Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
CHƯƠNG 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC
Bài 1. Cho 2 ma trận A = a) Tính ma trận 3A + 2.BT
b) Tính ma trận A.B và B.A Giải: a) b)
Bài 2. Tính An, n ∈ N*, với
Giải: Từ định nghĩa phép nhân hai ma trận, ta dễ dàng chứng minh (bằng quy nạp) được rằng: Nếu thì Do đó, với thì Bài 3. Cho ma trận , tính A100 . Giải: Ta biết , nên
Bằng quy nạp theo n, kết hợp với với các công thức lượng giác sau
cos(x + y) = cosx.cosy – sinx.siny , sin(x + y) = sinx.cosy + siny.cosx cos2x = cos2x – sin2x , sin2x = 2sinx.cosx ta sẽ chứng minh được Bài 4. CMR Ma trận
là một nghiệm của đa thức f(x) = x3 – 3x2 + 4
Giải: Áp dụng bài tập 2, dễ dàng CM được f(A) = A3 – 3A2 + 4I3 = O3 .
* Quy tắc Sarrus ( tính định thức cấp 3 ) Thí dụ:
Bài 5. Tính định thức của ma trận A = Giải:
Cách 1: ( Khai triển theo cột thứ 4 )
det(A) = a14.A14 + a24.A24 + a34.A34 + a44.A44
Cách 2: ( Dùng tính chất của định thức ) det(A) =
Bài 6. Tính định thức sau
Bài 7. Giải phương trình sau với a, b, c là các tham số thực f(x) = Giải:
Vậy: 1) Nếu a, b, c khác nhau đôi một thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm x = a,
hoặc x = b, hoặc x = c .
2) Nếu a = b, hoặc a = c, hoặc b = c thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm tùy ý.
Bài 8. Giải phương trình sau: f(x) =
Giải: f(x) = (3 – x)(x2 – 2x) = 0. Suy ra nghiệm của pt là x = 0, 2, 3.
Bài 9. Tính định thức D sau đây D =
Giải: Xét hai ma trận vuông cấp n như sau
Khi đó D = det(AB) = det(A).det(B)
Nếu n = 2, D = (x2 – x1)(y2 – y1) Nếu n > 2, D = 0.
Bài 10. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận Giải:
Cách 1: (tính bằng ma trận phụ hợp)
det(A) = 3 – 8 + 3 + 9 – 4 – 2 = 1 . ma trận A khả nghịch
Cách 2: (tính bằng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng) (A ⋮ I) =
Bài 11. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận sau: a) , b) Giải:
a) Cách 1: (tính bằng ma trận phụ hợp)
det(A) = 4 + 5 + 12 - 3 – 10 – 8 = 0 .
ma trận A không khả nghịch.
Cách 2: (tính bằng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng) (A ⋮ I) =
det(A) = 0, do đó ma trận A không khả nghịch.
b) Cách 1: (tính bằng ma trận phụ hợp) (SV tự giải)
Cách 2: (tính bằng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng)
Bài 12. Cho hai ma trận
Tìm ma trận X sao cho AX = B. Giải:
i) Cách giải tổng quát pt ma trận AX = B
- Từ pt AX = B ta xác định được cỡ của ma trận X
- Thực hiện phép nhân AX
- Từ định nghĩa hai ma trận bằng nhau AX = B ta suy ra được một hpt, giải hpt
này ta tìm được ma trận X.
ii) Cách giải trong trường hợp đặc biệt ( A là ma trận vuông và khả nghịch) det(A) = 2, ma trận A khả nghịch. (A ⋮ I) = Vậy X = .
Bài 13. Tính hạng của ma trận Giải:
Cách 1: (dùng định thức) Tương tự ta cũng có . Vậy r(A) = 2 .
Cách 2: (dùng các phép biến đổi sơ cấp) Vậy r(A) = 2 .
Bài 14. Biện theo tham số m, hạng của ma trận Giải:
Biện luận: 1) Nếu m = 3 thì r(A) = 3.
2) Nếu m ≠ 3 thì r(A) = 4.
Bài 15. Biện theo tham số a, hạng của ma trận Giải:
Biện luận: 1) Nếu a = 0 hoặc a = 1, thì r(A) = 3.
2) Nếu a ≠ 0 và a ≠ 1, thì r(A) = 4.