Dạng Toán Bất Phương Trình Ôn Thi HSG Đại Số 8 Có Lời Giải Chi Tiết

DẠNG 9: BẤT PHƯƠNG TRÌNH A. Bài toán
Bài 1: Giải bất phương trình: ( x − )( x + )  ( x + )2 3 3 2 + 3 2 1
Bài 2: Tìm x biết : x −  3 3 ax −1 1
Bài 3: Giải bất phương trình: (a + ) 1 x +  (a  0) a a
Bài 4: Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; x y)thỏa mãn: 2
10x + 50y + 42xy +14x − 6y + 57  0
Bài 5: Trong một cuộc thi “Đố vui để học”, mỗi học sinh tham gia thi phải trả lời 10 câu hỏi. Mỗi
câu trả lời đúng thì được cộng 5 điểm; ngược lại, mỗi câu trả lời sai thì bị trừ 2 điểm. Qua cuộc thi,
những học sinh đạt từ 30 điểm trở lên thì được thưởng. Hỏi: Mỗi học sinh được thưởng thì phải trả
lời đúng ít nhất bao nhiêu câu hỏi? 1 1 1 1
Bài 6: Giải bất phương trình: + + +  0 2 2 2 2
x − 5x + 6 x − 7x +12 x − 9x + 20 x −11x + 30 1
Bài 7: Giải bất phương trình: x +  2 x
Bài 8: Giải bất phương trình : ( x − )( x + )  ( x + )2 3 3 2 + 3
x −1 2x + 3 x
Bài 9: Giải bất phương trình sau: x −1−  + −1 3 2 3
Bài 10: Giải BPT Sau x −1 x +1 x +  − (m − 2) x m m
(với m là tham số , m  0)
Bài 11: Tìm số nguyên x thỏa mãn cả hai bất phương trình 3x − 2 x − −  + 2x 5 3 x 0,8 và 1−  5 2 6 4
Bài 12: Trong một cuộc thi “Đố vui để học”, mỗi học sinh tham gia thi phải trả lời 10 câu
hỏi. Mỗi câu trả lời đúng thì được cộng 5 điểm; ngược lại, mỗi câu trả lời sai thì bị trừ 2
điểm. Qua cuộc thi, những học sinh đạt từ 30 điểm trở lên thì được thưởng. Hỏi: Mỗi học
sinh được thưởng thì phải trả lời đúng ít nhất bao nhiêu câu hỏi
Bài 13: Tìm x biết : a) 2 1 x −  3 3 Trang 1 Bài 14: 1
Giải bất phương trình: x +  2 x
x −1 2x + 3 x
Bài 15: Giải bất phương trình sau: x −1−  + −1 3 2 3 x −1
Bài 16: Với giá trị nào của x thì  0 x +1
B. Lời giải bài minh họa.
Bài 1: Giải bất phương trình: ( x − )( x + )  ( x + )2 3 3 2 + 3 Lời giải
(x − )(x + )  (x + )2 3 3 2 + 3 2 2
 x − 9  x + 4x + 7 2 2
 x − x − 4x  7 + 9  x  −4
Vậy nghiệm của phương trình là x  −4 2 1
Bài 2: Tìm x biết : x −  3 3 Lời giải 2 1 1 − 2 1 1 x −  
 x −    x 1 3 3 3 3 3 3 ax −1 1 Bài 3: (a + ) 1 x +  (a  0) (III ) a a Lời giải 2
Với a  0 ta có (III )  (a + 2) x  ( ) * a ( ) 2 *  x 
nếu a  −2 và a  0 a(a + 2) ( ) 2 *  0x 
đúng với mọi x nếu a = −2 2 − ( ) 2 *  x  nếu a  −2 a(a + 2)
Bài 4: Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; x y)thỏa mãn: Trang 2 2
10x + 50y + 42xy +14x − 6y + 57  0 Lời giải Ta có: 2 2
10x + 50 y + 42xy +14x − 6y + 57  0  ( 2 2
9x + 42xy + 49 y ) + ( 2
x +14x + 49) + ( 2
y − 6y + 9) −1 0
 (3x + 7y)2 + (x + 7)2 + ( y − 3)2 −1 0
 (3x + 7y)2 + (x + 7)2 + ( y − 3)2 1 (
 3x + 7y)2  0  2 2 2 2 Vì (
 x + 7)  0 và x, y  nên (3x + 7y) + ( x + 7) + ( y − 3) = 0 (   y − 3)2  0   (  = −
x + y)2 = ( x + )2 = ( y − )2 x 7 3 7 7 3 = 0    y = 3
Bài 5: Trong một cuộc thi “Đố vui để học”, mỗi học sinh tham gia thi phải trả lời 10 câu hỏi. Mỗi
câu trả lời đúng thì được cộng 5 điểm; ngược lại, mỗi câu trả lời sai thì bị trừ 2 điểm. Qua cuộc thi,
những học sinh đạt từ 30 điểm trở lên thì được thưởng. Hỏi: Mỗi học sinh được thưởng thì phải trả
lời đúng ít nhất bao nhiêu câu hỏi? Lời giải
Gọi x là số câu trả lời đúng ( x nguyên và 0  x  10)
Số câu trả lời sai là :10 − x
Số điểm được cộng là 5x
Số điểm bị trừ là 2.(10 − x)
Nếu được thưởng thì phải đạt từ 30 điểm trở lên. Nên ta có: 5x − 2(10 − x)  30
Giải bất phương trình trên ta được: x  8(tm)
Vậy để được thưởng học sinh phải trả lời đúng ít nhất 8 câu hỏi. 1 1 1 1
