Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng

TRƯÍNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (ĐỢt học...) BỘ MÔN TOÁN
H» đào tạo: Chính quy, Bªc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 1
Câu 1 (2,0 điễm). Cho các ma trận 1 2 −3 1 2
A = −2 3 −1 , B = 3 2 . −3 2 4 −1 −2
(a) Tính A + 2AT , trong đó AT là ma trận chuyễn vị của A. (b) Tính AB.
Câu 2 (2,0 điễm). Giải h» phương trình sau:
x − 2y + 3z = 1 x + 2y − z = 1
2x + y − 3z = 0.
Câu 3 (2,0 điễm). Trong không gian R3 cho h» véc tơ:
V = {v1 = (3, 4, 2); v2 = (−2, 0, 7); v3 = (4, −5, 0)}.
(a) Kiễm tra xem h» véc tơ trên là đ®c lªp tuyến tính hay phụ thu®c tuyến tính?
(b) Biễu diến tuyến tính véc tơ x = (10, 6, −3) qua các véc tơ của h» V .
Câu 4 (2,0 điễm). Cho ma trªn 1 3 −3 C =
5 −1 −5 . 2 −2 −4
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trªn P sao cho P−1CP là ma trªn chéo và viết ma trªn chéo đó?
Câu 5 (2,0 điễm). Tìm A12 biết " #
√3 —2 1 A = 2 1 √3 . 2 2
—————————————————————————————— Ghi chú:
- Sinh viên không đưỢc sả dụng tài li»u;
- Cán b® coi thi không được giải thích gì thêm.
Downloaded by giang le (legiangnamban@gmail.com)
TRƯÍNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (ĐỢt học...) BỘ MÔN TOÁN
H» đào tạo: Chính quy, Bªc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 2
Câu 1 (2,0 điễm). Cho hai ma trªn A và B: 2 1 2 1 2 1
A = 1 2 1 , B = 2 1 2 . 2 1 2 1 2 1
(a) Hãy xác định ma trªn C sao cho A + C = B.
(b) Tính D = AB.
Câu 2 (2,0 điễm). Giải h» phương trình sau:
−2x + y − z = 2
x − 2y + z = 2
−x + y − 2z = 2.
Câu 3 (2,0 điễm). Trong không gian R3 cho h» véc tơ:
V = {v1 = (4, −2, 3); v2 = (0, 3, −5); v3 = (6, −2, 0)}.
(a) Kiễm tra xem h» véc tơ trên là đ®c lªp tuyến tính hay phụ thu®c tuyến tính?
(b) Biễu diến tuyến tính véc tơ x = (7, 9, −2) qua các véc tơ của h» V .
Câu 4 (2,0 điễm). Cho ma trªn 3 1 −1 C = −1 5 1 . −2 2 4
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trªn P sao cho P−1CP là ma trªn chéo và đưa ra ma trªn chéo đó?
Câu 5 (2,0 điễm). Tìm A20 biết " # √1 — 1 √ A = 2 2 1 . √1 √ 2 2
—————————————————————————————— Ghi chú:
- Sinh viên không đưỢc sả dụng tài li»u;
- Cán b® coi thi không được giải thích gì thêm.
Downloaded by giang le (legiangnamban@gmail.com)
TRƯÍNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (ĐỢt học...) BỘ MÔN TOÁN
H» đào tạo: Chính quy, Bªc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 3
Câu 1 (2,0 điễm). Cho các ma trªn sau: −3 4 −6 2 5 A =
5 7 3 , B = −7 4 . 1 −3
Tính các ma trªn AT + 2B và BA, trong đó AT là ma trªn chuyễn vị của A.
Câu 2 (2,0 điễm). Giải h» phương trình sau:
4x + 3y + z = 2
−5x + 2y + 8z = −3
x + 3y + 5z = 7.
Câu 3 (2,0 điễm). Trong trong không gian véc tơ R3 cho h» véc tơ
S = {v1 = (0, 1, 1); v2 = (1, 0, 1); v3 = (1, 1, 0)}.
(a) Cháng minh h» S đ®c lªp tuyến tính. Tà đó suy ra rằng S là m®t cơ sở của R3.
(b) Tìm tọa đ® của véc tơ u = (1, 2, 1) trong cơ sở S.
Câu 4 (2,0 điễm). Cho ma trªn −2 1 −1 C = 1 −2 1 . −11 1 −2
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trªn P sao cho P−1CP là ma trªn chéo và đưa ra ma trªn chéo đó?
Câu 5 (2,0 điễm). Cho hai ma trªn vuông, thực A và B thoả mãn các điều ki»n sau:
A2021 = 0 và AB = A + B.
