Đề cương bài giảng chương IV: Ánh xạ tuyến tính môn Đại số tuyến tính | Đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

Đề cương bài giảng chương IV: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH.
Chương IV : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH : 1.1. Định nghĩa :
Cho hai không gian vectơ V ,V ' trên cùng trường R C . Ánh xạ f :V V ' gọi là ánh xạ
tuyến tính ( hoặc là ánh xạ đồng cấu ) từ không gian vectơ V vào không gian vectơ V ' nếu
f thỏa mãn hai điều kiện sau : a. x
 , y V : f x  y  f  x  f  y . b. x  V, 
  R : f  x   f  x .
 Nếu V '  V : ánh xạ tuyến tính f còn gọi là phép biến đổi tuyến tính .
 Nếu V '  R : ánh xạ tuyến tính f còn gọi là một dạng tuyến tính trên V .
 Nếu f là song ánh : ánh xạ tuyến tính f còn gọi là phép đẳng cấu của V trên V ' .
f : V  V '  Ánh xạ ,
x  f x   0V '
f là ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ không , thường được ký hiệu : 0  x
 V : 0 x  0
1.2. Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính :
1. Tập hợp gồm các phần tử của V sao cho f   x  0
V ' gọi là hạt nhân của f , kí hiệu: ker f
ker f  x V / f x  0 . V ' 
2. Tập hợp gồm các phần tử của V 'sao cho nó có tạo ảnh trong V , kí hiệu f V  hay
Im f , gọi là ảnh của ánh xạ f . Im f y V  '/ x  V
 : y  f x 1.3. Tính chất :
1. Tính chất 1: Điều kiện cần và đủ để f : V  V ' là ánh xạ tuyến tính là: x
 , y V , ,  R : f  x   y    f x   f y .
2. Tính chất 2: Qua ánh xạ tuyến tính f , vectơ 0 của V biến thành vectơ 0 của V ',
tức là : f 0   0 . V V '
3. Tính chất 3: Qua ánh xạ tuyến tính f , một hệ phụ thuộc tuyến tính trong V biến
thành một hệ phụ thuộc tuyến tính trong V ' .
 Hệ quả : Nếu hệ  f e , f e , ,  f e
độc lập tuyến tính thì hệ 1   2  m  e ,e ,, độc lập tuyến tính. 1 2 em
4. Tính chất 4: Nếu A là không gian con của V thì ảnh của nó là f A là không gian
con của V ', và nếu B là không gian con của V ' thì nghịch ảnh của nó là 1
f  B là
không gian con của V .Đặc biệt Im f là không gian con của V ', và ker f là không gian con của V .
5. Tính chất 5: Nếu e ,e , ,e là hệ sinh của A , với A là không gian con của V thì 1 2  m
hệ  f e , f e ,, f e
là hệ sinh của không gian con f   A của V '. 1   2   m 6.
Tính chất 6 : Nếu A là không gian con của V thì dim f A  dim A . GVC.Phan Thị Quản trang 1
Đề cương bài giảng chương IV: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH.
1.4.Xác định ánh xạ tuyến tính :
 Định lí : Giả sử e ,e ,...,e là một cơ sở của không gian vectơ là một 1 2  V , V ' n
không gian vectơ tùy ý trong đó ta đã chọn n vectơ e ', e ',..., e '. Khi đó tồn tại duy 1 2 n
nhất ánh xạ f :V  V ' sao cho f e  e
i  n .Nói cách khác : Một ánh xạ i  i ' , 1,
tuyến tính f :V  V ' được hoàn toàn xác định bởi ảnh của các vectơ cơ sở của V .
MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH :
2.1. Ma trận của ánh xạ tuyến tính :
Cho hai không gian vectơ V m _ chiều , V ' n _ chiều trên cùng một trường R C , lần
lượt có cơ sở e ,e ,...,e (1) và e ', e ',..., e (2). Giả sử f là một ánh xạ tuyến tính: n ' 1 2  1 2 m  V  V ' . n
Ta biểu diễn ảnh f  e qua cơ sở (2) :  i 1, m f  e   a e i  / i  ij j j 1   a a  a  11 21 1 m   a a  a Khi đó : Ma trận 12 22 m2 A    với cột thứ 
là tọa độ cột của vectơ  ,i i 1, m         a a  a 1n 2n mn 
f e đối với cơ sở e1', e 2',..., e ' của không gian V '. n  i 
A được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f theo các cơ sở e ,e ,...,e (1) và 1 2 m
e ',e ',...,e ' (2) 1 2 n  Chú ý :
+ Ma trận của ánh xạ tuyến tính f được xác định một cách duy nhất , nhưng ma trận sẽ
thay đổi nếu ta thay đổi cơ sở .
