Đề cương kết thúc học phần môn lí thuyết số

CHƯƠNG I: CƠ SỞ SỐ HỌC
Mục tiêu: Sau khi học xong Chương 1 sinh viên cần đạt được :
- Trình bày được các khái niệm và chứng minh được các tính chất liên quan đến tập
hợp tương đương, bản số của một tập hợp, tập hợp hữu hạn, vô hạn, số tự nhiên, số tự
nhiên kề trước, kề sau, số nguyên, số hữu tỷ, quan hệ thứ tự, tính sắp thứ tự, sắp thứ tự
Acsimet, tính trù mật.
- Biết giải các bài toán về các tập hợp tương đương, tính bị chặn và sắp thứ tự của tập
hợp, chứng minh các mệnh đề bằng phương pháp quy nạp toán học, thực hiện các
phép toán số học trong các hệ thống ghi số, đổi cơ số.
- Hiểu được cách xây dựng và mở rộng các tập hợp số, các hình thức biểu diễn các số
tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ, vô tỷ. Liên hệ được với các kiến thức tổng quát đã học
về các cấu trúc đại số. 1.1. Số tự nhiên
1.1.1. Tập hợp tương đương, bản số của một tập hợp
1) Định nghĩa. Giữa các tập hợp ta xác định một quan hệ, kí hiệu là  , như sau: Cho ,
A B là các tập hợp, ta nói A  B khi và chỉ khi có một song ánh từ A đến B.
Dễ thấy quan hệ  xác định như trên là một quan hệ tương đương và ta gọi nó
là quan hệ tương đương giữa các tập hợp. Khi A  B ta nói tập hợp A tương đương
với tập hợp B hay hai tập hợp A và B tương đương với nhau.
2) Mệnh đề. Phép lấy tích Đề các và phép lấy hợp các tập hợp bảo toàn tính tương
đương giữa các tập hợp. Cụ thể, với những tập hợp A, A1, B, B1, ta có:
a) Nếu A  A và B  B thì A ´B  A ´B 1 1 1 1
b) Nếu A  A , B  B và A Ç B = A Ç B = Æ thì A È B  A È B . 1 1 1 1 1 1
Chứng minh. Vì A  A , B  B nên tồn tại các song ánh f : A ® A , g :B ® B . 1 1 1 1
Lập các tương ứng j và y như sau:
j : A ´B® A ´B 1 1
(a,b)  j(a,b) = ( f (a), g(b)) y : A È B® 1 A È 1 B
ì f (x) khi x Î A x y
 (x) = íîg(x) khi xÎB 1
Dễ dàng chứng minh các tương ứng trên là những song ánh. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
3) Định lý Cantor - Bernstein. Cho ,
A B là các tập hợp. Thế thì tất phải xảy ra ít
nhất một trong hai trường hợp sau:
a) A tương đương với một bộ phận của B.
b) B tương đương với một bộ phận của A.
Nếu cả hai trường hợp a) và b) đồng thời xảy ra thì các tập hợp A và B tương đương với nhau.
Chú ý rằng khi ta nói A tương đương với một bộ phận của B có nghĩa rằng có một
đơn ánh từ A đến B.
4) Bản số của một tập hợp.
a) Định nghĩa. Khi các tập hợp A và B tương đương với nhau thì ta nói rằng chúng
có cùng một lực lượng hay cùng một bản số. Như vậy, mỗi tập hợp A có một bản số
(hay lực lượng), kí hiệu A hay Card ( )
A , sao cho hai tập hợp có cùng bản số khi và
chỉ khi chúng tương đương với nhau ( Card ( )
A = Card (B) Û A  B ).
Khi nói a là một bản số, đồng nghĩa với nói rằng có một tập hợp A (không
nhất thiết duy nhất) mà Card ( ) A = . a
b) Quan hệ thứ tự giữa các bản số.
Giữa các bản số ta xác định một quan hệ, kí hiệu £, như sau:
Cho a,b là những bản số, gọi ,
A B là những tập hợp mà Card ( )
A = a, Card (B) = . b
Ta định nghĩa a £ b khi và chỉ khi A tương đương với một bộ phận của B.
Dễ thấy quan hệ £ giữa các bản số không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp có
các bản số cho trước. Nghĩa là, nếu ,
A A , B, B là những tập hợp mà A  A , B  B và 1 1 1 1
A tương đương với một bộ phận của B thì tương đương với một bộ phận của . 1 A 1 B
Quan hệ £ giữa các bản số là một quan hệ thứ tự toàn phần.
Quan hệ £ giữa các bản số xác định như trên được gọi là quan hệ thứ tự giữa các bản số.
5) Tập hợp hữu hạn, vô hạn.
a) Định nghĩa. Một tập hợp không tương đương với bất kì một tập con thực sự nào
của nó được gọi là một tập hợp hữu hạn. Một tập hợp không phải là hữu hạn được gọi
là tập hợp vô hạn. Vậy một tập hợp A là vô hạn khi và chỉ khi có một tập con thực sự 2
của A tương đương với A. Nói cách khác, A là vô hạn khi và chỉ khi có một đơn ánh
f từ A đến A sao cho f ( ) A ¹ A.
b) Ví dụ. +) Tập Æ hữu hạn vì nó không có tập con thực sự, do đó nó không tương
đương với bất kì một tập con thực sự nào của nó.
+) Tập {a} hữu hạn vì {a} có duy nhất một tập con thực sự là Æ mà Æ không tương đương với {a}.
+) Tập B = {a, b} là hữu hạn vì B có 3 tập con thực sự là Æ , {a} và {b} đều không tương đương với B.
+) Tập hợp [P,Q] các điểm nằm trên đoạn thẳng PQ là vô hạn. P Q
c) Các tính chất. Các tính chất đơn giản sau đây có thể suy ra ngay được từ định
nghĩa (người học tự chứng minh xem như bài tập).
i) Mọi tập hợp tương đương với một tập hữu hạn là hữu hạn.
ii) Mọi bộ phận của một tập hữu hạn là hữu hạn, hoặc ta có mệnh đề tương đương
“Mọi tập hợp chứa một bộ phận vô hạn là vô hạn”.
iii) Nếu A và B là những tập hợp hữu hạn tương đương thì ta có A - B tương đương với B - A .
iv) Nếu A là một tập hữu hạn và A , A là những bộ phận của A tương đương với 1 2
nhau thì A - A tương đương với A - A . 1 2
d) Định lý. Hợp của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn.
Chứng minh. Cho ,
A B là những tập hợp hữu hạn, ta chứng minh A È B là hữu hạn.
Ta chỉ cần xét trường hợp A Ç B = Æ (vì nếu A Ç B ¹ Æ ta có A È B = A È ( B - ) A ).
Giả sử A È B là vô hạn, khi đó tồn tại đơn ánh f : A È B ® A È B mà
f (A È B) ¹ A È B , tức là tồn tại a Î(A È B) \ f (A È B). Không mất tính tổng quát ta
có thể giả thiết a ÎA. Đặt f ( )
A = A', f (B) = B '. Vì A Ç B = Æ và f là đơn ánh nên 3
A'Ç B ' = Æ . Vì B, B ' hữu hạn và B  B ' nên B \ B '  B '\ B = B 'Ç A. Do đó tồn tại
song ánh g :B \ B '® B 'Ç A . Lập ánh xạ j từ A đến A như sau: j : A® A ì f (x)
khi f (x) Î A
x  j(x) = íîg( f (x)) khi f (x)ÏA
Dễ thấy j là đơn ánh và ' ' j( )
A Ì A È B = f (A È B) nên a Ïj( )
A . Như vậy tồn tại
đơn ánh j : A® A mà j( )
A ¹ A nên A là vô hạn, trái với giả thiết. Vậy ta có đpcm.
1.1.2. Số tự nhiên
1) Định nghĩa. Bản số của một tập hợp hữu hạn được gọi là một số tự nhiên. Tập hợp
tất cả các số tự nhiên được kí hiệu là • . Vậy x Î • khi và chỉ khi tồn tại tập hợp X
hữu hạn sao cho Card ( X ) = x .
2) Ví dụ. +) Số không. Æ là tập hợp hữu hạn, vì thế bản số của nó là một số tự nhiên,
ta gọi là số không và kí hiệu là Card (Æ) = 0 .
+) Số một. Tập hợp A = { }
a chứa phần tử duy nhất a (chẳng hạn ta có thể lấy A = { }
Æ ) là một tập hữu hạn nên bản số của nó là một số tự nhiên, ta gọi là số một và kí hiệu là 1.
3) Quan hệ thứ tự trên tập hợp • .
Tập hợp • các số tự nhiên là một tập con của tập hợp các bản số, cho nên • cùng
với quan hệ thứ tự đã xác định giữa các bản số là một tập hợp sắp thứ tự toàn phần. Ta định
nghĩa quan hệ thứ tự trên • chính là quan hệ thứ tự giữa các bản số.
Nhận xét. +) Vì Æ là tập con của mọi tập hợp nên 0 là số tự nhiên bé nhất, tức là
0 £ x với mọi x Î • .
+) Giả sử x, y Î • và Y là tập hợp mà Card (Y ) = y , thế thì x £ y khi và chỉ khi tồn
tại X Í Y sao cho Card ( X ) = x .Từ kết quả này dễ thấy ngay rằng 0 < 1 vì Æ Ì { } Æ .
4) Số tự nhiên kề sau 4
a) Định nghĩa. Cho hai số tự nhiên x, y với x < .
y Gọi Y là tập hợp mà
Card (Y ) = y , khi đó tất có X Ì Y mà Card (X ) = .
x Khi đó y được gọi là số kề sau
của x khi và chỉ khi Card (Y \ X ) = 1. Số kề sau y của x được kí hiệu là ' y = x . Nếu
y là số kề sau của x thì x được gọi là số kề trước của y , ta còn nói x và y là hai số tự nhiên kề nhau.
Từ định nghĩa ta suy ra ngay được rằng mọi số tự nhiên x đều bé hơn thực sự
số kề sau của nó (nếu có).
b) Ví dụ. 0’ = 1 vì Card({ Æ }\ Æ ) = Card({ Æ }) =1 c) Các tính chất .
i) Số 0 không phải là kề sau của bất kỳ một số tự nhiên nào, nghĩa là với mọi x Î •
thì x ' ¹ 0. (người học tự chứng minh).
ii) Mọi số tự nhiên đều có một và chỉ một số kề sau.
Chứng minh: * Tồn tại. Giả sử x là số tự nhiên nào đó và X là tập hữu hạn có Card (X ) = .
x Lấy a là phần tử bất kỳ không thuộc X . Xét tập hợp Y = X È{ } a , ta
có Y là hữu hạn. Vì X Ì Y và Card (Y \ X ) = Card ({ }
a ) =1 nên y = Card(Y) là số kề sau của . x
* Duy nhất. Giả sử y , y đều là số kề sau của x và Y ,Y là các tập hữu hạn sao cho 1 2 1 2
Card (Y ) = y , Card (Y ) = y . Theo định nghĩa tồn tại X Ì Y , X Ì Y để 1 1 2 2 1 1 2 2
Card (X ) = Card (X ) = x và Card (Y - X ) = Card (Y - X ) = 1. Từ đó ta có 1 2 1 1 2 2
X  X và (Y - X )  (Y - X ). Suy ra X È (Y - X )  X È (Y - X ) hay 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2
Y  Y tức là y = y 1 2 1 2.
iii) Mọi số tự nhiên khác không đều có một và chỉ có một số kề trước.
(Chứng minh tương tự tính chất trên)
iv) Cho x và y là những số tự nhiên mà x < y, thế thì ' x £ . y 5
Chứng minh. Gọi Y là tập hợp mà Card (Y ) = .
y Vì x < y nên tồn tại X Ì Y , X ¹ Y
sao cho Card (X ) = x và tồn tại a ÎY \ X . Khi đó ta có '
x = Card ( X È{ } a ) và vì X È{ } a Í Y nên ' x £ . y
v) Tập hợp • các số tự nhiên là tập hợp sắp thứ tự rời rạc (nghĩa là giữa hai số tự
nhiên kề nhau không còn một số tự nhiên nào khác).
Chứng minh: Giả sử tồn tại y Î • sao cho '
x < y < x thì theo iv, ' '
x £ y < x . Suy ra ' '
x < x , mâu thuẫn.
Từ các tính chất trên ta có thể ký hiệu 1’=2, 2’=3,… ta được tập các số tự nhiên quen thuộc.
5) Tập hợp đếm được.
a) Mệnh đề. Tập hợp • các số tự nhiên là một tập hợp vô hạn.
Chứng minh: Xét ánh xạ f :• ®• ' x  x
Dễ thấy f là một đơn ánh và 0 Ï f (• ) suy ra f (• ) ¹ • . Vậy • là tập hợp vô hạn.
b) Định nghĩa. Bản số của tập • được gọi là lực lượng đếm được. Tập hợp tương đư-
ơng với • (hay có bản số là lực lượng đếm được) được gọi là tập hợp đếm được.
6) Một số tính chất khác của tập hợp các số tự nhiên.
a) Định lý (Tiên đề quy nạp). Mọi bộ phận M của • thoả mãn các tính chất: i. 0 Î M
ii. Hệ thức x Î M kéo theo x 'Î M , đều trùng với • .
b) Hệ quả (Định lý về phép chứng minh quy nạp)
Nếu mệnh đề t (n) phụ thuộc số tự nhiên n thoả mãn các điều kiện sau đây:
i. t (0) đúng.
ii. t (x) đúng kéo theo '
t (x ) đúng thì mệnh đề t (n) đúng "nΕ .
Chứng minh. Gọi A là bộ phận của • gồm những số tự nhiên n sao cho t (n) đúng.
Từ giả thiết suy ra 0 Î A; x Î A kéo theo '
x Î A . Vậy A = • (đpcm).
c) Định lý. Tập hợp • tất cả các số tự nhiên (cùng với quan hệ thứ tự đã xác định) là
một tập sắp thứ tự tốt, nghĩa là mọi bộ phận khác rỗng của • đều có số bé nhất. 6
Chứng minh: Gọi A là một bộ phận khác rỗng bất kỳ của • , ta cần chứng minh A
có số bé nhất. Đặt M = {b Î • b £ a, a " Î } A .
Dễ thấy M khác rỗng vì 0 Î M , M ¹ • vì nếu a Î A thì '
a < a suy ra ' a Ï M mà '
a Î • . Khi đó tồn tại m Î M mà m'Ï M nên m £ a, a " Î .
A Ta sẽ chứng minh m Î .
A Thật vậy, giả sử m Î A ta có m < a, a " Î , A suy ra ' m £ a, a " Î . A Vậy '
m Î M , điều này mâu thuẫn, suy ra đpcm.
7) Hệ tiên đề về số tự nhiên. Tập hợp tất cả các số tự nhiên • có thể được xác định
bởi bốn tiên đề sau gọi là hệ tiên đề Pêanô (khái niệm cơ bản là “số tự nhiên” và quan
hệ cơ bản là “kề sau”):
a) Có số tự nhiên 0, không phải là số kề sau.
b) Mỗi số tự nhiên có một và chỉ một số kề sau.
c) Mỗi số tự nhiên là kề sau của không quá một số.
d) Mọi bộ phận M của • thoả mãn các tính chất: i. 0 Î M
ii. Hệ thức x Î M kéo theo '
x Î M , đều trùng với • .
Với hệ tiên đề này ta cũng thu được toàn bộ các két quả cần thiết về tập hợp số tự nhiên.
1.1.3. Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên.
Trước khi định nghĩa các phép toán trên • , ta chứng minh các tính chất sau: 1) Mệnh đề.
i) Hợp của một họ hữu hạn những tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn.
ii) Tích Đề Các của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn.
iii) Tích Đề Các của một họ hữu hạn những tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn.
Chứng minh: i) Tự chứng minh theo phương pháp chứng minh quy nạp. ii) Giả sử ,
A B là hữu hạn, Cần chứng minh A´ B hữu hạn.
+ Nếu A = Æ thì hiển nhiên Æ´ B = Æ là hiển nhiên.
+ Nếu A ¹ Æ thì tồn tại a Î . A Xét tương ứng 7 f { : a}´ B ® B (a, y) y
Dễ thấy f là song ánh suy ra {a}´ B là hữu hạn, do đó A´ B =  ({a}´ B) là tập aÎA hợp hữu hạn.
iii) Chứng minh quy nạp dựa vào kết quả ii).
2) Định nghĩa phép cộng, phép nhân các số tự nhiên.
Cho a, b là những số tự nhiên, gọi ,
A B là các tập hợp hữu hạn sao cho Card ( )
A = a, Card (B) = b, A Ç B = . Æ
i) Phép toán • ´ • ®•
(a,b) a + b =Card ( A È B)
gọi là phép cộng các số tự nhiên, a + b được gọi là tổng của hai số tự nhiên a và b .
ii) Phép toán • ´ • ® •
(a,b) ab = Card ( A´ B)
gọi là phép nhân các số tự nhiên, ab gọi là tích của các số a và b .
Ta đã biết hợp và tích Đề Các của các tập hợp hữu hạn là hữu hạn, hợp và tích Đề
Các của các tập hợp hữu hạn bảo toàn tính tương đương giữa các tập hợp nên các phép
toán trên là các phép toán hai ngôi trên • .
Sau đây là các tính chất quen thuộc của tập hợp • cùng với các phép toán cộng,
nhân và quan hệ thứ tự trên nó. 3) Mệnh đề.
+) Tập hợp • tất cả các số tự nhiên cùng với phép cộng là một vị nhóm giao hoán,
với phần tử trung lập là số 0, trong đó mọi phần tử đều chính quy.
+) Tập hợp • tất cả các số tự nhiên với phép nhân là một vị nhóm giao hoán với
phần tử đơn vị là số 1, trong đó mọi phần tử khác 0 đều chính quy.
+) Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng.
+) Với mọi a, bÎ • ta có a £ a+b. 8
+) Với mọi a, bÎ • , b ¹ 0 ta có a £ ab.
+) Với mọi a, b, cÎ • thì a £ b Û a+c £ b+c.
+) Với mọi a, b, cÎ • , c ¹ 0 thì a £ b Û ac£ bc.
4) Phép trừ và phép chia các số tự nhiên
i) Phép trừ. Cho a,b là các số tự nhiên. Nếu tồn tại x Î • sao cho x + b = a thì x
được gọi là hiệu của a trừ đi b và kí hiệu là x = a - .
b Phép tìm hiệu của hai số tự
nhiên được gọi là phép trừ.
ii) Mệnh đề. Giả sử a,b Î • . Điều kiện cần và đủ để có hiệu a - b là b £ a. Chứng minh:
Điều kiện cần: Giả sử tồn tại hiệu a - .
b Khi đó theo định nghĩa ta có
a = b + (a - b) ³ . b
Điều kiện đủ: Giả sử b £ .
a Gọi A là tập hợp mà Card ( A) = .
a Vì b £ a nên tồn tại
B Í A sao cho Card (B) = .
b Vì Card (( A - B) È B) = Card ( A) = a nên ta có ngay
a - b = Card ( A - B).
iii) Phép chia. Cho hai số tự nhiên a,b với b ¹ 0. Nếu tồn tại x Î • sao cho
a = bx thì x được gọi là thương trong phép chia a cho b , kí hiệu là x = a : b = a / . b
Phép tìm thương của hai số gọi là phép chia.
Chú ý rằng điều kiện b £ a chỉ là điều kiện cần nhưng không đủ để tồn tại thương a / .
b Phép trừ và phép chia không phải là các phép toán hai ngôi trên tập các số tự nhiên • .
5) Định lý về phép chia có dư. Cho a, b là các số tự nhiên, b ¹ 0. Khi đó luôn tồn tại
duy nhất cặp số tự nhiên q và r sao cho a = bq + r, 0 £ r < b.
Chứng minh. * Sự tồn tại. Cố định b ¹ 0, ta chứng minh quy nạp theo a .
Với a = 0 ta có 0 = 0b + 0 nên mệnh đề là đúng.
Giả sử mệnh đề đúng với a , tức là tồn tại cặp số tự nhiên q, r sao cho a = bq + r,
0 £ r < b . Khi đó a +1 = bq + r +1 .
Nếu r +1 = b thì '
a +1 = bq + b = bq + 0 9 Nếu '
r +1 = r < b thì ' '
a +1 = bq + r , 0 £ r < .
b Vậy mệnh đề đúng với a +1.
* Tính duy nhất. Giả sử a = bq + r = bq + r với 0 £ r < b và 0 £ r < . b 1 1, 1
Nếu q ¹ q thì không mất tính tổng quát ta có thể giả sử q > q khi đó tồn tại số tự 1, 1,
nhiên m > 0 sao cho q = q + m , suy ra bq + bm + r = bq + r hay bm + r = r . Do 1 1 1 1 1
m > 0 nên bm ³ b, do đó =
+ ³ + ³ , vô lý. Vậy q = q và do đó r = r 1 r bm r b r b 1, 1.
1.1.4. Hệ thống ghi số cơ số g.
1) Định nghĩa. Cho g là một số tự nhiên lớn hơn 1 và M = {0,1,..., g - } 1 . Ta nói rằng
số tự nhiên a được viết trong hệ thống ghi số cơ số g hay gọi tắt là hệ thống g-phân nếu và chỉ nếu n n 1
a = a g + a
g - + ... + a g + a , (1) , trong đó n là một số tự nhiên, n n 1 - 1 0 a a Î M và 0. 0 ,..., n n a ¹
Nếu mỗi số của tập hợp M được cho bởi một ký hiệu đặc biệt thì các ký hiệu đó
gọi là các chữ số. Khi đó biểu diễn (1) được viết tắt là a = (a a ...a ) . n n 1 - 0 g
2) Ví dụ: a = (1981)10 = 1.103 + 9.102 + 8.101 + 1. M={0,1,...,9}.
b = (101011)2= 1.25 + 0.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1. M={0,1}.
3) Định lý. Cho g là một số tự nhiên lớn hơn 1 và M = {0,1,..., g - }
1 . Khi đó mọi số
tự nhiên a > 0 đều viết được một cách duy nhất dưới dạng: n n 1
a = a g + a
g - + ... + a g + a , (1) trong đó Î , " = 1,..., và 0. n n 1 - 1 0 i a M i n n a ¹
Chứng minh. Ta chứng minh sự tồn tại của biểu diễn (1) bằng quy nạp theo a .
Nếu a < g thì a = a là biểu diễn phải tìm.
Giả sử a ³ g và biểu diễn (1) đã được thiết lập cho tất cả các số tự nhiên nhỏ hơn a .
Chia a cho g ta được a = bg + a , a Î M và 1 £ b < . a 0 0
Vì b < a nên theo giả thiết quy nạp, b viết được dưới dạng: n 1 b a g - =
+ ...+ a g + a , a a Î M và 0. n 2 1 1,..., n n a ¹
Thay b vào đẳng thức trên, ta được n n 1
a = a g + a
g - + ... + a g + a , Î , " = 1,..., và 0. n n 1 - 1 0 i a M i n n a ¹
Đó là biểu diễn phải tìm của a .
Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của biểu diễn (1) cũng bằng quy nạp trên a . 10
Nếu 1 £ a < g thì hiển nhiên sự biểu diễn là duy nhất. Giả sử a > g và tính duy nhất
của sự biểu diễn đã được chứng minh cho tất cả các số tự nhiên nhỏ hơn a . Khi đó, nếu ta có n n 1 - ' m ' m 1 - ' '
a = a g + a g
+ ...+ a g + a = a g + a g
+ ...+ a g + a , tức là n n 1 - 1 0 m m 1 - 1 0 n 1 - ' m 1 - ' ' ' g(a g
+ ...+ a g + a ) + a = g(a g
+ ...+ a g + a ) + a n 2 1 0 m 2 1 0
thì do tính duy nhất của thương và dư trong phép chia Ơclit ta có ' n 1 - ' m 1 - ' '
a = a , a g
+ ...+ a g + a = a g
+ ...+ a g + a = b . 0 0 n 2 1 m 2 1
Vì b < a nên theo giả thiết quy nạp, ta có n = m và '
a = a , "i = 1,..., . n i i
4) Các phép toán số học trong hệ thống ghi số cơ số g .
Nếu ta viết các số tự nhiên trong hệ thống ghi số cơ số 10, tức là trong hệ thống
thập phân quen thuộc thì ta áp dụng các quy tắc quen thuộc cộng và trừ theo "cột".
Trong một hệ thống ghi số cơ số g , tức là một hệ thống g -phân, ta thực hiện các
phép cộng và trừ theo cùng những quy tắc như trong hệ thống thập phân, nghĩa là cộng
hoặc trừ từ phải sang trái, tức là từ hàng đơn vị sang hàng đứng trước v.v... Trong phép
cộng chẳng hạn, mỗi lần được một tổng chữ số cùng hàng lớn hơn cơ số g , thì phải
"nhớ". Để khỏi phát biểu lại các quy tắc quen thuộc ta minh hoạ chúng trên mấy ví dụ sau: (4253)6 (42044)5 (2542) (23141) 6 5 (11235) (13403) 6 5
Phép nhân các số tự nhiên có nhiều chữ số trong hệ thống g -phân được thực hiện
bằng những quy tắc giống như trong hệ thống thập phân, tức là cũng theo cột từ phải
sang trái. Để tránh nhầm lẫn trong các phép toán nhân, chia ta cần lập bảng nhân trong mỗi hệ cơ số.
Ví dụ: Ta có bảng nhân trong hệ cơ số 6 như sau: .(6) 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 11 2 2 4 10 12 14 3 3 10 13 20 23 4 4 12 20 24 32 5 5 14 23 32 41
Khi đó ta có thể tính toán tương tự như trong hệ thập phân quen thuộc.
Chúng ta có thể tính toán trực tiếp hoặc đổi sang cơ số 10 để tính sau đó đổi ngược trở lại.
5) Đổi cơ số. Vấn đề đổi cơ số đặt ra như sau:
Cho một số tự nhiên a viết trong hệ thống g-phân là a = (a ...a ) . Hãy viết a n 0 g
trong hệ thống h-phân.
Giả sử a = (b ...b ) . Như vậy, vấn đề là tìm các hệ số
,...,b khi đã biết các hệ m 0 h m b 0 số
,..., a . Để giải quyết vấn đề này ta thực hiện liên tiếp các phép chia số a và các n a 0
thương kế tiếp cho h (thực hiện trong hệ g-phân). Các số dư sẽ là các chữ số trong biểu
diễn của a trong hệ cơ số h.
1.2. Vành số nguyên.
1.2.1. Định lý (Xây dựng vành số nguyên).
Có một vành  và một đơn ánh f : • ®  sao cho:
a) f vừa là đơn cấu nửa nhóm cộng vừa là đơn cấu nửa nhóm nhân.
b) Các phần tử của  có dạng f (a) - f (b) với a,b Î •
c) Cặp (, f ) xác định như trên là duy nhất, sai khác một đẳng cấu.
Vành  xác định như trên gọi là vành các số nguyên.
Chứng minh. +) Trên • ´ • ta xác định quan hệ S như sau: Với (a,b), (c,d )Î • ´ • ,
(a,b) S (c,d ) khi và chỉ khi a + d = b + . c
Dễ thấy S là một quan hệ tương đương.
+) Đặt  = • ´ • / S = (
{ a,b) (a,b)Ε ´•}
(Tập thương của • ´ • trên quan hệ tương đương S ) 12
+) Định nghĩa hai phép toán cộng, nhân trong  như sau:
Giả sử x = (a,b), y = (c,d )Î, ta đặt
x + y = (a + c,b + d ), xy = (ac + bd, ad + bc)
Dễ chứng minh phép cộng, nhân là các phép toán hai ngôi trong  và (,+,×) là một
vành giao hoán với phần tử trung lập là (0,0) = (a,a) , đơn vị là (1,0) = (a',a),
với mọi a,b Î • , phần tử đối của (a,b) là ( , b a), ký hiệu là ( - a,b).
+) Lập tương ứng f : • ®  a (a,0)
Ta có ngay f là ánh xạ vì nếu a = b thì (a,0) = ( ,0
b ) do đó f (a) = f (b)
f là đơn ánh vì nếu (a,0) = ( ,0
b ) suy ra (a,0)S (b,0) hay a = b.
a) Với mọi a,b Î • , f (a + b) = (a + b,0) = (a,0) + ( ,0
b ) = f (a) + f (b), f (ab) = ( ,0
ab ) = (a,0) ( ,0
b ) = f (a) f (b)
b) Giả sử x = (a,b)Î ta có x = (a,0) + (0,b) = (a,0) - (b,0) = f (a) - f (b)
c) Giả sử tồn tại cặp ( X , g ) cũng thoả mãn định lí, nghĩa là tồn tại đơn ánh
g : • ® X sao cho với mọi x Î X , x = g(a) - g(b), a,b Î • .
Đặt j :  ® X , f (a) - f (b)  g(a) - g(b) . Dễ thấy j là đẳng cấu vành và g = j f . 1.2.2. Nhận xét.
1) Vì f là đơn cấu nên ta có thể đồng nhất a với f (a), do đó ta có thể xem • như là
nửa nhóm con của  ( đối với phép cộng và phép nhân).
2) Với mọi x = (a,b)Î, a,b Î •
- Nếu a ³ b thì x = (a - b,0) = f (a - b) = a - b
- Nếu a < b thì x = (
- b - a,0) = - f (b - a) = -(b - a). Do đó x hoặc là ảnh hoặc là
đối ảnh của một số tự nhiên. Vậy  = • È (-• ). 13 Nếu * a Î • = • \ { }
0 thì a được gọi là số nguyên dương, -a Î -• gọi là số nguyên âm.
3) Vành , xác định sai khác một đẳng cấu, là vành cực tiểu chứa tập hợp • các số tự
nhiên như là nửa nhóm con cộng và nửa nhóm con nhân (nghĩa là mọi vành con của 
chứa tập hợp • đều trùng với ). Đảo lại, mọi vành cực tiểu chứa tập • các số tự
nhiên như là nửa nhóm con cộng và nửa nhóm con nhân đều trùng với  (có thể sai khác một đẳng cấu).
4) Vành  các số nguyên là vành Gauss, vành Chính, vành Ơclit.
5) Lực lượng của  là đếm được.
Chứng minh. Lập ánh xạ f :  ® • ì 2x khi x Î •
x  f (x) = í î 2
- x -1 khi x Ï •
Rõ ràng f là song ánh và do đó  là đếm được.
1.2.3. Tính chất của vành số nguyên.
1) Vành sắp thứ tự và sắp thứ tự Acsimet.
a) Định nghĩa 1. Một vành giao hoán A cùng với quan hệ thứ tự toàn phần £ trên A
được gọi là vành sắp thứ tự nếu các điều kiện sau đây được thoả mãn: " x, y Î A
i, x £ y kéo theo x + z £ y + z, z " Î A
ii, 0 £ x và 0 £ y kéo theo 0 £ . xy
* Chú ý. Trong vành sắp thứ tự ( ,
A £) , phần tử a > 0 gọi là phần tử dương, phần tử
a < 0 gọi là phần tử âm. Mọi phần tử a đều so sánh được với 0 nên nếu a ¹ 0 thì a
chỉ có thể là dương hoặc âm.
b) Định nghĩa 2. Vành sắp thứ tự ( ,
A £) được gọi là sắp thứ tự Acsimét nếu và chỉ nếu
với mọi x, y Î ,
A x >0 tồn tại n Î • để nx > y .
2) Quan hệ thứ tự trên .
a) Định nghĩa. Trên  ta xác định một quan hệ, kí hiệu £, như sau: 14
" x, y Î , x £ y Û y - x Î • .
Dễ thấy quan hệ £ là một quan hệ thứ tự toàn phần trên  và khi thu hẹp trên •
sẽ trùng với quan hệ thứ tự đã định nghĩa trên • .
Quan hệ £ vừa định nghĩa gọi là quan hệ thứ tự (thông thường) trên .
b) Định lý. (, £) là một vành sắp thứ tự Acsimet.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh (, £) là vành sắp thứ tự. Với x, y Î, giả sử
x £ y suy ra y - x Î • . Ta có y - x = (y + z) - (x + z) Î • , do đó x + z £ y + z. Từ
0 £ x và 0 £ y, ta có x, y Î • , suy ra xy Î • , tức là 0 £ . xy
Tiếp theo ta chứng minh (, £) là vành sắp thứ tự Acsimet. Với mọi x, y Î, giả sử
x > 0. Nếu y £ 0, chọn n = 1 ta có nx = x > 0 ³ .
y Nếu y > 0, chọn n = y +1. Khi đó nx = ( y + )
1 x = yx + x > yx ³ y.
3) Số nguyên kề nhau.
a) Mệnh đề. Nếu x, y Î  mà x < y thì x +1 £ . y
Chứng minh. Giả sử ngược lại x < y < x +1 khi đó 0 < y - x < 1, mà y - x Î • và
• sắp thứ tự rời rạc, mâu thuẫn. Do đó ta có đpcm.
b) Định nghĩa. Các số nguyên x và x +1 được gọi là các số nguyên kề nhau. x +1 là
số kề sau của x .
c) Hệ quả. Vành (, £) là vành sắp thứ tự rời rạc.
4) Định nghĩa giá trị tuyệt đối. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên x, ký hiệu x , là
một số nguyên xác định như sau: ì x khi x ³ 0 x = í î-x khi x < 0
Với định nghĩa này ta có các kết quả thông thường về giá trị tuyệt đối.
5) Bộ phận bị chặn. 15
a) Định nghĩa. Một bộ phận M của vành số nguyên  được gọi là bị chặn trên (chặn
dưới) nếu có một số nguyên a sao cho x £ a (a £ x) , với mọi x Î M . M được gọi là
bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới.
b) Định lý. Mọi bộ phận khác rỗng và bị chặn trên (chặn dưới) của vành số nguyên 
đều có số lớn nhất (nhỏ nhất).
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp bị chặn trên.
Giả sử M Í , M khác rỗng và bị chặn trên.
- Nếu M Ç • ¹ Æ thì M Ç • Í • , bị chặn trên nên có số lớn nhất, đó chính là số lớn nhất của M .
- Nếu M Ç • = Æ, đặt '
M = {-x x Î M} suy ra ' '
M Í • , M ¹ Æ nên M’ có số nhỏ nhất -x khi đó
là số lớn nhất của M 0 , 0 x .
1.3. Trường số hữu tỷ.
1.3.1. Định lý (Xây dựng trường số hữu tỷ).
Có 1 trường  và một đơn cấu vành f : ®  sao cho:
a) Mọi phần tử x Î  có dạng 1 x f (a) f - =
(b), trong đó a,b Î , b ¹ 0.
b) Cặp ( , f ) xác định như trên là duy nhất sai khác một đẳng cấu.
Trường  xác định như trên gọi là trường các số hữu tỷ.
Chứng minh. * Xây dựng trường  . +) Trên *
 ´  ta định nghĩa quan hệ S như sau: Với (a b) (c d ) * , , , Î´  ,
(a,b) S (c,d )Û ad = . bc
Dễ thấy S là một quan hệ tương tương đương. +) Đặt *  =  ´  S = ( { a b) * / ,
a Î , b Î }
+) Trên  định nghĩa hai phép toán cộng và nhân:
(a,b) + (c,d ) = (ad + bc,bd )
(a,b)(c,d ) = (ac,bd ) 16
Dễ kiểm tra được ( ,+,.) là một trường với phần tử trung lập là (0, ) 1 = (0,a) , phần tử đơn vị là (1, ) 1 = (a,a) , * a
" Î  , phần tử đối của (a,b) là (-a,b) = (a, b - ) ,
nghịch đảo của (a,b) là ( ,
b a), "(a,b) ¹ (0 ) ,1 .
* Xét ánh xạ f :  ®  a (a ) ,1
Dễ thấy f là đơn ánh, hơn nữa a " ,b Î, ta có
f (a + b) = (a + b ) ,1 = (a ) ,1 + (b )
,1 = f (a) + f (b)
f (ab) = (ab ) ,1 = (a ) ,1 (b )
,1 = f (a) f (b) f ( ) 1 = (1 ) ,1
Do đó f là đơn cấu vành. 1 -
a) Cho bất kì x = (a,b)Î , ta có x (a b) (a )( b) (a )(b ) f (a) 1 , ,1 1, ,1 ,1 f - = = = = (b), với *
a Î , b Î .
b) Giả sử còn cặp ( X , g ) cũng thoả mãn định lí, tức là tồn tại đơn cấu g :  ® X sao
cho x X x g (a) 1 g- " Î = (b) * ,
, a Î , b Î  .
Lập ánh xạ j :  ® X ( ) 1 - ( ) ( ) 1 f a f b g a g-  (b)
Dễ thấy j là đẳng cấu trường và g = j f nên ta có đpcm. 1.3.2. Nhận xét.
1) Vì f là đơn cấu nên ta có thể đồng nhất a với f (a) . Khi đó  có thể xem như là vành con của  . 2) x  x f (a) 1 f - (b) 1 : ab- " Î = = . Kí hiệu 1 - a
ab = và gọi là phân số a trên b , a b
là tử số, b là mẫu số. Vậy phân số là một hình thức biểu diễn số hữu tỷ qua số nguyên. 17
3) Trường số hữu tỷ  là một trường cực tiểu chứa vành số nguyên  như là vành con và
đảo lại mọi trường cực tiểu chứa vành  như là vành con đều trùng với trường  các số
hữu tỷ (sai khác một đẳng cấu). Thật vậy: * Giả sử '
 là một trường con của  chứa  . Khi đó 1 - * x
" Î , x = ab ,a Î, bÎ , ta có 1 ' x ab- = Î suy ra '  Í  . Vậy '  =  .
* Giả sử P là một trường cực tiểu chứa  như vành con. Khi đó, vì P là một trường
nên nó chứa mọi phần tử x có dạng 1 ab- với *
a Î , b Î suy ra P chứa  . Vì P
cực tiểu nên P =  .
1.3.3 . Tính chất của trường số hữu tỷ
1) Quan hệ thứ tự trên  .
a) Định nghĩa. Trên  ta định nghĩa một quan hệ, kí hiệu £ , như sau a c
x, y Î  , x = , y = , a, , b c, d Î ,
 bd ¹ 0. Ta định nghĩa b d
+ 0 £ x Û 0 £ ab ( ab là số nguyên không âm).
