Đa Thức Và Tính Chia Hết Ôn Thi HSG Đại Số 8 Có Lời Giải Chi Tiết
Tìm số dư trong phép chia của biểu thức. Chứng minh với mọi n thì thương của phép chia A cho B là bội số của 6. Tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6. Thương của phép chia A cho B là bội số của 6. Tìm mọi số nguyên x. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 1: Đa thức (KNTT) 65 tài liệu
Môn: Toán 8 2.2 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
DẠNG 11: ĐA THỨC VÀ TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC
Dạng 1: Tìm Dư Trong Phép Chia. A.Bài toán
Bài 1: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức ( x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2008 cho đa thức 2
x +10x + 21
Bài 2: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức:
(x + 2)(x + 4)(x + 6)(x +8) + 2012cho đa thức 2x +10x + 21
Bài 3: Tìm số dư trong phép chia của đa thức ( x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2010 cho đa thức 2 x +10x + 21
Bài 4: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức ( x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2015 cho đa thức 2 x +10x + 21.
Bài 5: Tìm số dư trong phép chia ( x + 3)( x + 5)( x + 7)( x + 9) + 2033 cho 2 x +12x + 30
Bài 6: a) Tìm số dư trong phép chia của đa thức ( x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2017 cho đa thức 2 x +10x + 21 b) Cho 6 4 3 5
A = n +10n + n + 98n − 6n − 26 và 3 B =1+ n − .
n Chứng minh với mọi
n thì thương của phép chia A cho B là bội số của 6 Bài 7:
a) Tìm số dư trong phép chia đa thức ( x + )
1 ( x + 3)( x + 5)( x + 7) + 9 cho 2 x + 8x +12.
b) Tìm mọi số nguyên x sao cho 3 2
x − 2x + 7x − 7 chia hết cho 2 x + 3
Bài 8: Đa thức f(x) khi chia cho x +1 dư 4, khi chia cho 2
x +1 dư 2x + 3 . Tìm phần dư khi chia f(x) cho 2 (x +1)(x +1).
Bài 9: Tìm dư khi chia 2015 1945 1930 2 x + x + x
− x − x +1cho 2 x −1
Bài 10: Tìm đa thức dư khi chia đa thức 100 51 x − 2x +1 cho 2 x −1 Trang 1 B. HƯỚNG DẪN
Bài 1: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức ( x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2008 cho đa thức 2 x +10x + 21 Lời giải Ta có:
P(x) = ( x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2008 = ( 2 x +10x +16)( 2
x +10x + 24) + 2008 Đặt 2
t = x +10x + 21(t 3 − ;t 7
− ) , Biểu thức P(x) được viết lại
P x = (t − )(t + ) 2 ( ) 5
3 + 2008 = t − 2t +1993 Do đó khi chia 2
t − 2t +1993 cho t ta có số dư là 1993
Bài 2: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức:
(x + 2)(x + 4)(x + 6)(x +8)+ 2012cho đa thức 2x +10x + 21 Lời giải
Đặt P(x) = ( x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2012 = ( 2 x + x + )( 2 10
16 x +10x + 24) + 2012 Đặt 2
x +10x + 21 = t
Ta có: P ( x) = (t − )(t + ) 2 5
3 + 2012 = t − 2t +1997
Vậy số dư của phép chia là 1997
Bài 3: Tìm số dư trong phép chia của đa thức ( x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2010 cho đa thức 2 x +10x + 21 Lời giải
Ta có: P(x) = ( x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2010 2 2
= (x +10x +16)(x +10x + 24) + 2010 Đặt 2
t = x +10x + 21, biểu thức P(x) được viết lại:
P x = (t − )(t + ) 2 ( ) 5
3 + 2010 = t − 2t +1995 Do đó khi chia 2
t − 2t +1995 cho t ta có số dư là 1995
Bài 4: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức ( x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2015 cho đa thức 2 x +10x + 21. Lời giải
P( x) = ( x + )( x + )(x + )(x + ) + = ( 2 x + x + )( 2 2 4 6 8 2015 10
16 x +10x + 24) + 2015 Trang 2 Đặt 2
t = x +10x + 2 ( 1 t 3 − ;t 7
− ) , biểu thức P(x) được viết lại
P x = (t − )(t + ) 2 ( ) 5
3 = t − 2t + 2000 Do đó khi chia 2
t − 2t + 2000 cho t ta có số dư là 2000.
Bài 5: Tìm số dư trong phép chia ( x + 3)( x + 5)( x + 7)( x + 9) + 2033 cho 2 x +12x + 30 Lời giải Ta có:
(x + )(x + )(x + )(x + ) + = = ( 2 x + x + )( 2 3 5 7 9 2033 .... 12
27 x +12x + 35) + 2033 Đặt 2
x +12x + 30 = t, ta có:
(x + 3)(x + 5)(x + 7)(x + 9) + 2033 = (t − 3)(t + 5) + 2033 2
= t + 2t −15 + 2033 = t (t + 2) + 2018 Vậy ta có
(x + )(x + )(x + )(x + ) + = ( 2 x + x + )( 2 3 5 7 9 2033 12
30 x +12x + 32) + 2018
Vậy số dư trong phép chia ( x + 3)( x + 5)( x + 7)( x + 9) + 2033cho 2
x +12x + 30là 2018.
