Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Thái Bình

L I GI THI H C SINH GI – 2025 Câu 1. 1) Ta có 2 3 x    3       3 29 12 5 16 8 5 3 2 5
1 5  32 5 1 5  4  5
Suy ra x  4  5 hay 2
x  8x  16  5 suy ra 2
x  8x  11  0 . 2 x x x x x
 2x 8x   11  2. 2 4 3 2 x  8x   11      9 8 13 16 31 9 Ta có P   3 2 x 9x 19x 9 x. 2 x 8x  11  2x 8x           11  2 2 9 V y P  . 2 2) G i s ph t c a ngân hàng t i th
m bác An g i ti n là x (x  0) . S ti n lãi trong m 500x (tri ng). Ta có b
500  500x  530 hay x  0, 06 hay x  6%
V y lãi su t ngân hàng t i th m bác An g i ti n ít nh c s ti n mong mu n. Câu 2. 1) G m c
ng th ng (d) : y  2x  2m  1 v i tr c Ox, Oy l t là 2m 1   A
; 0, B(0;2m  1)  .  2  2m  1 Suy ra OA 
, OB  2m  1 2 G nh O, , A B .
Vì OAB là tam giác vuông t i O m AB. AB
Suy ra R  IA  IB  IO 
 5 5 , suy ra AB  10 5 . 2
Vì OAB là tam giác vuông t nh lý Pythagoras, ta có 2  2  2 OA OB AB 2 2m  1 2
 2m  1  500 2 5 2m  2 1  500 4  m  2 2 1  400
(2m  21)(2m  19)  0 21 1  9 m  ho c m  2 2 21 19  V y m   ;  .  2 2  8
2) Chia hình vuông thành 81 ô vuông có c nh cm, 3
m vào 81 ô vuông thì luôn t n t i m t ô ch a ít   2026 4 2 nh t      26 m. ng tròn ngo i ti p m  2  81  3
ng tròn bán kính 2cm có tâm là tâm hình vuông ch
m trên ch a toàn b ô vuông và ch u ph i ch ng minh. Câu 3. 1) 4 x  3 x  2 x  x   x  2 6 4 66 72 20 (
1)(x  2x  5) 2x  5 5 u ki nh: x  . 2 t l i thành 2 x  x  2 x  x   x  2 ( 2 5)(6 16 4) (
1)(x  2x  5) 2x  5 2  2 
(x  2x  5) (6x  16x  4)  (x  1) 2x  5    0   2
x  2x  5  0 ho c  2
6x  16x  4 (x  1) 2x  5  0 + TH1: 2
x  2x  5  0 hay x  2 ( 1)  6  0
hay x  1  6x  1 6  0
hay x  1  6 (không th
c x  6  1 (th a mãn) + TH2: 2
(6x  16x  4)  (x  1) 2x  5  0 hay 2
6x  16x  4  (x  1) 2x  5 (1) Cách 1: c 4 x  3 x  2 x  x   3 x  2 36 192 208 128 16 2 x  8x  5 4 x  3 x  2 36 194
207x  136x  11  0
 2x  x   2 9 26
11 4x  10x   1  0 13  2 67 + N u 2
9x  26x  11  0 thì x  (th 9 5  29 + N u 2
4x  10x  1  0 thì x  (th 4 13  2 67 5  29 Th l i ta th y x  và x  th a mãn. 9 4 13  2 67 5  29 V m x  và x  và x  6  1. 9 4 Cách 2:
t a  x  1, b  2x  5 (b  0) thành 2 a  2 2.(3
b )  ab hay 2 a  ab  2 6
2b  0 hay (3a  2b)(2a  b)  0 x    1 x    1
+ 3a  2b , t c là 3x  3  2 2x  5 hay  hay 2  2
 9x  18x  9  8x  20  9
 x  26x  11  0  13  2 67 Suy ra x  (th a mãn) 9 x    1 x    1 + b  2
 a , t c là 1  x  2x  5 hay  hay 2  2
4x  8x  4  2x  5 
 4x  10x  1  0  5  29 Suy ra x  (th a mãn). 4 13  2 67 5  29 V m x  và x  và x  6  1. 9 4  3 3 8x y  3 6xy  2 5y    1 2)  3 6xy  2 2y  1   Xét y  0 , h m.