Bài 6: Giải bất phương trình: + + +  0 2 2 2 2
x − 5x + 6 x − 7x +12 x − 9x + 20 x −11x + 30 Lời giải Trang 3 1 1 1 1 + + +  0 2 2 2 2
x − 5x + 6 x − 7x +12 x − 9x + 20 x −11x + 30 1 1 1 1  ( + + +  x 
x − 2)( x − 3) ( x − 3)( x − 4) ( x − 4)( x − 5) ( x − 5)( x − 6) 0( 1;2;3;4;5;6) 1 1 1 1 1 1 1 1  − + − + − + −  0
x − 2 x − 3 x − 3 x − 4 x − 4 x − 5 x − 5 x − 6 1 1 4 −  −  0    − −  x − x −
(x − )(x − ) 0 (x 2)(x 6) 0 2 6 2 6 x − 2  0  x − 6  0 2  x  6     x − 2  0 x   x − 6  0
Kết hợp với điều kiện ta có 2  x  6 và x  3;4;5 1
Bài 7: Giải bất phương trình: x +  2 x Lời giải 2 1 x +1 x +  2 
 2, DK : x  0 x x
x  0; x +1  2x  ( x − )2 2 1  0(ktm)
x  0 : x +1  2x  ( x − )2 2 1 (dung x   0) Vậy x  0
Bài 8: Giải bất phương trình : ( x − )( x + )  ( x + )2 3 3 2 + 3 Lời giải
(x − )(x + )  (x + )2 3 3 2 + 3 2 2
 x − 9  x + 4x + 7 2 2
 x − x − 4x  7 + 9  −4x  16  x  −4
Vậy nghiệm của phương trình là x  −4
x −1 2x + 3 x
Bài 9: Giải bất phương trình sau: x −1−  + −1 3 2 3 Lời giải
x −1 2x + 3 x 7 x −1− 
+ −1  6x − 6 − 2x + 2  6x + 9 + 2x − 6  4x  7 −  x  − 3 2 3 4  7 − 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : S = x / x    4 
Bài 10: Giải BPT Sau Trang 4 x −1 x +1 x +  − (m − 2) x m m
(với m là tham số , m  0) Lời giải x −1 x +1 2 a) x + 
− (m − 2) x  (m − ) 1 x  (2a) m m m 2
+) Nếu m  1và m  0 thì m −1  0.  (2a)  x  m(m − ) 1
+)Nếu m  1thì m −  ( a) 2 1 0. 2  x  m(m −1)
+)Nếu m = 1thì m −1 = 0.  (2a)  0x  2(luon dung ) Kết luận:  2 
+Với m  1và m  0 thì tập nghiệm BPT là S = x  / x    m(m −1) 
+Với m = 1thì tập nghiệm của BPT là S =  2 
+Với m  1thì tập nghiệm của BPT là: S = x  / x    m(m −1) 
Bài 11: Tìm số nguyên x thỏa mãn cả hai bất phương trình 3x − 2 x − −  + 2x 5 3 x 0,8 và 1−  5 2 6 4 Lời giải x − x
a) Giải bất phương trình ( ) 3 2 1 :  + 0,8 5 2 3x − 2 x 8  −  5 2 10 x − 4 8  
 x −12  0  x 12 10 10 2x − 5 3 − x
b) Giải bất phương trình (2): 1−  6 4 3 − x 2x − 5  1  + 4 6 x −1 x −13  1    0  x 13 12 12
Vì x là nghiệm chung của hai bất phương trình ( ) 1 ,(2)  x =12
Bài 12: Trong một cuộc thi “Đố vui để học”, mỗi học sinh tham gia thi phải trả lời 10 câu
hỏi. Mỗi câu trả lời đúng thì được cộng 5 điểm; ngược lại, mỗi câu trả lời sai thì bị trừ 2 Trang 5
điểm. Qua cuộc thi, những học sinh đạt từ 30 điểm trở lên thì được thưởng. Hỏi: Mỗi học
sinh được thưởng thì phải trả lời đúng ít nhất bao nhiêu câu hỏi Lời giải
Gọi x là số câu trả lời đúng ( x nguyên và 0  x  10)
Số câu trả lời sai là : 10 − x
Số điểm được cộng là 5x
Số điểm bị trừ là 2.(10 − x)
Nếu được thưởng thì phải đạt từ 30 điểm trở lên. Nên ta có: 5x − 2 (10 − x)  30
Giải bất phương trình trên ta được: x  8(tm)
Vậy để được thưởng học sinh phải trả lời đúng ít nhất 8 câu hỏi. Bài 13: 2 1 Tìm x biết : x −  3 3 Lời giải 2 1 1 − 2 1 1 a) x −  
 x −    x  1 3 3 3 3 3 3 Bài 14: 1
Giải bất phương trình: x +  2 x Lời giải 2 1 x + 1 x +  2   2,DK : x  0 x x
x  0; x + 1  2x  (x − 1)2 2  0(ktm)
x  0 : x + 1  2x  (x − 1)2 2 (dung x   0) Vậy x  0
x −1 2x + 3 x
Bài 15: Giải bất phương trình sau: x −1−  + −1 3 2 3 Lời giải x −1 2x + 3 x x −1− 
+ −1  6x − 6 − 2x + 2  6x + 9 + 2x − 6 3 2 3 7 −  4x  7 −  x  4  7 − 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = x / x    4  Trang 6 x −1
Bài 16: Với giá trị nào của x thì  0 x +1 Lời giải x −1 0 x 1     x 1 x −1 x +1  0 x  1 − +  0  x +1
x −1 0 x 1     x  −1 x +1 0 x  1 −
Vậy x  1hoặc x  −1 Trang 7