24 trang 2 lượt tải

Đề cương giữa kỳ 2 Toán 12 năm 2025 – 2026 trường THPT Đức Trọng – Lâm Đồng

3

Xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề cương ôn tập giữa học kỳ 2 môn Toán 12 năm học 2025 – 2026 trường THPT Đức Trọng, tỉnh Lâm Đồng.

Chủ đề: Đề cương Toán 12 68 tài liệu

Môn: Toán 12 4.7 K tài liệu

Tác giả:

Profile

jang linh

3 ngày trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/24
Trang 1
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2025 – 2026. MÔN: TOÁN 12
I. Mục tiêu
- Biết cách tìm nguyên hàm, tính tích phân của một hàm số đơn giản.
- Biết cách sử dụng tích phân để tính diện tích của một hình phẳng hay thể tích của một vật thể tròn xoay.
- Ứng dụng được vào các bài toán thực tiễn liên quan đến nguyên hàm, tích phân.
- Thiết lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng trong hệ trục toạ độ Oxyz .Vận dụng được kiến thức
về phương trình mặt phẳng để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn.
II. Kiến thức cơ bản
1. Nguyên hàm
Cho hàm số
( )
fx
xác định trên
K
. Hàm số
( )
Fx
được gọi là nguyên hàm của hàm số
(
)
fx
trên
K
nếu
( ) ( )
Fx fx
′
=
với mọi
x
thuộc
K
.
( ) ( )
dfx x Fx C= +
∫
2. Nguyên hàm một số hàm số sơ cấp cơ bản
• Với
1
≠−
, ta có:
;
•
1
= +
∫
d lnx xC
x
;
•
=−+
∫
sin d cos
xx x C
;
•
2
1
=−+
∫
d cot
sin
x xC
x
•
= +
∫
cos d sinxx x C
;
•
2
1
= +
∫
d tan
cos
x xC
x
• Với
0a >
,
1a ≠
, ta có:
= +
∫
d
ln
x
x
a
ax C
a
3. Tính chất
Cho
( )
fx
,
( )
gx
là hai hàm số liên tục trên
K
.
⑴
( ) ( )
=
∫∫
ddkfx x kfx x
với
k
là hằng số khác
0
⑵
( ) ( ) ( ) ( )

+= +

∫ ∫∫
d ddf x gx x f x x gx x
⑶
( ) ( ) ( ) ( )

−= −

∫ ∫∫
d ddf x gx x f x x gx x
4. Định nghĩa tích phân
Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên đoạn
;ab


.
Nếu
(
)
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
trên đoạn
;ab


thì hiệu số
( ) ( )
Fb Fa−
gọi là tích phân từ
a
đến
b
của hàm số
( )
fx
, kí hiệu
( )
d
b
a
fx x
∫
.
( ) ( )
( ) ( )
d
|
b
b
a
a
f x x Fx Fb Fa= = −
∫
5. Tính chất tích phân
⑴ Cho hai hàm số
( ) ( )
,y f x y gx= =
liên tục trên đoạn
;ab


. Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
d dd
b bb
a aa
f x gx x f x x gx x

+= +

∫ ∫∫
( ) ( ) ( ) ( )
d dd
b bb
a aa
f x gx x f x x gx x

−= −

∫ ∫∫
⑵ Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên đoạn
;ab


,
k
là số thực. Khi đó:
Trang 2
(
) (
)
dd
bb
aa
kfx x kfx x
=
∫∫
⑶ Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên đoạn
;
ab


,
(
)
;
c ab
∈
. Khi đó
(
)
(
)
(
)
d dd
b cb
a ac
fx x fx x fx x
= +
∫ ∫∫
6. Diện tích hình thang cong
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )
fx
liên tục,
Ox
và hai đường thẳng
xa=
,
xb=
được tính:
( )
=
∫
d
b
a
S fx x
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )
fx
và
( )
gx
và hai đường thẳng
xa=
,
xb
=
được tính:
( ) ( )
= −
∫
d
b
a
S f x gx x
7. Thể tích hình khối:
Gọi
B
là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại các điểm
a
và
,
b
( )
Sx
là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại điểm
,
x
( )
≤≤axb
Giả sử
( )
Sx
là hàm số liên tục trên đoạn
;ab


Khi đó, thể tích của vật thể
B
được xác định:
( )
=
∫
d
b
a
V Sx x
.
8. Thể tích khối tròn xoay:
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi
( )
y fx=
,
Ox
, và hai đường thẳng
, x ax b
= =
quanh trục
:Ox
( )
2
=
∫
d
b
a
V f xx
9. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Trong không gian
Oxyz
, mỗi mặt phẳng đều có dạng phương trình:
0+ + +=Ax By C z D
với
222
0++≠ABC
, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
10. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
0 0 00
;;Mxyz
và mặt phẳng
( )
0+ + +=: Ax By Cz D
. Khi đó
khoảng cách từ điểm
0
M
đến mặt phẳng
( )
được tính:
( )
(
)
000
0
222
+++
=
++
,
Ax By Cz D
dM
ABC
III. Nội dung ôn tập
1. NGUYÊN HÀM
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
3 cos 3
fx x x= +
Trang 3
A.
(
)
3 1 sin 3
xC
++
. B.
2
3 sin 3
23
xx
C++
. C.
2
3 sin 3
23
xx
C−+
. D.
2
3 sin 3x xC++
.
Câu 2. Nguyên hàm của hàm số có
( )
22
tan cotfx x x= +
là:
A.
2 tan 2 cotx xC++
. B.
33
11
tan cot
33
x xC++
.
C.
tan cot 2x x xC+ −+
. D.
tan cot 2x x xC
− −+
.
Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số
(
)
2
xx
fx e= +
A.
2 ln 2
xx
eC++
. B.
2
ln 2
x
x
eC++
. C.
11
2
xx
eC
++
++
. D.
11
2
1
xx
e
C
x
++
+
+
+
.
Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
2
3
2
1
.fx x x
x
= +
trên khoảng
( )
0;
+∞
A.
7
3
2
3
7
x xC++
. B.
7
3
71
23
x xC++
. C.
5
3
2
3
5
x xC++
. D.
5
3
51
23
x xC++
.
Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
1
52
fx
x
=
−
A.
1
ln 5 2
5
xC
−+
. B.
1
ln 5 2
2
xC− −+
. C.
5ln 5 2xC−+
. D.
ln 5 2
xC−+
.
Câu 6. Kí hiệu
(
)
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
2
1fx x= +
và
( )
18
1
15
F =
. Khẳng định nào
sau đây là đúng?
A.
(
)
53
2
53
xx
Fx x=++
. B.
( )
53
2
53
xx
Fx x C= + ++
.
C.
( )
( )
2
41Fx xx= +
. D.
( )
53
22
53 3
xx
Fx x= + +−
.
Câu 7. Cho hàm số
( )
fx
xác định trên
{ }
\1−
và thỏa mãn
( )
3
1
fx
x
′
=
+
,
( )
01f =
và
( ) ( )
1 22ff+ −=
. Giá trị
( )
3f −
bằng:
A.
1 2 ln 2+
. B.
1 ln 2−
. C. 1. D.
2 ln 2+
.
Câu 8. Biết rằng
(
) (
) (
)
32
21
Fx ax abx abcx= + + + −+ +
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
3 62fx x x
= ++
. Tính tổng
S abc=++
.
A.
2S =
. B.
3S
=
. C.
4S =
. D.
5S =
.
Câu 9. Một ô tô đang chạy với vận tốc
20
m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển
động chậm dần với vận tốc
(
)
4 20vt t=−+
(m/s) trong đó
t
là khoảng thời gian tính bằng giây
kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được
bao nhiêu mét?
A. 25 m. B. 50 m. C. 10 m. D. 30 m.
Câu 10. Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia
tốc phụ thuộc thời gian
( )
st
là
( )
( )
2
2 7 m/sat t= −
. Biết vận tốc ban đầu bằng
(
)
10 m/s
, hỏi
trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?
A.
( )
5s
. B.
( )
6s
. C.
( )
1s
. D.
( )
2s
.
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 11. Hàm số
(
)
fx
xác định trên
{ }
\0
thoả mãn
( )
2
57xx
fx
x
+−
=
. Xét tính đúng sai của các
khẳng định sau:
a)
( )
7
5fx x
x
=+−
.
Trang 4
b)
( )
2
d 5 7 ln
2
x
fx x x x C
= +− +
∫
.
c) Gọi
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
(
)
fx
và thoả mãn
( )
15
F
=
. Khi đó ta tìm được
hàm số
( )
2
1
5 7 ln
22
x
Fx x x= +− +
d) Gọi
(
)
Gx
là một nguyên hàm của hàm số
(
)
fx
. Biết
(
)
14
G
=
và
(
)
(
)
3 9 20
GG+ −=
. Khi
đó tìm được
(
)
6 ln 2 ln 3G abc
−= + +
, với
,,abc
là các số hữu tỉ. Vậy
2
3
abc++=
.
Câu 12. Cho hàm số
(
)
fx
liên tục trên
thoả mãn
( )
2
,0
,0
x
x mx
fx
ex
+≥
=
<
(
m
là hằng số). Giả sử
( )
Fx
là nguyên hàm của hàm số
( )
fx
và
( )
Fx
liên tục trên
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)
1m =
.
b) Biết
( )
2
1
1
2
F
e
−=
. Khi đó với
0x <
thì
( )
2
2
11
2
x
Fx e
e
= −
.
c)
( )
2
2
41
1
2
e
F
e
−
=
.
d) Đồ thị hàm số
( )
Fx
có một điểm chung duy nhất với trục hoành.
Câu 13. Cho hàm số
( )
2
sin 2 khi 0
2cos khi 0
2
xx
fx
x
x
+≥
=
<
. Giả sử
F
là nguyên hàm của
f
liên tục trên
thỏa
mãn
3
F
π
π

−=


. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)
( )
sin 2 cos 2x dx x x C+ = ++
∫
.
b)
( )
2
43
2 cos sin
2 32
x
F x dx x x
π
= = ++ +
∫
.
c) Với
0
x ≥
thì
( )
4 32
2 cos
32
Fx x x
π
+
=− ++
.
d)
2
5
3 32
F FF
πππ
π
 
−+ − =
 
 
.
Câu 14. Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi
( )
ht
là thể tích nước bơm được sau
t
giây.
Cho
( )
( )
23
3 m /sh t at bt
′
= +
và ban đầu bể không có nước. Sau
5
giây thì thể tích nước trong bể
là
3
150m
. Sau
10
giây thì thể tích nước trong bể là
3
1100
m
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)
( )
2
3
d
2
t
h t t at b C
′
=++
∫
.
b)
( )
2
3
1
2
t
h t at b=++
.
c)
.2ab=
.
d) Thể tích nước trong bể sau khi bơm được
20
giây là
3
8040m
.
Câu 15. Trong thí nghiệm nuôi cấy một loại vi sinh vật, kí hiệu
( )
ft
là tổng số lượng vi sinh vật sau
t
giờ. Biết rằng sau
3
giờ đầu tiên thì tổng số lượng vi sinh vật là
50
con. Trong
7
giờ tiếp theo,
số lượng vi sinh vật thay đổi với tốc độ
( )
2
8ft t t
′
= −
(con/giờ). Xét tính đúng sai của các khẳng
định sau:
Trang 5
a) Họ nguyên hàm của
(
)
ft
′
là
( )
3
2
8
3
t
t CC−+ ∈
.
b) Số lượng vi khuẩn tăng liên tục trong khoảng từ 3 giờ đến 10 giờ sau thời điểm làm thí nghiệm.
c) Số lượng vi khuẩn là nhỏ nhất sau 8 giờ tính từ lúc bắt đầu làm thí nghiệm.
d) Sau 6 giờ thì số lượng vi khuẩn là 5 con.
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 16. Cho hàm số
(
)
sin .cos 2fx x x
=
liên tục trên
. Giả sử
( )
Fx
là nguyên hàm của hàm số
( )
fx
thỏa mãn
3
62
F
π