Xét y  0 , chia c hai v c a h cho 3 y c  5 1 3  8x  6x     3 y y  (I) 2 1 6x    3  y y 1 3 3 u  
 3u  5v  v  t 2x  u,
 v v  0, h thành y  3 3
 u  2v  v   3
u  3u  5v  2v  3  3u u  7v   6u (1) Suy ra  hay 3u   2v  3 v 3 v 3u 2v (2)       L y (1)  (2) c 3 3 u  v  9
 (u  v) hay 2 2
(u  v)(u  uv  v  9)  0  2 2 v 3v Vì 2 2  
u  uv  v  9  u     9   
0 nên u  v .  2   4 1 Tr l i bi 2x  c y x  x  3 6 4 8x hay 3 8x  2x  0 hay 2
2x(4x  1)  0 1 1
hay x  0 ho c x  ho c x   2 2
V i x  0 thì không có giá tr y th a mãn. 1 V i x 
thì y  1 (th a mãn) 2 1
V i x   thì y  1 (th a mãn) 2       1 1  V y h
m x;y        ;  1 ;   ;    1  . 2        2       Câu 4. 1 1 T gi thi
bài suy ra 1  a  b  c  a  a  2a hay 0  a  0  , b c  . 2 2 4 4 4 a b c 1 Ta có M        a  b b  c c  a 2bc 2ca 2ab 2abc 2 2 4 4 4 a b  2 2   c a b c       1  c 1  a 1 b 2abc 2abc 4 4 4
ab  bc  ca     1  c 1 a 1 b abc         4 4 4 1 1 1 4 1 4 1 4 1                               1  c 1  a 1 b a b c      1 a a     1 b b     1 c c  4 1 Ta ch ng minh   18a  3 (1) 1 a a 5a  1 hay  3  18a  6 a.(1  a) 2 3a  2a  1 hay  6(3a  1) a(1 a)
(3a  1)(a  1) hay  6.(3a  1)  0 a.(1  a)  a 1   hay (3a  1)   6  0  a.(1 a)     2 6a  5a  1 hay (3a  1).  0 a(1  a) 2
(3a  1) (2a  1) 1 hay  0 0  a  ) a.(1  a) 2 4 1 4 1 , ta có
  18b  3 (2) và   18c  3 (3) 1 b b 1 c c
T (1), (2), (3) suy ra M  18a  3  18b  3  18c  3  18a b  c  9  9 1
D u "  " x y ra khi a  b  c  . 3 1 V y M
 9 khi a  b  c  . max 3 Câu 5.  
1) Vì KM  CF và AB  CF nên KM  AB ,t
ng t ta có KN  BH suy ra ABH  NKM L i có M là trung m HC, N là trung m AC nên NM là ng trung bình c a △AHC  
suy ra NM  AH , mà KM  AB nên BAH  NMK   A  BH  NKM Xét A  BH và M
 KN , ta có:   B  AH  NMK  Suy ra A  BH M N K (g – g)
G i G’ là giao i m c a KB và HN. G 'N NK MN 1
Vì KN  BH , theo nh lý Thales ta có    G 'H BH AH 2
Suy ra G’ là tr ng tâm △AHC.
m c a AM và HN nên G là tr ng tâm △AHC.
Suy ra G  G ' , ta có GA  2GM, GB  2GK,GH  2GN . 3 3 3 3 3 3
GA  GB  GH
8GM  8GK  8GN Ta có   8 3 3 3 3 3 3
GM  GK  GN
GM  GK  GN
2) Ta có a  BC  BD  DC  . b cosB  . c cosC b c Suy ra 1 
. cosC  . cos B a a b a
1  . cos A  . cos B c c a c 1 
. cosC  .cos A b b 29  b c  b a 9  a c  Suy ra  4.
. cosC  .cos B  .cos A  .cos B  .