Bài 6: a)Tìm số dư trong phép chia của đa thức ( x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2017 cho đa thức 2 x +10x + 21 b)Cho 6 4 3 5
A = n +10n + n + 98n − 6n − 26 và 3 B =1+ n − .
n Chứng minh với mọi n
thì thương của phép chia A cho B là bội số của 6 Lời giải a) Ta có:
P x = ( x + )(x + )(x + )(x + ) + = ( 2 x + x + )( 2 ( ) 2 4 6 8 2017 10
16 x +10x + 24) + 2017 Đặt 2
t = x +10x + 2 ( 1 t 3 − ;t 7
− ) , biểu thức P(x) được viết lại:
P x = (t − )(t + ) 2 ( ) 5
3 = 2017 = t − 2t + 2002 Do đó khi chia 2
t − 2t + 2000 cho t ta có số dư là 2002
b) Thực hiện phép chia , ta được:
Thương của A chia cho B là 3 2
n − 6n +11n − 6 Ta có: 3 2 3 2
n − 6n +11n − 6 = n − n +12n − 6n − 6 = (n − ) 1 n (n + ) 1 + 6( 2 2n − n − ) 1 Vì (n − ) 1 n (n + )
1 là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 Trang 3 Và ( 2 6 2n − n − ) 1 chia hết cho 6
Thương của phép chia A cho B là bội số của 6 Bài 7:
a) Tìm số dư trong phép chia đa thức ( x + )
1 ( x + 3)( x + 5)( x + 7) + 9 cho 2 x + 8x +12.
b) Tìm mọi số nguyên x sao cho 3 2
x − 2x + 7x − 7 chia hết cho 2 x + 3 Lời giải
a) Đặt f ( x) = ( x + )
1 ( x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9
Ta có: A = ( x + )
1 ( x + 7)( x + 3)( x + 5) + 9 = ( 2 x + 8x + 7)( 2 x + 8x +15) + 9 = ( 2
x + 8x + 7)( 2x + 8x +12) + 3 + 9 = ( 2 x + 8x + 7)( 2
x + 8x +12) + 3( 2 x + 8x + 7) + 9 = ( 2 x + 8x + 7)( 2
x + 8x +12) + 3( 2
x + 8x +12) + 9 −15 = ( 2 x + 8x +12)( 2
x + 8x +10) − 6
Vậy số dư trong phép chia f ( x) cho 2 x + 8x +12 là 6 −
b) Thực hiện phép chia đa thức 3 2
B = x − 2x + 7x − 7 cho 2
C = x + 3, ta được: Đa thức
thương: x − 2; đa thức dư: 4x −1 Suy ra : 3 2
x − x + x − = ( 2 2 7 7
x + 3)(x − 2) + 4x −1 Do đó B ( 2
x + ) ( x − ) ( 2 3 4 1 x + 3) (1) Vì 4x 1 vs 4x 1 − nên: ( ) 1 (4x − ) 1 (4x + ) 2 1 x + 3 ( 2 16x − ) 1 ( 2 x + 3) 16( 2 x + 3) 2 + 49 (x + 3) 2 49 (x + 3) Vì 2
x + 3 3 nên xảy ra một trong hai trường hợp sau: 2
•x + 3 = 49, không có giá trị nào thỏa mãn x = 2( ) tm 2 2
•x + 3 = 7 x = 4 x = 2 − (tm) Vậy x = 2
Bài 8: Đa thức f(x) khi chia cho x +1 dư 4, khi chia cho 2
x +1 dư 2x + 3 . Tìm phần dư khi chia f(x) cho 2
(x +1)(x +1). Trang 4 Lời giải
Theo định lí bơ-zu ta có: f(x) chia x +1 dư 4 => f(-1) = 4. Do bậc của đa thức chia 2
(x +1)(x +1) là 3 nên đa thức dư có dạng 2 ax + bx + c .
Gọi thương là q(x).Theo định nghĩa phép chia còn dư, ta có : 2 2
f(x) = (x + 1)(x + 1).q(x) + ax + bx + c 2 2
= (x + 1)(x + 1).q(x) + ax + a - a + bx + c 2 2
= (x + 1)(x + 1).q(x) + a(x + 1) + bx + c - a = [(x + 1) 2
.q(x) + a].(x + 1) + bx + c - a b = 2 Mà f(x) chia cho 2
x +1 dư 2x + 3. (1) c − a = 3
Mặt khác f(-1)=4 a -b+ c = 4 (2) . Do đó ta có : b = 2 b = 2 b = 2 9 c − a = 3
c − a = 3 c = 2
a b c 4 a c 6 − + = + = 3 a = 2 3 9
Vậy đa thức dư cần tìm có dạng: 2 x + 2x + 2 2
Bài 9: Tìm dư khi chia 2015 1945 1930 2 x + x + x
− x − x +1cho 2 x −1 Lời giải Đặt f ( x) 2015 1945 1930 2 = x + x + x − x − x +1
Gọi thương khi chia f ( x) cho 2
x −1 là Q(x), dư là ax + b
Ta có: f ( x) = ( 2 x − )
1 Q(x) + ax + b
Đẳng thức trên đúng với mọi x nên
- Với x = 1 ta được f ( )
1 = a + b a + b = 2 (1)
- Với x = −1 ta được: f (− )
1 = −a + b −a + b = 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a = 1,b = 1, Dư phải tìm là x + 1
Bài 10: Tìm đa thức dư khi chia đa thức 100 51 x − 2x +1 cho 2 x −1 Lời giải