=


. Tính giá trị của
( )
,, , 0T a b c abc c=++ ∈ ≠
biết
5
3
ab
F
c
π
+

=


.
Câu 17. Khi được thả từ độ cao
20 m
một vật rơi với gia tốc không đổi
2
10 m / sa =
. Sau khi rơi được
t
giây thì vật có tốc độ bao nhiêu?
Câu 18. Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm
t
giây (coi
0
t =
là thời
điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi
(
)
( )
160 9,8 m / svt t= −
. Tìm độ cao
lớn nhất của viên đạn (tính từ mặt đất). (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
2. TÍCH PHÂN
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu 19. Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên đoạn
[ ]
;ab
. Gọi
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
trên
[ ]
;
ab
. Chọn mệnh đề đúng
A.
( ) (
) ( )
d
b
a
f x x Fb Fa= −
∫
. B.
( ) ( ) ( )
d
b
a
f x x Fa Fb= −
∫
.
C.
(
) ( )
( )
d
b
a
f x x Fb Fa
= +
∫
. D.
( ) ( ) ( )
22
d
b
a
fx x F b F a= −
∫
.
Câu 20. Tính tích phân
2
2
cos dtt
π
π
−
∫
A.
2
. B.
0
. C.
2−
. D.
1
.
Câu 21. Nếu
( )
3
1
d2fx x=
∫
thì
(
)
3
1
2d
fx x x+


∫
bằng
A.
20
. B.
18
. C.
12
. D.
10
.
Câu 22. Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, cho hình thang
OABC
giới hạn bởi
31
yx
= +
, trục
Ox
và hai
đường thẳng
0, 1xx= =
(như hình vẽ).
Khi đó
( )
1
0
31x dx+
∫
bằng bao nhiêu?
A.
2
5
. B.
5
2
. C.
3
2
. D.
2
.
Trang 6
Câu 23. Cho
( )
2
2
1f x dx
−
= −
∫
và
( )
2
2
3
g x dx
−
=
∫
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
( ) ( )
2
2
8
f x g x dx
−
+=


∫
. B.
( ) ( )
2
2
4f x g x dx
−
−=


∫
.
C.
( )
2
2
55f x dx
−
=
∫
. D.
( )
(
)
2
2
3 4 15
f x g x dx
−
−=−


∫
.
Câu 24. Cho
( )
1
0
1f x dx
= −
∫
;
( )
3
0
5f x dx
=
∫
. Tính
(
)
3
1
f x dx
∫
A.
3
. B.
6
. C.
5
. D.
4
.
Câu 25. Cho
( )
2
0
3 21 6
m
x x dx−+ =
∫
. Giá trị của tham số
m
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
(
)
1; 2
−
. B.
( )
;0−∞
. C.
( )
0; 4
. D.
(
)
3;1−
.
Câu 26. Vận tốc của một vật chuyển động là
( ) ( )
2
35/vt t m s
= +
. Quãng đường vật đó đi được từ giây
thứ
4
đến giây thứ
10
là
A.
669m
. B.
696m
. C.
699m
. D.
966
m
.
Câu 27. Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hoá bằng công thức
( )
0,0004 9,3Px x
′
=−+
. Ở đây
(
)
Px
là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được
x
đơn vị
sản phẩm. Khi đó sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ
100
lên
125
đơn vị sản phẩm
là
A.
232,325
triệu đồng. B.
230,315
triệu đồng. C.
321,385
triệu đồng. D.
231,375
triệu đồng.
Câu 28. Cho
( )
1 khi 1
2 1 khi 1
x
fx
xx
≥
=
−<
. Tính
( )
2
1
J f x dx
−
=
∫
.
A.
1−
. B.
1
2
. C.
4
. D.
5
.
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 29. Cho
( )
0
3
4f x dx
−
= −
∫
và
( )
0
3
3g x dx
−
= −
∫
.
a)
( ) ( )
0
3
7f x g x dx
−
+=−


∫
. b)
( ) ( )
0
3
1f x g x dx
−
−=


∫
.
c)
( )
0
3
3 12
f x dx
−
−=
∫
. d)
( ) ( )
0
3
2 3 51f x g x dx
−
+=−


∫
.
Câu 30. Cho hàm số
(
)
fx
liên tục và không âm trên đoạn
[
]
0;3
.
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
trên đoạn
[ ]
0;3
thỏa
( )
32F =
và
( )
01
F =
.
a) Hiệu số
( ) ( )
30FF−
gọi là tích phân từ 3 đến 0 của hàm số
( )
fx
.
b)
( ) ( ) ( ) ( )
30
03
30f x dx f x dx F F=−=−
∫∫
.
c)
( )
3
0
1f t dt =
∫
.
d) Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )
y fx=
, trục hoành và hai đường thẳng
0, 3xx= =
có diện tích bằng 1.
Câu 31. Cho
3
2
0
2dI x xx= −
∫
.
Trang 7
a)
2
2
2
2 ,0 2
2
2 ,0 3
xxx
xx
xxx
− ≤≤
−=
− <≤
.
b)
3 23
2 22
0 02
2d 2d 2dI x xx x xx x xx=− =− +−
∫∫∫
.
c)
( ) ( )
32 3
22 2
00 2
2d 2d 2dIxxx xxxxxx=− =− +−
∫∫ ∫
.
d)
23
33
22
02
33
xx
Ix x

=−+ + −


.
Câu 32. Giả sử lợi nhuận biên tính bằng triệu đồng của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức
( )
0,0008 10, 4Px x
′
=−+
. Ở đây
(
)
Px
là lợi nhuận tính bằng triệu đồng khi bán được
x
đơn vị
sản phẩm.
a) Lợi nhuận khi bán được
x
đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức
( )
2
0,0008 10, 4
Px x x=−+
.
b) Lợi nhuận khi bán được
50
sản phẩm đầu tiên là
519
triệu đồng.
c) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ
50
lên
55
đơn vị sản phẩm là
49,79
triệu
đồng.
d) Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ
50
lên
(
)
50
aa>
đơn vị sản phẩm lớn
hơn
517
triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của
a
là
100
.
Câu 33. Ở nhiệt độ
37 C°
, một phản ứng hóa học từ chất đầu
A
, chuyển hóa thành chất sản phẩm
B
theo
phương trình:
AB→
. Giả sử
(
)
yx
là nồng độ chất
A
đơn vị mol/l tại thời điểm
x
giây,
( )
0yx>
với
0x ≥
, thỏa mãn hệ thức
( ) ( )
4
7.10 .y x yx
−
′
= −
với
0x ≥
. Biết rằng tại
0x =
, nồng
độ đầu của
A
là
0, 05 mol/l
. Xét hàm số
( ) ( )
lnf x yx
=
với
0x ≥
. Khi đó ta có
a)
( )
4
7.10fx
−
′
= −
.
b)
( ) (
)
4
7.10 ln 0,05fx x
−
=−+
.
c)
( )
( )
4
30 15 6.10yy
−
−=−
.
d) Nồng độ trung bình của chất
A
từ thời điểm
15
giây đến
30
giây gần bằng
0, 05
.
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 34. Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm
t
(giây) là
( )
2
6vt t t= −+
(mét/giây). Quãng đường (mét) vật đi được trong khoảng thời gian
14t≤≤
bằng
bao nhiêu?
Câu 35. Hiệu suất của tim là lưu lượng máu được bơm bởi tim trên một đơn vị thời gian (tức là lưu lượng
máu chảy vào động mạch chủ). Để đo hiệu suất của tim, người ta bơm
( )
mgA
chất chỉ thị màu
vào tâm nhĩ phải, chảy qua tim rồi vào động mạch chủ và đo nồng độ chất chỉ thị màu còn lại ở
tim đến thời điểm
( )
sT
khi chất chỉ thị màu tan sạch. Gọi
( )
tc
là nồng độ
( )
mg/l
chất chỉ thị
màu tại thời điểm
( )
st
thì hiệu suất của tim được xác định bởi
( )
( )
0
l/s
d
T
A
F
ct t
=
∫
. Tính hiệu suất
của tim khi bơm
8 mg
chất chỉ thị màu vào tâm nhĩ phải, biết
( )
( )
1
12
4
ct t t= −
với
0 12t≤≤
(kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). (Nguồn: James Stewart, Calculus, Cengage
Learning)
Trang 8
Câu 36. Cho hàm số
( )
2
1 khi 1
khi 1
ax x
fx
xb x
+≥
=
+<
với
,ab
là các tham số thực. Biết rằng
(
)
fx
liên tục và
có đạo hàm trên
. Biết
( )
2
1
3
d2
2
ma
I fx x b
n
−
= =++
∫
với
,mn
là các số nguyên tố cùng nhau.
Tính
S mn= −
.
3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 10. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
( )
, , x ax by f x= = =
và trục hoành là
A.
( )
d
b
a
S fx x
π
=
∫
. B.
(
)
d
b
a
Sxx
f=
∫
. C.
( )
d
b
a
Sxx
f=
∫
. D.
.
Câu 2. Cho hai hàm số
( )
fx
và
( )
gx
liên tục trên
[ ]
;
ab
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
các hàm số
( )
y fx
=
,
( )
y gx=
và các đường
, x ax b
= =
bằng
A.
( )
( )
d
b
a
x
f x gx−


∫
. B.
( )
( )
d
b
a
xf x gx
+
∫
.
C.
( ) ( )
d
b
a
xf x gx−
∫
. D.
( )
( )
d
b
a
xf x gx−