+ x £ y Û 0 £ y - . x
b) Chú ý. - Định nghĩa trên không phụ thuộc vào phân số biểu diễn số hữu tỷ được a a
xét. Thật vậy, giả sử 1 x = =
. Khi đó ab = a b , suy ra ( 1 ab )( 1 bb ) = ( 1 a b)( 1 bb ) , b 1 1 1 b hay 2 2
abb = a b b Vì bb ¹ nên 2 2
b > 0, b > 0 , do đó 0 £ ab Û 0 £ a b . 1 1 1 . 1 0 1 1 1
- Quan hệ "£" trên nếu thu hẹp trên  sẽ trùng với quan hệ thứ tự đã định nghĩa trên
. Vì giả sử x, y Î , nếu x, y Î, ta có
x £ y (trong  ) Û x £ y Û y - x Î • Û x £ y (trong ).
- Quan hệ "£" là một quan hệ thứ tự toàn phần trên  . 0
* " x Î  , ta có x - x = mà 0.1 = 0 ³ 0 nên x £ x suy ra quan hệ £ có tính 1 chất phản xạ. 18 a
* Giả sử ta có x, y Î  mà x £ y và y £ .
x Đặt y - x = , a,b Î , b ¹ 0. Khi đó b a a a
x - y = - . Vì x £ y nên 0 £ Û 0 £ ab, y £ x suy ra 0 £ - Û 0 £ - . ab Vậy b b b
ab = 0. Vì b ¹ 0 nên từ a = 0 suy ra x = y, do đó quan hệ có tính chất phản xứng. a c
* Giả sử x, y, z Î  mà x £ y, y £ z và y - x = , z - y = . Ta phải chứng minh b d c a ad + bc 2 2
x £ z Û 0 £ z - x = (z - y) + ( y - x) Û 0 £ + =
Û 0 £ bd(ad + bc) = abd + cdb . d b bd
Thật vậy, theo giả thiết ta có ab ³ 0, cd ³ 0 suy ra 2 2
abd ³ 0, cdb ³ 0. Do đó 2 2
abd + cdb ³ 0 (đpcm). Vậy quan hệ ' £'' là quan hệ thứ tự. a a
* Mọi x, y Î  , đặt x - y = ta có y - x = - , với a,b Î , b ¹ 0. Vì trong  b b
ta luôn có 0 £ ab hoặc ab £ 0 nên ta cũng có 0 £ x - y hoặc 0 £ y - x , tức là x £ y hoặc y £ .
x Vậy quan hệ thứ tự £ là quan hệ thứ tự toàn phần.
2) Trường sắp thứ tự.
a) Định nghĩa. Trong định nghĩa vành sắp thứ tự ( ,
A £) , nếu A là một trường thì ( ,
A £) gọi là trường sắp thứ tự.
b) Phần tử hữu tỷ của trường sắp thứ tự.
i) Định nghĩa. Cho P là một trường sắp thứ tự.
Lập tương ứng f :  ´ P ® P
(a, x)  a x
trong đó a x được xác định như sau:
+) Nếu a = m Î • \ { }
0 , đặt a x = mx = x + x + ... + x  m
+) Nếu a = m Î -• tức là -m Î • , đặt a x = -(-mx) m mx +) Nếu a Ï , a = , ,
m n Î ,n ¹ 0, đặt a x (mx)(ne) 1- = = Î P n ne
( e là phần tử đơn vị của trường P ).
Dễ chứng minh f là ánh xạ và gọi là phép nhân một số hữu tỷ với một phần tử của trường sắp thứ tự . P 19
ii) Một số tính chất cơ bản. Với mọi a, b Î  , x, y Î P, ta có:
+) (a + b ) x = a x + b x
+) a ( x + y) = a x +a y
+) (a x)(b y) = (ab ) x . y
iii) Định lý. Mọi trường sắp thứ tự P đều chứa trường con đẳng cấu với trường  các số hữu tỷ.
Chứng minh. Lập ánh xạ j :  ® P
a  ae
Dễ thấy j là đơn cấu trường nên j ( ) là trường con của P đẳng cấu với  .
iv) Nhận xét và định nghĩa.
Có j ( ) = {ae a Î } là trường con của .
P Vì j là đơn cấu nên ta đồng nhất a với j (a ) = aeÎ .
P Khi đó ta có thể xem  là trường con của .
P Như vậy, nếu P là một
trường sắp thứ tự ta có thể coi nó chứa trường các số hữu tỷ  , các phần tử ae của P
được đồng nhất với a Î  được gọi là các phần tử hữu tỷ của trường sắp thứ tự . P
3) Tính trù mật và sắp thứ tự Acsimet.
a) Định nghĩa 1. Giả sử P là trường sắp thứ tự. Nếu với mọi x, y Î P mà x < y luôn
tồn tại z Î P sao cho x < z < y thì P được gọi là trù mật.
Nếu tồn tại z Î  thỏa mãn x < z < y thì P gọi là trù mật hữu tỷ.
b) Mệnh đề: Mọi trường sắp thứ tự đều trù mật.
Chứng minh. Giả sử P là trường sắp thứ tự. Với x, y Î P, x < y ta có x + y x + y
x + x < x + y < y + y hay 2x < x + y < 2y suy ra x <
< y . Đặt z = ta có 2 2 đpcm.
c) Định nghĩa 2. Trường sắp thứ tự P được gọi là trường sắp thứ tự Acsimet nếu mọi
x, y Î P, x > 0 luôn tồn tại n Î • sao cho nx > . y
d) Định lý. Trường sắp thứ tự Acsimet thì trù mật hữu tỷ. 20