Gọi đa thức dư trong phép chia là ax + . b Khi đó ta có: 100 51 x − x + = ( 2 2 1 x − )
1 .H (x) + ax + b( ) 1 Thay x = 1vào ( )
1 ta có: 0 = a + b (2) Trang 5 Thay x = −1vào ( )
1 ta có: 4 = a − b (3)
Từ đó suy ra a = 2;b = −2 . Vậy số dư là 2x − 2
Dạng 2: Tìm Đa Thức f (x) . A.Bài toán
Bài 1: Tìm đa thức f (x) biết rằng: f (x) chia cho x + 2 dư 10, f (x) chia cho x − 2 dư 24, f (x) chia cho 2
x − 4được thương là −5x và còn dư
Bài 2: Tìm đa thức f (x) biết rằng: f (x) chia cho x + 2 dư 10, f (x) chia cho x − 2 dư 22, f (x) chia cho 2
x − 4được thương là −5x và còn dư
Bài 3: Tìm đa thức f (x) biết rằng : f (x) chia cho x + 2 dư 10, f ( x) chia cho x − 2 dư 26,
f ( x) chia cho 2
x − 4được thương là −5x và còn dư
Bài 4: Tìm đa thức f ( x) , biết f ( x) chia cho x + 3dư 5, f (x) chia cho x + 5 dư 7, f (x)
chia cho ( x + 3)( x + 5) được thương là 2x và còn dư. B.Lời giải
Bài 1: Tìm đa thức f (x) biết rằng: f (x) chia cho x + 2 dư 10, f (x) chia cho x − 2 dư 24, f (x) chia cho 2
x − 4được thương là −5x và còn dư Lời giải
Giả sử f (x) chia cho 2
x − 4được thương là −5x và còn dư ax + b Khi đó : f x = ( 2 ( ) x − 4).( 5
− x) + ax + b Theo đề bài, ta có: 7 f (2) = 24 2a + b = 24 a = 2 f ( 2) − = 10
−2a + b = 10 b =17 7
Do đó : f (x) = ( 2 x − 4).( 5 − x) + x +17 2
Vậy đa thức f (x) cần tìm có dạng: 3 47 f (x) = 5 − x + x +17 2
Bài 2 : Tìm đa thức f (x) biết rằng: f (x) chia cho x + 2 dư 10, f (x) chia cho x − 2 dư 22, f (x) chia cho 2
x − 4được thương là −5x và còn dư Lời giải
Giả sử f (x) chia cho 2
x − 4được thương là −5x và còn dư là ax + b Trang 6 Khi đó: f x = ( 2 ( ) x − 4).( 5
− x) + ax + b Theo đề bài, ta có: f (2) = 22 2a + b = 22 a = 3 f ( 2) − =10 2 − a + b =10 b =16 Do đó: f x = ( 2 ( ) x − 4).( 5 − x) + 3x +16
Vậy đa thức f (x) cần tìm có dạng: 3 f (x) = 5 − x + 23x +16
Bài 3: Tìm đa thức f (x) biết rằng : f (x) chia cho x + 2 dư 10, f ( x) chia cho x − 2 dư 26,
f ( x) chia cho 2
x − 4được thương là −5x và còn dư Lời giải
Giả sử f ( x) chia cho 2
x − 4được thương là −5x và còn dư là ax + . b Khi đó f x = ( 2 ( ) x − 4).( 5
− x) + ax + b Theo đề bài, ta có: f (2) = 26 2a + b = 26 a = 4 f ( 2 − ) =10 2 − a + b =10 b =18
Do đó f ( x) = ( 2 x − 4).( 5 − x) + 4x +18
Vậy đa thức f ( x) cần tìm là f x = ( 2 ( ) x − 4).( 5 − x) + 4x +18
Bài 4: Tìm đa thức f ( x) , biết f ( x) chia cho x + 3dư 5, f (x) chia cho x + 5 dư 7, f (x)
chia cho ( x + 3)( x + 5) được thương là 2x và còn dư. Lời giải
f ( x) = ( x + 3) A(x) + 5
f (x) = (x + 5)B(x) + 7
f (x) = (x + 3)(x + 5).2x + mx + n Từ đó suy ra : f ( 3 − ) = 5 3 − m + n = 5 f ( 5 − ) = 7 5 − m + n = 7
Tìm ra m = −1;n = 2
Thay vào ta có đa thức f ( x) 3 2
= 2x +16x + 29x + 2
Dạng 3: Tính Giá Trị Biểu Thức . Trang 7 A.Bài toán
Bài 1: Tính giá trị A = x15 – 8x14 + 8x13 – 8x12 + ... - 8x2 + 8x + 1 với x = 7 Bài 2: Cho đa thức 3
F(x) = x + ax + b (với a,b ). Biết đa thức F (x) chia cho x − 2 thì dư
12, F (x) chia cho x +1 thì dư 6
− . Tính giá trị của biểu thức: B = (6a + 3b −11)(26 − 5a + 5b) . Bài 3: Cho 2 2 2 3 3 3
a + b + c = a + b + c = 1.Tính 2 2012 2013 S = a + b + c . Bài 4:Đa thức ( ) 3
f x = 4x + ax + b chia hết cho các đa thức x − 2; x + 1. Tính 2a − 3b
Bài 5: Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1) = 0; P(3) = 0; P(5) = 0 .
