Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

Bài giảngchương II:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG II:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH.
. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH :
1. Các định nghĩa :
1.1. Định nghĩa 1: Hệ phương trình bậc nhất gồm m phương trình , n ẩn có dạng :
a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1
a x + a x + a x + + a x = b  21 1 22 2 23 3 2n n 2 (I) 
 ........................................................
a x + a x + a x + + a x = b  m1 1 m 2 2 m3 3 mn n m
trong đó aij , bj (i = 1; m , j = 1, n) là các hệ số thực ( hoặc phức ) , x1 , x2 , ..., xn là n ẩn số) ,
được gọi là hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình , n ẩn .
1.2. Định nghĩa 2: ( Về nghiệm của hệ phương trình tuyến tính)
a. Bộ số thực ( hoặc phức) ( ) được 1,2 ,…,n
gọi là một nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính (I) nếu ta thay xi = i , i = 1, n ở hệ trên thì ta được m dòng đồng nhất thức .
b. Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính được gọi là tập hợp nghiệm
của hệ phương trình tuyến tính đó .
c. Hai hệ phương trình tuyến tính có tập hợp nghiệm bằng nhau , ta gọi chúng tương đương với nhau .
d. Một hệ phương trình tuyến tính được gọi được gọi là có nghiệm hay tương thích nếu tập
hợp nghiệm của nó khác rỗng , ngược lại ta gọi hệ đó vô nghiệm hay không tương thích .
e. Hệ phương trình tuyến tính tương thích có duy nhất một nghiệm gọi là hệ xác định ,
ngược lại gọi là hệ không xác định .
2. Dạng ma trận của hệ : Cho hệ phương trình (I) .  a a … a … 11 12 a1n   x1   b1   a11 12
a1n ⁝ b1     a a … a      x b a a … a ⁝ b Đặt     A = 21 22
2n  ; X = 2  ; B = 2  ; A = 21 22 2n 2   … … … …  …  … 
 … … … … ⁝…           a a … a       a m1 m 2 mn xn bm am1 m 2 … a ⁝  mn bm
Ma trận A, X ,B , A lần lượt gọi là ma trận hệ số ( hay ma trận liên kết ) , ma trận ẩn , ma trận hệ
số tự do , ma trận mở rộng ( hay ma trận bổ sung ) của hệ phương trình tuyến tính (I) . Ta có :
A.X = B (II)
(II) gọi là dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính .
3. Các định lí về nghiệm của hệ phương trình tuyến tính :
3.1 Định lí 1: (Định lí Kronecker - Capeli)
Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính (I) có nghiệm (tương thích) là hạng của
ma trận hệ số bằng hạng của ma trận bổ sung (
r ( A) = r ( A )) .
Hệ quả: Hệ phương trình (I) vô nghiệm (hay không tương thích) khi và chỉ khi
r ( A)  r (A) .
GVC.Phan Thị Quản Trang1
Bài giảngchương II:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3.2 Định lí 2: Nếu r ( A) = r (A) = n ( n là số ẩn của hệ phương trình tuyến tính (I)) thì hệ
phương trình tuyến tính (I) có duy nhất một nghiệm ( hệ xác định ) .
3.3 Định lí 3: Nếu r ( A) = r ( A) = r  n ( n là số ẩn của n là số ẩn của hệ phương trình tuyến
tính (I)) thì hệ phương trình tuyến tính (I) có vô số nghiệm phụ thuộc (n − r ) tham số .
Ví dụ : Biện luận số nghiệm của hệ phương trình sau theo tham số m :
mx + y + z = 1
 x + my + z = 1
 x + y + mz = 1
. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CRAMER :
1. Định nghĩa : Hệ phương trình tuyến tính có n phương trình , n ẩn được gọi là hệ phương
trình tuyến tính Cramer nếu ma trận hệ số của hệ phương trình là không suy biến ( det( A)  0)
x + 3y + z = 3  Ví dụ
: Hệ phương trình:  2x + y − 3z = 0 là hệ phương trình tuyến tính Cramer
 3x+ 2 y− 2 z = 3
2. Định lí Cramer ( Qui tắc Cramer) :
Hệ phương trình tuyến tính Cramer có nghiệm duy nhât ( hệ xác định ) và nghiệm của nó được D
cho bởi công thức : x = i (i =1;n ) ,trong đó D là định thức của ma trận hệ số của i D
hệ Cramer , Di là định thức suy ra từ định thức D bằng cách thay cột thứ i bởi cột của hạng
tử tự do , i = 1; n .
. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH:
Qua các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận mở rộng của một hệ phương trình tuyến
tính ta được một hệ phương trình mới tương đương với hệ đã cho có ma trận mở rộng là ma trận
sau cùng của các phép biến đổi . Do đó các phép biến đổi trên còn gọi là các phép biến đổi tương
đương của hệ phương trình tuyến tính .
1. Phương pháp ma trận nghịch đảo :
Cho hệ phương trình (II) A .X = B , với A là ma trận vuông không suy biến .
A không suy biến  A−1 và X = A −1B .
2. Phương pháp Cramer ( Định thức ) :
Cho hệ phương trình tuyến tính n phương trình , n ẩn : A.X = B và D = det( A)  0 . Khi
đó hệ trên là hệ phương trình tuyến tính Cramer , hệ có nghiệm duy nhất và nghiệm của nó được xác định : D
x = i (i = 1;n) i D
3. Phương pháp Gauss : ( Phương pháp khử dần ẩn số )
B1: Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp chỉ trên các dòng của ma trận mở rộng A đưa
ma trận này về ma trận A ' dạng có chứa nhiều số 0 , thường A ' dạng bậc thang .
GVC.Phan Thị Quản Trang2
Bài giảngchương II:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH B2:
 Nếu r ( A ')  r (A ') ( A ' là ma trận A ' bỏ cột cuối cùng ) : Hệ phương trình vô nghiệm
 Nếu r ( A ') = r ( A ') = n : Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất và hệ đã cho
tương đương với hệ có ma trận mở rộng A ' sau khi biến đổi .Tìm nghiệm của hệ này dễ dàng .
 Nếu r ( A ') = r ( A ') = r  n : Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm cho bởi công
thức tổng quát và hệ đã cho tương đương với hệ có ma trận mở rộng A ' sau khi biến
đổi . Khi đó Dr  0 , Dr là định thức cấp r cao nhất khác 0 có trong ma trận A ' .
Giả sử các ẩn có hệ số trong Dr là xi 1 , xi 2 ,… ,xir , khi đó ta chọn các ẩn này là ẩn chính,
các ẩn còn lại được gọi là các ẩn không chính ( xem là các tham số), hệ phương trình
đã cho tương đương với hệ gồm r phương trình r ẩn, hệ r phương trình này có định
thức ma trận của hệ là định thức D ở r
trên. Tìm nghiệm của hệ mới này dễ dàng. Từ
đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho
x + 3y + z = 3 
Ví dụ1 : Giải hệ phương trình sau :
 2x + y −3z = 0 
 3x + 2 y −2z = 3
mx + y + z = 1 
Ví dụ2 : Giải và biện luận hệ phương trình :  x + my + z = m theo tham số m .
 x + y + mz = m 2
.HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT :
1. Định nghĩa : Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình , n ẩn có dạng: a
11x1 +a12 x2 +a13 x3 + +a1nxn = 0   = 0 a 21x
1 + a 22 x
2 + a 23 x 3 + + a x 2n n
hay A.X = 0 (III) 
 ........................................................ a + + + + = m1x1
am 2x 2 am3x3 amnxn 0
(III) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất .
2. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :
a. Hệ (III) bao giờ cũng có nghiệm ( r ( A ) = r ( A ).
b. ( 0, 0, ..., 0) là một nghịêm của hệ . Gọi là nghiệm tầm thường của hệ .
c. Nếu r ( A) = n , n là số ẩn thì hệ chỉ có duy nhất một nghiệm là nghiệm tầm thường .
d. Nếu r ( A ) = r  n hệ có vô số nghiệm phụ thuộc ( n − r) tham số , nên có nghiệm khác
nghiệm không , các nghiệm này gọi là nghiệm không tầm thường .
e. Đặc biệt : Một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm n phương trình , n ẩn có
nghiệm khác không khi và chỉ khi định thức các hệ số bằng 0 .
GVC.Phan Thị Quản Trang3
Bài giảngchương II:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
3. Không gian các hệ nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :
3.1. Định lí 1: Nếu  = ( ) ) là hai nghiệm của hệ 1, 2 ,…, n
và  =(  1,  2,…, n
phương trình tuyến tính thuần nhất (III) thì: k = (k ) với
1, k 2 ,…, k n k  □ và  =  +  = ( + + + ) cũng 1
1, 2 2, …, n n là nghiệm của hệ .
3.2. Định lí 2 : Nếu  =( ) ) là hai nghiệm của hệ 1, 2 ,…,n
và  =( 1, 2 ,…,n
phương trình tuyến tính thuần nhất (III) thì:  +  = ( + + + ) với 1
1, 2 2 ,…, n n
,   □ cũng là nghiệm của hệ .
4. Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất : Cho hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất (III) và r ( A )= r  n ( số ẩn ) . Khi đó có r ẩn chính , gọi các ẩn này là x và các ẩn còn lại là là các ẩn phụ (không
i1, xi 2 ,..., xir
xi (r +1 ) , xi (r +2 ) ,..., xin chính) , các
ẩn chính được biểu diễn qua các ẩn phụ , các ẩn phụ được lấy những giá trị tùy ý . Nếu ta
chọn (n − r) ẩn phụ tương ứng theo ( n− r) thành phần của (n − r ) bộ số sau đây:
(1; 0;…; 0) ; (0; 1; ...; 0) ; ... ; (0; 0; ... ; 1) Từ đó ta có ( n − r) nghiệm cụ thể của hệ ––
( n −r ) thanhphan
phương trình thuần nhất , các nghiệm đó được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương
trình tuyến tính thuần nhất .
GVC.Phan Thị Quản Trang4
Bài giảngchương II:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BÀI TẬP:
1. Giải các hệ phương trình sau :
2 x + 3 y + z + t =1  
2x + 5y + z + 3t = 2
 x − 2 y + 3z − 4t = 4 x − z = 0  b.   a.
4x + 6y + 3z + 5t = 4
y − z +t = −3 c.
x + 2 y + z − t =1     3
2x − 3y + 3z + 6t = 7  x + 3y − 3t = 1
5 x +5 y + 2 z = 2   − 
7 y + 3 z + 3t = −3 x − y − t = 0
2. Tìm các đa thức bậc ba f(x) biết : a.
f(−1) = 0 ; f(1) = 4 ; f(2) = 3 ; f(3) = 16 . b.
f(−1) = 5 ; f(1) = 5 ; f(3) = 45 ; f(−4) = −25 .
3. Giải và biện luận theo m các hệ phương trình :
mx + y − z + t = 1
 x + 2 y + 3z − t =1
mx + y + z + t = 1   
 x + my + z − t = m a.
 2 x+ 3 y + z+ t = m b.
 x + my + z + t = 1 c.   
 x − y + z + mt = −1  x− y − 2t = 0
 x + y + mz + t = 1
− x + y + mz + t =1
3 x+ 2 y+ z− t = 1
x + y + z + mt = 1 (   2 −1 1
−1  x   1 
3x+ 2 y+ 2 z+ t = 1
m +1) x + y + z = −2m  2 −1 0 −     
2x + 3 y + z + t = 1 3 y 2
d. x +(m +1) y + z = m e. 
 .  =  f.   
3 0 −1 1   z   − 3
5x+ 4 y + 3z + 2t = 1 
x + y + (m +1)z = m      
 2 2 2 m   t  − 6
x − y + z +mt = 0
ax − 3y + z = 2 
4. Cho hệ phương trình :  ax + y + 2z = 3 , với a, b là các tham số. 
 3x + 2 y + z = b
a. Tìm điều kiện của a, b để hệ trên là hệ Cramer . Khi đó hãy tìm nghiệm của hệ theo a, b .
b. Tìm a, b để hệ trên vô nghiệm.
c. Tìm a, b để hệ trên có vô số nghiệm , và tìm nghiệm tổng quát của hệ .
5. Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình :
x − 3y + 4z = 0 
x + 2y − 4z + 3t = 0
2x − 5y − 3z = 0 
2x + 3 y + z − 4t = 0
 x + 2y − 4z + t = 0 b.  
a. 3x − 8y + z = 0 
 4x + 7 y − 7z + 2t = 0
c.  x − y − 5z − 3t = 0    y − 11z = 0 
 3x − 14z − 5t = 0
x + 3 y −13 z +13t = 0
x − 2 y − 7z = 0
GVC.Phan Thị Quản Trang5
Bài giảngchương II:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
GVC.Phan Thị Quản Trang6