Đại số tuyến tính Notes (chương 1) - Vi tích phân 1 | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh
Định nghĩa 1. Một ma trận A cấp m × n trên R là một bảng chữ nhật gồm m × n số thực được viết thành m dòng, mỗi dòng gồm n phần tử . Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem !
Môn: Vi tích phân 1 (MTH00005)
Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Môn:
Trường:
Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
lOMoARcPSD|46342985 lOMoARcPSD|46342985 Đại Số Tuyến Tính
Written by: Trần Ngọc Bảo Mục lục 1 Khái niệm ma trận 2
1.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Đường chéo của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Ma trận tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Các phép toán trên ma trận 3
2.1 Một số phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Đa thức ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Hạng của ma trận 5 lOMoARcPSD|46342985
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM 1 Khái niệm ma trận 1.1 Ma trận
Định nghĩa 1. Một ma trận A cấp m × n trên R là một bảng chữ nhật gồm m × n số thực được viết thành m
dòng, mỗi dòng gồm n phần tử như sau: a a21 22 · · · a2n a a a 11 12 · · · 1n .. .. . .. .. Am,n = .. . am1 am2 · · · amn
Trong đó aij ∈ R là phần tử ở dòng i cột j (còn gọi là vị trí (i, j) của A).
Tập hợp tất cả các ma trận cấp m × n trên R được ký hiệu là Mm×n(R).
Nếu A ∈ Mm×n(R) thì A được gọi là ma trận vuông cấp n.
Ma trận có tất cả các phần tử đều bằng không được gọi là ma trận không và ký hiệu là 0. Ví dụ 1. Xét ma trận A = 1 2 3 . 4 5 6
a) A là ma trận cấp 2 × 3. b) Các dòng của A là 1 2 3 và 456. c) Các cột của A là 1 ; 2 ; 3 . 4 5 6
1.2 Đường chéo của ma trận
Định nghĩa 2. Cho A = (aij ) ∈ Mn(R). Khi đó, đường chứa các phần tử a11,... , ann
được gọi là đường chéo chính hay đường chéo của A. Ma trận A được gọi là ma
trận chéo nếu mọi phần tử bên ngoài đường chéo của A đều bằng 0.
• Ký hiệu diag(a1, ..., an) thường được dùng để đại diện cho ma trận đường chéo cấp
n có các phần tử trên đường chéo lần lượt là a1, ..., an.
Định nghĩa 3. Ma trận đường chéo cấp n có tất các các phần tử trên đường chéo
đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị và được ký hiệu là In. 1 0 Ví dụ 2. Ma trận C =
là ma trận chéo với các phần tử trên đường chéo là 1 và 2. 0 2
Ma trận C còn được viết ngắn gọn là C = diag(1, 2). 0 1 1 0 0
Ma trận đơn vị cấp 2 là I2 =
1 0 , ma trận đơn vị cấp 3 là I3 = 0 0 1 0 1 0 . lOMoARcPSD|46342985
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM 1.3 Ma trận tam giác
Định nghĩa 4. Cho A = (aij ) ∈ Mn(R). Ma trận A được gọi là ma trận tam giác trên
(dưới) nếu mọi phần tử bên dưới (trên) đường chéo của A bằng 0. Các ma trận tam
giác trên và dưới được gọi chung là ma trận tam giác. 1 2 4 4 0 0 A1 = 0 0 1 0 5 7
là ma trận tam giác trên, A2 = 1 2 8 6 7 0
là ma trận tam giác dưới, 1 2 5 A3 = 0 0 0
không phải là ma trận tam giác trên cũng không phải ma trận tam giác dưới. 1 0 8 2
Các phép toán trên ma trận 2.1 Một số phép toán
Định nghĩa 5. Chuyển vị của ma trận
Ma trận chuyển vị của A ∈ Mm×n(R), ký hiệu AT , là ma trận cấp n × m, được xác
định như sau: Phần tử ở vị trí (i, j) của AT được định nghĩa là phần tử ở vị trí (j, i)
của A. Nói cách khác, cột (dòng) thứ i của AT chính là dòng (cột) thứ i của A.
Định nghĩa 6. Nhân ma trận với một số
Cho A ∈ Mm×n(R) và số thực α. Tích của α với A, ký hiệu αA là ma trận cấp m × n,
được xác định như sau: Phần tử tại vị trí (i, j) của αA được định nghĩa là tích của α
với phần tử tại ví trí (i, j) của A. Nói cách khác, nếu ta nhân α vào từng vị trí của ma
trận A ta sẽ thu được ma trận αA.