Hãy tính giá trị của biểu thức Q = P ( 2 − ) + 7P(6)
Bài 6: Đa thức f ( x) 3
= 4x + ax + b chia hết cho các đa thức x − 2; x +1. Tính 2a − 3b
Bài 7: Cho hai đa thức 5 3
P(x) = x − 5x + 4x +1, Q( x) 2
= 2x + x −1.Gọi x , x , x , x , x là 1 2 3 4 5
các nghiệm của P ( x).Tính giá trị của Q( x .Q x .Q x .Q x .Q x 1 ) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)
Bài 8: Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và thỏa mãn f ( )
1 = 5; f (2) =11; f (3) = 21 Tính f (− ) 1 + f (5) Bài 9: Cho đa thức 3 2
P(x) = 6x − 7x −16x + m
a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3
b) Với m vừa tìm được ở câu a, hãy tìm số dư khi chia P(x) cho 3x − 2 và phân tích ra các thừa số bậc nhất 1.2) Cho đa thức 5 4 3 2
P(x) = x + ax + bx + cx + dx + e
Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 16; P(5) = 25.Tính P(6); P(7)? Bài 10: Cho 3 3 3
a + b + c = 3abc với a, , b c 0 a b c
Tính giá trị biểu thức P = 1+ 1+ 1+ b c a M N 32x −19 Bài 11: Cho + =
. Tính M .N ? 2 x +1 x − 2 x − x − 2 B.Lời giải
Bài 1: Tính giá trị A = x15 – 8x14 + 8x13 – 8x12 + ... - 8x2 + 8x + 1 với x = 7 Lời giải Thay 8 bằng x + 1 ta có
A = x15 – (x+1).x14 + (x+1)x13 – (x+1)x12 + ... – (x + 1)x2 + (x+1)x + 1
= x15 – x15 – x14 + x14 + x13 – x13 – x12 +... – x3 – x2 + x2 + x + 1 = x + 1 = 7 +1 = 8 Trang 8 Bài 2: Cho đa thức 3
F(x) = x + ax + b (với a,b ). Biết đa thức F (x) chia cho x − 2 thì dư
12, F (x) chia cho x +1 thì dư 6
− . Tính giá trị của biểu thức: B = (6a + 3b −11)(26 − 5a + 5b) . Lời giải
Gọi thương của phép chia F (x) cho x − 2 và x +1 lần lượt là P(x) và Q(x) . Suy ra 3
x + ax + b = (x − 2)P(x) +12 (1) 3
x + ax + b = (x +1)Q(x) − 6 (2)
Thay x = 2 vào (1) ta có 8 + 2a + b = 12 2a + b = 4 6a + 3b = 12
Thay x = −1 vào (2) ta có −1− a + b = −6 −a + b = −5 −5a + 5b = 25
B = (6a + 3b −11)(26 − 5a + 5b) =1.1 =1. Bài 3: Cho 2 2 2 3 3 3
a + b + c = a + b + c = 1.Tính 2 2012 2013 S = a + b + c . Lời giải 2 2 2 3 3 3
a + b + c = a + b + c = 1 a; ; b c 1 − ; 1 3 3 3
a + b + c − ( 2 2 2
a + b + c ) 2 = a (a − ) 2 + b (b − ) 2 1 1 + c (c − ) 1 0 3 3 3
a + b + c 1 a; ;
b c nhận hai giá trị là 0 hoặc 1 2012 2 2013 2 2 2012 2013 b = b ;c
= c S = a + b + c =1 Bài 4: Đa thức ( ) 3
f x = 4x + ax + b chia hết cho các đa thức x − 2; x + 1. Tính 2a − 3b Lời giải Đa thức 3
f(x) = 4x + ax + b chia hết cho các đa thức x − 2; x + 1 nên:
f (2) = 0 32 + 2a + b = 0(1) f( 1 − ) = 0 4 − − a + b = 0 (2)
Từ (1) và (2) ta tìm được a = −12; b = −8 Vậy 2a − 3b = 0
Bài 5: Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1) = 0; P(3) = 0; P(5) = 0 .
Hãy tính giá trị của biểu thức Q = P ( 2 − ) + 7P(6) Lời giải
Ta có: P(x) (x −1),( x − 3),( x − 5)
Nên P ( x) có dạng P( x) = ( x − )
1 ( x − 3)( x − 5)( x + a) Khi đó: P( 2 − ) + 7.P(6) = ( 3 − ).( 5 − ).( 7 − ).( 2
− + a) + 7.5.3.1.(6 + a)
= −105.(−2 + a) +105.(6 + a)
=105.(2 − a + 6 + a) = 840 Trang 9
Bài 6: Đa thức f ( x) 3
= 4x + ax + b chia hết cho các đa thức x − 2; x +1. Tính 2a − 3b Lời giải Đa thức 3
f (x) = 4x + ax + b chia hết cho các đa thức x − 2; x +1nên:
f (2) = 0 32 + 2a + b = 0(1)
f (−1) = 0 −4 − a + b = 0 (2) Từ ( )
1 và (2)ta tìm được a = 12 − ;b = 8 −
Vậy 2a − 3b = 0
Bài 7: Cho hai đa thức 5 3
P(x) = x − 5x + 4x +1, Q( x) 2
= 2x + x −1.Gọi x , x , x , x , x là 1 2 3 4 5
các nghiệm của P ( x).Tính giá trị của Q( x .Q x .Q x .Q x .Q x 1 ) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) Lời giải Ta có : P( x) 5 3
= x − 5x + 4x +1 = (x − x x − x x − x x − x x − x 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) Q( x) 1 = 2 − x ( 1 − − x) 2 Do đó
Q ( x .Q x .Q x .Q x .Q x 1 ) ( 2 ) ( 3) ( 4 ) ( 5) 1 1 1 1 1 5 5 = 2 . − x − x − x − x − x 1 2 3 4 2 2 2 2 2 ( 1 − − x 1 − − x −1− x −1− x −1− x 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 1 = P P (− ) 1 5 32. . 1 = 32. − + 2 +1 ( 1 − + 5 − 4 + ) 1 = 77 2 32 8
Bài 8: Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và thỏa mãn f ( )
1 = 5; f (2) =11; f (3) = 21 Lời giải Tính Nhận xét: 2
g(x) = 2x + 3thỏa mãn g ( )
1 = 5; g (2) =11; g (3) = 21
Q(x) = f (x) − g(x) là đa thức bậc 4 có 3 nghiệm x =1; x = 2; x = 3
Vậy Q(x) = ( x − ) 1 ( x − )
1 ( x − 3)( x − a) ta có: f ( 1 − ) = Q(− ) 1 + 2.(− )2 1 + 3 = 29 + 24a f (5) = Q(5) 2 + 2.5 + 3 =173 − 24a f ( 1 − ) + f (5) = 202 Bài 9: Cho đa thức 3 2
P(x) = 6x − 7x −16x + m
a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3 Trang 10