+ Nếu V  V ' , ta có thể chọn cơ sở (1) trùng với cơ sở (2) . Lúc đó ta có phép biến đổi
tuyến tính f đối với cơ sở đã cho.
2.2. Mối liên hệ giữa tọa độ ảnh và tạo ảnh của một ánh xạ tuyến tính :
Giả sử f là một ánh xạ tuyến tính : V  V ' , A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f theo
các cơ sở e ,e ,...,e (1) và e ',e ',...,e ' (2) 1 2 n  1 2 m m n x  V
 : x  x e ; y  f x  y e y V   i i ' , ' i i i1 i 1  n i
 1,m f e  a e i  / ij j j 1   x   y   a a  a  1 1 11 21 1 m       x y a a  a Gọi 2 X    , 2    và 12 22 m2    . Khi đó : Y  .  Y A A X                  x  y  a a  a m  n  1 n 2 n mn 
2.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính đối với hai cặp cơ sở khác nhau :
Cho hai không gian V ,V ' lần lượt ,
m n _ chiều . Trong không gian vectơ đã chọn hai hệ
cơ sở e ,e ,...,e (1) và v ,v ,...,v (2) ; trong không gian V ' đã chọn hai hệ cơ sở 1 2 m  1 2 m
e ',e ',...,e ' (3) và v ', v ',..., v ' (4) . 1 2 n  1 2 n 
Ma trận chuyển từ hệ cơ sở (1) sang hệ cơ sở (2) : S . GVC.Phan Thị Quản trang 2
Đề cương bài giảng chương IV: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH.
Ma trận chuyển từ hệ cơ sở (3) sang hệ cơ sở (4) : T .
A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f theo các cơ sở (1) và (3)
B là ma trận của ánh xạ tuyến tính f theo các cơ sở (2) và (4)  x   y  1 1     x y Gọi  2 X  
cột tọa độ của vectơ  2   cột tọa độ  x V
 đối với hệ cơ sở (1) ; và Y           x  y m  n  của vectơ y V
 ', y = f (x) đối với hệ cơ sở (2) .  x '  y ' 1  1      x ' y ' và 2 X '   
cột tọa độ của vectơ x V đối với hệ cơ sở (3); và 2 Y '    cột tọa độ           x '  y ' m   n  của vectơ y V
 ', y = f (x) đối với hệ cơ sở (4) . Ta có : 1 A TBS   Hay 1 B  T AS .
Chú ý: Nếu f là phép biến đổi tuyến tính thì V  V ', ta có thể chọn hệ cơ sở (1)  (3);
(2)  (4) . Khi đó: S T .
Công thức trên trở thành: 1 B S   AS hay 1 A SBS  
( A và B được gọi là hai ma trận đồng dạng )
.CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH :
3.1. Tổng của hai ánh xạ tuyến tính :
Cho f , g là hai ánh xạ tuyến tính từ V  V ' , tổng của hai ánh xạ f và g là một ánh xạ được xác định : x
 V :  f  g  x  f  x  g  x
Gọi A,B lần lượt là ma trận của ánh xạ tuyến tính f , g theo các cơ sở e , e ,..., e (1) 1 2  m
của không gian V và hệ cơ sở e ',e ',...,e ' (2) của không gian V ' . 1 2 n 
Khi đó : f  g là một ánh xạ tuyến tính và  A B là ma trận của ánh xạ tuyến tính f  g
theo các cơ sở e ,e ,...,e (1) và e ',e ',...,e ' (2) 1 2 n  1 2 m
3.2. Tích của một vô hướng  R C  với một ánh xạ tuyến tính :
Cho f là ánh xạ tuyến tính từ V  V ', tích của một vô hướng   RC và một ánh xạ f
là một ánh xạ được xác định : x  V 
: f x    f x .