Ta ký hiệu (−1)A với −A và gọi đó là ma trận đối của A. 1 2 5 7 2 6 6 1 0 1 1 6 8 9 Ví dụ 3. Ma trận A = 0 6 0 3
có ma trận chuyển vị AT = 5 0 8 . 7 3 9
Ma trận đối của A là −A = −0 −6 −0 −3 . −1 −2 −5 −7 −1 −6 −8 −9
Định nghĩa 7. Ma trận A ∈ Mn(R) được gọi là ma trận đối xứng nếu A = AT và được
gọi là ma trận phản xứng nếu A = −AT . lOMoARcPSD|46342985
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM 1 2 Ví dụ 4. Ma trận A1 =
được gọi là ma trận đối xứng. 2 9 0 3 Ma trận A2 =
được gọi là ma trận phản xứng. −3 0
Định nghĩa 8. Tổng của hai ma trận A, B ∈ Mm×n(R), ký hiệu A + B, là ma trận cấp
m × n, được xác định như sau: Phần tử tại vị trí (i, j) của A + B được định nghĩa là
tổng của phần tử tại vị trí (i, j) của A với phần tử tại vị trí (i, j) của B. Nói cách khác,
nếu ta cộng các phần tử ở cùng vị trí của A và B với nhau ta sẽ thu được ma trận A
+ B. Ta ký hiệu A + (−B) với A − B và đọc là A trừ B.
Hiểu đơn giản, để cộng (trừ) hai ma trận ta lấy aij ± bij .
" Lưu ý: Không thể thực hiện phép cộng (trừ) hai ma trận không cùng cấp. .
Định nghĩa 9. Tích vô hướng của vectơ dòng (a n
1 · · · an) và vectơ cột b b..1 được định b..1 nghĩa như sau: (a1 · · · an) = a1b1 + · · · + anbn. . bn 2 Ví dụ 5. (1 3 4)
4 = 1 · 2 + 3 · 4 + 4 · 5 = 34. 5
Định nghĩa 10. Cho hai ma trận A = (aij ) ∈ Mm×n(R), B = (bij ) ∈ Mn×p(R. Tích của hai
ma trận A và B, ký hiệu AB, là ma trận cấp m × p, được xác định như sau: Phần tử
ở vị trí (i, j) của AB được định nghĩa là tích vô hướng của vectơ dòng i của A và vectơ cột j của B.
" Lưu ý: Tích của hai ma trận có số cột và số hàng không thỏa mãn không tồn tại. 0 0 4 5 1 2 3 26 19 25 5 Ví dụ 6. 4 5 6 và A2 = 8 5 7 0 . Khi đó A1A2 = 53 40 98 70 Xét A 1 = 1 2 0 0 .
• Tích hai ma trận không có tính giao hoán AB ≠ BA.
• Từ đẳng thức AB = 0 ta không thể kết luận được A = 0 hay B = 0. Chẳng hạn 0 1 2 0 = 0 0 . 0 0 0 0 0 0 lOMoARcPSD|46342985
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM
Định nghĩa 11. Cho A ∈ Mn(R). Lũy thừa bậc k ∈ N của A, ký hiệu bởi Ak, là một
ma trận vuông cấp n được xác định một cách quy nạp theo k như sau:
A0 = In; A1 = A; A2 = A · A; · · · ; Ak = Ak−1 · A.
" Lưu ý: Các ma trận lũy thừa bậc lớn khi tính toán cần sử dụng đến các công thức đặc
biệt được chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Một kỹ thuật khác được sử dụng để tính ma trận lũy thừa đó là kỹ thuật chéo hóa ma trận.
Kỹ thuật chéo hóa ma trận: phân tích ma trận bậc cao thành những ma trận khác được tính một cách dễ dàng. 2.2 Đa thức ma trận
Định nghĩa 12. Cho A ∈ Mn(R) va đa thức
f (x) = αmxm + · · · + α1x + α0, αi ∈ R.
Đặt f (A) = αmAm + · · · + α1A + α0In. Khi đó f (A) là ma trận vuông cấp n và được gọi
la đa thức theo ma trận A.
" Lưu ý: Chỉ áp dụng đối với ma trận vuông. 3 Hạng của ma trận