b) Với m vừa tìm được ở câu a, hãy tìm số dư khi chia P(x) cho 3x − 2 và phân tích ra các thừa số bậc nhất 1.2) Cho đa thức 5 4 3 2
P(x) = x + ax + bx + cx + dx + e
Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 16; P(5) = 25.Tính P(6); P(7)? Lời giải 3 2 3 2 2
P(x) = 6x − 7x −16x + m = 6x + 9x −16x − 24x + 8x +12 + m −12 2
= 3x (2x + 3) −8x(2x + 3) + 4(2x + 3) + m −12 = (2x + 3)( 2
3x − 8x + 4) + m −12
Để P(x) (2x + 3) thì m −12 = 0 m = 12 b) Với 3 2 3 2 2
m = 12; P(x) = 6x − 7x −16x +12 = 6x − 4x − 3x + 2x −18x +12 2
= x ( x − ) − x( x − ) − ( x − ) = ( x − )( 2 2 3 2 3 2 6 3 2 3
2 2x − x − 6)
Phân tích P(x) ra tích các thừa số bậc nhất: 3 2
P(x) = 6x − 7x −16x +12 = (2x + 3)(3x − 2)(x − 2)
1.2 ) Vì P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 Mà 5 4 3 2
P x = x + ax + bx + cx + dx + e P x = ( x − )( x − )( x − )( x − )( x − ) 2 ( ) ( ) 1 2 3 4 5 + x 2
P(6) = 5.4.3.2.1+ 6 =156 2
P(7) = 6.5.4.3.2 + 7 = 769 Bài 10: Cho 3 3 3
a + b + c = 3abc với a, , b c 0 a b c
Tính giá trị biểu thức P = 1+ 1+ 1+ b c a Lời giải
Biến đổi giả thiết về dạng:
1 (a +b + c)(a −b)2 +(b −c)2 +(c − a)2 = 0 2
a + b + c = 0
a =b =c
−c −a b −
Với a + b + c = 0 tính được: P = = 1 −
b c a
Với a = b = c tính được: P = 2.2.2 = 8 M N 32x −19 Bài 11: Cho + =
. Tính M .N ? 2 x +1 x − 2 x − x − 2 Lời giải
ĐKXĐ : x −1, x 2 . Trang 11
M (x − 2) + N (x + ) 1 32x −19 Ta có : = (x + )1(x −2) (x + )1(x −2)
M (x − 2) + N (x + )
1 = 32x −19 (M + N ) x + ( N − 2M ) = 32x −19
M + N = 32,− 2M + N = 19
− M = 17, N =15 M.N = 255
Vậy, M .N = 255 với x −1, x 2 . Dạng 4: Chứng Minh A.Bài toán 2018 2018
Bài 1: Chứng minh rằng: f x = ( 2 x + x + ) + ( 2 ( ) 1 x − x + ) 1 − 2 chia hết cho 2
g(x) = x − x Bài 2: Chứng minh: 2018 2018 a) F = ( 2 x + x − ) + ( 2 1 x − x + ) 1
− 2 chia hết cho ( x − ) 1 . b) 8n 4n
G = x + x +1 chia hết cho 2n n
x + x +1 , với n N .
Bài 3:Chứng minh rằng: a) Đa thức 95 94 93 2
M = x + x + x + ....+ x + x +1 chia hết cho đa thức 31 30 29 2
N = x + x + x + ....+ x + x +1 3 2 x x x
b) Đa thức P ( x) =1985. +1979
+ 5. có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên. 3 2 6 Bài 4: Chứng minh 3
n +17n chia hết cho 6 với mọi n
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì 3
a + 5a chia hết cho 6 3 3
Bài 6: Chứng minh rằng: 3
Q = n + (n + )
1 + (n + 2) 9 với mọi n * Bài 7: Cho 2
f (x) = ax + bx + c với a,b,c là các số thỏa mãn 13a + b + 2c = 0
Chứng tỏ rằng f ( 2 − ). f (3) 0
Bài 8: Chứng minh rằng: ( m n x + x + ) 1 chia hết cho 2
x + x +1 khi và chỉ khi (mn − 2) 3
Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: 7 2 x + x +1
Bài 9: Chứng minh rằng không có giá trị tự nhiên n nào để giá trị của biểu thức 3 2
2n − 3n + n + 3chia hết cho giá trị của biểu thức 2 n − n 4 3 2
Bài 10: Chứng tỏ rằng đa thức: A = ( 2 x + ) + ( 2 x + ) + ( 2 x + ) 2 1 9 1 21
1 − x − 31 luôn không âm
với mọi giá trị của biến x . B.Lời giải 2018 2018
Bài 1: Chứng minh rằng: f x = ( 2 x + x + ) + ( 2 ( ) 1 x − x + ) 1 − 2 chia hết cho 2
g(x) = x − x Trang 12 Lời giải
Đa thức g(x) = x2 – x = x(x – 1) có hai nghiệm là x = 0; x = 1. Ta có f = (− )2018 2018 (0) 1 +1
− 2 = 0 là nghiệm của f(x).
Suy ra f (x) chứa thừa số x 2018 2018 Ta có : f = ( 2 + − ) +( 2 (1) 1 1 1 1 −1+ ) 1
− 2 = 0 x =1 là nghiệm của f(x)
f(x) chứa thừa số x – 1 mà các thừa số x và x – 1 không có nhân tử chung do đó f(x) chia hết cho x( x – 1). 2018 2018 Vậy f x = ( 2 x + x + ) + ( 2 ( ) 1 x − x + ) 1 − 2 chia hết cho 2
g(x) = x − x
Bài 2:Chứng minh: 2018 2018 a) F = ( 2 x + x − ) + ( 2 1 x − x + ) 1
− 2 chia hết cho ( x − ) 1 . b) 8n 4n
G = x + x +1 chia hết cho 2n n
x + x +1 , với n N . Lời giải 2018 2018 a) F = ( 2 x + x − ) + ( 2 1 x − x + ) 1
− 2 chia hết cho ( x − ) 1 . 2018 2018 Ta có : F = ( 2 x + x − ) + ( 2 1 x − x + ) 1 − 2 = (x − )
1 .Q ( x) + r 2018 2018
Xét tại x = 1 thì r = ( 2 + − ) + ( 2 1 1 1 1 −1+ ) 1 − 2 = 0 2018 2018 Vậy, F = ( 2 x + x − ) + ( 2 1 x − x + ) 1
− 2 chia hết cho ( x − ) 1 . b) 8n 4n
G = x + x +1 chia hết cho 2n n
x + x +1 , với n N . 2 2 Ta có: 8n 4n 8n 4n 4n = + + = + + −
= ( 4n + ) −( 2n ) = ( 4n 2n + + )( 4n 2 1 2 1 1 1 n G x x x x x x x x x x − x + ) 1 (1) 2 2 Mặt khác, 4n 2n 4n 2n 2n + + = + + −
= ( 2n + ) −( n ) = ( 2n n + + )( 2 1 2 1 1 1 n n x x x x x x x x x x − x + ) 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra 8n 4n = + + = ( 2n n + + )( 2n n − + )( 4n 2 1 1 1 n G x x x x x x x − x + ) 1 Vậy, 8n 4n
G = x + x +1 chia hết cho 2n n
x + x +1 , với n N .