Cháng minh rằng det(B) = 0.
—————————————————————————————— Ghi chú:
- Sinh viên không đưỢc sả dụng tài li»u;
- Cán b® coi thi không được giải thích gì thêm.
Downloaded by giang le (legiangnamban@gmail.com)
TRƯÍNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (ĐỢt học...) BỘ MÔN TOÁN
H» đào tạo: Chính quy, Bªc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 4
Câu 1 (2,0 điễm). Cho các ma trªn 1 2 −3 1 2
A = −2 3 −1 , B = 3 2 . −3 2 4 −1 −2
(a) Tính 2A + AT , trong đó AT là ma trªn chuyễn vị của A. (b) Tính AB.
Câu 2 (2,0 điễm). Giải h» phương trình tuyến tính sau:
x − 2y − 3z = 0
3x + 2y + z = 2
3x + y − 2z = 0.
Câu 3 (2,0 điễm). Trong không gian véc tơ R3 cho h» véc tơ
S = {u1 = (1, −2, 3); u2 = (2, 3, 5); u3 = (−7, −9, 2)} .
(a) Cháng minh rằng h» S đ®c lªp tuyến tính. Tà đó chỉ ra rằng S là m®t cơ sở của R3.
(b) Tìm tọa đ® của véc tơ v = (2, 1, 4) trong cơ cở S.
Câu 4 (2,0 điễm). Cho ma trªn sau: 0 1 1 C = 1 0 1 . 1 1 0
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trªn P sao cho P−1CP là ma trªn chéo và đưa ra ma trªn chéo đó? Câu 5 (2,0 điễm).
(a) Cho A là ma trªn phản đối xáng cấp n (tác A là ma trªn thực vuông cấp n thỏa mãn
AT = −A). Cháng minh rằng nếu n lẻ thì det(A) = 0. (b) Cho ma trªn cấp 2: a b A = , a, b, c ∈ R. 0 c
Cháng minh rằng nếu A2020 = 0 thì A2 = 0.
Tìm a, b, c sao cho tồn tại n đễ An = I, với I là ma trªn đơn vị cấp 2.
—————————————————————————————— Ghi chú:
- Sinh viên không đưỢc sả dụng tài li»u;
- Cán b® coi thi không được giải thích gì thêm.
TRƯÍNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (ĐỢt học...) BỘ MÔN TOÁN
H» đào tạo: Chính quy, Bªc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 5
Câu 1 (2,0 điễm). Cho ma trªn 1 1 2
A = −1 −1 0 . 0 −1 1 Tính (a) 2A + AT ;
(b) AT A, ở đó AT là ma trªn chuyễn vị của A.
Câu 2 (2,0 điễm). Giải h» phương trình sau:
−x + 5y + 9z = −1
−4x + 5y + 13z = 4
5x + 6y + 6z = 9.
Câu 3 (2,0 điễm). Cho họ véc tơ S = {v1, v2, v3} trong không gian véc tơ R3 với v1 = (0, 1, 1),
v2 = (1, 0, 1) và v3 = (1, 1, 0).
(a) Cháng minh rằng h» S đ®c lªp tuyến tính. Tà đó chỉ ra rằng S là m®t cơ sở của R3.
(b) Tìm tọa đ® của véc tơ v = (1, 1, 1) trong cơ cở S.
Câu 4 (2,0 điễm). Cho ma trªn sau 0 −5 −2 C = 2 7 2 . −2 −3 2
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trªn P sao cho P−1CP là ma trªn chéo và viết ma trªn chéo đó?
Câu 5 (2,0 điễm). Cho các ma trªn 1 0 3 0 0 3
D = 0 −1 0 , M = 0 0 0 . 0 0 1 0 0 0
(a) Đ°t E = D − M . Cháng minh rằng: EM = ME và D2 = E2 + 2ME + M 2. (b) Tính D2021.
—————————————————————————————— Ghi chú:
- Sinh viên không đưỢc sả dụng tài li»u;
- Cán b® coi thi không được giải thích gì thêm.
TRƯÍNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (ĐỢt học...) BỘ MÔN TOÁN
H» đào tạo: Chính quy, Bªc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 6
Câu 1 (2,0 điễm). Cho các ma trªn sau: 5 2 7 6 −8 A =
−4 −6 1 , B = 5 3 . −1 −2 Tính
(a) A + 2BT , ở đó BT là ma trªn chuyễn vị của B; (b) AB.
Câu 2 (2,0 điễm). Giải h» phương trình sau:
x1 − 2x2 + x3 = −2
2x1 + 3x2 − x3 = 6
−x1 + x2 + 2x3 = −2.
