Đề cương cuối kỳ môn Giải tích 1 | Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội
Đề cương cuối kỳ môn Giải tích 1 | Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!
Môn: Giải tích 1 (GT1)
Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Môn:
Trường:
Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
Đề cương giải tích 1 năm học 2021 - 2022 Toán tin K66 I Hàm một biến
1 Giới hạn dãy số
Câu 1: Định nghĩa giới hạn dãy số thực?
Trả lời: Số thực a ∈ R được gọi là giới hạn của dãy số (xn)n, nếu với mỗi số ε > 0 cho trước, tồn tại n0 = n0(ε) sao cho: |xn − a| < ε, ∀n g n0
Kí hiệu: lim (xn) = a hay xn → a khi n → +∞ n→+∞
Câu 2: Định nghĩa giới hạn dãy số bị chặn? Trả lời:
+) Dãy số un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho: un f M,∀n ∈ N∗
+) Dãy số un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại m sao cho: un g m,∀n ∈ N∗
+) Dãy số un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại 2 số m và M sao cho: m f un f M, ∀n ∈ N∗
Câu 4: Hãy phát biểu nguyên lý Cantor về dãy đoạn lồng nhau và thắt lại? Trả lời:
Cho dãy đoạn ([an,bn])n lồng nhau và thắt dần, tức là [a1,b1] £ [a2,b2] £ ... £ [an,bn] £ ... và
lim (bn − an) = 0. Khi đó tồn tại duy nhất một số c sao cho n→+∞ ∞ c ∈ [an, bn]. n=1
Câu 5: Hãy phát biểu nguyên lý Bolzano - Weierstrass về dãy bị chặn. Trả lời:
(Nguyên lý Bolzano - Weierstrass): Mọi dãy bị chặn đều có dãy con hội tụ.
Câu 6: Hãy phát biểu nguyên lý hội tụ Cauchy về dãy cơ bản Trả lời:
(Nguyên lý Cauchy cho giới hạn của dãy số): Dãy (xn)n hội tụ khi và chß khi (xn)n là dãy cơ bản
Câu 7: Định nghĩa dãy đơn điệu Trả lời:
Dãy (xn)n được gọi là dãy tăng (hay dãy tăng ngặt), nếu xn f xn+1 với mọi n ∈ N (tương ứng xn < xn+1 1 Giải tích 1
Đề cương giải tích 1 năm học 2021 - 2022 Toán tin K66 với mọi n ∈ N).
Dãy (xn)n được gọi là dãy giảm (hay dãy giảm ngặt), nếu xn+1 f xn với mọi n ∈ N (tương ứng xn+1 < xn với mọi n ∈ N).
Dãy (xn)n được gọi là dãy đơn điệu, nếu hoặc (xn)n là dãy tăng hoặc (xn)n là dãy giảm.
Câu 8: Định nghĩa giới hạn riêng, giới hạn trên và giới hạn ưới của một dãy bị chặn? Trả lời:
Định nghĩa giới hạn riêng: Số thực a ∈ R được gọi là giới hạn riêng của dãy (xn)n nếu tồn tại một dãy con (xn )
k k của dãy (xn)n hội tụ tới a
Định nghĩa giới hạn trên giới hạn dưới của dãy số bị chặn: Cho dãy bị chặn (xn)n. Với mỗi n ∈ N, ta đặt:
un = sup{xn+1, xn+2, xn+3, ...} = supxn+k kg1 và
vn = in f {xn+1, xn+2, xn+3, ...} = inf xn+k kg1
Khi đó dãy (un)n giảm và bị chặn dưới, dãy (vn)n tăng và bị chặn trên. Suy ra tồn tại giới hạn lim un = inf un và lim vn = sup vn n→∞ ng1 n→∞ ng1
Các giới hạn này lần lượt được gọi là giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy (xn)n và được kí hiệu là: lim sup xn hay lim xn; và lim inf xn hay lim xn; n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Như vậy: lim supxn = inf sup xn+k; và lim inf xn hay lim xn; n→∞ n k n→∞ n→∞ Định nghĩa:
(a) lim supxn là giới hạn riêng lớn nhất của dãy (xn)n; n→∞
(b) lim inf xn là giới hạn riêng bé nhất của dãy (xn)n; n→∞
Câu 9: Nêu định nghĩa dãy số thực có giới hạn bằng +∞, bằng −∞.