Bài 3: Chứng minh rằng: a) Đa thức 95 94 93 2
M = x + x + x + ....+ x + x +1 chia hết cho đa thức 31 30 29 2
N = x + x + x + ....+ x + x +1 3 2 x x x
b) Đa thức P ( x) =1985. +1979
+ 5. có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên. 3 2 6 Lời giải a) Ta có: 95 94 93 2
M = x + x + x + ....+ x + x +1 Trang 13 64 = x ( 31 30 2
x + x + + x + x + ) 32 + x ( 31 30 2
x + x + + x + x + ) + ( 31 30 2 ... 1 ... 1
x + x + ...+ x + x + ) 1 = ( 31 30 2
x + x + + x + x + )( 64 32 ... 1 x + x + ) 1 ( 31 30 2
x + x + ...+ x + x + ) 1 Vậy, M N (đpcm) 3 2 x x x
b)Ta có: P ( x) =1985. +1979 + 5. 3 2 6 x −1 . . x x +1 + 3 . x . x x +1 = ( 3 2
661x + 989x + x) ( ) ( ) ( ) + 6
Với x Z thì ( 3 2
661x + 989x + x) Z , còn (x − ) x(x + ) 2 1 1 + 3x ( x + ) 1 là số nguyên chia hết cho 6.
Từ đó suy ra P ( x) có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên. Bài 4: Chứng minh 3
n +17n chia hết cho 6 với mọi n Lời giải 3 3
n +17n = n − n +18n = n(n − ) 1 (n + ) 1 +18n Vì n(n − ) 1 (n + )
1 là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, (2,3) =1nên chia hết cho 6
18n 6 , suy ra điều phải chứng minh
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì 3
a + 5a chia hết cho 6 Lời giải 3 3
a + a = a − a + a = a( 2 5 6 a − )
1 + 6a = a(a − ) 1 (a + ) 1 + 6a
Vì a(a −1)(a + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3
mà (2,3) =1nên a(a − ) 1 (a + ) 1 chia hết cho 6 6a chia hết cho 6 Nên 3
a + 5a chia hết cho 6 3 3
Bài 6: Chứng minh rằng: 3
Q = n + (n + )
1 + (n + 2) 9 với mọi n * Lời giải
Q = n + (n + )3 + (n + )3 3 1 2 3 = n + ( 3 2
n + 3n + 3n + ) 1 + ( 3 2
n + 6n +12n + 8) = 3( 3 2
n + 3n + 5n + 3) Trang 14 Đặt 3 2 3 2 2
C = n + 3n + 5n + 3 = n + n + 2n + 2n + 3n + 3 2 = n (n + ) 1 + 2n(n + ) 1 + 3(n + ) 1 = n(n + )
1 (n + 2) + 3(n + ) 1
Ta thấy n(n + )
1 (n + 2) chia hết cho 3( vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp) Và 3(n + )
1 3 C chia hết cho 3
Nên Q = 3C chia hết cho 9 Bài 7: Cho 2
f (x) = ax + bx + c với a,b,c là các số thỏa mãn 13a + b + 2c = 0
Chứng tỏ rằng f ( 2 − ). f (3) 0 Lời giải f ( 2
− ) = 4a − 2b + ;
c f (3) = 9a + 3b + c Có f ( 2
− ) + f (3) =13a + b + 2c = 0 nên: Hoặc: f ( 2
− ) = 0 và f (3) = 0 f ( 2 − ). f (3) = 0(1)
Hoặc : f (−2)và f (3) là hai số đối nhau f ( 2 − ). f (3) 0(2) Từ ( ) 1 và (2)được f ( 2 − ). f (3) 0
Bài 8: Chứng minh rằng: ( m n x + x + ) 1 chia hết cho 2
x + x +1 khi và chỉ khi (mn − 2) 3
Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: 7 2 x + x +1 Lời giải
Đặt m = 3k + r với 0 r 2
;n = 3t + s với 0 s 2 m n 3k +r 3t+s 3k r r 3
x + x +1= x + x +1 t s s r s
= x x − x + x x − x + x + x +1 r = x ( 3k x − ) 1 s + x ( 3t x − ) 1 r s + x + x +1 Ta thấy: ( 3k x − ) ( 2 1 x + x + ) 1 và ( 3t x − ) ( 2 1 x + x + ) 1 Vậy ( m n x + x + ) ( 2 1 x + x + ) 1 ( r s x + x + ) ( 2 1 x + x + )
1 với 0 r, s 2
r = 2 và s =1 m = 3k + 2 và n = 3t +1
r = 1và s = 2 m = 3k +1và n = 3t + 2
mn − 2 = (3k + 2)(3t + )
1 − 2 = 9kt + 3k + 6t = 3(3kt + k + 2t)
mn − 2 = (3k + )
1 (3t + 2) − 2 = 9kt + 6k + 3t = 3(3kt + 2k + t)
(mn − 2) 3,Điều phải chứng minh. Trang 15
Áp dụng: m = 7,n = 2 mn − 2 = 12 3 ( 7 2 x + x + ) 1 ( 2 x + x + ) 1 ( 7 2 x + x + ) 1 : ( 2 x + x + ) 5 4 2
1 = x + x + x + x +1
Bài 9: Chứng minh rằng không có giá trị tự nhiên n nào để giá trị của biểu thức 3 2
2n − 3n + n + 3chia hết cho giá trị của biểu thức 2 n − n Lời giải Chia 3 2
2n − 3n + n + 3cho 2
n − n dư 3 Vì 2
n − n = n(n − )
1 là số chẵn nên n(n − ) 1 Ư(3). 4 3 2
Bài 10: Chứng tỏ rằng đa thức: A = ( 2 x + ) + ( 2 x + ) + ( 2 x + ) 2 1 9 1 21
1 − x − 31 luôn không âm
với mọi giá trị của biến x . Lời giải Đặt 2
x +1 = y , ta có: 4 3 2
A = y + 9y + 21y − y − 30 = ... = ( y − )
1 ( y + 2)( y + 3)( y + 5) Khi đó, 2 A = x ( 2 x + )( 2 x + )( 2 3
4 x + 6) 0 với mọi giá trị của x (Đpcm )
Dạng 5: Xác định số A.Bài toán
Bài 1:a)Xác định số hữu tỉ k để đa thức 3 3 3
A = x + y + z + kxyz chia hết cho đa thức x + y + z
b) Tìm đa thức bậc ba P ( x) , biết rằng khi chia P ( x) cho ( x − )
1 , cho ( x − 2) , cho ( x − 3)
đều dư 6 và P (− ) 1 = 18 −
Bài 2:Tìm tất cả các số tự nhiên k để đa thức f (k ) 3 2
= k + 2k +15 chia hết cho g (k ) = k + 3
Bài 3:Xác định các số hữu tỉ a và b sao cho: a) 4 x + 4 chia hết cho 2
x + ax + b ; b) 4 3
ax + bx +1 chia hết cho ( x − )2 1 .
Bài 4:Xác định các hệ số hữu tỉ a và b sao cho ( ) 4 2
f x = x + ax + b chia hết cho g ( x) 2
= x − x +1
Bài 5: Tìm các số nguyên a và b để đa thức 4 3 (
A x) = x − 3x + ax + b chia hết cho đa thức 2
B(x) = x − 3x + 4
Bài 6: Tìm a,b sao cho 3 2
f (x) = ax + bx +10x − 4 chia hết cho đa thức 2
g(x) = x + x − 2 .
Bài 7: Tìm giá trị nguyên của x để đa thức 3 2
f (x) = x − 3x − 3x −1 chia hết cho 2
g(x) = x + x +1 Trang 16 Bài 8: Cho đa thức 3 2
f (x) = x − 3x + 3x − 4.Với giá trị nguyên nào của x thì giá trị của đa
thức f (x) chia hết cho giá trị của đa thức 2 x + 2
Bài 9: Tìm giá trị của a để ( 2 3 4
x − x + x + x + a) ( 2 21 9 x − x − 2)
Bài 10: Tìm a nguyên để 3 2
a − 2a + 7a − 7 chia hết cho 2 a + 3
Bài 11: Tìm giá trị nguyên của x để A B biết 2
A = 10x − 7x − 5 và B = 2x − 3. Bài 12:
a) Tìm a,b sao cho 3 2
f (x) = ax + bx +10x − 4 chia hết cho đa thức 2
g(x) = x + x − 2
b) Tìm số nguyên a sao cho 4
a + 4 là số nguyên tố
Bài 13: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho: 3
4n + n + 3 chia hết cho 2 2n + n +1
Bài 14: Cho đa thức h(x) bậc 4, hệ số của bạ cao nhất là 1, biết h( ) 1 = 2; h(2) = 5 ; h(4) =17;h( 3
− ) =10. Tìm đa thức h( x)
Bài 15: Cho đa thức 2
A = ax + bx + c . Xác định hệ số b biết rằng khi chia A cho x −1, chia A
cho x +1đều có cùng một số dư
Bài 16: Với giá trị nào của a và b thì đa thức ( x − a)( x −10) +1 phân tích thành tích của một đa
thức bậc nhất có hệ số nguyên 2 4x −16 A
Bài 17: Tìm đa thức A, biết rằng = 2 x + 2x x
Bài 18: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2
n + 2 là ước số của 6 n + 206. Bài 19:
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ( − )2 3 2 x x 7 − 36x
b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh : = ( − )2 3 2 A n n
7 − 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n 1 2
5 − x 1− 2x
Bài 20: Cho biểu thức: A = + − : 2 2
1− x 1+ x 1− x x −1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
c) Tìm x để A = A Trang 17 3 2 x x x
Bài 21: Đa thức P ( x) =1985. +1979
+ 5. có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên. 3 2 6 3 2 a a a
Bài 22: Cho biểu thức E = + +
với a là một số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ E có giá 24 8 12 trị nguyên. B.Lời giải
Bài 1:a)Xác định số hữu tỉ k để đa thức 3 3 3
A = x + y + z + kxyz chia hết cho đa thức x + y + z
b) Tìm đa thức bậc ba P ( x) , biết rằng khi chia P ( x) cho ( x − )
1 , cho ( x − 2) , cho ( x − 3)
đều dư 6 và P (− ) 1 = 18 − Lời giải
a) Gọi thương của phép chia 3 3 3
A = x + y + z + kxyz cho đa thức x + y + z là Q , ta có : 3 3 3
x + y + z + kxyz = ( x + y + z)Q .
Đẳng thức trên đúng với mọi x, y, z nên với x = 1, y = 1, z = −2 ta có: + + (− )3 3 3 1 1 2 + k ( 2
− ) = (1+1− 2)Q 6
− − 2k = 0 k = −3 Vậy, 3 3 3
A = x + y + z + kxyz chia hết cho đa thức x + y + z thì k = −3 .
b) Từ đề bài suy ra P ( x) − 6 chia hết cho ( x − )
1 , cho ( x − 2) , cho ( x − 3)
Do đó, P ( x) − 6 chia hết cho ( x − )
1 ( x − 2) ( x − 3) .