∫
.
Câu 3. Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
3
3 , 0, 0, 2
y x xy x x=−===
. Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
A.
( )
2
3
0
3dxxSx= −
∫
. B.
( )
2
2
3
0
3dxxSx= −
∫
. C.
2
3
0
3dxxSx= −
∫
. D.
.
Câu 4. Tính diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi các đường
, 2, 0, 1
x
yey x x= = = =
.
A.
4 ln 2 5eS = +−
. B.
4 ln 2 6eS = +−
. C.
2
7S e= −
. D.
3S e
= −
.
Câu 5. Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
(
) ( )
, , , yfxygxxaxb
= = = =
. Biết
rằng
( ) (
)
8f x gx−=−
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( )
8d
b
a
x
S = −
∫
. B.
8d
b
a
S x=
∫
. C.
64d
b
a
xS =
∫
. D.
64d
b
a
x
S
π
=
∫
.
Câu 6. Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
0, 1xx= =
, đồ thị hàm số
32
3yx x= +
và tiếp tuyến của nó tại điểm
2x = −
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( )
0
2
1
3
3d4xxSx −= +
∫
. B.
0
2
1
3
3d4xxSx −= +
∫
.
C.
( )
0
2
1
3
3d4xxSx −= +
∫
. D.
( )
2
2
1
3
0
3d4xxSx
π
−= +
∫
.
Trang 9
Câu 7. Tìm
a
để diện tích
S
của hình phẳng giới hạn bởi
(
)
2
2
:
1
xx
Py
x
−
=
−
, đường thẳng
:1dy x= −
và
( )
, 2 1x a x aa
= = >
bằng
ln 3
?
A.
1a =
. B.
4a =
. C.
3
a
=
. D.
2
a =
.
Câu 8. Cho đồ thị hàm số
(
)
y fx
=
liên tục trên
và đồ thị như hình vẽ . Gọi
S
là diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )
y fx=
, trục hoành và hai đường thẳng
1, 3xx=−=
. Mệnh
đề nào sau đây đúng?
A.
( )
3
1
dS fxx
−
=
∫
. B.
( )
3
1
dS fx x
−
=
∫
.
C.
( )
(
)
3
3
2
3
1
2
ddS fxx fxx
−
= +
∫∫
. D.
( ) (
)
3
3
2
3
1
2
ddS fxx fxx
−
= −
∫∫
.
Câu 9. Tính diện tích hình phẳng (phần tô đậm) trong hình vẽ bên dưới
A.
5
12
. B.
9
4
. C.
81
12
. D.
13
.
Câu 10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
yx=
và đường thẳng
2yx=
là
A.
4
3
. B.
5
3
. C.
3
2
. D.
23
15
.
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 5. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
cosyx=
, trục
Ox
và hai đường thẳng
0x =
,
x
π
=
được tính bởi công thức
0
cos dS xx
π
=
∫
.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
cosyx=
, trục
Ox
và hai đường thẳng
0x =
,
2
x
π
=
bằng
1
.
Trang 10
c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
1yx= −
và trục
Ox
được tính bởi công
thức
1
2
0
1dSx x= −
∫
.
d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
1yx= +
, trục
Ox
, trục
Oy
và đường
thẳng
1x =
bằng
4
3
.
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
( )
y fx
=
,
( )
y gx=
và hai đường thẳng
xa
=
,
xb=
được tính bằng công thức
( ) ( )
( )
d
b
a
S f x gx x= −
∫
.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
2
yx=
và
yx=
được tính bằng công
thức
1
2
0
dS x xx= −
∫
.
c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
2
yx=
và
1y =
bằng
4
3
.
d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
2
1yx= +
,
1y =
và đường thẳng
1x =
bằng
4
3
.
Câu 3. Một viên gạch men có dạng hình vuông
OABC
như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có
( )
0; 0O
,
(
) ( )
( )
0; 1 , 1; 1 , 1; 0
A BC
và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số
3
yx=
và
3
yx
=
.
Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
3
yx=
, trục
Ox
, đường thẳng
0x =
và
đường thẳng
1x =
được tính bằng công thức
1
3
0
dS xx=
∫
.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
3
yx=
trục
Ox
, đường thẳng
0x =
và
đường thẳng
1x =
có giá trị bằng
3
4
(đvdt).
c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
3
yx=
và
3
yx=
, đường thẳng
0x =
và
đường thẳng
1x =
được tính bằng công thức
( )
1
3
3
0
dS x xx= −
∫
.
d) Diện tích phần không được tô đậm trên viên gạch men có giá trị bằng
1
2
(đvdt).
Câu 4. Một cánh cổng của tòa nhà có dạng parabol gồm hai phần: Phần làm cửa lối vào hình chữ nhật
ABCD
, còn lại là phần tường trang trí. Biết rằng chiều cao cổng là
9, 6, 4IO m EF m AB m= = =
.
1
S
là diện tích phần cánh cửa của lối vào hình chữ nhật,
2
S
là diện tích phần tường trang trí.
Các khẳng định sau đúng hay sai?
x
y
B
O
C
A
Trang 11
a) Giả sử parabol có phương trình là
(
)
y fx=
thì diện tích cánh cổng là
( )
3
3
dS fx x
−
=
∫
b) Diện tích phần cửa vào là
( )
2
1
45Sm=
.
c) Diện tích phần tường trang trí là
( )
2
1
16Sm
=
.
d) Giả sử phần tường trang trí hai bên cửa vào cần ốp kính cường lực. Khi đó diện tích kính cần
dùng là
(
)
2
16
3
m
.
Câu 5. Cho parabol
( )
2
:2Pyx= −
, đường thẳng
:2dy x= −
và
:dx a
′
=
,
a
là tham số dương.
a) Diện tích hình phẳng
( )
1
H
giới hạn bởi
( )
P
và trục
Ox
là
1
42
3
S =
.
b) Diện tích hình phẳng
( )
2
H
giới hạn bởi các đường
( )
P
và
d
là
2
1
6
S =
.
c) Diện tích hình phẳng
( )
3
H
giới hạn bởi các đường
( )
P
, đường
d
′
và hai trục tọa độ là
( )
2
3
0
2d
a
Sx x= −
∫
.
d) Diện tích hình phẳng
( )
4
H
giới hạn bởi các đường
( )
P
, đường thẳng
d
và trục
Ox
là
4
42 5
3
S
−
=
.
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Câu 1. Một viên gạch hoa hình vuông cạnh
( )
60 cm
. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có
chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô mầu sẫm như hình vẽ bên).
6 m
9 m
O
B
A
I
E
F
D
C
Trang 12
Diện tích phần cánh hoa của viên gạch bằng bao nhiêu
2
cm
?
Câu 2. Cổng của một trại du lịch sinh thái có dạng parabol, lối ra vào cổng là hình chữ nhật như hình
vẽ. Biết rằng, lối đi hình chữ nhật
ABCD
có kích thước
2CD m=
, phía ngoài lối đi hình chữ
nhật được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí trang trí hoa văn là
240000
đồng cho một mét
vuông. Hỏi số tiền để trang trí hoa văn của cổng trại du lịch sinh thái là bao nhiêu triệu đồng?
Câu 3. Sân trường có một bồn hoa hình tròn có tâm
O
. Một nhóm học sinh lớp
12
được giao thiết kế
bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường parabol có cùng đỉnh
O
và
đối xứng nhau qua
O
. Hai đường parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm
A
,
B
,
C
,
D
tạo
thành một hình vuông có cạnh bằng
4m
(như hình vẽ). Phần diện tích
1
S
,
2
S
dùng để trồng hoa,
phần diện tích
3
S
,
4
S
dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Biết
kinh phí để trồng hoa là
150000
đồng/
2
1
m
, kinh phí để trồng cỏ là
100000
đồng/
2
1m
. Hỏi nhà
trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn).
Câu 4. Cho hai hàm số
( )
32
1
f x ax bx cx= + ++
và
( )
² g x dx ex
= +
( )
,,, ,abcde
∈
. Biết rằng đồ thị
hàm số
( )
y fx
=
và
( )
y gx=
cắt nhau tại
3
điểm có hoành độ lần lượt là
1
−
;
1
2
;
2
(tham
khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi
2
đồ thị đã cho có diện tích bằng bao nhiêu?
Trang 13
4. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 10. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Viết công thức tính thể tích
V
của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn
bởi đồ thị hàm số
(
)
y fx=
, trục
Ox
và hai đường thẳng
( )
,x ax ba b= = <
, xung quanh trục
Ox
.
A.
(
)
d
b
a
V fx x
=
∫
. B.
(
)
2
d
b
a
V f xx
π
=
∫
. C.
( )
2
d
b
a
V f xx
=
∫
. D.
(
)
d
b
a
V fxx
π
=
∫
.
Câu 2. Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại
1x =
và
2x =
. Một mặt phẳng tuỳ
ý vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ
( )
12xx≤≤
cắt vật thể đó có diện tích
( )
2024Sx x=
. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.
A.
3036
V =
. B.
3036
V
π
=
. C.
1518
V =
. D.
1518V
π
=
.
Câu 3. Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại
1x
=
và
3x =
. Một mặt phẳng tuỳ
ý vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ
( )
13xx≤≤
cắt vật thể đó theo thiết diện là một
hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là
3x
và
2
32x −
. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi
hai mặt phẳng trên.
A.
156V =
. B.
156V
π
=
. C.
312V =
. D.
312V
π
=
.
Câu 4. Gọi
D
là hình phẳng giới hạn bởi các đường
3x
ye=
,
0
y =
,
0x =
và
1x =
. Thể tích của khối
tròn xoay tạo thành khi quay
D
quanh trục
Ox
bằng
A.
1
3
0
d
x
ex
π
∫
. B.
1
6
0
d
x
ex
∫
. C.
1
6
0
d
x
ex
π
∫
. D.
1
3
0
d
x
ex
∫
.
Câu 5. Gọi
D
là hình phẳng giới hạn bởi các đường
4x
ye=
,
0
y
=
,
0x =
và
1x =
. Thể tích của khối
tròn xoay tạo thành khi quay
D
quanh trục
Ox
bằng
A.
1
4
0
d
x
ex
∫
. B.
1
8
0
d
x
ex
π
∫
. C.
1
4
0
d
x
ex
π
∫
. D.
1
8
0
d
x
ex
∫
.
Câu 6. Cho hình phẳng
()H
giới hạn bởi các đường
2
3yx= +
,
0
y =
,
0x =
và
2x
=
. Gọi
V
là thể
tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay
()H
xung quanh trục
Ox
. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A.
( )
2
2
0
3dVx x= +
∫
. B.
( )
2
2
0
3dVxx
π
= +
∫
.
C.
( )
2
2
2
0
3dVx x= +
∫
. D.
( )
2
2
2
0
3dVx x
π
= +
∫
.
Trang 14
Câu 7. Cho hình phẳng
D
được giới hạn bởi đường cong
e
x
y
=
, trục hoành và các đường thẳng
0
x =
;
1x =
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay miền
D
quanh trục hoành có thể tích
V
bằng bao
nhiêu?
A.
(
)
2
e1
2
V
π
+
=
. B.
2
e1
2
V
−
=
. C.
2
e
3
V
π
=
. D.
(
)
2
e1
2
V
π
−
=
.
Câu 8. Cho hình phẳng
D
được giới hạn bởi đường cong
2
1yx= +
, trục hoành và các đường thẳng
0x =
;
1x
=
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay miền
D
quanh trục hoành có thể tích
V
bằng
bao nhiêu?
A.
2V =
. B.
4
3
V
π
=
. C.
2
V
π
=
. D.
4
3
V =
.
Câu 9. Cho hình phẳng
D
được giới hạn bởi đường cong
2 cosyx= +
, trục hoành và các đường thẳng
0x =
;
2
x
π
=
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay miền
D
quanh trục hoành có thể tích
V
bằng
bao nhiêu?
A.
( )
1V
ππ
= +
. B.
1V
π
= −
. C.
1V
π
= +
. D.
( )
1
V
ππ
= −
.
Câu 10. Cho hình phẳng
D
được giới hạn bởi đường cong
2 sinyx= +
, trục hoành và các đường thẳng
0x =
;
x
π
=
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay miền
D
quanh trục hoành có thể tích
V
bằng
bao nhiêu?
A.
(
)
21
V
ππ
= +
. B.
2V
π
=
. C.
(
)
21
V
π
= +
. D.
2
2V
π
=
.
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 5. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Các khẳng định sau là đúng hay sai
a) Công thức tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol
( )
2
:Pyx=
,
đường thẳng
:2dy x=
và đường thẳng
0x =
,
2x =
quay xung quanh trục
Ox
là
22
24
00
4d dV xx xx
ππ
= −
∫∫
.
b) Cho hình phẳng
( )
H
giới hạn bởi các đường
2
3yx= +
,
0
y =
,
0x =
,
2x =
. Gọi
V
là thể
tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay
( )
H
xung quanh trục
Ox
. Khi đó
( )
2
2
2
0
3dVx x
π
= +
∫
.
c) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
2yx= −
,
0
y =
và
4x =
,
9x =
quay xung quanh
trục
Ox
. Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng
11
π
.
d) Cho tam giác vuông
OAB
có cạnh
OA a=
nằm trên trục
Ox
và
AOB
α
=
0
4
π
α

