa việc bơm tiền quá mức
vào nền kinh tế (có thể dẫn tới lạm phát cao), chính phủ sẽ kết thúc chương trình hỗ trợ
ngay khi tốc độ thất nghiệp bắt đầu giảm. Hãy tìm thời điểm chính phủ nên dừng
chương trình hỗ trợ và tính số người thất nghiệp khi đó.
Ví dụ 4. Một công ty ước tính rằng nếu x nghìn đô-la được chi cho các hoạt động tiếp thị 7x
một loại sản phẩm thì sẽ bán được Q(x) nghìn đơn vị sản phẩm, với Q(x) = 2 27 + x
a. Tìm mức chi cho hoạt động tiếp thị x để doanh số đạt tối đa. Tìm doanh số tối đa.
HD: tìm x để Q(x) đạt cực đại
b. Tìm giá trị xủa x để tối thiểu hóa tốc độ của doanh số.
HD: Tìm x để Q’(x) đạt cực tiểu
Ví dụ 5. Giá một loại thực phẩm chế biến (nghìn VNĐ) phụ thuộc vào giá nguyên
liệu x (nghìn VNĐ/kg) và chi phí lao động y (nghìn VNĐ/giờ) theo công thức
𝑃(𝑥, 𝑦) = 4𝑥1/2𝑦1/4. Giả sử x đang giảm với tốc độ 2 đơn vị/tháng và y đang tăng với
tốc độ 1 đơn vị/tháng. Tại thời điểm x=9 và y=16, tốc độ thay đổi của giá P(x,y) theo thời
gian là bao nhiêu (nghìn VNĐ/tháng)? HD:
Cách 1. Sử dụng đạo hàm riêng dP P dx P dy Tại x=9, y=16. dt x dt y dt
Cách 2. Đưa về hàm 1 biến
x đang giảm với tốc độ 2 đơn vị/tháng: x’=dx/dt=-2
y đang tăng với tốc độ 1 đơn vị/tháng:y’= dy/dt=1
Tại thời điểm x=9 và y=16 nên tính được x=9-2t, y=16+t dP 1/2 1/4 P 4(9 2t) (16 t) dt Tính dP/dt=?
Ví dụ 6. Lượng cầu Q (sản phẩm/tuần) của một mặt hàng phụ thuộc vào giá
bán p (USD/sản phẩm) theo công thức 𝑄(𝑝) = 4000𝑝1,5. Giá bán p đang tăng theo thời
gian (tuần) theo công thức p(t)=10+0,1t2. Hãy tính tốc độ thay đổi của lượng cầu Q theo thời gian tại t=5 tuần. Dạng 4. Tính PS, CS
Ví dụ 1. Cho biết hàm cầu và hàm cung của một loại hàng hóa được cho bởi 2 P = 74 − Q , D 2
P = (Q + 2) , trong đó kí hiệu P, Q s
S, QD tương ứng là giá bán, lượng cung và lượng cầu.
a.Xác định giá cân bằng và lượng cân bằng của thị trường. P=49, Q=5
QS=QD 74-Q2 =(Q+2)2 => Q=5 =>P=49
b.Tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng tại mức giá cân bằng. 0 Q 5 CS = D(Q)dQ − P Q = (74 − 2 Q )dQ −5.49 =  0 0  0 0 0 Q 5
PS = P Q − S(Q)dQ = 5.49 − (Q + 2 2) dQ = 0 0   0 0
Ví dụ 2. Cho biết hàm cung và hàm cầu đối với 1 sản phẩm: 2 Q = 3 + , P Q = 15 − P s D
Xác định giá cân bằng và lượng cân bằng của thị trường. Tính thặng dư của người tiêu dùng. P=3, Q=6, CS=2,73
Dạng 5. Tìm hàm p(x) 20
Ví dụ 1. Giá p (USD) của 1 loại hàng hóa A thay đổi theo quy luật: p '(x) = 2 (7 − x)
Trong đó x (trăm) là số đơn vị hàng hóa được cung cấp ra thị trường. Biết rằng nhà sản
xuất cung cấp 200 đơn vị hàng hóa (x=2) khi giá là 2 USD.
a. Tìm hàm cầu của hàng hóa là p(x).
b. Nếu nhà sản xuất cần cung cấp ra thị trường 500 đơn vị sản phẩm thì giá của hàng hóa là bao nhiêu? HD: 20 d(7 − x)  1  20 a. p(x) = p '(x)dx =   dx = −20 20. C 2  = − − = + 2   (7 − x) (7 − x)  7 − x  7 − x
Biết rằng nhà sản xuất cung cấp 200 đơn vị hàng hóa (x=2) khi giá là 2 USD
→p(2)=2 ↔ 4+C=2 →C= - 2. 20 Vậy p(x) = − 2 7 − x
b. Nếu nhà sản xuất cần cung cấp ra thị trường 500 đơn vị sản phẩm (x=5) thì giá của hàng hóa là p(5)=8 USD.