Trả lời: Cho dãy số (xn)n,
+) Ta nói dãy (xn)n có giới hạn +∞ và kí hiệu là lim (xn) = +∞, nếu với mọi M > 0 cho trước, tồn tại n→+∞
n0 = n0(M) ∈ sao cho xn > M với mọi n g n0
+) Ta nói dãy (xn)n có giới hạn −∞ và kí hiệu là lim (xn) = −∞, nếu với mọi M > 0 cho trước, tồn n→+∞
tại n0 = n0(M) ∈ N sao cho xn < −M với mọi n g n0 2 Giải tích 1
Đề cương giải tích 1 năm học 2021 - 2022 Toán tin K66
2 Giới hạn và liên tục của hàm số
Câu 10: Cho hàm số f : A → R và x0 là một điểm tụ của A. Hãy nêu định nghĩa lim f (x) = b. x→x0 Trả lời:
Cho hàm số f : X ¢ R → R, a là một điểm tụ của X. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L ∈ R khi x → a hay
A là giới hạn của hàm số f(x) khi x → a, nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ (ε) > 0 sao cho
|f(x) - L| < ε với mọi x ∈ X thỏa mãn 0 < |x - a| < δ Kí hiệu lim f (x) = L x→a
Câu 11: Phát biểu tiêu chuẩn Cauchy đối với sự tồn tại giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. Trả lời:
Cho hàm số f: X → R và a là điểm tụ của X. Khi dó tồn tại giới hạn lim f (x) = L ∈ R khi và chß khi với x→a
mọi ε > 0 cho trước, tồn tại δ = δ (ε) > 0 sao cho
|f(x) - f(x’)| < ε với mọi x, x’ ∈ X : 0 < |x − a| < δ và 0 < |x′ − a| < δ
Câu 13: Nêu khái niệm điểm lân cận của điểm a ∈ R, điểm +∞, điểm −∞. Phát biểu định nghĩa
giới hạn hàm số tổng quát theo ngôn ngữ lân cận. Từ đó phát biểu các giới hạn sau theo ngôn ngữ ε − δ lim f (x) = −∞; lim f (x) = b; lim f (x) = −∞;... x→b+ x→−∞ x→+∞ Trả lời:
Định nghĩa lân cận: Cho điểm x0 ∈ R và số ε > 0. Khoảng (x0 − ε,x0 + ε) được gọi là ε - lân cận của x0, kí hiệu là x ε ( 0).
Định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ lân cận: Giả sử hàm số y = f (x) được xác định trong "lân
cận" điểm a. Giá trị L ∈ R được gọi là giới hạn của f(x) khi x → a nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ (ε) > 0 sao cho: | f (x) − L| < ε, ∀x ∈ X
thỏa mãn 0 < |x − a| < δ Kí hiệu: lim f (x) = L x→a
Ta cho f xác định trên một tập X và b là điểm tụ của X
• Ta nói hàm số có giới hạn −∞ khi x → b+ nếu với mọi M > 0, tồn tại δ = δ (M) > 0 sao cho: f (x) < −M, ∀x ∈ (b, b + ε) Kí hiệu: lim f (x) = −∞ x→b+
• Ta nói hàm số f có giới hạn b ∈ R khi x → −∞ nếu ∀ε > 0, tồn tại K = K(ε) > 0 sao cho | f (x) − b| < ε, ∀x < −K Kí hiệu: lim f (x) = b x→−∞
• Ta nói hàm số f có giới hạn −∞ khi x → +∞ nếu với mọi M > 0, tồn tại K = K(M) > 0 sao cho: 3 Giải tích 1
Đề cương giải tích 1 năm học 2021 - 2022 Toán tin K66 f (x) < −M, ∀x ∈ K Kí hiệu: lim f (x) = −∞ x→+∞
Câu 14: Định nghĩa hàm liên tục, liên tục phải, liên tục trái tại một điểm. Chứng minh rằng hàm
số f liên tục tại điểm x0 khi và chß khi f liên tục phải và liên tục trái tại x0. Trả lời:
Định nghĩa hàm liên tục: Cho hàm số f xác định trên một tập X
• Ta nói hàm số f liên tục tại a ∈ X nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại δ = δ (ε) > 0 sao cho
|f(x) - f(a)| < ε, ∀x ∈ X : |x − a| < δ
• Ngược lại, ta nói hàm số f gián đoạn tại a nếu f không liên tục tại a.
• Ta nói, hàm số f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm a ∈ X
Định nghĩa liên tục phải, trái: Cho hàm số f: X → R.
• Hàm số f được gọi là liên tục phải tại a, nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại δ = δ (ε) > 0 sao cho
|f(x) - f(a)| < ε, ∀x ∈ X : a f x < a + δ
• Hàm số f được gọi là liên tục tráii tại a, nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại δ = δ (ε) > 0 sao cho
|f(x) - f(a)| < ε, ∀x ∈ X : a − δ < x f a.
