Đề cương môn đại số tuyến tính - Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH I. Không gian vector
1. Chứng minh kgvt con, tìm cơ sở và số chiều của kgvt con.(III.4,5,12,13,14+vd)
2. Chứng minh một hệ vector là cơ sở của 1 kgvt, tìm tọa độ của một
vector đối với một cơ sở.(III.15,16,17) Không gian con sinh bởi một hệ vector.
3. Tìm điều kiện của tham số để một hệ vector độc lập tuyến tính hay
phụ thuộc tuyến tình hay là cơ sở của 1 kgvt hay để 1 vector là tổ hợp
tuyến tính của 1 hệ vector.(III.6,7,8,9)
4. Tìm hay biện luận theo tham số hạng của một hệ vector.(III.10,11+vd) II.
Ánh xạ tuyến tính(xem vd trong vở)
1. Chứng minh 1 ánh xạ là ánh xạ tuyến tính.
2. Tìm ma trận của axtt đối với cặp cơ sở.
3. Ma trận chuyển cơ sở, công thức đổi tọa độ.
4. Ma trận của axtt khi đổi cơ sở.
5. Tìm Imf, kerf, dimImf, dimkerf.
6. Trị riêng vector riêng, chéo hóa ma trận. III.
Dạng toàn phương trên Rn
1. Hạng của dạng toàn phương.
2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng pp Largrange và chỉ ra
cơ sở tương ứng với dạng chính tắc.
BÀI TẬP ÔN TẬP
Câu 1. Trong R-kgvt các đa thức bậc không quá 3, cho các vector:
p1=x3+2x2+3x+6, p2=2x3 -x2+1x+2, p3=3x3+2x2+5x+10, p4=4x3-3x2+1x+2 và p=x3+6x2+7x+a.
Tìm a để p là một tổ hợp tuyến tính của các vector p1, p2, p3, p4.
Câu 2. Trong R- Kgvt R3 cho 2 cơ sở:
(e) ={e1=(1,0,3), e2=(4,-1,1), e3=(3,1,8) }
(e’) ={e’1=(1,2,2), e’2=(2,1,1), e’3=(0,1,-1) } Và x=3e1-8e2-6e3.
a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ (e) sang (e’).
b) Tìm tọa độ của vector x đối với cở sở (e’).
Câu 3. Trong R-kgvt các đa thức bậc không quá 3, cho các vector:
p1=x3+2x2+3x+6, p2=2x3 -x2+1x+2, p3=3x3+2x2+5x+10, p4=4x3-3x2+1x+2 và p5=x3+6x2+7x+a.
Hãy biện luận theo a hạng của hệ vector trên.
Câu 4. Trong R- Kgvt R3 cho hệ vector
(e) ={e1=(1,2,3), e2=(2,-1,1), e3=(3,1,a) }.
a. Tìm a để hệ (e) là một cơ sở của R3.
b. Cho x=(1,-1,5). Tìm tọa độ của x đối với (e) trong trường hợp (e) là cơ sở của R3.
Câu 5. Trong R- Kgvt R3 cho hệ vector
(e) ={e1=(1,2,3), e2=(2,-1,1), e3=(3,1,7) }.
a. Chứng minh rằng hệ vector (e) là một cơ sở của R3.
b. Cho x=(1,-1,5). Tìm tọa độ của x đối với (e). Câu 6. Trong
-không gian vector V , cho cơ sở (e)={e1, e2, e3} và các vector:
e, = e + 4e + 2e ;e, = e + 2e + 3e ;e, = 5e + e + 3e ;y = 7e + 7e + 8e . 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3
a. Chứng minh rằng hệ vector (e') = { e, ,e, ,e, } cũng là một cơ sở của V. 1 2 3
b. Tìm tọa độ của vector y đối với cơ sở (e') ={ e, ,e, ,e, } . 1 2 3
c. Cho phép biến đổi tuyến tính f trên V có ma trận đối với cơ sở (e) là: 1 1 2   A = 0 −  2 3 4 0 1
Tìm ma trận của f đối với cơ sở (e’).
Câu 7. Trong R- kgvt các đa thức bậc không quá 3 R3[x] cho tập con
E = { a+bx+cx2+dx3| a+2b+3c+4d=0}
a. Chứng minh rằng E là một không gian con của R3[x].
b. Tìm một cơ sở và dimE.
Câu 8. Trong R- kgvt R4 cho tập con E={(a,b,c,d)| a+b+c+d=0}
c. Chứng minh rằng E là một không gian con của R4
d. Tìm một cơ sở và dimE. Câu 9. Trong
-không gian vector các ma trận vuông cấp 2 M , cho tập con 2  a b  E =   ,a,b,c  5b c 
e. Chứng minh rằng E là một không gian con của M . 2
f. Tìm một cơ sở và số chiều của E. Câu 10. Trong
-không gian vector các ma trận vuông cấp 2 M , cho tập con 2
a b a− b = 0  E =   \  
c d 2c− d = 0
a. Chứng minh rằng E là một không gian con của M . 2
b. Tìm một cơ sở và số chiều của E.
Câu 11. Trong R- kgvt các đa thức bậc không quá 3 R3[x] cho tập con
E ={ a+bx+2bx2+cx3| a,b,c R}
Chứng minh rằng E là một không gian con của R3[x]. Tìm dimE. g. Cho ánh xạ f : E → E
f (a+ bx + 2bx2 + cx3) = (a− c) + bx + 2bx2 + (a+ b − c)x3 i)
Chứng minh rằng f là một phép biến đổi tuyến tính. ii)
Tìm Im(f), Ker(f), dim Im(f), dim Ker(f).
Câu 12. Trong R- kgvt R4 cho tập con E={(a,b,3b,c)|a,b,c
a. Chứng minh rằng E là một không gian con của R4. Tìm dimE. b. Cho ánh xạ f : E → E
f (a,b,3b,c) = (a− 5c,b,3b,a + b − 5c)
i. Chứng minh rằng f là một phép biến đổi tuyến tính. ii.
Tìm Im(f), Ker(f), dim Im(f), dim Ker(f).
Câu 13. Cho phép biến đổi tuyển tính f : xác định bởi
f (x ,x ,x ) = (6x − 2x + 2x ; −2x + 5x ;2x + 7x ) . 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3
a. Tìm ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc của 3 .
b. Tìm tất cả các trị riêng và cơ sở của không gian con riêng tương ứng của f. c. Tìm một cở sở của
sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Ma trận A có chéo hóa được không? Nếu có hãy chỉ ra ma trận P làm chéo ma trận A.
Câu 14. Cho phép biến đổi tuyển tính f : xác định bởi
f (x ,x ,x ) = (5x ; 7x − 2x ; −2x + 7x ) . 1 2 3 1 2 3 2 3
a. Tìm ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc của 3 .
b. Tìm tất cả các trị riêng và cơ sở của không gian con riêng tương ứng của f. c. Tìm một cở sở của
sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng
chéo. Ma trận A có chéo hóa được không? Nếu có hãy chỉ ra ma trận P làm chéo ma trận A.
Câu 15. Cho phép biến đổi tuyển tính f : xác định bởi
f (x ,x ,x ) = (4x − 7x ;3x − 8x + 2x ;5x ) . 1 2 3 1 3 1 2 3 3
d. Tìm ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc của 3 .
e. Tìm tất cả các trị riêng và cơ sở của không gian con riêng tương ứng của f.
Câu 16. Cho dạng toàn phương 3 biến thực có biểu thức tọa độ đối với cơ sở chính tắc của là:
(x) = 2x2 + 6x2 + 4x2 − 6x x +12x x − 6x x . 1 2 3 1 2 2 3 1 3
a. Tìm hạng của dạng toàn phương trên.
b. Đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra cơ sở của ứng với dạng chính tắc đó.
Câu 17. Cho dạng toàn phương 3 biến thực có biểu thức tọa độ đối với cơ sở
(e) ={e1=(1,1,0), e2=(1,0,1), e3=(0,1,1)} của là:
(x) = 2x2 + 6x2 + 6x2 − 8x x +12x x − 8x x . 1 2 3 1 2 2 3 1 3
a. Tìm hạng của dạng toàn phương trên.
b. Đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra cơ sở của ứng với dạng chính tắc đó.
Câu 18. Cho dạng toàn phương 3 biến thực có biểu thức tọa độ đối với cơ sở chính tắc của là:
(x) = 5x x + 10x x −12x x . 1 2 2 3 1 3
a. Tìm hạng của dạng toàn phương trên.
b. Đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra cơ sở của ứng với dạng chính tắc đó.
Câu 19. Cho dạng toàn phương 3 biến thực có biểu thức tọa độ đối với cơ sở chính tắc của là:
(x) = 2x x + 12x x − 6x x . 1 2 2 3 1 3
a. Tìm hạng của dạng toàn phương trên.
b. Đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra cơ sở của ứng với dạng chính tắc đó.
Câu 20. Cho dạng toàn phương 3 biến thực có biểu thức tọa độ đối với cơ sở chính tắc của là:
(x) = 4x2 + x2 + 4x2 − 4x x + 23x x − 8x x . 1 2 3 1 2 2 3 1 3
a. Tìm hạng của dạng toàn phương trên.
b. Đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra cơ sở của ứng với dạng chính tắc đó.