Ví dụ 2. Chủ sở hữu của một chuỗi cửa hàng bán đồ ăn nhanh xác định rằng nếu x
(nghìn) món ăn được cung cấp, thì giá cận biên ở mức cung đó được cho bởi x p '(x) =
trong đó p(x) là giá (USD) của x (nghìn) món ăn sẽ được bán. Hiện tại, 2 (x + ) 3
5000 (x=5) món ăn đang được cung cấp với giá 2,2 USD. a. Tìm hàm p(x).
b. Nếu 10000 món ăn được cung cấp cho các nhà hàng thì giá bán là bao nhiêu?
Dạng 6. PTVP/Mô hình điều chỉnh giá
Ví dụ 1. Giả sử 1 người có số tiền là $60 được đầu tư. Giá trị I(t) của khoản đầu tư sau t
ngày thỏa mãn PTVP: I '(t) = 0,002.I(t) + 5 . Tìm giá trị của khoản đầu tư sau 27 ngày. a = −0,002
HD: I '(t) = 0,002.I(t) + 5  I '(t) − 0,002.I(t) = 5 →  b = 5 b 5 Nghiệm của ptvp là − = + at Ce = + 0,002t Ce = −2500 + 0,002t I(t) Ce a −0,002 Vì I(0)=60=> C=2560 = − + 0,002t I(t) 2500 2560e =>I(27)=202,4 $ dP 1
Ví dụ 2. Xét mô hình thị trường: Q = 2P − 2; Q = P − + 4; = (Q − Q ) S D D S dt 3
Tìm biểu thức của hàm P(t),Q (t),Q (t) khi P(0)=1. S D HD. dP 1 1
= (Q − Q )  P ' = (−3P + 6)  P '+ P = 2 (a=1, b=2) D S dt 3 3
Ptvp có nghiệm tổng quát là b P(t) −at = + Ce = 2 −t + Ce a Vì P(0)=1 0
 1 = 2 + Ce  C = 1 − . Vậy P(t) = 2 −t
− e  Q (t) = 2.P(t) − 2 = 2 − 2 −t
e ;Q (t) = −P(t) + 4 = 2 −t + e s D
Dạng 7. Bài toán tối đa lợi ích
Ví dụ 1. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: U = (x + 3)x , trong đó x1 là lượng hàng hóa 1, 1 2
x2 là lượng hàng hóa 2, giá hàng hóa thứ nhất là $5, giá hàng hóa thứ 2 là $20.
a. Hãy chọn túi hàng cho lợi ích tối đa, biết ngân sách cho tiêu dùng là $185.
b. Nếu tăng ngân sách tăng 2$ thì lợi ích tối đa tăng bao nhiêu đơn vị?
Ví dụ 2. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: U = xy + x + 2y , trong đó x1 là lượng hàng hóa
1, x2 là lượng hàng hóa 2, giá hàng hóa thứ nhất là $2, giá hàng hóa thứ 2 là $5, và thu
nhập dành cho tiêu dùng là $51.
a..Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích của mình.
b.Nếu tăng ngân sách tiêu dùng giảm 3$ thì lợi ích tối đa giảm bao nhiêu đơn vị? HD
a. Tìm x, y >0 sao cho hàm lợi ích U = xy + x + 2y
với điều kiện 2x+5y=51 đạt cực đại
+ Lập hàm Lagrange: L = xy + x + 2y + (51− 2x − 5y)
+ Điều kiện cần: Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của L, giải hệ tìm x=13, y=5, λ =3
+ Điều kiện đủ: tính H>0➔ cực đại
Kết luận: Túi hàng mang lợi ích tối đa là x=? y=? và lợi ích tối đa U=…
b.Vì λ =3, Nếu tăng ngân sách tiêu dùng giảm 3$ thì lợi ích tối đa giảm 3λ =9 đơn vị.
Vì λ =3, Nếu tăng ngân sách tiêu dùng tăng 2$ thì lợi ích tối đa tăng 2λ =6 đơn vị.