Đặt P ( x) − 6 = . m ( x − )
1 ( x − 2)( x − 3) với m Q . ( vì P ( x) có bậc là ba )
Suy ra P ( x) = 6 + . m ( x − )
1 ( x − 2)( x − 3) với m Q .
Theo giả thiết P (− ) 1 = 18 − , do đó 18 − = 6 + ( 2 − )( 3 − )( 4 − )m m =1
Vậy, P ( x) = 6 + ( x − )
1 ( x − 2)( x − 3)
Bài 2:Tìm tất cả các số tự nhiên k để đa thức f (k ) 3 2
= k + 2k +15 chia hết cho g (k ) = k + 3 Lời giải ĐKXĐ: k −3
Áp dụng định lí Bézout:
Số dư của f ( x) chia cho g ( x) là f ( 3 − ) = 27 − +18 +15 = 6
Để f ( x) chia hết cho g ( x) thì 6 k + 3 , suy ra k 0; 3
Bài 3:Xác định các số hữu tỉ a và b sao cho: a) 4 x + 4 chia hết cho 2
x + ax + b ; b) 4 3
ax + bx +1 chia hết cho ( x − )2 1 . Lời giải Trang 18 a) 4 x + 4 chia hết cho 2
x + ax + b ; Ta có: 4 4 2 2
x + = x + x + − x = ( 2 x + x + )( 2 4 4 4 4 2 2 x − 2x + 2) Do đó, để 4 x + 4 chia hết cho 2
x + ax + b thì a = 2,b = 2 . b) 4 3
ax + bx +1 chia hết cho ( x − )2 1 . Ta có 4 3
ax + bx +1 chia hết cho ( x − )2
1 được thương có dạng ( 2 ax + cx + ) 1 Ta viết: 4 3 ax + bx + = ( 2 x − x + )( 2 1 2 1 ax + cx + ) 1 với mọi x Tính ( 2 x − x + )( 2 ax + cx + ) 4 3 2 3 2 2 2 1
1 = ax + cx + x − 2ax − 2cx − 2x + ax + cx +1 4
= ax + (c − a) 3
x + ( − c + a) 2 2 1 2
x + (−2 + c) x +1 Khi đó, 4 3 4
ax + bx + = ax + (c − a) 3
x + ( − c + a) 2 1 2 1 2 x + ( 2
− + c) x +1 với mọi x b = c − 2a a = 3
Đồng nhất thức hai vế, ta được 1
− 2c + a = 0 b = 4 − 2 c 0 − + = c = 2
Vậy, a = 3,b = −4 .
Bài 4:Xác định các hệ số hữu tỉ a và b sao cho ( ) 4 2
f x = x + ax + b chia hết cho g ( x) 2 = x − x +1 . Lời giải Phép chia hết của ( ) 4 2
f x = x + ax + b cho g ( x) 2
= x − x +1 có đa thức thương dạng ( ) 2
h x = x + cx + b . Ta viết 4 2
x + ax + b = ( 2 x − x + )( 2
1 x + cx + b) với mọi x Ta có: ( 2 x − x + )( 2
1 x + cx + b) 4 3 2 3 2 2
= x + c x + bx − x − cx − bx + x + cx + b 4 = x + (c − ) 3
x + (b − c + ) 2 1 1 x + ( b
− + c) x + b Suy ra 4 2 4
x + ax + b = x + (c − ) 3
x + (b − c + ) 2 1 1 x + ( b
− + c) x + b với mọi x
Đồng nhất thức hai vế, ta được: c −1 = 0, b − c +1 = a, − b + c = 0
Suy ra a = b = c = 1
Vậy, a = b = 1
Bài 5: Tìm các số nguyên a và b để đa thức 4 3 (
A x) = x − 3x + ax + b chia hết cho đa thức 2
B(x) = x − 3x + 4 Lời giải Ta có: Trang 19 A x = B x ( 2 ( ) ( ). x − )
1 + (a − 3) x + b + 4 a − 3 = 0 a = 3 Để (
A x) B(x) thì b + 4 = 0 b = −4
Bài 6: Tìm a,b sao cho 3 2
f (x) = ax + bx +10x − 4 chia hết cho đa thức 2
g(x) = x + x − 2 Lời giải Ta có: 2
g(x) = x + x − 2 = ( x − ) 1 ( x + 2) Vì 3 2
f (x) = ax + bx +10x − 4 chia hết cho đa thức g ( x) 2 = x + x − 2
Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f (x) = g(x).q(x) 3 2
ax + bx +10x − 4 = (x + 2).(x − ) 1 q(x)
Với x = 1 a + b + 6 = 0 b = −a − 6 ( ) 1 Với x = 2
− 2a − b + 6 = 0(2) Thay ( )
1 vào (2)ta có: a = −4và b = −2
Bài 7: Tìm giá trị nguyên của x để đa thức 3 2
f (x) = x − 3x − 3x −1chia hết cho 2
g(x) = x + x +1 Lời giải Thực hiện phép chia 3 2
x − 3x − 3x −1 cho 2 x + x +1
Ta được thương là x − 4, dư là 3
Để f ( x) g ( x) thì 2 3 x + x +1 mà 2
x + x +1 0 nên 2 x + x +1 =1
x = −1; x = 0 2 x + x +1 = 3 x =1; x = 2 − Vậy x 0; 1 − ;1;−
2 thì f ( x) g(x) Bài 8: Cho đa thức 3 2
f (x) = x − 3x + 3x − 4.Với giá trị nguyên nào của x thì giá trị của đa
thức f (x) chia hết cho giá trị của đa thức 2 x + 2 Lời giải Chia f (x) cho 2
x + 2 được thương là x − 3 dư x + 2
Để f (x) chia hết cho 2
x + 2 thì x + 2 chia hết cho 2 x + 2
(x + 2)(x − 2)chia hết cho 2 x + 2 2
x − 4 chia hết cho 2 x + 2 Trang 20