Câu 3 (2,0 điễm). Trong R3 cho h» véc tơ
S = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (2, −3, 5); u3 = (7, 9, 2)} .
(a) Cháng minh rằng h» S đ®c lªp tuyến tính. Tà đó chỉ ra rằng S là m®t cơ sở của R3.
(b) Tìm tọa đ® của véc tơ v = (2, −4, 8) trong cơ cở S.
Câu 4 (2,0 điễm). Cho ma trªn sau 3 2 1 C = 2 3 1 . 1 1 4
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trªn P sao cho P−1CP là ma trªn chéo và viết ma trªn chéo đó?
Câu 5 (2,0 điễm). Cho các ma trªn 1 0 0 0 0 0
D = 0 −1 0 , M = 0 0 0 . 3 0 1 3 0 0
(a) Đ°t E = D − M . Cháng minh rằng: EM = ME và D2 = E2 + 2ME + M 2. (b) Tính D2021.
—————————————————————————————— Ghi chú:
- Sinh viên không đưỢc sả dụng tài li»u;
- Cán b® coi thi không được giải thích gì thêm.
TRƯÍNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (ĐỢt học...) BỘ MÔN TOÁN
H» đào tạo: Chính quy, Bªc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 7
Câu 1 (2,0 điễm). Cho hai ma trªn A và B xác định như sau: 1 2 2 2 1 1 A = 2 1 2 , B = 1 2 1 . 2 2 1 1 1 2
(a) Tìm ma trªn D sao cho A − D = B. (b) Tính AB.
Câu 2 (2,0 điễm). Giải h» phương trình sau:
−3x 1 + 5x2 + 7x3 = 2 2x1 + 4x2 + 9x3 = 5
4x1 + 3x2 — 5x3 = −9.
Câu 3 (2,0 điễm). Trong R3 cho h» véc tơ
S = {u1 = (1, −2, 3); u2 = (2, 3, 5); u3 = (−7, −9, 2)} .
(a) Cháng minh rằng h» S đ®c lªp tuyến tính. Tà đó chỉ ra rằng S là m®t cơ sở của R3.
(b) Tìm tọa đ® của véc tơ v = (2, 1, 4) trong cơ cở S.
Câu 4 (2,0 điễm). Cho ma trªn −2 1 −1 C = 1 −2 1 . −11 1 −2
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trªn P sao cho P−1CP là ma trªn chéo và viết ma trªn chéo đó?
Câu 5 (2,0 điễm). Gọi A là ma trªn vuông, thực cấp n thoả mãn tính chất sau A−1 = 3A. Hãy
tính det(A2021 − A).
—————————————————————————————— Ghi chú:
- Sinh viên không đưỢc sả dụng tài li»u;
- Cán b® coi thi không được giải thích gì thêm.
TRƯÍNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (ĐỢt học...) BỘ MÔN TOÁN
H» đào tạo: Chính quy, Bªc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 8
Câu 1 (2,0 điễm). Cho các ma trªn 3 2 −1 −1 3 A = 2 −3 1 ,
B = −3 1 . 3 5 −1 1 3 Tính (a) 2A + AT ;
(b) AB, ở đó AT là ma trªn chuyễn vị của A.
Câu 2 (2,0 điễm). Giải h» phương trình sau:
−3x1 + 5x2 + 7x3 = 2
2x1 + 4x2 + 9x3 = 5
4x1 + 3x2 − 5x3 = −9.
Câu 3 (2,0 điễm). Trong không gian R3 cho h» véc tơ:
V = {v1 = (3, 4, 2); v2 = (−2, 0, 7); v3 = (4, −5, 0)}.
(a) Kiễm tra xem h» véc tơ trên là đ®c lªp tuyến tính hay phụ thu®c tuyến tính?
(b) Biễu diến tuyến tính véc tơ x = (10, 6, −3) qua các véc tơ của h» V .
Câu 4 (2,0 điễm). Cho ma trªn sau: 1 1 0 C = 1 0 1 . 0 1 1
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trªn P sao cho P−1CP là ma trªn chéo và viết ma trªn chéo đó?
Câu 5 (2,0 điễm). Cho A và B là các ma trªn vuông cấp n thoả mãn AB = BA và B2021 = 0.
(a) Cháng minh rằng nếu A2020 = 0 thì tồn tại số tự nhiên k đễ (A + B)k = 0.
(b) Cháng minh rằng r(I + A + B) = r(I − A − B) = n (trong đó r(M ) là hạng của ma trªn M ).
(c) Cháng minh rằng nếu A là khả nghịch thì A + B là khả nghịch.
—————————————————————————————— Ghi chú:
- Sinh viên không đưỢc sả dụng tài li»u;
- Cán b® coi thi không được giải thích gì thêm.