≤≤


.
Gọi
( )
H
là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác
OAB
xung quanh trục
Ox
. Thể tích
V
của
( )
H
bằng
3
a
π
.
Câu 2. Các khẳng định sau là đúng hay sai?
Trang 15
a) Cho hình phẳng
D
giới hạn bởi đường cong
2 sinyx= +
, trục hoành và các đường thẳng
0,xx
π
= =
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
D
quanh trục hoành có thể tích bằng
( )
2 1.
ππ
+
b) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
2
2yx x
= −
, trục hoành, đường thẳng
0, 1xx= =
quay quanh trục hoành bằng
8
25
π
.
c) Cho hình phẳng
( )
H
giới hạn bởi các đường thẳng
2
2yx= +
,
0
y =
,
1, 2
xx
= =
. Gọi
V
là
thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay
( )
H
xung quanh trục
Ox
. Khi đó
( )
2
2
2
1
2dVx x
π
= +
∫
d) Gọi
V
là thể tích của khối tròn xoay tạo thành do quay xung quanh trục hoành một elip có
phương trình
22
1
25 16
xy
+=
. Ta có
320
3
V
π
=
Câu 3. Gọi
V
là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
,0y xy= =
và
4x =
quanh trục
Ox
.
a) Diện tích hình phẳng tạo thành khi được giới hạn bởi các đường
,0y xy= =
và
4x =
là
16
3
S =
.
b) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
,0
y xy= =
và
4x =
quanh trục
Ox
có công thức là
( )
4
2
0
dV xx=
∫
.
c) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
,0y xy
= =
và
4x =
quanh trục
Ox
là
8
π
.
d) Đường thẳng
( )
04xa a= <<
cắt đồ thị hàm số
yx
=
tại
M
(hình vẽ). Gọi
1
V
là thể tích
khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác
OMH
quanh trục
Ox
. Với
1
2
VV
=
ta có giá trị
3.a =
Câu 4. Cho một vật thể có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính cùng bằng
R
. Cắt khối gỗ đó bởi
một mặt phẳng đi qua đường kính của một đáy của khối gỗ và tạo với đáy của khối gỗ đó một
góc
30°
ta thu được hai khối gỗ có thể tích là
12
,VV
với
12
VV<
. Gắn khối gỗ có dạng hình nêm
vào hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau
a) Nửa đường tròn đường kính
AB
có phương trình là
22
y Rx= −
với
RxR−≤≤
.
b)
22
MN R x= −
.
c) Diện tích tam giác
MNP
bằng
22
23
Rx−
.
d)
3
1
3
9
R
V =
.
Trang 16
Câu 5. Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền
(
)
R
(phần gạch chéo
trong hình vẽ) quanh trục
MN
. Biết rằng
ABCD
là hình chữ nhật với
6 cm
AB =
,
10 cmAD =
,
,MN
lần lượt là trung điểm của
AB
,
CD
, hai đường cong là đường elip có hình chữ nhật cơ sở
là
ABCD
và đường tròn tiếp xúc với hai cạnh
AD
và
BC
(tham khảo hình vẽ). Xét tính đúng sai
của các khẳng định sau
a) Phương trình của elip là
22
1
100 36
xy
+=
.
b) Phương trình đường tròn là
22
9xy
+=
.
c) Quay đường elip quanh trục
MN
tạo ra khối tròn xoay có thể tích là
( )
3
60 cm
π
.
d) Thể tích của vật trang trí là
3
75, 4 cmV =
.
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3.
Câu 1. Cho hình thang
ABCD
có
AB
song song
CD
và
,2AB AD BC a CD a= = = =
. Thể tích khối
tròn xoay khi quay hình thang
ABCD
quanh trục là đường thẳng
AB
bằng
ma
. Tính
m
(làm
tròn đến hàng phần trăm)
Câu 2. Một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là
6 cm
, chiều cao trong lòng cốc là
10 cm
đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước
vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy của mực nước trùng với đường kính đáy (tham khảo hình
vẽ)
Câu 3. Để chuẩn bị hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp
12A
dựng một cái lều trại có dạng hình
parabol như hình vẽ.
Trang 17
Nền của lều tại là một hình chữ nhật có chiều rộng bằng
3m
và chiều dài bằng
6m
, đỉnh trại
cách nền
2
m
. Tính thể tích phần bên trong lều trại.
5. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
. Vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
ABCD
?
A.
AC

. B.
AC
′

. C.
AA
′

. D.
AD
′

.
Câu 2. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 30Pxyz++−=
đi qua điểm nào dưới đây:
A.
( )
1; 1; 1M −−−
. B.
(
)
1;1; 1N
. C.
( )
3;0;0P −
. D.
( )
0; 0; 3Q
−
.
Câu 3. Trong không gian
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
:3 2 4 1 0xyz
α
+ − +=
. Vectơ nào dưới đây là một vec
tơ pháp tuyến của
( )
α
?
A.
( )
2
3;2;4n
=

. B.
( )
3
2; 4;1n = −

. C.
( )
1
3; 4;1n = −

. D.
( )
4
3; 2; 4n = −

.
Câu 4. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
P
đi qua điểm
( )
0; 1; 4A −
và có một vec tơ pháp
tuyến
( )
2; 2; 1n = −
. Phương trình của
(
)
P
là
A.
2 2 60x yz
− −−=
. B.
22 6x yz+ +−
.
C.
2 2 60x yz+ −+=
. D.
.
Câu 5. Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( ) ( ) ( )
3; 2;1 , 1; 4;1 , 3; 2; 5AB C−−
. Toạ độ nào sau đây là
toạ độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
(
)
ABC
?
A.
(
)
1;2;2
. B.
( )
8; 16;16−
. C.
( )
1; 2; 2−−
. D.
(
)
1;4;4
.
Câu 6. Trong không gian
Oxyz
, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
(
) ( )
2; 0; 0 , 0;3;0AB−
,
( )
0; 0;1C
là
A.
1
231
xyz
++=
. B.
1
231
x yz
++=
−
. C.
0
231
xyz
++=
. D.
1
231
xyz
++=−
.
Câu 7. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
1
123
xyz
++=
là
A.
( )
1
6; 3; 2n =

. B.
( )
2
6; 2; 3n
=

. C.
(
)
3
3; 6; 2n
=

. D.
( )
4
2; 3; 6n =

.
Câu 8. Trong không gian
Oxyz
, phương trình của mặt phẳng
( )
Oxz
là
A.
0xz
+=
. B.
0y =
. C.
0
z =
. D.
0x =
.
Câu 9. Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
( )
3;4; 2M −
lên mặt phẳng
( )
Oxz
có
tọa là:
A.
( )
3;0;0Q
. B.
( )
3;4;0G
. C.
( )
0;4; 2E
−
. D.
( )
3;0; 2F −
.
Câu 10. Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
(
) ( ) ( )
3; 2; 2 , 3;2;0 , 0;2;1A BC−−
. Phương trình mặt
phẳng
( )
ABC
là
A.
2 3 6 12 0xyz−++=
. B.
2 3 6 12 0xyz+−−=
.
Trang 18
C.
236 0xyz−+=
. D.
2 3 6 12 0xyz+++=
.
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 3 12 0
P xyz+−− =
.
a) Mặt phẳng
(
)
P
có một véctơ pháp tuyến là
( )
3;1; 1n = −
.
b) Mặt phẳng
( )
P
đi qua điểm
( )
5;3; 6A
−
.
c) Cho điểm
(
)
; ;1M ab
thuộc mặt phẳng
(
)
P
. Khi đó
3 13ab
+=−
d)
(
)
P
cắt trục
Ox
tại
A
, cắt trục
Oz
tại
B
. Chu vi tam giác
OAB
bằng 12.
Câu 2. Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( )
1; 0; 1A
−
,
( )
3; 2;1B
,
( )
5; 3; 7C
.
a)
( )
4; 2; 0AB =

.
b) Nếu
I
là trung điểm đoạn thẳng
AB
thì
( )
2; 1; 0I
.
c) Mặt phẳng trung trực của
AB
là
2 30xy+−=
.
d)
( )
,,M abc
thoả mãn
MA MB=
. Khi đó
( )
min MB MC BC+=
.
Câu 3. Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( )
1;6;0A
,
( )
2; 2; 1B −−
,
( )
5; 1; 3C
−
và
( )
: 60Pxyz++−=
.
a) Một vecto pháp tuyến của
( )
P
là
( )
1;1; 1n =
.
b) Phương trình mặt phẳng
( )
Q
qua
A
và vuông góc với
BC
có phương trình
3 3 4 15 0xyz−++=
.
c) Phương trình mặt phẳng
(
)
ABC
có phương trình là
19 5 37 11 0
xy z−− +=
.
d)
(
)
,,
M abc
thuộc
( )
: 60Pxyz++−=
và cách đều các điểm
,,ABC
. Tích
6abc =
.
Câu 4. Hình vẽ một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục toạ độ
Oxyz
. Mỗi cột bê tông có dạng
hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm
( )
2; 1; 3A
,
( )
4;3;3
B
,
5
6; 3;
2
C



,
14
4; 0;
5
D



. Khi đó
a) Mặt phẳng
( )
ABC
có một vectơ pháp tuyến là
( )
1; 1; 4
n = −
.
b) Phương trình mặt phẳng
( )
: 4 13 0ABC x y z−+ − − =
.
c)
( )
D ABC∈
.
d)
( )
ABC
cắt
Ox
,
Oy
tại điểm
,MN
. Khi đó
13MN =
.
Câu 5. Khối rubik được gắn với hệ toạ độ
Oxyz
có đơn vị bằng độ dài cạnh của hình lập phương nhỏ.
Xét bốn điểm
( )
3;0;0A
,
( )
0; 3; 0B
,
( )
0; 0; 2C
,
(
)
3;3;2Dkkk
với
0k >
đồng phẳng.
Trang 19
a) Thể tích khối rubik là
27
(đơn vị thể tích).
b) Vectơ
( )
3; 0; 2AC = −