Câu 18: Nêu định nghĩa hàm liên tục trên một tập, hàm không liên tục trên một tập. Trả lời:
Hàm số f được gọi là liên tục đều trên tập X, nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại δ = δ (ε) > 0 sao cho | f (x) − f (x′)| < ε
với mọi x, x’ ∈ X : |x − x′| < δ
Từ đây ta có, hàm số f không liên tục trên X khi và chß khi tồn tại tại ε0 > 0 sao cho với mọi δ > 0 tồn tại xδ ,x′ ∈ X sao cho δ |xδ − x′ | δ < δ , nhưng | f (xδ ) − f (xδ )| g 0
tương đương với tồn tại ε0 > 0 và hai dãy (xn)n và (x′n)n trong X sao cho
|xn − x′n| → 0,n → ∞, nhưng | f (xn) − f (x′n)| g ε0 với mọi n g 1.
Câu 19: Nêu khái niệm gián đoạn loại 1, gián đoạn loại ?
Trả lời: Cho hàm số f xác định trên [a,b] và f gián đoạn tại x0 ∈ [a,b].
• Tại x0 = a, điểm x0 = a được gọi là điểm gián đoạn loại I của f nếu tồn tại giới hạn lim f (x) = A ∈ R, x→a+ nhưng A = f (a)
• Tại x0 = b, điểm x0 = b được gọi là điểm gián đoạn loại I của f nếu tồn tại giới hạn lim f (x) = B ∈ R, x→b− nhưng B = f (b)
• Tại x0 ∈ (a, b) được gọi là điểm gián đoạn loại I của f nếu tồn tại giới hạn lim f (x) = A ∈ R và x→x+ 0
lim f (x) = B ∈ R, nhưng hoặc A = f (x0) hoặc B = f (x0) x→x− 0
• Đặc biệt: Nếu A = B, tức là tồn tại giới hạn lim f (x) = A nhưng A = f (x0) thì x0 được gọi là điểm x→x0 4 Giải tích 1
Đề cương giải tích 1 năm học 2021 - 2022 Toán tin K66
gián đoạn khử được của hàm số f.
• Nếu x0 ∈ [a, b] không là điểm gián đoạn loại I của f thì x0 được gọi là điểm gián đoạn loại II của f
3 Đạo hàm vả khả vi
Câu 20: Nêu định nghĩa đạo hàm, đạo hàm phải, đạo hàm trái của hàm số tại một điểm. Phát biểu công
thức đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm ngược Trả lời:
Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số f xác định trên một khoảng X và a ∈ X. Số ∆x = 0 đủ bé để a +
∆x ∈ X được gọi là số gia của biến. Đại lượng ∆ f ∆ ∆ a( x) = f (a +
x) − f (a) được gọi là số gia của hàm
số y = f(x) tại a ứng với số gia ∆x f Nếu tồn tại giới hạn a(∆x) lim
∈ R thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f tại a. Trường ∆x→0 ∆x
hợp này ta nói f khả vi tại a. Kí hiệu: f f (a + ∆x) − f (a) f (x) − f (a) f’(a) = a(∆x) lim = lim = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x x→a x − a
Đạo hàm phải, đạo hàm trái: f (a + ∆x) − f (a)
• Nếu tồn tại giới hạn lim
∈ R thì giới hạn này được gọi là đạo hàm phải của hàm ∆x→0+ ∆x
số f tại a. Kí hiệu f ′+(a). f (a + ∆x) − f (a)
• Nếu tồn tại giới hạn lim
∈ R thì giới hạn này được gọi là đạo hàm trái của hàm số ∆x→0− ∆x
f tại a. Kí hiệu f ′−(a).
Công thức đạo hàm hàm hợp: Cho hàm số f: X → Y và g: Y → R sao cho f khả vi tại a ∈ X và g
khả vi tại b = f(a) ∈ Y . Khi đó hàm hợp h = g ◦ f : X → R khả vi tại a và
(g ◦ f )′(a) = g′( f (a)) f ′(a)
Công thức tính đạo hàm hàm ngược: Cho hàm số f đơn điệu ngặt và liên tục trên (a,b), hơn nữa f khả
vi tại x0 ∈ (a,b) và f ′(x0) = 0. Khi đó hàm ngược f −1 của f cũng khả vi tại y0 = f (x0) và 1 ( f −1)′(y0) = f′(x0)
Câu 21: Nêu định nghĩa cực trị địa phương. Phát biểu định lý Fermat đối với điều kiện cần của cực trị địa phương. Trả lời:
Định nghĩa cực trị địa phương: Cho hàm số f xác định trên một khoảng X
• Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm cực đại địa phương của hàm số f nếu tồn tại δ > 0 sao cho (x0 − δ , x0 + δ ) ¢ X và
f (x) f f (x0) với mọi x ∈ (x0 − δ , x0 + δ )
• Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm cực tiểu địa phương của hàm số f nếu tồn tại δ > 0 sao cho 5 Giải tích 1
Đề cương giải tích 1 năm học 2021 - 2022 Toán tin K66 (x0 − δ , x0 + δ ) ¢ X và
f (x0) f f (x) với mọi x ∈ (x0 − δ , x0 + δ )
• Điểm cực đại địa phương hay điểm cực tiểu địa phương của hàm số f được gọi là điểm cực trị địa
phương hay điểm cực trị của f
Câu 22: Phát biểu định lý Rolle Trả lời:
Cho hàm số f : [a,b] → R thỏa mãn các điều kiện sau: (a) f liên tục trên [a,b]; (b) f khả vi trên (a,b); (c) f(a) = f(b)
Câu 23: Phát biểu công thức Taylor với số dư dạng Lagrange và số dư dạng Peano Trả lời:
Công thức Taylor với số dư Lagrange: Cho hàm số f : (a,b) → R khả vi cấp (n+1) trên (a,b) và
x0 ∈ (a, b). Khi đó với mọi x ∈ (a, b) ta có: n f (k)(x f (n+1)(c) f (x) = ∑ 0)(x − x0)k + (x − x0)n+1 k! (n + 1)! k=0
Ở đây c cũng là một số nằm giữa x và x0.
Công thức Taylor với số dư dạng Peano: Cho hàm số f : (a,b) → R khả vi cấp n trên (a,b) và đạo hàm
f (n) liên tục tại điểm x0 ∈ (a, b). Khi đó với mọi x b 0 ∈ (a, ) ta có n f (k)(x f (x) = ∑
0) (x − x0)k + o((x − x0)n), x → x0 k! k=0 Câu 24: 0
Phát biểu công thức L’Hospital cho trướng hợp giới hạn dạng tại điểm x0 ∈ R 0 Trả lời:
Cho hàm số f,g khả vi trong một khoảng X và a ∈ X sao cho f(a) = g(a) = 0 và g’(x) = 0 trên X \{a}.
Khi đó nếu tồn tại giới hạn: f ′(x) lim = A ∈ R x→a g′(x) Thì tồn tại giới hạn: f (x) lim = A x→a g(x)
Để Meow truyền thêm động lực cho bạn nè!!!! 6 Giải tích 1
Đề cương giải tích 1 năm học 2021 - 2022 Toán tin K66 II Hàm nhiều biến
Câu 25: Nêu định nghĩa chuẩn trong Rn Trả lời:
Cho không gian véctơ X trên trường K (K = R hoặc K = C). Ánh xạ ∥·∥ : X → R được gọi là một chuẩn
trên X nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:
(i) Xác định dương: ∥x∥ g 0 với mọi x ∈ X và ∥x∥ = 0 khi và chß khi x = 0;
(ii) Thuần nhất: ∥αx∥ = |α|∥x∥ với mọi x ∈ X và mọi α ∈ K
(iii) Bất đẳng thức tam giác: ∥x + y∥ f ∥x∥ + ∥y∥ với mọi x,y ∈ X
Không gian véctơ X với chuẩn ∥ · ∥ được gọi là không gian định chuẩn và được kí hiệu là (X,∥ · ∥).
Câu 26: Nêu định nghĩa tập Compact.
Trả lời: Tập X ¢ Rn được gọi là tập Compact, nếu với mọi dãy điểm (xm)m trong X đều có một dãy con (xm ) ∈ X
k k hội tụ đến điểm a .