.cosC  .cos A 4  a a  c c 4  b b       b 9c   4c a   4b 9a    .cos A   .cos B   .cosC  c 4b   a c   a 4b       
 3.cos A  4.cosB  6.cosC  b 9c   c 4b 2 2   4b  9c  4c a  D u "  " x y ra khi 2 2   hay 4c   a (không x y ra). a c  2 2 16  b  9a 4b 9a    a 4b  29
3. cos A  4. cos B  6.cosC  . 4 Câu 6. 1) Ta có 2
2AH  2.AH .PH  2.AH .(AH  PH )  2.AH .AP
Áp d ng h th c c nh và góc vào tam giác AHQ vuông t i H có AQ
AH  AQ.cos A  AQ. cos 60 
hay 2.AH  AQ 2 Suy ra 2
2.AH  2.AH .PH  2.AH .AP  AP.AQ 2 2  AQ  AQ Ta có 2 2 2
PH  (AP  AH )  AP 
 AP  AP.AQ   2  4   3 2 3.AQ
QH  AQ.sin A  AQ.sin 60  AQ. suy ra 2 QH  2 4 L i có 2 2 2 2 2
PQ  PH  HQ  AP  AP.AQ  AQ Suy ra 2 2 2
PQ  AP.AQ  AP  AQ 2
PQ  AP.AQ  1 i). 2 2 AP  AQ
2) Ta có BP  AB  AP , CQ  AC  AQ  AB  AQ
L i có AP  AQ  CQ  AP  AQ  AB  AQ  AB  AP  2.AQ
BP  CQ  2.AB  AP  AQ
ng tròn n i ti p và D, E, F là ti m c a (O) v i BC, CA, AB nên D, E, F l m c a BC, CA, AB. Ta có
PQ  PM  MQ  PF  QE  AF  AP  AE  AQ  2.AF  AP  AQ  AB  AP  AQ M t khác, 2 2 2
PQ  AP  AP.AQ  AQ 2 2 2
(AB  AP  AQ)  AP  AP.AQ  AQ 2 2 2 2 2
AB  AP  AQ  2.AB.AP  2.AB.AQ  2.AP.AQ  AP  AP.AQ  AQ 2 2
AP.(2.AB  AP  AQ)  AB  AP  2.AP.AQ  2.AB.AQ
AP.(BP  CQ)  (AB  AP).(AB  AP  2.AQ)
AP.(BP  CQ)  (AB  AP).(AP  AQ  CQ)
AP.(BP  CQ)  BP.(AP  AQ  CQ) AP
AP  AQ  CQ  u ph i ch ng minh). BP BP  CQ Câu 7. Vì 2 2
(xy  y  7)|(x y  x  y) nên 2 2 2 2
(xy  y  7)|(x y  xy  y ) (1) M t khác 2 2 2 2 2
x y  xy  y  x(xy  y  7)  y  7x (2) T (1) và (2) suy ra 2 2
(xy  y  7)|(y  7x) Mà x,y    nên 2 2
(xy  y  7) (y  7x) 2 y  7x  0 TH1: 2 y  7x  0 t 2
x  7k (k  *) thì y  7k 2 4 x 
 y  y  7  343k  7k  7  suy ra 2 2
x y  x  y  k.(xy  x  y) (th a mãn). 2 5 2 x
 y  x  y  343k  7k  7k  TH2: 2 y  7x  0 Suy ra 2 2
(xy  y  7)|(7x  y ) suy ra 2 2 2
7x  7x  y  xy  y  7  xy Suy ra 2 y  7 mà y 
  nên y  {1;2} 2 x 
 y  y  7  x  8 + V i y  1 thì 2 
(x  8)|(x  x  1)  x(x  8)  7(x  8)  57 2 2
x y  x  y  x  x  1 
Suy ra (x  8)|57 nên x  8  (57) mà x  8  8 nên x  8  {19;57} x  {11; 49} . 2 
xy  y  7  4x  9 + V i y  2 thì 2 
(4x  9)|(2x  x  2) 2 2 x
 y  x  y  2x  x  2  Suy ra 2
(4x  9)|(16x  8x  16)  4x(4x  9)  7(4x  9)  79 35
(4x  9)|79 nên 4x  9  (79) mà 4x  9  9 nên 4x  9  79 hay x  (lo i). 2 V y x y   2 ( ; )
(11;1);(49;1);(7k ;7k  ) v i k   *. ----- H T ----- L i gi i b i c Huy – K27 NTT-HNUE.
Document Outline

• de-chon-hoc-sinh-gioi-toan-9-nam-2024-2025-so-gddt-thai-binh
  • de-chon-hoc-sinh-gioi-toan-9-nam-2024-2025-so-gddt-thai-binh
• LỜI-GIẢI-ĐỀ-THI-HỌC-SINH-GIỎI-THÁI-BÌNH-NĂM-2024
  • MTBlankEqn