.
c) Mặt phẳng
(
)
ABC
có phương trình là
33260
xyz+ + −=
.
d) Với
( )
;;D abc
thì
235abc++=
.
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1. Một phần sân trường được định vị bởi các điểm
,,,ABCD
như hình vẽ
Bước đầu chúng được lấy "thăng bằng" để có cùng độ cao, biết
ABCD
là hình thang vuông ở
A
và
B
với độ dài
25 m, 15 m, 18 mAB AD BC= = =
. Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng sân trường
phải thoát nước ở góc sân ở C nên người ta lấy độ cao ở các điểm
,,BCD
xuống thấp hơn so với
độ cao ở
A
là
10 cm, cm, 6 cma
tương ứng. Tính giá trị của
a
.
Câu 2. Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt
.OAGD BCFE
có hai đáy song
song với nhau. Mặt sân
OAGD
là hình chữ nhật và được gắn hệ trục
Oxyz
như hình vẽ dưới
(đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân
OAGD
có chiều dài
100 m
OA =
, chiều rộng
60 mOD =
và tọa độ điểm
( )
10;10;8B
. Giả sử phương trình mặt phẳng
( )
OACB
có dạng
0ax y cz d++ +=
. Tính
acd++
(kết quả viết dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng
phần chục).
Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
. Cho điểm
( )
1; 2; 3M
. Mặt phẳng
( )
P
đi qua
M
cắt
các tia
,,Ox Oy Oz
lần lượt tại các điểm
( )
,, ,,ABC ABC O≠
sao cho thể tích tứ diện
OABC
Trang 20
nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ điểm
O
đến mặt phẳng
( )
P
(làm tròn kết quả đến hàng phần
trăm).
6. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG, KHOẢNG CÁCH
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
(
)
2;1;3A
−−
và mặt phẳng
( )
:3 2 4 5 0
Pxyz− + −=
. Gọi
( )
Q
là mặt phẳng đi qua
A
và song song với mặt phẳng
( )
P
. Mặt phẳng
( )
Q
có phương trình là:
A.
32440xyz− + −=
. B.
3 2 4 40xyz− + +=
.
C.
3 2 4 50
xyz− + +=
. D.
3 2 4 80xyz+ + +=
.
Câu 2. Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng
(
)
:2 2 0
P xyz
++−=
song song với mặt phẳng nào dưới
đây?
A.
11
10
22
xyz+ − −=
. B.
20xyz−−−=
.
C.
4 2 2 40xyz+ + +=
. D.
2 20xyz++−=
.
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
P
có phương trình
( )
1 10 0mx m y z+ − +− =
và mặt phẳng
( )
:2 2 3 0Q xy z+− +=
. Với giá trị nào của
m
dưới
đây thì
( )
P
và
( )
Q
vuông góc với nhau
A.
2
m = −
. B.
2m
=
. C.
1m =
. D.
1m = −
.
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxy
, cho mặt phẳng
( )
P
có phương trình:
34240xyz+ + +=
và điểm
( )
1; 2; 3A −
. Tính khoảng cách
d
từ
A
đến
(
)
P
.
A.
5
9
d =
. B.
5
29
d =
. C.
5
29
d =
. D.
5
3
d =
.
Câu 5. Trong không gian
Oxyz
khoảng cách giữa hai mặt phẳng
( )
: 2 3 10Px y z+ + −=
và
( )
: 2 3 60
Qx y z+ + +=
là
A.
7
14
. B.
8
14
. C.
14
. D.
5
14
.
Câu 6. Trong không gian
Oxyz
, cho
M
thuộc trục
Oy
và cách đều hai mặt phẳng:
( )
: 10Pxyz+ −+=
và
( )
: 50Qxyz−+−=
có tọa độ là
A.
( )
0; 3; 0M −
. B.
( )
0; 3; 0
M
. C.
( )
0; 2; 0M −
. D.
(
)
0; 1; 0
M
.
Câu 7. Trong không gian hệ tọa độ
Oxyz
, lập phương trình các mặt phẳng song song với mặt phẳng
( )
: 30
xyz
β
+−+=
và cách
( )
β
một khoảng bằng
3
.
A.
6 0; 0xyz xyz+−+= +−=
. B.
60xyz+−+=
.
C.
6 0; 0xyz xyz−−+= −−=
. D.
6 0; 0xyz xyz+++= ++=
.
Câu 8. Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( )
11 1 1
:0
P Ax By CZ D+ + +=
,
( )
22 2 2
:0Q Ax By CZ D+ + +=
lần lượt có vectơ pháp tuyến
( )
1 111
;;n ABC=

và
( )
2 222
;;n ABC=

. Mặt phẳng
( )
P
vuông góc với mặt phẳng
( )
Q
khi và chỉ khi
A.
12
nn=

. B.
12
.n kn=

. C.
12
nn⊥

. D.
12
n kn≠

.
Câu 9. Trong không gian
Oxyz
, cho hai mặt phẳng
( )
11 1 1
:0P Ax By CZ D+ + +=
,
(
)
22 2 2
:0Q Ax By CZ D+ + +=
lần lượt có vectơ pháp tuyến
( )
1 111
;;n ABC=

và
( )
2 222
;;n ABC=

. Mặt phẳng
( )
P
song song với mặt phẳng
( )
Q
khi và chỉ khi
A.
12
nn=

. B.
12
.n kn=

. C.
12
12
.n kn
D kD
=
≠

. D.
12
n kn≠

.