Dạng 7. Bài toán tối đa lợi nhuận
Ví dụ 1. Một công ty độc quyền sản xuất kết hợp 2 loại sản phẩm với hàm chi phí như
sau (Qi là lượng sản phẩm i): 2 2
TC = 3Q + 2Q Q + 2Q + 55 . Hãy chọn mức sản lượng 1 1 2 2
kết hợp (Q Q ) và giá bán các sản phẩm để công ty có được lợi nhuận tối đa, khi cầu của 1, 2
thị trường đối với các sản phẩm 1, 2 của công ty như sau: Q =120 − P vàQ =140 − P 1 1 2 2
HD: Lập hàm lợi nhuận 𝛑=TR-TC
Q =120 − P → P =120 − Q 1 1 1 1
Q =140 − P → P =140 − Q 2 2 2 2 2 2
 = PQ + PQ − TC = (120 − Q )Q + (140 − Q )Q − (3Q + 2QQ + 2Q + 55) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2
=120Q +140Q − 4Q − 2QQ − 3Q − 55 1 2 1 1 2 2
 =120 − 8Q − 2Q = 0  Q Q Q Q 8  + 2 =120  =10 + Đk cần: 1 2 1 1 2 1       
=140 − 2Q − 6Q = 0  Q Q Q Q 2 + 6 =140  = 20 1 2 1 2 2 2 + Đk đủ: ' ' ' ' ' ' ' '  = 8 − ;  = 2 − =  ;  = 6 − , D =   −   = 44 1 Q 1 Q 1 Q Q2 Q2 1 Q Q2Q2 1 Q 1 Q Q2Q2 1 Q Q2 Q2 1 Q Vì D=44>0 và ''  = 8
− <0 nên (Q ,Q ) = (10,20) là điểm cực đại. 1 Q 1 Q 1 2
Kết luận: Cơ cấu sản xuất (Q ,Q ) = (10,20) và giá bán (P ,P ) = (110,120) thì doanh 1 2 1 2
nghiệp đạt lợi nhuận tối đa là 𝛑=….
Ví dụ 2. Một nhà sản xuất cung cấp tủ lạnh cho hai cửa hàng A và B. Người quản lý ước
tính rằng, nếu cung cấp x đơn vị cho cửa hàng A và y đơn vị cho cửa hàng B mỗi tháng
thì lợi nhuận hàng tháng sẽ là  (x, y) trăm đô-la, với: 2 2  ( , x y) = 0
− ,02x −0,03xy −0,05y +15x + 40y −30 0 0
Mỗi tháng, công ty có thể sản xuất được đúng $700$ tủ lạnh. Hỏi nhà sản xuất nên cung
cấp cho mỗi cửa hàng bao nhiêu đơn vị để tối đa hóa lợi nhuận hàng tháng? HD: Tìm x, y để 2 2  ( , x y) = 0
− ,02x −0,03xy −0,05y +15x + 40y −30 0 0 đạt cực đại với điều kiện: x+y=700
Ví dụ 3. Một cửa hàng áo phông bán hai loại áo cạnh tranh, một loại của nhãn hiệu A,
một loại của nhãn hiệu B. Chủ cửa hàng nhập cả hai loại với chi phí đều là $2 cho mỗi
chiếc áo và ước tính được rằng, nếu bán mỗi chiếc áo nhãn hiệu A với giá x đô-la và mỗi
áo nhãn hiệu B với giá y đô-la, thì mỗi ngày người tiêu dùng sẽ mua 40-50x+40y chiếc
áo nhãn hiệu A và 20+60x-70y chiếc áo nhãn hiệu B. Người chủ cửa hàng nên định giá
bán mỗi chiếu áo là bao nhiêu để thu được lợi nhuận tối đa? HD. Tìm x, y để  ( ,
x y) = (x − 2)(40−50x + 40y) + (y − 2)(20+ 60x −70y) đạt cực đại
Ví dụ 4. Một công ty điện thoại có kế hoạch giới thiệu hai loại hệ thống quản lý truyền
thông mới và mong muốn bán được cho số các khách hàng thương mại lớn nhất. Người ta
ước tính được rằng, nếu bán loại hệ thống thứ nhất với giá x trăm đô-la một hệ thống và
loại hệ thống thứ hai với giá y trăm đô-la một hệ thống, thì số khách hàng mua loại thứ
nhất xấp xỉ là 40 - 8x + 5y người và số khách hàng mua loại thứ hai xấp xỉ là 50 + 9x - 7y
người. Nếu chi phí sản xuất mỗi hệ thống loại thứ nhất là $1000 và loại thứ hai là $3000
thì công ty điện thoại nên định giá các hệ thống như thế nào để thu được lợi nhuận tối đa? HD: Tìm x, y để  ( ,
x y) = (x −10)(40−8x +5y) + (y −30)(50+9x −7y) đạt cực đại
Ví dụ 5. Một công ty sản xuất x đơn vị hàng hóa A và y đơn vị hàng hóa B. Các hàng hóa
được bán với giá p1 = 100 - x đô-la cho mỗi đơn vị hàng hóa A và p2 = 100 - y đô-la cho
mỗi đơn vị hàng hóa B. Chi phí (tính theo đô-la) của việc sản xuất hai loại hàng hóa này
được cho bởi hàm chi phí kết hợp 2 2 TC( ,
x y) = x + xy + y . Công ty nên chọn các mức sản
xuất x và y như thế nào để thu được lợi nhuận lớn nhất? HD. Tìm x, y để 2 2
 = TR −TC = (100− x)x + (100− y)y − (x + xy + y ) đạt cực đại