Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ HÌNH HỌC
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Tên học phần: Đại số tuyến tính Mã học phần: Hình thức thi: Tự luận
Đề số: 04. Thời gian làm bài: 75 phút (không kể thời gian chép/phát đề)
Câu 1 (2.5 điểm): Trong ℝ-không gian vectơ ℝ3cho hệ vectơ
𝑈 = {𝑥1 = (−2, −3,4); 𝑥2 = (−4, −2,3); 𝑥3 = (−6, −5,7); 𝑥4 = (2, −1,1)}.
a) Tìm m để vectơ 𝑥 = (−2,1, 𝑚) biểu thị tuyến tính được qua các vectơ 𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3.
b) Tìm hạng của hệ vectơ U.
Câu 2 (2.5 điểm): Cho ánh xạ 𝑓: ℝ3 → ℝ3
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ↦ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 − 𝑧, 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧, 4𝑥 − 𝑦 − 𝑧)
a) Chứng minh f là một phép biến đổi tuyến tính. b) Tìm Ker (f).
Câu 3 (2.5 điểm): Cho phép biến đổi tuyển tính 𝑓: ℝ3 → ℝ3 xác định bởi
𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (3𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3, 2𝑥1 + 3𝑥2, 6𝑥3)
a) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc của ℝ3.
b) Tìm một cơ sở của ℝ3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu 4 (2.5 điểm): Trong ℝ - không gian vectơ ℝ3 cho dạng toàn phương có biểu
thức tọa độ đối với cơ sở (e) = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} như sau:
𝜔(𝑥)= 𝑥2 − 10𝑥2 + 7𝑥2 + 8𝑥 𝑥 − 4𝑥 𝑥 + 16𝑥 𝑥 1 2 3 1 2 1 3 2 3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc. Tìm
ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó.
Tổng cộng có: 04 câu
Ghi chú: Sinh viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài.
Đà Nẵng, ngày tháng năm 2021 TRƯỞNG BỘ MÔN KIỂM TRA ĐỀ