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2025 – 2026. MÔN: TOÁN 12 I. Mục tiêu
- Biết cách tìm nguyên hàm, tính tích phân của một hàm số đơn giản.
- Biết cách sử dụng tích phân để tính diện tích của một hình phẳng hay thể tích của một vật thể tròn xoay.
- Ứng dụng được vào các bài toán thực tiễn liên quan đến nguyên hàm, tích phân.
- Thiết lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng trong hệ trục toạ độ Oxyz .Vận dụng được kiến thức
về phương trình mặt phẳng để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn.
II. Kiến thức cơ bản 1. Nguyên hàm
Cho hàm số f (x) xác định trên K . Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu
F′(x) = f (x) với mọi x thuộc K . f
∫ (x)dx = F(x)+C
2. Nguyên hàm một số hàm số sơ cấp cơ bản 1 + • Với ≠ 1 − , ta có: = + ∫ d x x x C ; • 1 x = x + ∫ d ln C ; +1 x • x x = − x + ∫sin d cos C ; • 1 x = − x + ∫ d cot C 2 sin x • x x = x + ∫cos d sin C; • 1 x = x + ∫ d tan C 2 cos x x
• Với a > 0 , a ≠ 1, ta có: x a a x = + ∫ d C ln a 3. Tính chất
Cho f (x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K .
⑴ kf (x)dx = ∫
k∫ f (x)dx với k là hằng số khác 0 ⑵
∫ f (x)+ g(x)dx = ∫ f (x)dx+  
∫ g(x)dx ⑶
∫ f (x)− g(x)dx = ∫ f (x)dx−  
∫ g(x)dx
4. Định nghĩa tích phân
Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn a;b   .
Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên đoạn a;b 
 thì hiệu số F (b) − F (a) gọi là tích phân từ a đến b
b của hàm số f (x), kí hiệu f (x)dx ∫ . a
b f∫ (x)dx= F(x)|b=F b −F a a ( ) ( ) a
5. Tính chất tích phân
⑴ Cho hai hàm số y = f (x) , y = g(x) liên tục trên đoạn a;b   . Khi đó: b b b   f
∫ (x)+ g(x)dx = f
∫ (x)dx+ g
∫ (x)dx a a a b b b   f
∫ (x)− g(x)dx = f
∫ (x)dx− g ∫ (x)dx a a a
⑵ Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn a;b 
 , k là số thực. Khi đó: Trang 1 b bkf
∫ (x)dx = k f
∫ (x)dx a a
⑶ Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn a;b 
 , c ∈(a; b) . Khi đó b c bf
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx a a c
6. Diện tích hình thang cong
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f (x) liên tục, Ox và hai đường thẳng b
x = a , x = b được tính: S = ∫ f (x) dx a
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f (x) và g(x) và hai đường thẳng x = a , b
x = b được tính:
S = f (x) − ∫ g(x) dx a
7. Thể tích hình khối:
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b, S(x)
là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, (a ≤ x ≤ b)
Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn a;b   b
Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V = ∫S(x)dx . a
8. Thể tích khối tròn xoay:
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = f (x) , Ox , và hai đường thẳng
x = a, x = b quanh trục Ox : b 2
V = ∫ f (x)dx a
9. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Trong không gian Oxyz , mỗi mặt phẳng đều có dạng phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 với 2 2 2
A + B + C ≠ 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
10. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian Oxyz , cho điểm M x ; y ; z và mặt phẳng () : Ax + By +Cz + D = 0 . Khi đó 0 ( 0 0 0 )
Ax + By + Cz + D
khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng () được tính: d(M , = 0 ( )) 0 0 0 0 2 2 2 A + B + C
III. Nội dung ôn tập 1. NGUYÊN HÀM
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x + cos3x Trang 2 2 2 A. 3(1 3x sin 3 3x sin 3
+ sin 3x) + C . B. x + + C . C. x − + C . D. 2
3x + sin 3x + C . 2 3 2 3
Câu 2. Nguyên hàm của hàm số có f (x) 2 2
= tan x + cot x là: A. 2 tan x 1 1 + 2cot x + C . B. 3 3
tan x + cot x + C . 3 3
C. tan x + cot x − 2x + C .
D. tan x − cot x − 2x + C .
Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) = 2x x f x + e x x 1 + x 1 +
A. 2x ln 2 x 2 + + e + C . B. 2 x + e + C . C. 1+ 1 2x x e + + + C . D. e +C . ln 2 x +1
Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 2 1 = x . x + trên khoảng (0;+∞) 3 2 x A. 2 7 3
x + 3 x + C . B. 7 7 1 3 x +
x + C . C. 2 5 3
x + 3 x + C . D. 5 5 1 3 x + x + C . 7 2 3 5 2 3
Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = 5x − 2
A. 1 ln 5x − 2 + C . B. 1
− ln 5x − 2 + C . C. 5ln 5x − 2 + C .
D. ln 5x − 2 + C . 5 2
Câu 6. Kí hiệu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (x + )2 2 1 và F ( ) 18 1 = . Khẳng định nào 15 sau đây là đúng? 5 3 5 3 A. ( ) x 2x F x = + + x . B. ( ) x 2x F x = + + x + C . 5 3 5 3 5 3 C. F (x) x 2x 2 = x( 2 4 x + ) 1 .
D. F (x) = + + x − . 5 3 3
Câu 7. Cho hàm số f (x) xác định trên  \{ } 1
− và thỏa mãn f ′(x) 3 = , f (0) =1 và x +1 f ( ) 1 + f ( 2
− ) = 2 . Giá trị f ( 3 − ) bằng: A. 1+ 2ln 2 . B. 1− ln 2 . C. 1. D. 2 + ln 2.
Câu 8. Biết rằng F (x) 3
= ax + (a + b) 2
x + (2a − b + c) x +1 là một nguyên hàm của hàm số f (x) 2
= 3x + 6x + 2. Tính tổng S = a + b + c . A. S = 2 . B. S = 3. C. S = 4 . D. S = 5.
Câu 9. Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển
động chậm dần với vận tốc v(t) = 4
− t + 20 (m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây
kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét? A. 25 m. B. 50 m. C. 10 m. D. 30 m.
Câu 10. Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia
tốc phụ thuộc thời gian t (s) là a(t) = t − ( 2
2 7 m/s ). Biết vận tốc ban đầu bằng 10(m/s) , hỏi
trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải? A. 5(s). B. 6(s) . C. 1(s) . D. 2(s) .
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI 2 Câu 11. Hàm số + −
f (x) xác định trên x 5x 7  \{ }
0 thoả mãn f (x) =
. Xét tính đúng sai của các x khẳng định sau: a) f (x) 7 = x + 5 − . x Trang 3 2 b) ∫ ( )d x f x x =
+ 5x − 7ln x + C . 2
c) Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) và thoả mãn F ( )
1 = 5 . Khi đó ta tìm được 2
hàm số F (x) x 1 =
+ 5x − 7ln x + 2 2
d) Gọi G (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) . Biết G( )
1 = 4 và G (3) + G( 9 − ) = 20. Khi
đó tìm được G ( 6
− ) = a ln 2 + bln 3+ c , với a,b,c là các số hữu tỉ. Vậy 2
a + b + c = . 3 x + , m x ≥ 0
Câu 12. Cho hàm số f (x) liên tục trên  thoả mãn f (x) = 
( m là hằng số). Giả sử F (x) 2xe ,x < 0
là nguyên hàm của hàm số f (x) và F (x) liên tục trên  . Các khẳng định sau đúng hay sai? a) m =1. b) Biết F (− ) 1 1 = . Khi đó với x 1 x 1
< 0 thì F (x) 2 = e − . 2 2e 2 2 e 2 c) F ( ) 4e −1 1 = . 2 2e
d) Đồ thị hàm số F (x) có một điểm chung duy nhất với trục hoành. s
 in x + 2 khi x ≥ 0
Câu 13. Cho hàm số f (x)  = 
. Giả sử F là nguyên hàm của f liên tục trên  thỏa 2
2cos x khi x <  0  2 mãn  π F  − = π 
. Các khẳng định sau đúng hay sai? 3   
a) ∫(sin x + 2)dx = cos x + 2x +C . b) π F (x) 2 x 4 3 = 2cos
dx = sin x + x + + ∫ . 2 3 2 c) Với π x + ≥ 0 thì F (x) 4 3 2 = 2x − cos x + + . 3 2 d)  2π   π   π F F F  − + − =       5π .  3   3   2 
Câu 14. Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho h′(t) 2 = at + bt ( 3 3
m /s) và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 3
150m . Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 3
1100m . Các khẳng định sau đúng hay sai? 2 a) ′ ∫ ( ) 3 d t
h t t = at + b + C . 2 2 b) ( ) 3 t
h t = at + b +1. 2 c) . a b = 2 .
d) Thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là 3 8040m .
Câu 15. Trong thí nghiệm nuôi cấy một loại vi sinh vật, kí hiệu f (t) là tổng số lượng vi sinh vật sau t
giờ. Biết rằng sau 3 giờ đầu tiên thì tổng số lượng vi sinh vật là 50 con. Trong 7 giờ tiếp theo,
số lượng vi sinh vật thay đổi với tốc độ f ′(t) 2
= t −8t (con/giờ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: Trang 4 3
a) Họ nguyên hàm của f ′(t) là t 2
−8t + C (C ∈). 3
b) Số lượng vi khuẩn tăng liên tục trong khoảng từ 3 giờ đến 10 giờ sau thời điểm làm thí nghiệm.
c) Số lượng vi khuẩn là nhỏ nhất sau 8 giờ tính từ lúc bắt đầu làm thí nghiệm.
d) Sau 6 giờ thì số lượng vi khuẩn là 5 con.
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 16. Cho hàm số f (x) = sin .xcos2x liên tục trên  . Giả sử F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) thỏa mãn  π  3  π F  + = a b
. Tính giá trị của T = a + b + c(a,b,c∈,c ≠ 0) biết 5 F = . 6      2  3  c
Câu 17. Khi được thả từ độ cao 20m một vật rơi với gia tốc không đổi 2
a =10 m / s . Sau khi rơi được t
giây thì vật có tốc độ bao nhiêu?
Câu 18. Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi t = 0 là thời
điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi v(t) =160 −9,8t (m / s) . Tìm độ cao
lớn nhất của viên đạn (tính từ mặt đất). (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). 2. TÍCH PHÂN
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu 19. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên
[ ;ab]. Chọn mệnh đề đúng b b A. f
∫ (x)dx = F (b)− F (a). B. f
∫ (x)dx = F (a)− F (b). a a b b C. f
∫ (x)dx = F (b)+ F (a). D. f ∫ (x) 2 x = F (b) 2 d − F (a). a a π − 2
Câu 20. Tính tích phân costdt ∫ π 2 A. 2 . B. 0 . C. 2 − . D. 1. 3 3 Câu 21. Nếu f
∫ (x)dx = 2 thì  f
∫ (x)+ 2xdx  bằng 1 1 A. 20 . B. 18. C. 12. D. 10.
Câu 22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình thang OABC giới hạn bởi y = 3x +1, trục Ox và hai
đường thẳng x = 0, x =1 (như hình vẽ). 1 Khi đó (3x + ∫ )
1 dx bằng bao nhiêu? 0 A. 2 . B. 5 . C. 3 . D. 2 . 5 2 2 Trang 5 2 2
Câu 23. Cho f (x)dx = 1 − ∫ và g
∫ (x)dx = 3. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 − 2 − 2 2 A. f
∫  (x)+ g(x)dx = 8  . B. f
∫  (x)− g(x)dx = 4  . 2 − 2 − 2 2 C. 5 f ∫ (x)dx = 5. D. 3 f
∫  (x)−4g(x)dx = 15 −  . 2 − 2 − 1 3 3
Câu 24. Cho f (x)dx = 1 − ∫ ; f
∫ (x)dx = 5. Tính f (x)dx ∫ 0 0 1 A. 3. B. 6 . C. 5. D. 4 . m Câu 25. Cho ∫( 2 3x − 2x + )
1 dx = 6 . Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? 0 A. ( 1; − 2) . B. ( ;0 −∞ ). C. (0;4) . D. ( 3 − ; ) 1 .
Câu 26. Vận tốc của một vật chuyển động là v(t) 2
= 3t + 5 (m / s) . Quãng đường vật đó đi được từ giây
thứ 4 đến giây thứ 10 là
A. 669m . B. 696m .
C. 699m . D. 966m.
Câu 27. Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hoá bằng công thức P′(x) = 0
− ,0004x + 9,3. Ở đây P(x) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được x đơn vị
sản phẩm. Khi đó sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 125 đơn vị sản phẩm là
A. 232,325 triệu đồng. B. 230,315 triệu đồng. C. 321,385 triệu đồng. D. 231,375 triệu đồng.  x ≥ 2
Câu 28. Cho f (x) 1 khi 1 =  . Tính J = f ∫ (x)dx.
2x −1 khi x < 1 1 − A. 1 − . B. 1 . C. 4 . D. 5. 2
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI 0 0
Câu 29. Cho f (x)dx = 4 − ∫
và g (x)dx = 3 − ∫ . 3 − 3 − 0 0 a)  f
∫  (x)+ g(x)dx = 7 −  . b)  f
∫  (x)− g(x)dx =1  . 3 − 3 − 0 0 c) 3 − f ∫ (x)dx =12. d) 2 f
∫  (x)+3g(x)dx = 51 −  . 3 − 3 −
Câu 30. Cho hàm số f (x) liên tục và không âm trên đoạn [0; ]
3 . F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên đoạn [0; ]
3 thỏa F (3) = 2 và F (0) =1.
a) Hiệu số F (3) − F (0) gọi là tích phân từ 3 đến 0 của hàm số f (x) . 3 0 b) f
∫ (x)dx = − f
∫ (x)dx = F (3)− F (0) . 0 3 3 c) f ∫ (t)dt =1. 0
d) Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng
x = 0, x = 3 có diện tích bằng 1. 3 Câu 31. Cho 2
I = x − 2xdx ∫ . 0 Trang 6 2
x − 2x,0 ≤ x ≤ 2 a) 2 x − 2x =  . 2
x − 2x,0 < x ≤ 3 3 2 3 b) 2 2 2
I = x − 2xdx = x − 2xdx + x − 2xdx ∫ ∫ ∫ . 0 0 2 3 2 3 c) 2
I = x − 2xdx = ∫
∫( 2x −2x)dx+ ∫( 2x −2x)dx. 0 0 2 2 3 3 3     d) x 2 x 2
I = − + x  +  − x . 3  3    0  2
Câu 32. Giả sử lợi nhuận biên tính bằng triệu đồng của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức P′(x) = 0
− ,0008x +10,4 . Ở đây P(x) là lợi nhuận tính bằng triệu đồng khi bán được x đơn vị sản phẩm.
a) Lợi nhuận khi bán được x đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức P(x) 2 = 0
− ,0008x +10,4x .
b) Lợi nhuận khi bán được 50 sản phẩm đầu tiên là 519 triệu đồng.
c) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 lên 55 đơn vị sản phẩm là 49,79 triệu đồng.
d) Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 lên a(a > 50) đơn vị sản phẩm lớn