Câu 27: Nêu định nghĩa giới hạn hàm véctơ. Mối quan hệ giữa giới hạn hàm véctơ với giới hạn các hàm thành phần. Trả lời:
Định nghĩa giới hạn hàm véctơ: Cho hàm véctơ f : X ¢ Rn → Rp và a là điểm tụ của X. Ta nói hàm
véctơ f có giới hạn A ∈ Rp khi x → a, nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại δ = δ (ε) > 0 sao cho
d( f (x), A) < ε với mọi x ∈ X : 0 < d(x, a) < δ . Kí hiệu: lim f (x) = A. x→a
Tương tự như sự hội tụ của dãy điểm trong Rp ta có thể chứng minh kết quả sau:
Mối quan hệ giữa giới hạn hàm véctơ và giới hạn các hàm thành phần: Cho hàm véctơ f : X ¢
Rn → Rp có giới hạn A= (A1, A2, A3, ..., Ap) ∈ Rp khi x → a khi và chß khi các hàm tọa độ f j(x) có giới
hạn A j khi x → a với mọi j = 1,n. Tức là:
lim f (x) = A ô lim f j(x) = A j, j = 1, n. x→a x→a
Bắn động lực vào tim em nè!!!! 7 Giải tích 1
Đề cương giải tích 1 năm học 2021 - 2022 Toán tin K66
Câu 28: Nêu định nghĩa giới hạn lặp của hàm hai biến số. Mối quan hệ giữa giới hạn lặp và giới hạn kép: Trả lời: Giới hạn lặp:
+) Cho hàm số f: G ¢ R2x (x
) là điểm tụ của G sao cho tồn tại δ ,y → R, điểm M0 0, y0 0 > 0 thỏa mãn với
mỗi x0 ∈ (x0 − δ0,x0 + δ0)\{x0}, điểm y0 là điểm tụ của tập Gx = {y ∈ R : (x,y) ∈ R}. Nếu:
(i) Với mỗi x ∈ (x0 − δ0,x0 + δ0), tồn tại giới hạn: lim f (x, y) = ϕ(x) ∈ R y→y0
(ii) Tồn tại giới hạn lim ϕ(x) = A ∈ R, thì A được gọi giới hạn lặp của hàm số f tại điểm M0(x0,y0) khi x→x0 y → y0 và x → x0. Kí hiệu: lim lim f (x, y) = A x→x0 y→y0 +) Cho hàm số f: G ¢ R2x (x
) là điểm tụ của G sao cho tồn tại δ ,y → R, điểm M0 0, y0 0 > 0 thỏa mãn
với mỗi y0 ∈ (y0 − δ0,y0 + δ0)\{y0}, điểm x0 là điểm tụ của tập Gy = {x ∈ R : (x,y) ∈ R}. Nếu
(i) Với mỗi y ∈ (y0 − δ0,y0 + δ0), tồn tại giới hạn: lim f (x, y) = ψ(y) ∈ R y→y0
(ii) Tồn tại giới hạn lim ψ(y) = A ∈ R, thì A được gọi giới hạn lặp của hàm số f tại điểm M0(x0,y0) khi y→y0 y → y0 và x → x0. Kí hiệu: lim lim f (x, y) = A y→y0 x→x0
Mối quan hệ giữa giới hạn lặp và giới hạn kép: Cho hàm số f : G ¢ R2x (x ) ,y → R, điểm M0 0, y0
là điểm tụ của G sao cho tồn tại δ0 > 0 thỏa mãn với mỗi y0 ∈ (y0 − δ0,y0 + δ0)\{y0}, điểm x0 là điểm
tụ của tập Gy = {x ∈ R : (x,y) ∈ R}. Giả sử hai điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Với x ∈ (x0 − δ0,x0 + δ0)\{x0} cố định, tồn tại giới hạn lim f (x, y) = ϕ(x) ∈ R y→y0 (ii) Tồn tại lim f (x, y) = A ∈ R. (x,y)→(x0,y0)
Khi đó tồn tại giới hạn lặp:
lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y) = A y→y0 x→x0 x→x0 y→y0
Định lý trên cũng đúng cho giới hạn lặp lim lim f (x, y) y→y0 x→x0 8 Giải tích 1
Đề cương giải tích 1 năm học 2021 - 2022 Toán tin K66
Câu 29: Nêu định nghĩa về hàm liên tục, liên tục theo từng biến
Trả lời: Cho hàm số f xác định trên tập X ¢ Rn
Định nghĩa về hàm liên tục:
• Ta nói hàm số f liên tục tại a ∈ X nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại δ = δ (ε) > 0 sao cho: | f (x) − f (a)| < ε, ∀x ∈ X : d(x, a) < δ .
• Ngược lại ta nói hàm số f gián đoạn tại a nếu f không liên tục tại a.
• Ta nói, hàm số f liên tục trên X nếu nó liên tục với mọi điểm a ∈ X
Định nghĩa liên tục trên từng biến: Cho hàm số f: X ¢ Rn → R, a ∈ X và 1 f j f n. Nếu hàm số:
g(x j) = f (a1, a2, ..., a j−1, x j, a j+1, ..., an) Xác định trên tập:
Xj = {x j ∈ R : (a1, a2, ..., a j−1, x j, a j+1, ..., an) ∈ X}
liên tục tại a j thì ta nói hàm số f liên tục theo từng biến xj tại a. Tức là, với mọi ε > 0, tồn tại δ = δ (ε) > 0 sao cho:
| f (a1, a2, ..., a j−1, x j, a j+1, ..., an) − f (a1, a2, ..., a j−1, a j, a j+1, ..., an)| < ε
∀x j ∈ Xj thỏa mãn |x j − a j| < δ
Câu 32: Nêu định nghĩa véctơ khả vi tại một điểm, đạo hàm của hàm véctơ? Trả lời:
Định nghĩa véctơ khả vi tại một điểm: Cho tập X mở trong Rn và hàm véctơ f : X ¢ Rn → Rm, a ∈ X.
Hàm véctơ f được gọi là khả vi tại a nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính T : Rn → Rm sao cho
∥ f (a + ∆x) − f (a) − T (∆x)∥ lim ∆x→0 ∥∆x∥ hay
f (a + ∆x) = f (a) + T (∆x) + o(∥∆x∥), ∆x → 0,
ở đây ∆x = (∆x1,...,∆xn). Trong trường hợp là ánh xạ tuyến tính T được gọi là đạo hàm hay đạo ánh của
hàm véctơ f tại a và kí hiệu là f ′(a) hay D f (a).
Nhận xét: Ta biết với mọi ánh xạ tuyến tính T : Rn → Rm tồn tại duy nhất một ma trận A cỡ m × n sao cho a11 ... a1n x1 a x 21 ... a2n 2 T x = Ax = ... ... ... ... am1 ... amn xn
Ta cũng gọi ma trận A là đạo hàm hay đạo ánh của hàm véctơ f tại a 9 Giải tích 1
Đề cương giải tích 1 năm học 2021 - 2022 Toán tin K66
Câu 33: Phát biểu công thức đạo hàm hàm hợp của hai hàm véctơ. Trả lời:
Công thức tính đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm véctơ f : X ¢ Rn → Y ¢ Rm. Nếu hàm f khả vi tại
a ∈ X và hàm g khả vi tại b = f (a) ∈ Y thì hàm hợp h = g ◦ f : X ¢ Rn → Rp, ở đây X là tập mở trong
Rn và Y là tập mở trong Rm. Nếu hàm f khả vi tại a ∈ X và hàm g khả vi tại b = f (a) ∈ Y thì hàm hợp
h = g ◦ f : X ¢ Rn → Rp khả vi tại a và
Dh(a) = D(g ◦ f )(a) = Dg( f (a)).D f (a) hay
h′(a) = (g ◦ f )′(a) = g′( f (a)). f ′(a)
Câu 34: Phát biểu định lý về mối quan hệ giữa tính khả vi của hàm véctơ và tính khả vi của các
hàm thành phần. Nêu định nghĩa ma trận Jacôbi. Trả lời:
Cho tập mở X trong Rn và hàm véctơ f = ( f1,..., fm) : X ¢ Rn → Rm. Hàm véctơ f khả vi tại a khi và
chß khi các hàm thành phần fi,i = 1,m khả vi tại a. Hơn nữa ∂ f 1 (a) ∂ f2 (a) ∂ f1 (a) ∂ ... x1 ∂ x2 ∂ xn ∂ f2 (a) ∂ f2 (a) ∂ f ... 2 (a) ∂ x 1 ∂ x2 ∂ xn ... ... ... ... ∂ fm(a) ∂ fm (a) ∂ fm (a) ∂ ... x1 ∂ x2 ∂ xn
D f (a) còn được gọi là ma trận Jacobi của f tại a và kí hiệu là J f (a).
Câu 35: Nêu định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến. Phát biểu về sự tồn tại các đạo hàm
riêng của hàm số nhiều biến khả vi. Trả lời:
Định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến: Cho tập X mở trong Rn, hàm số f : X ¢ Rn → R,
a ∈ X và 1 f j f n. Xét hàm số
g(x j) = f (a1, ..., a j−1, x j, a j+1, ..., an) xác định trên tập
Xj = {x j ∈ R : (a1, ..., a j−1, x j, a( j + 1), ..., an) ∈ X}.
Nếu hàm số g(xj) có đạo hàm tại điểm xj = aj thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của hàm số f
theo biến x j tại điểm a. ∂ f Kí hiệu: (a), f ′ (a), D a . ∂ j f ( ) x x j j Vậy ta có ∂ f g(a (a) = g′(a j + ∆x j) − g(a j) ∂ j) = lim x j ∆x ∆ j →0 x j 10 Giải tích 1
Đề cương giải tích 1 năm học 2021 - 2022 Toán tin K66 f (a = lim
1, ..., a j−1, x j, a j+1, ..., an) − f (a1, ..., a j−1, a j+1, ..., an) ∆x ∆ j →0 x j
Điều kiện cần cho tính khả vi của hàm số nhiều biến: Cho tập X mở trong Rn, hàm số f : X ¢ Rn → R.
Nếu hàm số f khả vi tại a ∈ X thì f có đạo hàm riêng theo mọi biến tại điểm a, hơn nữa ∂ f ∂ f d fa(dx) = (a)dx (a)dx ∂ n x 1 + ... + 1 ∂ xn
Câu 36: Phát biểu về sự khả vi của hàm số nhiều biến số có các đạo hàm riêng tồn tại và liên tục tại một điểm Trả lời:
Điều kiện đủ cho tính khả vi của hàm số nhiều biến: Cho tập X mở trong Rn và hàm số f : X ¢ Rn → R
có đạo hàm riêng theo từng biến trên X, hơn nữa các đạo hàm riêng này liên tục tại a ∈ X. Khi đó hàm số f khả vi tại a.
Câu 37: Nêu định nghĩa đạo hàm theo hướng. f khả vi tại a thì có đạo hàm theo mọi hướng tại a. Trả lời:
Định nghĩa đạo hàm theo hướng: Cho tập X mở trong Rn, hàm số f : X ¢ Rn → R và a ∈ X. Cho − → véctơ − → − →
v = (v1, v2, ..., vn) ∈ Rn = 0 . Xét đường thẳng d−
→ với phương trình tham số v x = a + t v =
(a1 + tv1, a2 + tv2, ..., an + tvn),
t ∈ R. Do tập X mở nên tồn tại δ > 0 sao cho Ba(δ ) ¢ X. Khi đó tồn tại δ − →
0 > 0 sao cho a + t v ∈ δ0 ¢ X với mọi t ∈ (−δ0, δ0). Xét hàm số − →
g(t) = f (a + t v ) xác định trên khoảng (−δ0, δ0). t = 0 thì đạo hàm g′(0) được gọi là
đạo hàm của hàm số f tại điểm a theo hướng véctơ − → v . Kí hiệu: ∂ f − → g(t) − g(0) f (a + t v ) − f (a) (a) = g′(0) = lim = lim ∂ − → v t→0 t t→0 t
Câu 38: Phát biểu công thức số gia hữu hạn.
Trả lời: Cho hai điểm a,b ∈ Rn, khi đó tập hợp
[a, b] = {(1 − t)a + tb : t ∈ [0, 1]}
là đoạn thẳng nối a và b.
Định lý: Cho tập X mở trong Rn và đoạn thẳng [a,b] ¢ X, hàm số f : X ¢ Rn → R khả vi trên X.
Khi đó tồn tại c ∈ [a,b] sao cho n ∂ f f (b) − f (a) = ∑ (c)(b j − a j). ∂ x j=1 j 11 Giải tích 1
Đề cương giải tích 1 năm học 2021 - 2022 Toán tin K66
Câu 39: Nêu định nghĩa đạo hàm riêng cấp cao. Phát biểu định lý Schawrz về mối quan hệ giữa các đạo hàm riêng. Trả lời:
Định nghĩa đạo hàm riêng cấp cao: Cho tập X mở trong Rn và hàm số f : X ¢ Rn → R. Giả sử hàm ∂ (m−1) f số f có đạo hàm riêng
cấp m - 1 tại điểm x ∈ X, ở đây m g 2 và 1 f ik f n,k = 1,m − 1. ∂x ∂ ....∂ i x x 1 i1 im−1 Khi đó hàm số ∂ (m−1) f ∂ (m−1) f : X → R, x −→ (x) ∂x ∂x ....∂ ∂x ∂x ....∂ i x x 1 i1 im−1 i1 i1 im−1 xác định trên X. ∂ (m−1) f Nếu hàm số
có đạo hàm riêng theo biến x tại điểm a ∈ X thì đạo hàm riêng này được ∂ im x ∂x ....∂ i x 1 i2 im−1
gọi là đạo hàm riêng cấp m của hàm số f tại điểm theo biến xi ,xi ,...,xi , xi . 1 2 m−1 m Kí hiệu: ∂ (m) f ∂ ∂ (m−1) f = ( )(a) ∂x ∂x ....∂x ∂ ∂ ∂x ∂x ....∂ i x xi x 1 i2 im−1 im m i1 i2 im−1
Định lý Schwarz: Giả sử X là tập mở trong Rn, a ∈ X và hàm số f : X ¢ Rn → R. Nếu tồn tại đạo hàm
riêng ∂2 f (a) và ∂2 f (a) trên X và hai đạo hàm riêng này liên tục tại a thì ta có ∂ xi∂ x j ∂ x j∂ xi ∂ 2 f ∂ 2 f (a) = (a) ∂ xi∂ x j ∂ x j∂ xi
Câu 40: Phát biểu công thức Taylor đối với hàm số nhiều biến. Lời giải:
Công thức Taylor với số dư hạng Peano: Cho hàm số f : Ba(r) ¢ Rn → R khả vi liên tục p lần trên Ba(r). Khi đó p 1 f (x) = f (a) + ∑ (dk f )a(dx) + o(∥dx∥p) k! k=1
ở đây dx = (dx1,dx2,...,dxn) = x − a
Câu 41: Phát biểu định lý hàm ngược và định lý hàm ẩn. Trả lời:
Định lý đạo hàm của hàm ngược: Cho tập X mở trong Rn và hàm véctơ f : X → Rn → Rn khả vi và
liên tục trên X. Hơn nữa detJ f (a) = 0 tại điểm a ∈ X. Khi đó tồn tại tập mở U ¢ X chứa a và tập mở V 12 Giải tích 1
Đề cương giải tích 1 năm học 2021 - 2022 Toán tin K66
chứa f(a) sao cho hàm véctơ f : U → V có hàm ngược liên tục f −1 : V → U khả vi tại mọi điểm y ∈ V thỏa mãn
( f −1)′(y) = [ f ′(x)]−1 với x = f −1(y) Đạo hàm của hàm ẩn
Trường hợp của hàm số một biến: Cho hàm số hai biến F(x,y) sao cho F(a,b) = 0. Nếu tồn tại tập mở
U ¢ R chứa a và tập mở V ¢ R chứa b sao cho với mọi giá trị x ∈ U tồn tại duy nhất một giá trị y ∈ V
sao cho F(x,y) = 0 thì ta nói hệ thức F(x,y) = 0 xác định một hàm ẩn f : U → V sao cho F(x, f (x)) = 0 với mọi x ∈ U.
Trường hợp hàm số nhiều biến: Cho hàm số F : Rn × R → R sao cho F(a,b) = 0 tại điểm (a,b) =
(a1, a2, ..., an, b) ∈ Rn × R. Nếu tồn tại tập mở U ¢ Rn chứa a và tập mở V ¢ R chứa b sao cho mỗi x ∈ U
tồn tại duy nhất một giá trị y ∈ V thỏa mãn F(x1,...,xn,y) = F(x,y) = 0 thì ta nói hệ thức F(x,y) = 0 xác
định một hàm ẩn f : U → V sao cho F(x, f (x)) = 0 với mọi x ∈ U.
Trường hợp hàm véctơ: Cho hàm véctơ F = ( f1,..., fm) : Rn → Rm sao cho F(a,b) = 0 tại điểm
(a, b) = (a1, a2, ..., an, b1, ..., bm) ∈ Rn × Rm. Nếu tồn tại tập mở U ¢ Rn chứa a và tập mở V ¢ Rm
chứa b sao cho mỗi x ∈ U tồn tại duy nhất một véctơ y ∈ V thỏa mãn F(x,y) = 0 ta nói hệ thức F(x,y) = 0
xác định một hàm ẩn f : U → V sao cho F(x, f (x)) = 0 với mọi x ∈ U.
Sự tồn tại của hàm ẩn: Cho tập X ×Y mở trong Rn và hàm véctơ x × Rm y
F = ( f1, ..., fm) : Rnx ×Rmy → Rm
sao cho F(a,b) = 0 tại điểm (a,b) = (a1,a2,...,an,b1,...,bm) ∈ Rn × Rm.
Giả sử M là ma trận ( ∂ fi (a,b)) ∂ y
1fi, jfm. Nếu detM = 0 thì tồn tại tập mở U ¢ X ¢ Rn chứa a và tập j
mở V ¢ Y ¢ Rm chứa b sao cho với mỗi x ∈ U tồn tại duy nhất một véctơ y ∈ V thỏa mãn F(x,y) = 0; tức
là hệ thức F(x,y) = 0 xác định một hàm ẩn f : U → V sao cho F(x, f (x)) = 0 với mọi x ∈ U. Hơn nữa hàm f khả vi trên U
Nếu học hết đến đây rồi thì bạn giỏi thật đấy!!
Let’s fight for bringing A+ to mommy 13 Giải tích 1