Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng

CHƯƠNG 4
BÀI TẬP ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Bài 1. Cháng minh rằng các ánh xạ f xác định như sau là ánh xạ tuyến tính. Tìm
ma trªn của nó theo cơ sở chính tắc của các R- không gian Rn tương áng, viết f
dưới dạng ma trªn và tìm ker(f ), im(f ).
a) f : R3 → R, f (x1, x2, x3) = x1 + 2x2 + 3x3,
b) f : R3 → R2, f (x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3, x1 + 2x2 + 2x3),
c) f : R3 → R2, f (x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3, x1 + 2x2 + 2x3),
d) f : R3 → R3, f (x1, x2, x3) = (x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3),
Bài 2. Hãy xác định ma trªn của phép biến đỗi tuyến tính f : R3 → R3 sao cho
qua f các véctơ a1, a2, a3 được biến thành các véctơ tương áng b1, b2, b3 trong cùng m®t cơ sở.
a) a1 = (2, 3, 5), a2 = (0, 1, 2), a3 = (1, 0, 0); b1 = (1, 1, 1), b2 = (1, 1, −1), b3 =
(2, 1, 2).
b) a1 = (0, 1, 1), a2 = (0, 0, 1), a3 = (1, 1, 1); b1 = (1, 0, 0), b2 = (2, 3, 5), b3 =
(0, 1, −1).
c) a1 = (0, 1, 1), a2 = (1, 0, 1), a3 = (1, 1, 0); b1 = (−1, 1, 1), b2 = (1, −1, 1), b3 =
(1, 1, −1).
Bài 3. Xét ánh xạ f : R3 → R3, f (x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3, x1 − x2, 2x1 + x2).
a) Cháng minh rằng f là m®t phép biến đỗi tuyến tính.
b) Tính dim im(f ), dim ker(f ).
Bài 4. Giả sả f : R3 → R3 là phép biến đỗi tuyến tính đối với cơ sở chính tắc có ma trªn 1 2 −1 2 −3 2 1 −5 3
Tìm m®t cơ sở của không gian con im(f ), ker(f ). 1
Bài 5. Tìm cơ sở và số chiều của im(f ), ker(f ) của các tự đồng cấu trong R3.
a) f (x1, x2, x3) = (2x1 − x2 − x3, −x1 + 2x2 − x3, −x1 − x2 + 2x3),
b) f (x1, x2, x3) = (x1 + x2, x1 + x3, 2x1 + x2 + x3),
c) f (x1, x2, x3) = (x3, x1 + x2 − 3x3, x1 + x2 − 2x3).
Bài 6. Các tự đồng cấu sau trong R4 tự đồng cấu nào là đẫng cấu.
a) f (x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2 + x3, x1 + x2 − x4, x3 + 2x4, x4),
b) f (x1, x2, x3, x4) = (x1, x1 − x3, x1 + x4, x2),
c) f (x1, x2, x3, x4) = (x4, x1 + x2, x1 + x3, x4),
Bài 7. Cháng minh rằng f là phép biến đỗi tuyến tính trên R3 và tìm im(f ), ker(f ),
trong các trường hợp sau
a) f (x1, x2, x3) = (x1 + 3x2 − 2x3, 2x1 − x2 + 3x3, 3x1 + 2x2 + x3)
b) f (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 − x3, 2x1 − x2 + 3x3, 3x1 + x2 + 2x3)
c) f (x1, x2, x3) = (x1 − 2x2 − x3, 2x1 − 2x2 − 3x3, 2x2 − x3)
d) f (x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3, 2x1 + x2 − 3x3, 4x1 + 3x2 + x3)
Bài 8. Cho phép biến đỗi tuyến tính f : R3 → R3 xác đinh bởi
f (x1, x2, x3) = (9x1 + 3x3, 9x1 + 7x2, 3x1 + 9x3)
a) Tìm tất cả các giá trị riêng và tªp các véctơ riêng tương áng.
b) Tìm m®t cơ sở của R3 sao cho ma trªn của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Bài 9. Cho phép biến đỗi tuyến tính f : R3 → R3 xác đinh bởi
f (x1, x2, x3) = (x1 − x2 − x3, x1 + 3x2 + x3, −3x1 + x2 − x3)
a) Tìm tất cả các giá trị riêng và tªp các véctơ riêng tương áng.
b) Tìm m®t cơ sở của R3 sao cho ma trªn của f đối với cơ sở này có dạng chéo. 2
Bài 10. Xác định giá trị riêng và mọi véctơ riêng của ma trªn trên R. 1 1 0 1 −3 4 a) −1 2 1 b) 4 −7 8 1 0 1 6 −7 7 2 −11 2 0 1 0 c) 5 −3 3 d) −4 4 0 −1 0 −2 −2 1 2
Bài 11. Tính lũy thàa bªc n của các ma trªn sau. 1 1 0 2 1 3 4 b) c) −1 2 1 a) 1 2 5 2 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 −1 −1 d) −4 4 0 e) − − 1 1 2 1 2 1 −1 1 −1 −1 1 ( ) a b
Bài 12. Trên không gian M2×2 = A = cho c d a a + b f (A) =
c a + b + c + d
a) Cháng minh rằng f là m®t tự đồng cấu trên M2×2.
b) Tìm ma trªn của f, f có chéo hóa được không? ( ) a b
Bài 13. Trên không gian M2×2 = A = cho c d a a + 2b f (A) =
a + b + 3c a + b + c + 4d
a) Cháng minh rằng f là m®t tự đồng cấu trên M2×2.
b) Tìm ma trªn của f, f có chéo hóa được không?
Bài Tªp Dạng Toàn Phương
Bài 14. Dùng phương pháp Lagrange đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc. Tìm
ma trªn chuyễn cơ sở ban đâu sang cơ sở đễ dạng toàn phương có dạng chính tắc đó. 3
a) f (x1, x2, x3) = x2 + 5x2 + 16x2 + 4x1x2 + 8x1x3 − 2x2x3. 1 2 3
b) f (x1, x2, x3) = x2 + 2x2 − 7x2 − 4x1x2 + 6x1x2 + 3x2x3. 1 2 3
c) f (x) = x2 + 4x2 − 3x2 − 2x1x2 + 6x1x3 − 5x2x3 1 2 3
d) f (x) = x2 + 3x2 − 2x2 − 6x1x2 − 4x1x3 + 8x2x3. 1 2 3 4