hơn 517 triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của a là 100.
Câu 33. Ở nhiệt độ 37 C
° , một phản ứng hóa học từ chất đầu A , chuyển hóa thành chất sản phẩm B theo
phương trình: A → B . Giả sử y(x) là nồng độ chất A đơn vị mol/l tại thời điểm x giây,
y (x) > 0 với x ≥ 0 , thỏa mãn hệ thức y (x) 4 7.10− ′ = −
.y(x) với x ≥ 0 . Biết rằng tại x = 0 , nồng
độ đầu của A là 0,05 mol/l . Xét hàm số f (x) = ln y(x) với x ≥ 0 . Khi đó ta có a) f (x) 4 7.10− ′ = − . b) f (x) 4 7.10− = − x + ln (0,05) . c) y( ) y( ) 4 30 15 6.10− − = − .
d) Nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến 30 giây gần bằng 0,05.
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 34. Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t (giây) là v(t) 2
= t − t + 6 (mét/giây). Quãng đường (mét) vật đi được trong khoảng thời gian 1≤ t ≤ 4 bằng bao nhiêu?
Câu 35. Hiệu suất của tim là lưu lượng máu được bơm bởi tim trên một đơn vị thời gian (tức là lưu lượng
máu chảy vào động mạch chủ). Để đo hiệu suất của tim, người ta bơm A(mg) chất chỉ thị màu
vào tâm nhĩ phải, chảy qua tim rồi vào động mạch chủ và đo nồng độ chất chỉ thị màu còn lại ở
tim đến thời điểm T (s) khi chất chỉ thị màu tan sạch. Gọi c(t) là nồng độ (mg/l) chất chỉ thị
màu tại thời điểm t (s) thì hiệu suất của tim được xác định bởi A F = . Tính hiệu suất T (l/s) c ∫ (t)dt 0
của tim khi bơm 8mg chất chỉ thị màu vào tâm nhĩ phải, biết c(t) 1
= t (12 − t) với 0 ≤ t ≤12 4
(kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). (Nguồn: James Stewart, Calculus, Cengage Learning) Trang 7
ax +1 khi x ≥1
Câu 36. Cho hàm số f (x) = 
với a,b là các tham số thực. Biết rằng f (x) liên tục và 2
x + b khi x < 1 2 có đạo hàm trên m 3a
 . Biết I = f ( x)dx = + 2b + ∫ với ,
m n là các số nguyên tố cùng nhau. − n 2 1
Tính S = m − n .
3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 10. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = a, x = b,
y = f (x) và trục hoành là b b b b
A. S = π f
∫ (x)dx. B. S = f
∫ (x) dx. C. S = f
∫ (x)dx.
D. S = π  f
∫ (x) 2dx  . a a a a
Câu 2. Cho hai hàm số f (x) và g (x) liên tục trên [ ;
a b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
các hàm số y = f (x) , y = g (x) và các đường x = a, x = b bằng b b A. f
∫ (x)− g(x) dx  . B. f
∫ (x)+ g(x)dx . a a b b C. f
∫ (x)− g(x)dx . D.f
∫ (x)− g(x) dx  . a a
Câu 3. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3
y = x − 3x, y = 0, x = 0, x = 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2
A. S = ∫( 3x −3x)dx . B. S = ∫(x −3x)2 3 dx . C. 3
S = x − 3xdx ∫
. D. S = −∫( 3x −3x)dx . 0 0 0 0
Câu 4. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường x y = e , y = 2, x = 0, x =1 .
A. S = 4ln 2 + e − 5.
B. S = 4ln 2 + e − 6 . C. 2
S = e − 7 .
D. S = e −3.
Câu 5. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x),
y = g (x), x = a, x = b . Biết
rằng f (x) − g (x) = 8
− . Mệnh đề nào dưới đây đúng? b b b b A. S = ( 8 − ∫ )dx.
B. S = 8dx ∫ .
C. S = 64dx ∫ .
D. S = π 64dx ∫ . a a a a
Câu 6. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = 0, 1
x = , đồ thị hàm số 3 2
y = x + 3x
và tiếp tuyến của nó tại điểm x = 2
− . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A. S = ∫( 3 2
x + 3x − 4)dx . B. 3 2
S = x + 3x − 4dx ∫ . 0 0 1 1 C. S = ∫( 3 2
x + 3x − 4)dx .
D. S = π ∫( 3x +3x −4)2 2 dx . 0 0 Trang 8 2 Câu 7. Tìm −
a để diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi ( ) x 2 : x P y =
, đường thẳng d : y = x −1 x −1 và x = a,
x = 2a(a > ) 1 bằng ln 3? A. a =1. B. a = 4 .
C. a = 3.
D. a = 2 .
Câu 8. Cho đồ thị hàm số y = f (x) liên tục trên  và đồ thị như hình vẽ . Gọi S là diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, − x = 3. Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 3 A. S = f
∫ (x)dx . B. S = f ∫ (x) dx . 1 − 1 − 3 3 2 3 2 3 C. S = f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx. D. S = f
∫ (x)dx− f
∫ (x)dx. 1 − 3 1 − 3 2 2
Câu 9. Tính diện tích hình phẳng (phần tô đậm) trong hình vẽ bên dưới A. 5 . B. 9 . C. 81 . D. 13. 12 4 12
Câu 10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = x và đường thẳng y = 2x là A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 23 . 3 3 2 15
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 5. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos x , trục Ox và hai đường thẳng π
x = 0 , x = π được tính bởi công thức S = cos x dx ∫ . 0
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos x , trục Ox và hai đường thẳng π
x = 0 , x = bằng 1. 2 Trang 9
c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = x −1 và trục Ox được tính bởi công 1 thức 2
S = x −1 dx ∫ . 0
d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = x +1, trục Ox , trục Oy và đường
thẳng x =1 bằng 4 . 3
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f (x) , y = g (x) và hai đường thẳng b
x = a , x = b được tính bằng công thức S = ∫( f (x)− g (x))dx. a
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2
y = x và y = x được tính bằng công 1 thức 2
S = x − x dx ∫ . 0
c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2
y = x và y =1 bằng 4 . 3
d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2
y = x +1, y =1 và đường thẳng x =1 bằng 4 . 3
Câu 3. Một viên gạch men có dạng hình vuông OABC như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có O(0;0) , A(0; ) 1 , B(1; )
1 ,C (1;0) và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số 3 y = x và 3 y = x . y A B x O C
Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y = x , trục Ox , đường thẳng x = 0 và
đường thẳng x =1 được tính bằng công thức 1 3 S = x dx ∫ . 0
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y = x trục Ox , đường thẳng x = 0 và
đường thẳng x =1 có giá trị bằng 3 (đvdt). 4
c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 y = x và 3
y = x , đường thẳng x = 0 và
đường thẳng x =1 được tính bằng công thức 1 S = ∫ ( 3 3
x − x dx . 0 )
d) Diện tích phần không được tô đậm trên viên gạch men có giá trị bằng 1 (đvdt). 2
Câu 4. Một cánh cổng của tòa nhà có dạng parabol gồm hai phần: Phần làm cửa lối vào hình chữ nhật
ABCD , còn lại là phần tường trang trí. Biết rằng chiều cao cổng là IO = 9 , m EF = 6 , m AB = 4m
. S là diện tích phần cánh cửa của lối vào hình chữ nhật, S là diện tích phần tường trang trí. 1 2
Các khẳng định sau đúng hay sai? Trang 10 3
a) Giả sử parabol có phương trình là y = f (x) thì diện tích cánh cổng là S = f ∫ (x)dx 3 −
b) Diện tích phần cửa vào là S = 4 5 ( 2 m . 1 )
c) Diện tích phần tường trang trí là S =16( 2 m . 1 )
d) Giả sử phần tường trang trí hai bên cửa vào cần ốp kính cường lực. Khi đó diện tích kính cần dùng là 16 ( 2 m ) . 3 I D 9 m C F E A O B 6 m
Câu 5. Cho parabol (P) 2
: y = x − 2 , đường thẳng d : y = x − 2 và d′:x = a , a là tham số dương.
a) Diện tích hình phẳng (H giới hạn bởi (P) và trục 4 2 Ox là S = . 1 ) 1 3
b) Diện tích hình phẳng (H giới hạn bởi các đường (P) và d là 1 S = . 2 ) 2 6
c) Diện tích hình phẳng (H giới hạn bởi các đường (P) , đường d′ và hai trục tọa độ là 3 ) a
S = ∫( 2x −2 dx . 3 ) 0
d) Diện tích hình phẳng (H giới hạn bởi các đường (P) , đường thẳng d và trục Ox là 4 ) 4 2 5 S − = . 4 3
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Câu 1. Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 60(cm) . Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có
chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô mầu sẫm như hình vẽ bên). Trang 11
Diện tích phần cánh hoa của viên gạch bằng bao nhiêu 2 cm ?
Câu 2. Cổng của một trại du lịch sinh thái có dạng parabol, lối ra vào cổng là hình chữ nhật như hình
vẽ. Biết rằng, lối đi hình chữ nhật ABCD có kích thước CD = 2m , phía ngoài lối đi hình chữ
nhật được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí trang trí hoa văn là 240000 đồng cho một mét
vuông. Hỏi số tiền để trang trí hoa văn của cổng trại du lịch sinh thái là bao nhiêu triệu đồng?
Câu 3. Sân trường có một bồn hoa hình tròn có tâm O . Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế
bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường parabol có cùng đỉnh O và
đối xứng nhau qua O . Hai đường parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A , B , C , D tạo
thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích S , S dùng để trồng hoa, 1 2
phần diện tích S , S dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Biết 3 4
kinh phí để trồng hoa là 150000 đồng/ 2
1m , kinh phí để trồng cỏ là 100000 đồng/ 2 1m . Hỏi nhà
trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn).
Câu 4. Cho hai hàm số f (x) 3 2
= ax + bx + cx +1 và g (x) = dx² + ex (a,b,c,d,e∈) . Biết rằng đồ thị
hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là 1 − ; 1 ; 2 (tham 2
khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng bao nhiêu? Trang 12
4. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 10. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b(a < b), xung quanh trục Ox . b b b b A. V = f ∫ (x)dx . B. 2 V = π f
∫ (x)dx . C. 2 V = f
∫ (x)dx . D. V =π f ∫ (x)dx . a a a a
Câu 2. Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x =1 và x = 2 . Một mặt phẳng tuỳ
ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1≤ x ≤ 2) cắt vật thể đó có diện tích
S (x) = 2024x . Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên. A. V = 3036. B. V = 3036π . C. V =1518. D. V =1518π .
Câu 3. Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x =1 và x = 3. Một mặt phẳng tuỳ
ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1≤ x ≤ 3) cắt vật thể đó theo thiết diện là một
hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 2
3x − 2 . Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên. A. V =156. B. V =156π . C. V = 312. D. V = 312π .
Câu 4. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường 3x
y = e , y = 0, x = 0 và x =1. Thể tích của khối
tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng 1 1 1 1 A. 3x π e dx ∫ . B. 6x e dx ∫ . C. 6x π e dx ∫ . D. 3x e dx ∫ . 0 0 0 0
Câu 5. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường 4x
y = e , y = 0, x = 0 và x =1. Thể tích của khối
tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng 1 1 1 1 A. 4x e dx ∫ . B. 8x π e dx ∫ . C. 4x π e dx ∫ . D. 8x e dx ∫ . 0 0 0 0
Câu 6. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 2
y = x + 3, y = 0, x = 0 và x = 2 . Gọi V là thể
tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2
A. V = ∫( 2x +3)dx. B. V =π ∫( 2x +3)dx . 0 0 2 2
C. V = ∫(x +3)2 2
dx . D. V = π ∫(x +3)2 2 dx . 0 0 Trang 13
Câu 7. Cho hình phẳng D được giới hạn bởi đường cong ex
y = , trục hoành và các đường thẳng x = 0
; x =1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay miền D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? π ( 2e + ) 1 2 2 π ( 2e − ) 1 A. π V = . B. e 1 V − = . C. e V = . D. V = . 2 2 3 2
Câu 8. Cho hình phẳng D được giới hạn bởi đường cong 2
y = x +1, trục hoành và các đường thẳng
x = 0 ; x =1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay miền D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? π A. V = 2 . B. 4 V = . C. V = 2π . D. 4 V = . 3 3
Câu 9. Cho hình phẳng D được giới hạn bởi đường cong y = 2 + cos x , trục hoành và các đường thẳng π
x = 0 ; x = . Khối tròn xoay tạo thành khi quay miền D quanh trục hoành có thể tích V bằng 2 bao nhiêu? A. V = (π + ) 1 π . B. V = π −1. C. V = π +1. D. V = (π − ) 1 π .
Câu 10. Cho hình phẳng D được giới hạn bởi đường cong y = 2 + sin x , trục hoành và các đường thẳng
x = 0 ; x = π . Khối tròn xoay tạo thành khi quay miền D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V = 2π (π + ) 1 . B. V = 2π . C. V = 2(π + ) 1 . D. 2 V = 2π .
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 5. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Các khẳng định sau là đúng hay sai