Gọi A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f theo các cơ sở e ,e ,...,e (1) của không gian 1 2 m
V và hệ cơ sở e ', e ',..., e ' (2) của không gian . 1 2 V ' n 
Khi đó :  f là một ánh xạ tuyến tính và  A là ma trận của ánh xạ tuyến tính  f theo các
cơ sở e ,e ,...,e (1) và e ',e ',...,e ' (2) 1 2 n  1 2 m
3.3. Tích của hai ánh xạ tuyến tính :
Cho f là ánh xạ tuyến tính từ V V ' và g là ánh xạ tuyến tính từ V ' V ", tích của hai
ánh xạ f và g là một ánh xạ được xác định : x  V
 :g f x  g f x  o      GVC.Phan Thị Quản trang 3
Đề cương bài giảng chương IV: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH.
Gọi A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f theo các cơ sở e ,e ,...,e (1) của không gian 1 2  m
V và hệ cơ sở e ', e ',..., e ' (2) của không gian V ' và B là ma trận của ánh xạ tuyến tính 1 2 n 
g theo các cơ sở e ', e ',..., e ' (2) của không gian V ' và hệ cơ sở e ",e ",...,e " (3) của 1 2 p  1 2 n  không gian V " .
Khi đó : g f là một ánh xạ tuyến tính và B.A là ma trận của ánh xạ tuyến tính g f theo 0 0
các cơ sở e ,e ,...,e (1) và e ", e ",..., e " (3) 1 2 p  1 2 m 3.4. Ánh xạ ngược :
Giả sử V là không gian vectơ trên trường RC , f là một phép biến đổi tuyến tính và là
một song ánh của không gian V , có ma trận theo cơ sở e ,e ,...,e (1) là A . Khi đó ánh xạ 1 2 n  ngược 1
f  :V V cũng là phép biến đổi tuyến tính trên V và ma trận của 1 f  theo hệ cơ sở (1) của V là 1 A .
.GIÁ TRỊ RIÊNG_ VECTƠ RIÊNG :
4.1. Vectơ riêng _ Giá trị riêng (VTR_ GTR) :
1. Định nghĩa : Giả sử f là một phép biến đổi tuyến tính của không gian V . Số thực 
được gọi là giá trị riêng của f và vectơ x  0 gọi là vectơ riêng của f ứng với giá trị
riêng  nếu : f x  x . 2. Tính chất :
a. Nếu x là vectơ riêng cho trước nào đó của f ứng với giá trị riêng  thì  là duy nhất
b. Nếu x là VTR của f ứng với GTR  thì vectơ  , x    ,
R   0 cũng là VTR
của f ứng với GTR  đó .
3. Phương trình đặc trưng :
3.1. Ma trận đặc trưng - Đa thức đặc trưng :
 Giả sử V là không gian vectơ n _ chiều , trong đó ta đã chọn hệ cơ sở  1 e , 2
e ,...,e  và n n
ma trận phép biến đổi tuyến tính f của V
e ,e ,...,e là A  a . ij 
n đối với cơ sở  1 2 n
1i, jn
 Ma trận A E được gọi là ma trận đặc trưng của ma trận A .
 Định thức A  E
 là đa thức bậc n theo , gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.
 Nghiệm của đa thức đặc trưng gọi là nghiệm đặc trưng của ma trận A .
3.2. Phương pháp tìm VTR _ GTR :
a. Tìm giá trị riêng:
B1: Tìm ma trận A của phép biến đổi f đối với một cơ sở nào đó .
B2 : Tính đa thức đặc trưng p   A E
B3 : Giải phương trình p   0, tìm nghiệm đặc trưng  . Nghiệm của phương trình đặc
trưng (nếu có ) là giá trị riêng cần tìm . b. Tìm vectơ riêng:
Gọi o là một giá trị riêng tìm được . Với  = o .
a   x  a x   a x  0 11 0  1 12 2 1 n n 
a x  a   x   a x  0 21 1  22 0 
Giải hệ phương trình thuần nhất: 2 1n n  (I) .
........................................ ............... 
a x a x  a   x  0  1n 1 n2 2  nn 0  n GVC.Phan Thị Quản trang 4
Đề cương bài giảng chương IV: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH.
Hệ (I) có vô số nghiệm của  x ,x ,x ,,x (vì A E  0) cho bởi công thức tổng quát 1 2 3 n 
nên vectơ riêng x thường tìm được dưới dạng tổng quát . * Chú ý :
Đa thức đặc trưng và nghiệm đặc trưng không phụ thuộc vào cơ sở của phép biến đổi .
4.2. Chéo hóa ma trận :
1. Chéo hóa ma trận vuông cấp n khi có n vectơ riêng độc lập tuyến tính:
Nếu phép biến đổi tuyến tính f của không gian vectơ n chiều V có n vectơ riêng n
e , e , , e độc lập tuyến tính ứng với các giá trị riêng 1, 2, ..., n , thì ta có thể lấy 1 2 n vectơ n
riêng ấy làm cơ sở của không gian vectơ V . n
Vì rằng : f e    e ,i 1, n i i i
Do đó đối với cơ sở này ma trận cúa phép biến đổi tuyến tính f sẽ có dạng rất đơn giản là   0  0 1   0   0  ma trận chéo . 2 A           0 0    n 
Đảo lại : Nếu trong một cơ sở nào đó , ma trận của phép biến đổi tuyến tính f là ma trận
chéo thì tất cả các vectơ của cơ sở đó đều là những vectơ riêng của phép biến đổi f .
Định lí sau đây sẽ cho ta một điều kiện đủ để phép biến đổi tuyến tính f có đúng n vectơ
riêng độc lập tuyến tính.
2. Định lí 1: Nếu phép biến đổi tuyến tính f của không gian Vn có n giá trị riêng khác
nhau từng đôi một , thì f sẽ có n vectơ riêng độc lập tuyến tính.
3. Định lí 2: Nếu đa thức đặc trưng của phép biến đổi tuyến tính f có n nghiệm phân
biệt nằm trong trường cơ sở của không gian Vn , thì ma trận của phép biến đổi tuyến
tính f có thể đưa về dạng chéo .  Chú ý :
Một phép biến đổi tuyến tính có nhiều ma trận theo nhiều cơ sở khác nhau , nhưng những
ma trận ấy đều đồng dạng với nhau , một vấn đề đặt ra là trong các ma trận của f ta tìm
được một ma trận đơn giản nhất , thường là ma trận chéo , việc làm đó được gọi là chéo hóa
các ma trận của f . Việc chéo hóa đó được thể hiện bởi công thức : 1 B  S AS
Với S là ma trận chuyển từ cơ sở e ,e ,...,e sang e ',e ',...,e ' . 1 2 n  1 2 n  . DẠNG TOÀN PHƯƠNG:
5.1. Các định nghĩa:
1. Định nghĩa1: Cho E, F và G là 3 không gian vectơ trên trường số RC .
f : ExF  G Ánh xạ: 
x ,y  f x ,y 
được gọi là ánh xạ song tuyến nếu nó tuyến tính đối với mỗi biến. Tức là : a ) x
 ,x E ; y
 F : f x x , y  f x , y  f x , y 1 2  1 2   1   2 
b ) x E ; y  F ,  R : f x, y   f  x, y c ) x   E ; y
 ,y  F : f x ,y  y  f x ,y  f x ,y 1 2  1 2   1  2  d ) x  E ; y  F , 
 R : f x ,y    f x ,y  GVC.Phan Thị Quản trang 5
Đề cương bài giảng chương IV: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH.
2. Định nghĩa2: Nếu G  R , ánh xạ song tuyến tính f : x
E F  R được gọi là dạng song tuyến tính .
3. Định nghĩa3: Nếu F  E , ánh xạ song tuyến tính f : ExF  R được gọi là dạng
song tuyến tính đối xứng nếu  , x y  E: f  ,
x y  f  , y x 
4. Định nghĩa4: Cho E là không gian vectơ trên trường R C  và dạng song tuyến tính
f : ExE  R E  R đối xứng :  . Ánh xạ:
x, y  f  , x y
x   x   f x, x 
được gọi là một dạng toàn phương trên không gian E
5.2. Ma trận của dạng toàn phương : n
Nếu E là không gian n _ chiều ,e ,e ,...,e là một cơ sở của E và với x  E : x   x e 1 2 n  i i i1 n n n n n n  
Khi đó : x  f  x e ; x e   x x f e e   a f e e i i i i i j  ;i j i j  ;i j i 1  i 1  i 1  j 1  i 1  j  
Với a  f  e; e   f e ; e   a ,  ,i j 1, n i j i j j i ji  x  1   x Vậy :   T
x  X AX , với  2 X   ; A  a
là ma trận đối xứng gọi là ma trận i j     nxn    xn 
của dạng toàn phương  theo cơ sở e ,e ,...,e của E . 1 2 n  n n 1  n
Dạng toàn phương  thường được viết như sau :  x 2  a x   a x x ii i 2 i j i j i 1  i 1  j i 
5.3. Ma trận của dạng toàn phương khi đổi cơ sở:
Trong không gian E cho hai cơ sở : e ,e ,...,e (1), e ', e ',..., e ' (2) 1 2 n  1 2 n 
A ,B lần lượt là hai ma trận của dạng toàn phương  đối với cơ sở (1) , (2) Ta có : T
B  S AS ,trong đó S là ma trận chuyển từ hệ cơ sở (1) sang hệ cơ sở (2).
Chú ý: Một dạng toàn phương  có thể được tạo nên từ nhiều dạng song tuyến tính khác
nhau Tuy nhiên dạng song tuyến tính đối xứng ở trong định nghĩa được xác định một cách 1
duy nhất bởi dạng toàn phương  : f  , x  y     x  y     x     y  2  .
và nó được gọi là dạng song tuyến tính đối xứng đối cực của dạng toàn phương .
5.4. Dạng chính tắc và dạng chuẩn tắc của dạng toàn phương: n n 1 n
Cho dạng toàn phương  ,   2 x  a x    a x x (1) ii i 2 i j i j i 1  i 1  j i 
Trong cơ sở e ,e ,...,e toạ độ của x đối với cơ sở này là x  x , x ,..., x . Ta sẽ tìm một 1 2 n  1 2 n 
ma trận mới e ',e ',...,e sao cho đối với cơ sở mới này toạ độ của x  x ', x ',..., x và n ' 1 2  n ' 1 2  n  x  2  k  x ' (2) i i i1
trong đó ki  K với i
  1,n , ma trận của dạng toàn phương  ở (2) có dạng đường chéo .
Dạng (2) được gọi là dạng chính tắc của dạng toàn phương  ở dạng (1)
Đặc biệt , nếu ki chỉ nhận các giá trị  1 hoặc 0 thì (2) được gọi là dạng chuẩn tắc của dạng toàn phương  . GVC.Phan Thị Quản trang 6
Đề cương bài giảng chương IV: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH.
5.5. Đưa dạng toàn phươn
g về dạng chính tắc (Phương pháp Lagrange ): n n1 n
Cho dạng toàn phương  x 2
  a x  2 a x x (1) trong cơ sở  1e, 2e,...,e của E n  ii i i j i j i 1  i 1  j i
toạ độ của x đối với cơ sở này là x  x ,x ,...,x . 1 2 n  n n 1  n x 2  a x  2 a x x  
, vì a a , i  , j 1,n ii i i j i j i j j i i 1  i 1  j i 
* Nếu a  0, i 1, n . Giả sử tồn tại a  0, i  j. i i i j / /
 x  x  x i i j 
Thực hiện phép biến đổi toạ độ : / /
 x  x  x j i j  / x  x , k   i , j  k k Ta có : 2 2
a x x  a x  a x . Vậy ta luôn giả sử tồn tại chỉ số i sao cho a  0 i j i j i j 'i i j 'j i i
* Nếu a  0: Nhóm tất cả các số hạng chứa a i i
i i , bổ sung vào biểu thức trong dấu ngoăc để nó
trở thành một bình phương đúng , cứ thực hiện tương tự như vậy sau một số bước , ta tìm được toạ độ n
mới của vectơ x  x ',x ',...,x ' , sao cho : x 2  k x ' 1 2 n  i i i 1 
5.6. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc (Phương pháp Jacobi ): n n 1  n
 Định lí: Cho dạng toàn phương trên E : x  2
 a x  a x x (1) , ii i 2 i j i j i 1  i 1  j i
trong một cơ sở e ,e ,...,e 1 2
nào đó của KGVT E có các định thức : n  a a  a 11 12 1 n a a a a  a
D  a  a ; 11 12 D  ; ... ; 21 22 2n D 
đều khác 0. Lúc đó tồn tại 1 11 11 2 a a n     21 22 a a  a 1 n n2 nn
một cơ sở e ', e ',..., e ' của E sao cho (x) có thể viết dưới dạng 1 2 n  n D D D D  x  0 /2 1 / 2 n 1  / 2 i 1  / 2  x  x   x   x 1 2 n i D D D  D 1 2 n i 1 i
trong đó D0 = 1 và  x ';x ';...;x ' là toạ độ của x đối với hệ cơ sở mới e '; e ';...;e ' . 1 2 n  1 2 n  e  '  b e 1 11 1 e
 '  b e b e  2 21 1 22 2
Chú ý: Hệ cơ sở mới được xác định dưới dạng: 
...................................  e
 ' b e b e  b e   n 1 n 1 2 n 2 nn n b
 a  b a   b a  0 j1 11 j 2 12 jj 1 j b
 a b a  b a  0 các hệ số j1 21 j 2 22 jj 2
b  j  ,i j 1; ;n i 1; j được xác định: j  j i 
................................................  b
 a b a  b a  1 j  1 j1 j 2 j 2 jj jj GVC.Phan Thị Quản trang 7
Đề cương bài giảng chương IV: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH. BÀI TẬP:
1. Chứng minh rằng các ánh xạ f xác định như sau là các ánh xạ tuyến tính . Tìm ma trận của nó
theo các cơ sở chính tắc của các không gian n
R tương ứng . Tìm Im , Ker f
 f  . Tìm một cơ
sở và số chiều của không gian Im ,Ker f  f . a. 3
f : R  R xác định bởi: x
 x ,x ,x  3 R  , f x 2x 3  x x R  1 2 3   1 2 3 b. 3 2
f : R  R xác định bởi: x
  x , x , x  3
R , f x  x  x  x ,2x 3x  2 R 1 2 3 1 2 3 2 3 c. 3 3
f : R  R xác định bởi: x
 x , x , x  3 R
 , f  x   x x , x x , x x  3 R  1 2 3 1 2 2 3 1 3 d. 2 3
f : R  R xác định bởi : x
  x ,x  2
R , f x x  x ,x ,5x  3x  3 R 1 2 1 2 2 1 2
2. Tìm ma trận của phép biến đổi tuyến tính 3 3
f :R  R sao cho qua f các vectơ
u  2,3,5 ,u  0,1, 2 ,u  1,0, 0 được biến thành các vectơ tương ứng 1   2   3  
v  2,3,5 ,v  1,1, 1 ,v  2,1, 2 trong cùng một cơ sở. 1   2   3  
3. Cho phép biến đổi tuyến tính 3 3
f :R  R xác định bởi: x
 x ,x ,x  3 R
 , f x  4x x x ,2x  3x ,x 4x  3 R  . 1 2 3 1 2 3 2 3 2 3
a. Tìm ma trận A của f theo cơ sở chính tắc e ,e ,e của 3 R và theo cơ sở 1 2 3
u , u , u của 3
R với u  3,2,8 , u  3,1, 4 , u  1, 3,0 . 1   2   3   1 2 3
b. Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính f .
c. Tìm một cơ sở gồm các vectơ riêng của f sao cho trong cơ sở đó ma trận tương ứng
của f có dạng đường chéo . Áp dụng tính n
A ,n  N  * 4. Cho 2
M là không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2 trên trường số thực R và ánh xạ f f : M  M 2 2
xác định như sau: a b 
a b b  c       c d c d d  a    
a. Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính trên M . 2   1 0  0 1  0 0  0 0
b. Tìm ma trận của f theo cơ sở e  , e  ,e  , e  . 1   2   3   4     0 0  0 0  1 0  0 1 c. Tìm Im  ,Ker f
 f  ; dimIm ,dim Ker f f  .
d. Tìm ma trận của f theo cơ sở e ',e ',e ',e ' với: 1 2 3 4 
e ' e ;e ' e e ;e ' e e e ';e ' e e e e . 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4
5. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính theo một cơ sở nào đó của 3 0 2  không gian 3  
R trên trường R xác định bởi ma trận: A  0 1 2   2 2 2   
6. Phép bién đổi tuyến tính f trên 3
R có ma trận theo cơ sở chính tắc của 3 R là  1 4 1    A  1 0 1  
. Hãy tìm cơ sở mới của 3
R để ma trận của f đối với cơ sở đó có dạng  2 4 4    
đường chéo và tìm ma trận đường chéo đó . GVC.Phan Thị Quản trang 8
Đề cương bài giảng chương IV: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH.
7. Đưa dạng toàn phương  về dạng chính tắc và tìm cơ sở tương ứng
a. (x)  x x  3x x  4 1 2 1 3 x2x3 b. 2
(x)  2x 4x x 8x x 6x x 10x x 1 1 2 1 4 2 3 3 4 c. 2
(x)  x  2x x  4x x 6x x 8x x 1 1 2 1 3 2 4 3 4
d. (x)  2x x 5x x 3x x 1 2 1 3 2 3
_____________________________________Hết__________________________________ GVC.Phan Thị Quản trang 9