a) Công thức tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) 2 : y = x ,
đường thẳng d : y = 2x và đường thẳng x = 0 , x = 2 quay xung quanh trục Ox là 2 2 2 4
V = π 4x dx −π x dx ∫ ∫ . 0 0
b) Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường 2
y = x + 3, y = 0, x = 0 , x = 2 . Gọi V là thể
tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) xung quanh trục Ox . Khi đó 2
V = π ∫(x +3)2 2 dx . 0
c) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x − 2, y = 0 và x = 4 , x = 9 quay xung quanh
trục Ox . Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng 11π .  π
d) Cho tam giác vuông OAB có cạnh OA = a nằm trên trục Ox và  AOB = α 0 α  ≤ ≤  . 4   
Gọi (H ) là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox . Thể tích
V của (H ) bằng 3 π a .
Câu 2. Các khẳng định sau là đúng hay sai? Trang 14
a) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + sin x , trục hoành và các đường thẳng
x = 0, x = π . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích bằng 2π (π + ) 1 .
b) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 2 π
y = x − 2x , trục hoành, đường thẳng x = 0, x =1 quay quanh trục hoành bằng 8 . 25
c) Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường thẳng 2
y = x + 2 , y = 0, x =1, x = 2. Gọi V là
thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) xung quanh trục Ox . Khi đó 2
V = π ∫(x + 2)2 2 dx 1
d) Gọi V là thể tích của khối tròn xoay tạo thành do quay xung quanh trục hoành một elip có 2 2 π phương trình x y + = 1. Ta có 320 V = 25 16 3
Câu 3. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = x, y = 0 và x = 4 quanh trục Ox .
a) Diện tích hình phẳng tạo thành khi được giới hạn bởi các đường y = x, y = 0 và x = 4 là 16 S = . 3
b) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x, y = 0 4 2
và x = 4 quanh trục Ox có công thức là V = ∫( x) dx . 0
c) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x, y = 0
và x = 4 quanh trục Ox là 8π .
d) Đường thẳng x = a (0 < a < 4) cắt đồ thị hàm số y = x tại M (hình vẽ). Gọi V là thể tích 1
khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox . Với V = 2V ta có giá trị 1 a = 3.
Câu 4. Cho một vật thể có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính cùng bằng R . Cắt khối gỗ đó bởi
một mặt phẳng đi qua đường kính của một đáy của khối gỗ và tạo với đáy của khối gỗ đó một
góc 30° ta thu được hai khối gỗ có thể tích là V ,V với V < V . Gắn khối gỗ có dạng hình nêm 1 2 1 2
vào hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau
a) Nửa đường tròn đường kính AB có phương trình là 2 2
y = R − x với −R ≤ x ≤ R . b) 2 2
MN = R − x . 2 2 c) Diện tích tam giác − MNP bằng R x . 2 3 3 d) 3R V = . 1 9 Trang 15
Câu 5. Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền (R) (phần gạch chéo
trong hình vẽ) quanh trục MN . Biết rằng ABCD là hình chữ nhật với AB = 6cm , AD =10cm
, M , N lần lượt là trung điểm của AB ,CD , hai đường cong là đường elip có hình chữ nhật cơ sở
là ABCD và đường tròn tiếp xúc với hai cạnh AD và BC (tham khảo hình vẽ). Xét tính đúng sai
của các khẳng định sau 2 2
a) Phương trình của elip là x y + = 1. 100 36
b) Phương trình đường tròn là 2 2 x + y = 9.
c) Quay đường elip quanh trục MN tạo ra khối tròn xoay có thể tích là π ( 3 60 cm ) .
d) Thể tích của vật trang trí là 3 V = 75,4cm .
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3.
Câu 1. Cho hình thang ABCD có AB song song CD và AB = AD = BC = a,CD = 2a . Thể tích khối
tròn xoay khi quay hình thang ABCD quanh trục là đường thẳng AB bằng ma . Tính m (làm
tròn đến hàng phần trăm)
Câu 2. Một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6 cm , chiều cao trong lòng cốc là
10 cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước
vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy của mực nước trùng với đường kính đáy (tham khảo hình vẽ)
Câu 3. Để chuẩn bị hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dựng một cái lều trại có dạng hình parabol như hình vẽ. Trang 16
Nền của lều tại là một hình chữ nhật có chiều rộng bằng 3m và chiều dài bằng 6m , đỉnh trại
cách nền 2m . Tính thể tích phần bên trong lều trại.
5. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Cho hình lập phương ABC . D A′B C ′ D
′ ′ . Vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABCD) ?     A. AC . B. AC′.
C. AA′ .
D. AD′ .
Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x + y + z −3 = 0 đi qua điểm nào dưới đây: A. M ( 1; − 1; − − ) 1 . B. N (1;1; ) 1 . C. P( 3 − ;0;0) . D. Q(0;0; 3 − ).
Câu 3. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α ) :3x + 2y − 4z +1= 0 . Vectơ nào dưới đây là một vec
tơ pháp tuyến của (α ) ?     A. n = 3;2;4 . n = 2; 4; − 1 . n = 3; 4 − ;1 . n = 3;2; 4 − . 2 ( ) B. 3 ( ) C. 1 ( ) D. 4 ( )
Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0; 1;
− 4) và có một vec tơ pháp  tuyến n = (2;2;− )
1 . Phương trình của (P) là
A. 2x − 2y − z − 6 = 0 .
B. 2x + 2y + z − 6 .
C. 2x + 2y − z + 6 = 0 .
D. 2x + 2y − z − 6 = 0.
Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(3;2; ) 1 , B( 1 − ;4; ) 1 ,C (3; 2;
− 5) . Toạ độ nào sau đây là
toạ độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC)? A. (1;2;2). B. (8; 16 − ;16) . C. ( 1; − 2; 2 − ) . D. (1;4;4).
Câu 6. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A( 2; − 0;0), B(0;3;0) , C (0;0; ) 1 là A. x y z + + = 1. B. x y z + + =1. C. x y z + + = 0. D. x y z + + = 1 − . 2 3 1 2 − 3 1 2 3 1 2 3 1
Câu 7. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng x y z + + = 1 là 1 2 3     A. n = 6;3;2 . n = 6;2;3 . n = 3;6;2 . n = 2;3;6 . 1 ( ) B. 2 ( ) C. 3 ( ) D. 4 ( )
Câu 8. Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng (Oxz) là
A. x + z = 0. B. y = 0.
C. z = 0.
D. x = 0 .
Câu 9. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M (3;4;− 2) lên mặt phẳng (Oxz) có tọa là: A. Q(3;0;0) . B. G(3;4;0) .
C. E (0;4;− 2) .
D. F (3;0;− 2).
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(3; 2;
− − 2), B(3;2;0),C (0;2; ) 1 . Phương trình mặt phẳng ( ABC) là
A. 2x − 3y + 6z +12 = 0 . B. 2x + 3y − 6z −12 = 0. Trang 17
C. 2x −3y + 6z = 0.
D. 2x + 3y + 6z +12 = 0 .
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) :3x + y − z −12 = 0. 
a) Mặt phẳng (P) có một véctơ pháp tuyến là n = (3;1;− ) 1 .
b) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(5;3;− 6) .
c) Cho điểm M (a;b )
;1 thuộc mặt phẳng (P) . Khi đó 3a + b = 13 −
d) (P) cắt trục Ox tại A , cắt trục Oz tại B . Chu vi tam giác OAB bằng 12.
Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A( 1; − 0; ) 1 , B(3;2; ) 1 , C (5;3;7) .  a) AB = (4;2;0).
b) Nếu I là trung điểm đoạn thẳng AB thì I (2;1;0).
c) Mặt phẳng trung trực của AB là 2x + y − 3 = 0.
d) M (a,b,c) thoả mãn MA = MB . Khi đó min(MB + MC) = BC .
Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1;6;0), B( 2; − 2;− ) 1 , C (5; 1; − 3) và
(P): x + y + z −6 = 0. 
a) Một vecto pháp tuyến của (P) là n = (1;1; ) 1 .
b) Phương trình mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với BC có phương trình
3x − 3y + 4z +15 = 0 .
c) Phương trình mặt phẳng ( ABC) có phương trình là 19x −5y −37z +11 = 0.
d) M (a,b,c) thuộc(P) : x + y + z − 6 = 0 và cách đều các điểm ,
A B,C . Tích abc = 6 .
Câu 4. Hình vẽ một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục toạ độ Oxyz . Mỗi cột bê tông có dạng
hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm A(2;1;3) , B(4;3;3) , 5 C 6;3;    , 14 D4;0; . Khi đó 2      5  
a) Mặt phẳng ( ABC) có một vectơ pháp tuyến là n = (1; 1; − 4) .
b) Phương trình mặt phẳng ( ABC) : −x + y − 4z −13 = 0 .
c) D ∈( ABC) .
d) ( ABC) cắt Ox , Oy tại điểm M , N . Khi đó MN =13 .
Câu 5. Khối rubik được gắn với hệ toạ độ Oxyz có đơn vị bằng độ dài cạnh của hình lập phương nhỏ.
Xét bốn điểm A(3;0;0) , B(0;3;0) , C (0;0;2) , D(3k;3k;2k ) với k > 0 đồng phẳng. Trang 18
a) Thể tích khối rubik là 27 (đơn vị thể tích).  b) Vectơ AC = (3;0; 2 − ).
c) Mặt phẳng ( ABC) có phương trình là 3x + 3y + 2z − 6 = 0. d) Với D(a; ;
b c) thì a + 2b + 3c = 5 .
PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1. Một phần sân trường được định vị bởi các điểm ,
A B,C, D như hình vẽ
Bước đầu chúng được lấy "thăng bằng" để có cùng độ cao, biết ABCD là hình thang vuông ở A
và B với độ dài AB = 25 m, AD =15 m, BC =18 m. Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng sân trường
phải thoát nước ở góc sân ở C nên người ta lấy độ cao ở các điểm B,C, D xuống thấp hơn so với
độ cao ở A là 10 cm,a cm,6 cm tương ứng. Tính giá trị của a .
Câu 2. Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt OAG .
D BCFE có hai đáy song
song với nhau. Mặt sân OAGD là hình chữ nhật và được gắn hệ trục Oxyz như hình vẽ dưới
(đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân OAGD có chiều dài OA =100 m , chiều rộng
OD = 60 m và tọa độ điểm B(10;10;8) . Giả sử phương trình mặt phẳng (OACB) có dạng
ax + y + cz + d = 0 . Tính a + c + d (kết quả viết dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Cho điểm M (1;2;3). Mặt phẳng (P) đi qua M cắt
các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm , A B,C ( ,
A B,C ≠ O) sao cho thể tích tứ diện OABC Trang 19
nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
6. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG, KHOẢNG CÁCH
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Trong không gianOxyz , cho điểm A(2; 1 − ; 3
− ) và mặt phẳng (P) :3x − 2y + 4z − 5 = 0 . Gọi (Q)
là mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (P) . Mặt phẳng (Q) có phương trình là:
A. 3x − 2y + 4z − 4 = 0 .
B. 3x − 2y + 4z + 4 = 0 .
C. 3x − 2y + 4z + 5 = 0 .
D. 3x + 2y + 4z + 8 = 0 .
Câu 2. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (P) : 2x + y + z − 2 = 0 song song với mặt phẳng nào dưới đây? A. 1 1
x + y − z −1 = 0 .
B. x − y − z − 2 = 0 . 2 2
C. 4x + 2y + 2z + 4 = 0 .
D. 2x + y + z − 2 = 0 .
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình mx + (m − )
1 y + z −10 = 0 và mặt phẳng (Q) : 2x + y − 2z + 3 = 0 . Với giá trị nào của m dưới
đây thì (P) và (Q) vuông góc với nhau A. m = 2 − . B. m = 2 . C. m =1. D. m = 1 − .
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho mặt phẳng (P) có phương trình: 3x + 4y + 2z + 4 = 0 và điểm A(1; 2
− ;3) . Tính khoảng cách d từ A đến (P) . A. 5 5 d = . B. 5 d = . C. d = . D. 5 d = . 9 29 29 3
Câu 5. Trong không gian Oxyz khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z −1= 0 và
(Q): x + 2y +3z + 6 = 0 là A. 7 5 . B. 8 . C. 14. D. . 14 14 14
Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho M thuộc trục Oy và cách đều hai mặt phẳng: (P) : x + y − z +1= 0
và (Q) : x − y + z −5 = 0 có tọa độ là A. M (0; 3 − ;0) . B. M (0;3;0) . C. M (0; 2; − 0). D. M (0;1;0) .
Câu 7. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , lập phương trình các mặt phẳng song song với mặt phẳng
(β ): x + y − z +3 = 0 và cách (β ) một khoảng bằng 3 .
A. x + y − z + 6 = 0; x + y − z = 0.
B. x + y − z + 6 = 0 .
C. x − y − z + 6 = 0; x − y − z = 0 .
D. x + y + z + 6 = 0; x + y + z = 0 .
Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng (P) : A x + B y + C Z + D = 0 , 1 1 1 1 (  
Q) : A x + B y + C Z + D = 0 lần lượt có vectơ pháp tuyến n = A ; B ;C và n = A ; B ;C 2 ( 2 2 2) 1 ( 1 1 1) 2 2 2 2
. Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) khi và chỉ khi        
A. n = n .
B. n = k.n .
C. n ⊥ n .
D. n ≠ kn . 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng (P) : A x + B y + C Z + D = 0 , 1 1 1 1 (  
Q) : A x + B y + C Z + D = 0 lần lượt có vectơ pháp tuyến n = A ; B ;C và n = A ; B ;C 2 ( 2 2 2) 1 ( 1 1 1) 2 2 2 2
. Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) khi và chỉ khi        =   A. n k.n n = n .
B. n = k.n . C. 1 2 .
D. n ≠ kn . 1 2 1 2   1 2 D ≠ kD 1 2 Trang 20

Tài liệu liên quan: