Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
(3,1,4),a4= (5,5,3). Hãy tìm tất cả các biểu diễn tuyến tính có thể có của a4trên hệ {a1,a2,a3,a4}.
Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
Tài liệu gồm 18 trang , giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao.
Môn: Đại số tuyến tính (ĐSTT1) 57 tài liệu
Trường: Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng 1.6 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Bộ môn Đại số và Xác suất Thống kê 10-2023
Chú ý đối với sinh viên -3 3 x x x 3 3 x-
1. Các bài tập được tập hợp trong tài liệu này sẽ được sử
Bài 1.6. Giải phương trình: = 0.
dụng chung trong các giờ bài tập của học phần ĐSTT - x x 3 3 - - -
cho các lớp hệ 2 tín chỉ và hệ 3 tín chỉ. x x x 3
2. Yêu cầu về việc chuẩn bị bài tập cho từng tuần sẽ được x x
giảng viên thông báo trực tiếp cho sinh viên. 1 1 -
3. Để thực hiện tốt các bài tập được đề nghị sinh viên cần 1 1 x x-
Bài 1.7. Giải phương trình: = 0.
phải ghi nhớ chắc chắn các nội dung lý thuyết được giảng x 2 1 x dạy -
trên lớp, tham khảo và vận dụng tốt những phương x 2 x 1-
án xử lý trong các ví dụ mẫu của sách giáo khoa.
Bài 1.8. Tính giá trị của định thức PHẦN I: ĐỀ BÀI x x 1 1 -
1. Ma trận và định thfíc 1 x x 1- D = . A B - 1 1 x x-
Bài 1.1. Cho ma trận A = 2 −1 -x 1 1 x- . 5 −2 a) Tính A567.
Bài 1.9. Cho ma trận vuông cấp ba
b) Tính det(A576 + 2A567 + 3A675). 1 3 − 2 A B 2 3 A = 2 1 3 .
Bài 1.2. Cho ma trận A = . −1 −1 5 4 7 a) Tính 2018 A .
a) Tính det(A4 + 3A3).
b) Tính det(2A2017 − 3A2018 + 4A2019).
b) Tính hạng của ma trận A + 5I. 1 −4 2
Bài 1.10. Cho hai ma trận
Bài 1.3. Cho ma trận A = 1 −4 2 . A B 1 −4 2 1 2 3 1 2 Tính A200 + A. A = − , B = −1 3 . 1 1 3 3 4
Bài 1.4. Cho ma trận vuông cấp ba −10 11 −22
a) Tính det(AB) và det(BA). A = 3 −
b) Tính hạng của ma trận BA + 4I. 2 6 . 6 −6 13
Bài 1.11. Cho hai ma trận A B A B
a) Tính A2, A2018 và A2019. 4 2 3 1 A = .
b) Cho n là số nguyên dương. Hãy tính theo n định , B = 1 3 2 3
thức của ma trận B với B = A2018 + 3An.
a) Tính det(A3B2 + 4A2B3).
Bài 1.5. Cho ma trận vuông cấp ba
b) Tính (A + 2B)2 − 19(A + 2B). 1 0 a
Bài 1.12. Cho các ma trận vuông cấp ba
A = 0 1 b . 1 2 4 3 4 5 0 0 −1
a) Tính A2, A2018 và A2019. A = 2 1 −2 , B = 2 2 3 . 3 −2 1 4 −1 3
b) Cho m, n là hai số nguyên dương. Hãy tính theo
m, n định thức của ma trận B với B = 5Am + 7An.
Hãy xác định giá trị của det(AB). 2
Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ
Bài 1.13. Cho các ma trận vuông cấp ba
Bài 1.21. Tìm x để ma trận sau khả nghịch 3 5 7 1 4 −5 1 x x x
A = 2 3 −2 , B = −2 2 3 . x 1 1 x A = . 2 −2 3 4 −1 2 x x −2 −2 −2 −2 x x
Hãy xác định giá trị của det(A2B − 3AB2).
Bài 1.14. Cho các ma trận vuông cấp ba
Bài 1.22. Giải phương trình ma trận 1 2 5 3 2 −2 1 −1 4 5 1 3 A = 3 4 −1 , B = 3 1 4 . 2 1 −1 X = 2 2 −2 . 4 2 −3 5 2 7 1 −2 1 4 −2 1
a) Hãy xác định giá trị của det(A3B2 − 3A2B3).
Bài 1.23. Giải phương trình ma trận
b) Tính hạng của ma trận A + 3B.
Bài 1.15. Cho các ma trận vuông cấp ba 2 1 −2 2 1 0 X 0 2 1 = −2 1 3 . 3 2 −2 −2 4 5 3 −1 3 1 −2 5 A = 1 1 3 , B = 1 2 −3 . 2 −2 1 2 −1 1
Bài 1.24. Giải phương trình ma trận A B A B A B
a) Chứng minh rằng ma trận A3B2 + 3A2B3 khả 4 3 7 5 1 2 X = . nghịch. 3 2 3 2 −1 0
b) Tính hạng của ma trận A2B − 2AB2.
Bài 1.25. Tính hạng của ma trận
Bài 1.16. Tính nghịch đảo của ma trận 1 1 2 1 2 1 −3 A = 2 1 4 3 . A = 1 3 −2 . 3 2 6 4 −1 −2 1
Bài 1.26. Tính hạng của ma trận 2 0 3
Bài 1.17. Cho ma trận A = 1 1 3 2 1 1 2 2 . − − 2 2 − 1 0 4 A 1 2 3 = . 3 2 1 − 2 −2 2 −4 a) Tính A − A 8 + A 17 . b) Tính A− 1 4 −1 0 6 −2 .
Bài 1.18. Tìm x để ma trận sau khả nghịch:
Bài 1.27. Tính hạng của ma trận sau theo x a x x x 1 1 1 x b b x x A = 1 x x 1 A = . c c c x x x 1 1 d d d d x 1 x 1
với a, b, c, d là các số cho trước.
Bài 1.28. Tính hạng của ma trận sau theo x x 2 3
Bài 1.19. Cho ma trận A = 1 x 1 x 0 1 4 . Hãy tìm x 1 x x x 0 5 8 A = . x 1 1 x
để A4 − 3A3 là một ma trận khả nghịch. x 1 1 1
Bài 1.20. Tìm x để ma trận sau khả nghịch
Bài 1.29. Tính hạng của ma trận sau theo x 1 1 1 1 x 2 2 2 2 x x x A = . x x −2 −2
A = x 2 x x . x x x −1 x x 2 x
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 3
Bài 1.30. Cho ma trận
Bài 2.7. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số λ 1 x x x A = 1 1 x x .
x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = 3 1 x 2 x 2
x1 − x2 + 2x3 + 5x4 = 7 1 1 2 2
4x1 − 3x2 + 7x3 + 9x4 = 13
Hãy tính x biết r(A) = 2.
8x1 − 6x2 + λx3 + 18x4 = 26
2. Hệ phương trình
Bài 2.8. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số α
Bài 2.1. Giải hệ phương trình sau theo phương pháp Cramer 2x 2 + 2 + 5 = 21
1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 6 x1 x2 x3
x1 + x2 + 3x3 + x4 = 9
2x1 + 3x2 + 6x3 = 26
3x1 + 5x2 − 5x3 + (α + 5)x4 = 3
x1 − 6x2 − 9x3 = −37
Bài 2.9. Cho hệ phương trình
Bài 2.2. Giải hệ phương trình sau theo phương pháp khử Gauss
x1 + x2 + 2x3 = 4 x
3x1 + x2 + 4x3 = 8
1 + 5x2 + 2x3 + 3x4 − 2x5 = 4 4x
5x1 − 4x2 + x3 = 2 1
+ x2 − x3 + 12x4 − 8x5 = 15 2x
4x1 − x2 + 5x3 = λ
1 + 3x2 + x3 + 6x4 − 4x5 = 7
Bài 2.3. Giải hệ phương trình sau theo phương pháp Xác định λ để hệ trên có nghiệm. Giải hệ với λ tìm khử Gauss được.
x1 + 3x2 + 2x3 − 3x4 − 4x5 = 14
Bài 2.10. Cho hệ phương trình
5x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 − 6x5 = 17 1 2 3 4 5
x + x + x − x − x = 3
3x1 − 2x 2 + x3 + 2x4 − 2x5 = −1
2x1 + 3x2 − 2x3 + 4x4 + x5 = 7
Bài 2.4. Giải hệ phương trình sau theo phương pháp
3x1 + 4x2 − 2x3 + x4 − 2x5 = 4 khử Gauss
6x1 + 8x2 − 3x3 + 4x4 − 2x5 = λ
x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 3
Xác định λ để hệ trên có nghiệm. Giải hệ với λ tìm 2x1
+ 3x2 + x3 − 2x4 = 4 được.
3x1 + 5x2 − 2x3 + 2x4 = 6 6x
Bài 2.11. Cho hệ phương trình
1 + 10x2 − 3x3 + x4 = 13
Bài 2.5. Giải hệ phương trình sau:
3x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = 4
2x1 − x2 + 3x3 + 3x4 = 3
x1 + 2x2 − 3x3 + 2x4 = 6
4x1 − 3x2 − x3 − 7x4 = λ 2 + 3 + x1 x2 x3 − x4 = 7 3 1 x + 5 2 x + 23 x + 4 4 x = 23
a) Tìm λ để hệ được cho có nghiệm. 4 + 6 + 6 + 2 = 22 x
b) Giải hệ thuần nhất tương ứng với hệ được cho. 1 x2 x3 x4
Bài 2.6. Cho hệ phương trình
Bài 2.12. Cho hệ phương trình 2x + 3x − 1 2 x3 = 6
2x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1 3x
3x1 − 2x2 + x3 + 3x4 = 4
1 + x2 + 4x3 = 0
λx1 + 4x2 + 3x3 = 2
4x1 − 5x2 − x3 + 8x4 = λ
a) Tìm giá trị của λ để hệ có nghiệm duy nhất.
a) Tìm λ để hệ được cho có nghiệm.
b) Giải hệ khi λ = 2.
b) Giải hệ thuần nhất tương ứng với hệ được cho.
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 4
Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ
Bài 2.13. Cho hệ phương trình
Bài 3. 4. Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ
{a1, a2, a3, a4} với a1 = (1, 1, 2), a2 = (2, 3, −1) x1 + x2 + + 2x 3 − 2x + 4 4 = 3 = 5
a3 = (3, −1, 2), a4 = (2, 8, −2). Hãy tìm tất cả x1 x2 − 3 x3 x4
các biểu diễn tuyến tính có thể có của a4 trên hệ 6x {
1 + 4x2 + 5x3 + λx4 = 6
a1, a2, a3, a4}.
Giải hệ với λ ̸= −2.
Bài 3. 5. Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ
{ a1, a2, a3, a4}
với a1 = (1, 2, − 2), a2 = (2, −
1, 3) a3 =
Bài 2.14. Cho hệ phương trình
(3, 1, 4), a4 = (5, 5, 3). Hãy tìm tất cả các biểu diễn 2x −
tuyến tính có thể có của a4 trên hệ {a1, a2, a3, a4}. 1
x2 + 3x3 + 2x4 = 5
3x1 + 4x2 − 2x3 + 5x4 = 6
Bài 3.6. Tìm λ để x = (1, 4, λ) biểu diễn được theo 4x
các véc tơ dưới đây, trong không gian tuyến tính R3:
1 + 9x2 − 7x3 + λx4 = 8
Giải hệ với λ ̸= 8.
a1 = (1, 1, −2); a2 = (2, −3, 1); a3 = (−1, −3, 4).
Bài 2.15. Xác định nghiệm của hệ phương trình sau Bài 3.7. Tìm λ để x = (2, 3, 2, λ) biểu diễn được theo theo tham số λ
các véc tơ dưới đây, trong không gian tuyến tính R4: x x
1 + x2 + x3 − 4 = 0
a1 = (1, 1, 2, 2); a2 = (2, 3, 1, 4); a3 = (3, 4, 2, 3).
x1 + x2 − x3 + x4 = 0
Bài 3.8. Tìm λ để x = (4, 12, −
7, λ) biểu diễn được
x1 − x2 + x3 + x4 = 0
theo các véc tơ dưới đây, trong không gian tuyến tính
−x1 + x2 + x3 + x4 = λ R4:
Bài 2.16. Xác định nghiệm của hệ phương trình sau
a1 = (1, 1, −1, −2); a2 = (1, 2, −3, −1); theo tham số λ
a3 = (1, −1, 4, 2), a4 = (1, 3, 2, 1). x
Bài 3. 9. Trong không gian R3 cho hệ véc tơ
1 + x2 − 3x3 − 3x4 = 3 {a 2x
1, a2, a3} với
1 + 3x2 + 4x3 − x4 = 5
3x + 4x + 2x + 2x = 8 a 1 2 3 4
1 = (−2, 1, 1), a2 = (1, −2, 1), a3 = (1, 1, 2). 7 x1 + 9 x2+
x3 + x4 = λ a) Chứng minh rằng hệ {
a1, a2, a3 }
là hệ độc lập tuyến tính.
3. Không gian tuyến tính
b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) của phần tử
Bài 3. 1. Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ x = (1, 3, −2) qua hệ {a1, a2, a3}.
{a1, a2, a3} với
Bài 3. 10. Trong không gian R4 cho hệ véc tơ a {a
1 = (1, 1, −1), a2 = (3, 2, 1), a3 = (−1, 1, 3).
1, a2, a3} với
Chứng minh rằng phần tử x = (7, 7, 3) là một tổ hợp a1 = (1, 2, −1, 1), a2 = (1, −2, 2, 1), a3 = (1, 1, −1, 1).
tuyến tính của hệ {a1, a2, a3}. a) Chứng minh rằng hệ {
a1, a2, a3 }
là hệ độc lập tuyến
Bài 3. 2. Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ tính.
{a1, a2, a3} với
b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) của phần tử
x = (4, 6, −1, 3) qua hệ {a1, a2, a3}.
a1 = (1, 1, −2), a2 = (3, −4, 1), a3 = (−3, 2, 1).
Chứng minh rằng phần tử
Bài 3. 11. Trong không gian R3 cho hệ véc tơ
x = (5, −6, 1) là một tổ {a hợp
1, a2, a3} với
tuyến tính của hệ {a1, a2, a3}. Bài 3. 3. a
Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ
1 = (1, −1, −1), a2 = (1, 2, 3), a3 = (2, 1, λ),
{a1, a2, a3} với
trong đó λ là tham số.
a) Tìm các giá trị của λ để hệ { a1, a2, a } 3 a là một hệ
1 = (1, 2, 3), a2 = (3, 1, −1), a3 = (5, 3, 1). độc lập tuyến tính.
Hãy tìm tất cả các biểu diễn tuyến tính của phần tử b) Thay λ = 1, hãy tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có)
x = (2, 3, 4) qua hệ {a1, a2, a3}.
của phần tử x = (4, 2, 3) qua hệ {a1, a2, a3}.
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 5
Bài 3. 12. Trong không gian R3 cho hệ véc tơ Bài 3.20. Trong không gian tuyến tính R4 cho M là
{a1, a2, a3} với
không gian con hai chiều có cơ sở là {u1, u2} với
a1 = (1, 1, 1), a2 = (1, 2, 3), a3 = (2, 1, 4).
u1 = (2, 1, −1, 1), u2 = (1, 2, 3, −1).
a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3} là hệ độc lập tuyến Cho các phần tử u = (0, 1, 1, 3), v = (1, 1, 1, −1). Hãy tính.
xác định số thực λ sao cho u − λv ∈ M .
b) Hãy cho biết hệ { a1, a2, a3 }
có là một cơ sở của R3 hay không? Tại sao?
Bài 3.21. Trong không gian tuyến tính R4 cho M là
Bài 3. 13. Trong không gian R4 cho hệ véc tơ không gian con ba chiều có cơ sở là {u1, u2, u3} với
{ a1, a2, a3, a4 } với a
u1 = (1, 2, −1, 1), u2 = (2, 1, 3, 2), u3 = (−1, 2, 1, 2).
1 = (1, 2, 1, 2), a2 = (1, 2, − 1, 1),
a3 = (2, 1, 3, 1), a4 = (1, 3, − 2, 2).
Hãy xác định số thực λ biết rằng phần tử x =
a) Chứng minh rằng hệ { a1, a2, a3, a4} là hệ độc lập tuyến tính.
(2, 5, 3, λ) nằm trong M . b) Hãy cho biết hệ {
a1, a2, a3, a4 }
có là một cơ sở của Bài 3.22. Trong không gian R3 cho các tập con M R4 hay không? Tại sao? và N như sau
Bài 3. 14. Trong không gian R4 cho hệ véc tơ { a
M = {(x1, x2, x3) | x1 + x2 − x3 = 0},
1, a2, a3, a4 } với a N = {(x 1 = (1, 1, −
1, 2), a2 = (2, 3, − 1, 1),
1, x2, x3) | x1 + x2 − x3 ≥ 0}. a3 = ( −
1, 1, 1, 3), a4 = (2, 2, 5, 6).
Hãy cho biết trong các tập con trên, tập con nào là a) Hãy cho biết hệ {
a1, a2, a3, a }
4 là hệ độc lập tuyến
tính hay là hệ phụ thuộc tuyến tính?
một không gian con của R3. Ứng với mỗi tập con là
không gian con của R3, hãy xác định một cơ sở và số b) Cho b ∈
R4 là một phần tử nào đấy. Hãy cho biết hệ chiều của nó.
{ a1, a2, a3, a4, }
b là hệ độc lập tuyến tính hay là hệ phụ thuộc tuyến tính?
Bài 3. 23. Trong không gian tuyến tính R4, không
Bài 3.15. Xác định giá trị của λ để hệ {
a1, a2, a3 }
gian con M được xác định bởi
được cho dưới đây là hệ phụ thuộc tuyến tính:
M = {(x1, x2, x3, x4) | x1 − x2 − x3 + x4 = 0}.
a1 = (2, 3, −2, 3), a2 = (2, −1, 2, 1), a3 = (1, 1, 1, λ).
Hãy xác định một cơ sở và số chiều của M .
Bài 3. 16. Trong không gian R4 cho hệ véc tơ
{a1, a2, a3} với
Bài 3.24. Trong không gian tuyến tính R4 cho không a gian con
1 = (2, 1, 2, 3), a2 = (1, 4, 1, 5), a3 = (3, −2, 3, λ). a) Tìm λ để hệ {
a1, a2, a3 }
là hệ phụ thuộc tuyến tính.
M = {(x1, x2, x3, x4)|2x1 − x2 − x3 + 4x4 = 0}
b) Với λ tìm được hãy xác định biểu diễn tuyến tính
và phần tử w ∈ của a
M với w = (1, 5, 1, 1). Hãy xác định
2 theo hệ {a1, a3}.
một cơ sở và số chiều của M và cho biết tọa độ của
Bài 3.17. Hãy tìm tọa độ của véc tơ x = (10, 9, 9) w trên cơ sở được đưa ra.
trong cơ sở dưới đây của không gian tuyến tính R3:
Bài 3.25. Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ cơ
a1 = (1, 1, 2); a2 = (1, 2, 3); a3 = (3, 1, −1).
sở (a) = { a1, a2, a3 } và véc tơ x có tọa độ trong cơ sở
Bài 3.18. Hãy tìm tọa độ của véc tơ x = (8, 8, 19, 19) (a) là [x]a = (1, 2,−
3). Hãy tìm tọa độ của véc tơ x
trong cơ sở dưới đây của không gian tuyến tính R4: trong cơ sở mới (b) = {
b1, b2, b } 3 , biết ma trận chuyển
a1 = (1, 1, 2, 3); a2 = (2, 1, 3, 4);
từ cơ sở (a) sang cơ sở (b) là
a3 = (2, 3, −2, 1); a4 = (1, 3, 3, 1). 1 − 1 2
Bài 3.19. Trong không gian tuyến tính R3 cho M là T = 2 3 1 .
không gian con hai chiều có cơ sở là {u1, u2} với 3 4 −1
u1 = (1, 2, −2), u2 = (2, 2, −1).
Bài 3.26. Trong không gian tuyến tính ba chiều U
Cho các phần tử u = (4, 7, 2), v = (1, 3, 5). Hãy xác cho hai hệ cơ sở (a) và (b) với ma trận chuyển cơ sở
định số thực λ sao cho u − λv ∈ M .
từ hệ (a) sang hệ (b) là
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 6
Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ
Bài 3.32. Trong không gian tuyến tính ba chiều U 3 − 2 − 1
cho ba hệ cơ sở (e), (a) và (b). Cho biết ma trận T = 2 2 3 .
chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở (a) là 1 2 1
Cho biết phần tử x có tọa độ trong cơ sở thứ nhất 2 −1 1 ea T = 2 1 2
(a) là [x]a = (2, 4, 5). Hãy tính tọa độ [x]b của phần 3 1 4
tử x trong cơ sở thứ hai (b).
Bài 3.27. Trong không gian tuyến tính ba chiều U
và ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở (b) là
cho hai hệ cơ sở (a) = {a1, a2, a3} và (b) = {b1, b2, b3} 1 1 1 với Teb = −2 3 1 . 2 1 −2
b1 = a1+a2−3a3, b2 = 2a1−3a2+2a3, b3 = 4a1+5a2+a3.
Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (a) sang hệ (b).
Cho biết phần tử x có tọa độ trong cơ sở thứ nhất
(a) là [x]a = (1, − 3, 5). Hãy tính tọa độ [x]b của phần Bài 3.33. Trong không gian tuyến tính R3 cho hai
tử x trong cơ sở thứ hai (b).
hệ cơ sở (a) = {a1, a2, a3} và (b) = {b1, b2, b3} với
Bài 3.28. Trong không gian tuyến tính ba chiều U
a1 = (3, 1, 4), a2 = (5, −4, 2), a3 = (2, 1, 1),
cho hai hệ cơ sở (a) và (b) với ma trận chuyển cơ sở từ hệ ( b a) sang hệ (b
1 = (3, −2, 3), b2 = (4, 1, −2), b3 = (3, 4, 2). ) là
Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (b) sang hệ (a). 1 2 − 4 T = 2 5 3 .
4. Ánh xạ tuyến tính 3 2 1
Bài 4.1. Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định bởi công
Cho biết phần tử x có tọa độ trong cơ sở thứ nhất thức
(a) là xa = (1, 4, −
2). Hãy tính tọa độ xb của phần tử
x trong cơ sở thứ hai (b).
f (x) = (x1 + 2x2 − x3, x1 − x2 + 2x3, 2x1 − x2 − x3),
Bài 3.29. Trong không gian tuyến tính ba chiều U với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3.
cho hai hệ cơ sở (a) và (b) với ma trận chuyển cơ sở a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính.
từ hệ (a) sang hệ (b) là
b) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3. 4 2 1 T = 1 −2 3 .
Bài 4.2. Cho ánh xạ f : R4 −→ R3 xác định bởi công 3 3 4 thức
Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (b) sang hệ (a). f (x) = (2x1−x2−x3+x4, x1+x2−2x3+x4, x1−x3+x4),
Bài 3.30. Trong không gian tuyến tính ba chiều U với mọi x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4.
cho hai hệ cơ sở (a) = {a1, a2, a3} và (b) = {b1, b2, b3} a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính. với
b) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên các cơ sở chính tắc của R3 và R4.
b1 = 2a1+3a2−a3, b2 = a1+4a2+2a3, b3 = 3a1−a2+a3. Bài 4.3. Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định bởi công
Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (b) sang hệ (a). thức
Bài 3.31. Trong không gian tuyến tính R3 cho hai
f (x) = (3x1 − 2x2 + x3, x1 + x2 + x3, x1 − x3 + α),
hệ cơ sở (a) = {a1, a2, a3} và (b) = {b1, b2, b3} với
với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 (α là tham số).
a1 = (2, −1, 3), a2 = (1, 1, 2), a3 = (2, 1, 4),
a) Hãy xác định α để ánh xạ f là một ánh xạ tuyến
b1 = (1, 2, 3), b2 = (3, 1, −2), b3 = (−1, 1, 2). tính.
b) Với α tìm được hãy lập ma trận của ánh xạ f trên
Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (a) sang hệ (b). cơ sở chính tắc của R3.
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 7
Bài 4.4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác Bài 4.9. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định bởi công thức định bởi công thức
f (x) = (2x1 − x2 + 2x3, x1 + 2x2 − x3, 3x1 + 4x2 − x3), f (x) = (3x1 +x2 +2x3, x1 +3x2 +2x3, 3x1 +3x2 +5x3),
với mọi x = (x
với mọi x = (x R3.
1, x2, x3) ∈ R3. 1, x2, x3) ∈
a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3. của R3.
b) Hãy tìm ma trận của f trên cơ sở mới { a
b) Hãy chỉ ra rằng ma trận của f trên cơ sở mới 1, a2, a3 } của R3 với
{a1, a2, a3} của R3 với a
a1 = (1, 1, 2), a2 = (2, 2, −3), a3 = (1, −1, 0)
1 = (2, 1, −1), a2 = (1, −2, 3), a3 = (3, 2, 1).
Bài 4.5. Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định bởi công là một ma trận đường chéo. thức
Bài 4.10. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định bởi công thức
f (x) = (2x1 +3x2 +4x3, x1 +2x2 −5x3, 2x1 +x2 +3x3),
f (x) = (x1−2x2+x3, −2x1−2x2+2x3, −5x1−10x2+7x3),
với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3. a) Chứng minh rằng f
là một ánh xạ tuyến tính.
với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3.
b) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ {
sở a1, a2, a}3 a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc
của R3, biết rằng a1 = (0, 4, 0), a2 = (2, 0, 0), a3 = của R3. (0, 0, −1).
b) Hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh xạ f .
Bài 4.6. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định bởi công thức
Bài 4.11. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R4 xác định bởi công thức
f (x) = (2x1 + x2 − 3x3, 3x1 − 2x2 − x3, x1 + 3x2 − 2x3),
f (x) = (3x với
1−x2+2x3+x4, 3x2−x3+6x4, 3x3+5x4, 3x4),
mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 . với mọi 4
x = (x1, x2, x3, x4) ∈
a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc R . của R3
a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trong cơ sở chính
b) Xác định x ∈ R3 để f (x) = (6, 2, 6). tắc của R4.
b) Hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh
Bài 4.7. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R3 xác xạ f . định bởi công thức
Bài 4.12. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R4 xác
f (x) = (x1 + x2 − x4, 3x1 − 2x2 + x3, x1 + x3 − 2x4), định bởi công thức
với mọi x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4.
f (x) = (2x1, −3x1+2x2, 5x1−x2+2x3, 2x1−x2+4x3+2x4),
a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cặp cơ sở chính ∈ tắc của R3 và R4.
với mọi x = (x1, x2, x3, x4) R4.
a) Hãy lập ma trận của ánh xạ trong cơ sở chính f
b) Tìm tất cả x ∈ R4 để f (x) = f (1, 2, 1, 2). tắc của R4.
Bài 4.8. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác b) Hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh định bởi công thức xạ f .
Bài 4.13. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→
f (x) = (x R3 xác
1 + x2 − 2x3, 2x1 − 2x2 + 5x3, x1 + 3x2 + x3), định bởi công thức
với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 .
f (x) = (3x
a) Cho u = (1, −1, 2). Hãy tìm x ∈ R3 để
1 + x2 + x3, x1 + 3x2 + x3, −x1 + x2 + x3),
với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3.
f (x + 2u) + f (2x − u) = (11, −7, 18).
a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc
b) Cho u = (2, −1, 2). Hãy tìm x ∈ R3 để của R3.
b) Hãy xác định các giá trị riêng và véc tơ riêng của
f (x+u)+f (x+2u)+. . .+f (x+5u) = f (36x+108u). ánh xạ f .
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 8
Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ
Bài 4.14. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác Bài 4.22. Cho ma trận định bởi công thức 3 −1 2
f (x) = (3x1 − x2 + 2x3, −x1 + 3x2 − 2x3, x1 + x2 + x3), A = −2 2 −2 . với 2 −1 3
mọi x = (x , x , x ) ∈ R3. 1 2 3
a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc Chứng minh rằng ma trận A chéo hóa được. của R3.
Bài 4.23. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của
b) Hãy xác định các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận được cho dưới đây. Chứng minh rằng ma trận ánh xạ f .
đó đồng dạng với ma trận chéo và biến đổi ma trận
c) Hãy xây dựng một cơ sở của R3 bao gồm ba véc tơ đó về ma trận chéo. riêng của f . 4 1 2
Bài 4.15. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của A = 4 4 4 ma trận sau . 1 2 9 2 1 2 A = 1 2 2 .
Bài 4.24. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của 3 3 7
ma trận được cho dưới đây. Chứng minh rằng ma trận Bài 4.16.
đó đồng dạng với ma trận chéo và biến đổi ma trận
Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận sau đó về ma trận chéo. 2 − 1 1 −2 2 1 A = 1 0 1 . A = 1 −3 −1 . 3 −1 2 −1 2 0
Bài 4.17. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận sau 3 1 2 3 1 2
Bài 4.25. Cho ma trận A = 2 4 4 . A = 2 1 1 1 3 2 . − 1 1 1
a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A.
b) Ma trận A có chéo hóa được không? Tại sao? Nếu
Bài 4.18. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của được hãy tìm ma trận T và ma trận đường chéo B để ma trận sau
cho B = T −1AT . 1 2 2 3 2 2 A = 2 1 2 .
Bài 4.26. Cho ma trận A = 2 3 2 . 2 2 1 2 2 3
Bài 4.19. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A. ma trận sau
b) Ma trận A có chéo hóa được không? Tại sao? Nếu 3 1 2
được hãy tìm ma trận T và ma trận đường chéo B để A = 1 3 2 .
cho B = T −1AT . 1 2 3 3 1 2
Bài 4.20. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của Bài 4.27. Cho ma trận A = 1 3 2 . ma trận sau 3 3 5
a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A. 2 1 2 4
b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay 0 −2 2 3 A = 0 0 3 1 .
không. Nếu có hãy chỉ ra ma trận chuyển T và ma −1 0 0 0 −3
trận đường chéo B để cho B = T AT . 2 1 2
Bài 4.21. Cho ma trận
Bài 4.28. Cho ma trận A = 1 2 2 . 2 3 6 2 2 3 A =
a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A. 1 3 3 . −1 1 1
b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay
không. Nếu có hãy chỉ ra ma trận chuyển T và ma
Chứng minh rằng ma trận A không chéo hóa được
trận đường chéo B để cho B = T −1AT .
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 9 3 2 3
Bài 5. 8. Cho M là không gian con hai chiều của
Bài 4.29. Cho ma trận A = 1 4 3 .
không gian Euclid R4 có cơ sở gồm hai véc tơ u = 4 − 1 5 (1, −
1, 1, 1), v = (2, −
1, 2, 1). Hãy tìm véc tơ có độ
a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A.
dài đơn vị thuộc M sao cho véc tơ đó trực giao với
b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay véc tơ w = (1, −2, −2, 1).
không. Nếu có hãy chỉ ra ma trận chuyển T và ma
trận đường chéo B để cho B = T −1AT .
Bài 5. 9. Cho M là không gian con hai chiều của
không gian Euclid R4 có một cơ sở gồm hai véc tơ
5. Không gian Euclid (Dành riêng cho hệ 3 tín u = (2, 1, 1, 2), v = (3, 3, 1, 3). Hãy tìm véc tơ có độ chỉ)
dài đơn vị thuộc M sao cho véc tơ đó trực giao với
véc tơ w = (1, 2, 3, −2).
Bài 5.1. Trong không gian R4 hãy tìm véc tơ có độ
dài đơn vị trực giao đồng thời với véc tơ sau:
Bài 5.10. Cho M là không gian con của không gian
Euclid R5 có cơ sở gồm hai véc tơ
v1 = (1, 0, 10, 12), v2 = (2, 2, −4, −5),
v3 = (3, 11, −4, −1).
u = (2, 1, 2, 1, 1),
v = (1, 0, −1, 3, −1).
Bài 5.2. Trong không gian Euclid R4 cho hệ cơ sở Hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M sao cho véc 1 trực chuẩn {u
tơ đó trực giao với véc tơ w = (−1, 2, 1, −1, 3).
1, u2, u3, u4} với u1 =
(4, −2, −2, 1), 5 1 1
Bài 5.11. Trong không gian R5, cho M là không gian
u2 = (−1, −2, 2, 4), u3 = (2, 4, 1, 2). Hãy xác định 5 5
con ba chiều có một cơ sở gồm 3 véc tơ
tất cả các giá trị có thể có của u4. u
Bài 5.3. Trong không gian Euclid R4 cho hệ cơ sở
1 = (1, −3, −1, 1, 1), u2 = (1, −1, 2, −1, 1), 1 u trực
3 = (−1, 3, −1, −1, −3).
chuẩn {u1, u2, u3, u4} với u1 = (5, 1, 3, 1), u2 = 1 1 6
Hãy xác định trong M véc tơ có độ dài đơn vị trực giao
( −1, 3, −1, 5), u3 = (−3, −1, 5, 1). Hãy xác định 6 6
với cả hai véc tơ v1 = (2, 1, 1, 2, 1), v2 = (1, 1, 2, 3, 5).
tất cả các giá trị có thể có của u4.
Bài 5.12. Trong không gian R6 cho M là không gian
Bài 5. 4. Trong không gian Euclid R4 cho hệ con ba chiều có một cơ sở gồm 3 véc tơ
{u1, u2, u3, u4} với
u1 = (1, 1, 1, 1, 1, 1), u2 = (2, −3, 4, 1, 5, 2),
u1 = (2, 1, −1, −2),
u2 = (1, −2, 3, −2),
u3 = (3, −4, 10, 2, 1, 3).
u3 = (2, 1, −4, 1), u4 = (−2, 1, −3, 4). Hãy xác định trong
Hãy chỉ ra rằng nếu phần tử
M véc tơ có độ dài đơn vị trực
x ∈ R4 nào đấy thỏa giao với cả hai véc tơ
mãn x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 thì ta phải có x ⊥ u4.
Bài 5. 5. Trong không gian Euclid R4 cho hệ
v1 = (2, −1, 1, 3, 1, −4), v2 = (3, −2, 1, 2, 1, −1).
{u1, u2, u3, u4} với
Bài 5. 13. Trong không gian Euclid R4 cho M là u
không gian con hai chiều có một cơ sở gồm hai véc
1 = (2, −1, 1, 1),
u2 = (1, 2, 3, −2),
tơ u1 = (1, 2, −
3, 3); u2 = (2, 1, − u
1, 5). Hãy phân tích
3 = (2, 2, 3, −3),
u4 = (2, 1, 2, −2).
phần tử x = (6, 1, 4, 8) thành x = u + v trong đó
Hãy chỉ ra rằng nếu phần tử x ∈ R4 nào đấy thỏa
u ∈ M và v ∈ M ⊥.
mãn x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 thì ta phải có x ⊥ u4.
Bài 5.14. Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ
Bài 5.6. Trong không gian Euclid R4 cho các véc tơ x = (1, 0, −7, 2) và cho M là không gian con hai chiều
u1 = (1, −1, 1, 2), u2 = (−2, 1, 2, 3), v = (2, λ, −1, µ). có một cơ sở gồm 2 véc tơ u1 = (1, 2, −3, 2), u2 = (2, − 1, −
2, 1). Hãy tìm các véc tơ u, v với ∈ u M, v ∈
Hãy xác định giá trị của λ và µ để v⊥u1, v⊥u2.
M ⊥ sao cho ta có đẳng thức x = u + v.
Bài 5.7. Trong không gian Euclid R4 cho các véc tơ Bài 5.15. Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ
x = (6, 6, −
6, 0) và cho M là không gian con hai chiều
u = (1, 3, −2, 2), v1 = (1, 3, 2, −1), v2 = (0, −1, 1, 1).
có một cơ sở gồm 2 véc tơ u1 = (1, 2, − 1, 2), u2 =
Hãy xác định λ, µ sao cho w = u + λv1 + µv2 thỏa (2, − 1, −
2, 1). Hãy tìm các véc tơ u, v với ∈ u M, v ∈
mãn điều kiện w⊥v1, w⊥v2.
M ⊥ sao cho ta có đẳng thức x = u + v.
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 10
Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ
Bài 5.16. Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ x =
Bài 5.24. Trong không gian Euclid R4 cho các phần (4, − 1, −
5, 4) và cho M là không gian con hai chiều tử a1 = (1, 1, 2,−
1); a2 = (2, 1, −
1, 3) và không gian
có một cơ sở gồm 2 véc tơ u1 = (2, − 2, −
3, 2), u2 = con (1, − 1, −
2, 1). Hãy tìm các véc tơ u, v với ∈ u M, v ∈
L = {x ∈ R4|⟨x, a
M ⊥ sao cho ta có đẳng thức x
1⟩ = 0, ⟨x, a2⟩ = 0}. = u + v.
a) Tìm một cơ sở của L.
Bài 5. 17. Trong không gian Euclid R5 cho M là
không gian con hai chiều có một cơ sở gồm 2 véc tơ
b) Trực chuẩn hóa hệ gồm các véc tơ a1, a2 và các véc
tơ trong cơ sở của L đã tìm được ở câu (a).
u1 = (1, 1, −1, 3, 4); u2 = (2, 3, 1, −3, −14).
Bài 5.25. Trong một cơ sở trực chuẩn của R4, cho các véc tơ
Hãy phân tích véc tơ x = (5, −5, 1, −2, −9) thành
tổng x = u + v với u ∈ M và v ∈ M ⊥.
a1 = (2, 1, −3, −1), a2 = (3, 1, −1, 2) và b = (1, µ, 0, 2λ).
Bài 5.18. Trong không gian Euclid R4 cho M là một
a) Tìm λ, µ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1 và
không gian con hai chiều có một cơ sở là {u1, u2} với a2.
b) Với λ, µ tìm được, hãy trực giao hóa hệ {a1, a2, b}.
u1 = (3, 1, 1, 1), u2 = (−1, −3, 1, −1).
Bài 5.26. Trong một cơ sở trực chuẩn của R4 cho
Hãy tìm x ∈ M sao cho ||x − u1|| = 6, ||x − u2|| = 6. các véc tơ
Bài 5.19. Trong không gian Euclid R4 cho M là một a1 = (1, 1, −3, −1), a2 = (2, 1, −1, 2) và b = (2, γ, 1, α).
không gian con hai chiều có một cơ sở là {u1, u2} với a) Tìm α, γ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1 và
u1 = (1, 2, −4, 6), u2 = (1, −6, 2, −4). a2.
Hãy tìm x ∈ M sao cho ||x−u
b) Với α, γ tìm được, hãy trực giao hóa hệ {a1, a2, b}.
1|| = 15, ||x−u2|| = 15.
Bài 5.27. Trong không gian Euclid R4, cho các véc tơ
Bài 5.20. Trong không gian Euclid R4 cho M là một u = (14, 8, 10, 12), v1 = (1, 3, 1, 5), v2 = (7, 1, 11, 3).
không gian con hai chiều có một cơ sở là {u1, u2} với a) Hãy xác định các số λ, µ sao cho w = u+λv1 +µv2 trực u
giao với các véc tơ v1, v2.
1 = (7, −4, 2, −2), u2 = (−7, 2, −4, 2).
b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {
v1, v2, w } theo
Hãy tìm x ∈ M sao cho ||x−u1|| = 13, ||x−u2|| = 13. thủ tục Gram–Schmidt.
Bài 5.21. Trong không gian Euclid R5 cho M là một Bài 5. 28. Trong không gian Euclid R4, cho các
không gian con hai chiều có một cơ sở là {u1, u2} với véc tơ u = (6, − 10,−
4, 17), v1 = (2, 4, 2, 5), v2 =
(2, 14, 11, 13).
u1 = (−1, 2, 3, 7, 1), u2 = (2, −1, −1, −7, 3).
a) Hãy xác định các số λ, µ sao cho w = u+λv1 +µv2
Hãy tìm x ∈ M sao cho ||x−u1|| = 14, ||x−u2|| = 14. trực giao với các véc tơ v1, v2.
b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ{ v1, v2, } w theo
Bài 5.22. Trong không gian Euclid R4 cho các phần thủ tục Gram–Schmidt.
tử a1 = (1, 1, 0, 1); a2 = (1, 0, −
1, 1) và không gian Bài 5. 29. Bằng phương pháp trực chuẩn hoá Gram– con
Schmidt hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn của không
L = {x ∈ R4|⟨x, a
gian R3 từ cơ sở đã cho sau đây:
1⟩ = 0, ⟨x, a2⟩ = 0}.
a) Tìm một cơ sở của L.
a1 = (2, −1, 2); a2 = (4, 1, 1); a3 = (−2, 6, −3).
b) Trực chuẩn hóa hệ gồm các véc tơ a1, a2 và các véc Tính tọa độ của phần tử x = (3, 1, 5) trên cơ sở nhận
tơ trong cơ sở của L đã tìm được ở câu (a). được.
Bài 5.23. Trong không gian Euclid R4 cho các phần Bài 5. 30. Bằng phương pháp trực chuẩn hóa Gram–
tử a1 = (1, 2, 3,−
1); a2 = (2, 3, −
1, 4) và không gian Schmidt hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn của không con
gian R4 từ cơ sở được cho sau đây:
L = {x ∈ R4|⟨x, a1⟩ = 0, ⟨x, a2⟩ = 0}.
a1 = (1, 0, 1, −1); a2 = (0, 2, 2, 2);
a3 = (5, −2, 3, 2); a4 = (3, 1, 1, 1).
a) Tìm một cơ sở của L.
b) Trực chuẩn hóa hệ gồm các véc tơ a1, a2 và các véc Tính tọa độ của phần tử x = (1, 2, 5, 6) trên cơ sở
tơ trong cơ sở của L đã tìm được ở câu (a). nhận được.
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 11
Bài 5.31. Trong không gian Euclid R3 cho hệ véc tơ Bài 5.38. Hãy xây dựng một cơ sở trực chuẩn của
{u1, u2, u3} với
không gian Euclid R4 sao cho cơ sở này có chứa hai 2 3 6 6 2 3 3 6 2 phần tử như sau
u1 = ( , , ), u2 = ( , , − ), u3 = ( , − , ). 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 1
a) Hãy chỉ ra rằng hệ { u
u1 = (1, 1, −1, −1); u2 = (1, −1, 1, −1). 1, u2, u3 } là một cơ sở trực 2 2
chuẩn của không gian Euclid R3.
b) Hãy tìm tọa độ của phần tử x = (3, 4, 5) trên cơ
Bài 5.39. Hãy xây dựng một cơ sở trực chuẩn của
sở {u1, u2, u3}.
không gian Euclid R4 sao cho cơ sở này có chứa hai phần tử như sau
Bài 5.32. Giả sử rằng {u
1, u2, u3, u4} là một cơ sở
trực chuẩn của không gian Euclid R4 và ta được biết 1 1 1 1 rằng
u1 = (5, 3, −1, −1); u2 = (1, −1, 5, −3). u1 =
(3, 5, 1, 1), u2 =
(−5, 3, 1, −1), u3 = 6 2 6 6 1
Bài 5.40. Chéo hóa ma trận đối xứng thực sau đây
( −1, −1, 3, 5). Giả sử phần tử x = (4, 2, 1, −5) có 6 bằng ma trận trực giao
tọa độ trên {u1, u2, u3, u4} là (x1, x2, x3, x4). Hãy tính x2. 4 3 2 4
Bài 5.33. Giả sử rằng { u1, u2, u3, u4 } là một cơ sở A = 2 3 4 .
trực chuẩn của không gian Euclid R4 và ta được biết 1 1 4 4 9
rằng u1 = (2, 4, 2, 5), u2 = (−5, 2, −4, 2), u3 = 7 7 1
6. Một số bài tập nâng cao
(2, 5, −2, −4). Giả sử phần tử x = (2, −3, 1, 5) có Bài 6. 1. 7 Cho 2 = . Hãy chỉ ra rằng ( + )k = tọa độ trên {u A A A I
1, u2, u3, u4} là (x1, x2, x3, x4). Hãy tính − x2 I + (2k 1)A. . 4
Bài 5. 34. Trong không gian Euclid R5 cho M là
Bài 6.2. Chứng minh đẳng thức
không gian con ba chiều có một cơ sở là {u1, u2, u3} - - với 1
u = (1, 1, 1, 1, −1), u2 = (2, 0, 3, −2, 1), (a + b)2 c2 c2 a2 (b + c)2 a2
= 2abc(a + b + c)3.
u3 = (−1, 2, 1, −1, 2). - - 2 b 2 b ( a + c)2-
Hãy xác định một cơ sở trực chuẩn và số chiều của - không gian con M ⊥.
Bài 6.3. Chứng minh đẳng thức
Bài 5.35. Trong không gian R4 cho hai véc tơ u = (2 1 2 2); = (1 1 1 1 1). Gọi a b c d - - , , − , u2
, − , − , − M là tập hợp tất -−b a d −c-
cả các véc tơ của R 4 trực giao với u 2 2 2 2 2 1, u2.
= (a + b + c + d ) . −c −d a b - -
a) Chứng minh rằng M là một không gian con của - − - d c −b a R4. Bài 6.4.
b) Xác định một cơ sở trực chuẩn của M .
Tính giá trị định thức
Bài 5.36. Cho ma trận a1 x x . . . x - - 1 2 2 x a2 x . . . x - - − − 3 3 3 D = x x a3 . . . x . - . . . . - . . . . . . . Q = − 2 − 2 1 - - . - - 3 3 3 x x x . . . an
Bài 6.5. Chứng minh rằng ma trận vuông cấp hai x y z A B a b
Hãy tìm x, y, z để Q là ma trận trực giao. A = c d
Bài 5.37. Hãy tìm x, y, z, t để ma trận Q được cho
sau đây là ma trận trực giao: thỏa mãn phương trình − 1 1 1 1
X2 − (a + d)X + (ad − bc)I = 0. 1 − 1 1 1 Q 1 = . 2 1 1 −1 1
Bài 6. 6. Chứng minh rằng nếu A là ma trận thực và x y z t
AAT = θ thì A = θ.
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 12
Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ A B Bài 6.7. 4 −1
Bài 6.19. Chứng minh rằng không tồn tại các ma trận
Cho hai ma trận vuông cấp hai A = 2 1
A và B sao cho AB − BA = I. A B 2 0 và B = .
Bài 6.20. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n sao cho 0 3
r(AB − BA) = 1. Chứng minh rằng (AB − BA)2 = θ.
a) Hãy tìm một ma trận khả nghịch T sao cho TA = BT . b) Tính A2011.
Bài 6.21. Cho A, B là các ma trận kích thước 3 × 2 và Bài 6.8.
2 × 3. Giả sử rằng tích A.B là
Cho A là một ma trận vuông cấp n khả nghịch có
ma trận phụ hợp là A∗. Hãy chứng minh rằng det(A∗) = 8 2 − 2 (det A)n−1. AB = 2 5 4 . Bài 6.9. −
Cho A là một ma trận vuông sao cho A4 = 0. 2 4 5
Hãy chứng minh rằng I + A là một ma trận khả nghịch. Hãy chỉ ra rằng A B Bài 6.10. 9 0
Cho A là một ma trận vuông sao cho A10 = 0. BA = . 0 9
Hãy chứng minh rằng I + A2 + A5 là một ma trận khả nghịch.
Bài 6.22. Cho A, B là các ma trận vuông cấp 3 với các
Bài 6.11. Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp sao phần tử thực sao cho
cho (AB)10 = I. Chứng minh rằng (BA)10 = I.
det A = det B = det(A + B) = det(A − B) = 0.
Bài 6.12. Cho A là một ma trận vuông thực cấp ba có
ba giá trị riêng thực phân biệt. Hãy chứng minh rằng ma Chứng minh rằng det(xA + yB) = 0 với mỗi cặp số thực
trận A3 cũng có ba giá trị riêng thực phân biệt. x, y.
Bài 6.13. Cho A là một ma trận vuông thực cấp ba có Bài 6.23. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Chứng
ba giá trị riêng thực phân biệt. Hãy chứng minh rằng ma minh rằng nếu A là một ma trận luỹ linh và B là ma trận
trận A5 − A4 + A cũng có ba giá trị riêng thực phân biệt. giao hoán với A thì −
I AB và I + AB là các ma trận khả nghịch.
Bài 6.14. Cho A là một ma trận vuông thực cấp n khả A B
nghịch và có n giá trị riêng thực dương phân biệt. Chứng Bài 6. 24. 2015 −2014
minh rằng ma trận A3 +2A −
3A−1 cũng có n giá trị riêng
Cho ma trận vuông A = . 2014 −2013 thực phân biệt.
Hãy xác định số nguyên dương n sao cho tồn tại ma trận Bài 6. 15.
vuông cấp hai X với các phần tử nguyên để
Cho A là một ma trận vuông cấp hai đồng A B dạng 3 2
X2015 + Xn = 2A.
với ma trận B = 0 4 . Hãy tính giá trị của định thức det(A3 + 3A).
PHẦN II: ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN 2 −1 3
1. Ma trận và định thfíc 3 4
Bài 6.16. Cho ma trận A = 0 1 2 . Tính det B −2 1 0 4 −1
1.1. a) A567 = −A = .
với B = A2004 − A1002. b) 576 + 2 567 − + 3 5 2 , det( 576 + 2 567 + 3 675) = 675 A A A = I − 5 A A A A
Bài 6.17. Tính định thức 26. 3 4 1 3 - -
1.2. a) A2018 = A2 = . − 1 2 3 . . . n 1 −2 3 4 − 3 −3 - −1 0 3 . . . n-
b) 2A2017 − 3A2018 + 4A2019 = , det(2A2017 − 1 0 D = −1 −2 0 . . . n . - -
3A2018 + 4A2019) = 3. . . . . . . - . . . . . 1.3. A200 - + A = θ. - - −1 −2 −3 . . . 0
1.4. a) A2 = A2018 = I, A2019 = A. Bài 6.18.
b) n = 2k thì det B = 64, n = 2k + 1 thì det B = −32. Tính định thức
1.5. a) A2 = A2018 = I, A2019 = A. 1 1 1 . . . 1
b) Nếu m, n chẵn thì det B = 1728. Nếu m chẵn, n lẻ thì - 1 - - 1 C1 . . . C1 2 C 3 n -
det B = −288. Nếu m lẻ, n chẵn thì det B = 288. Nếu m, n lẻ 2 2 1 C2 D = - 3 C . . . C 4 n +1 - . thì det B = −1728. - . . . . . . . . - 1.6. x = ±3. - n−1 n−1 n−1 1 C -
1.7. x ∈ {−1, 1, 2}. n
Cn +1 . . . C2n−2
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 13 1.8. D = 0.
2.4. x = (−9 − 17x4, 7 + 11x4, 1 + 3x4, x4) với x4 tùy ý.
1.9. a) det(A4 + 3A3) = −61952.
2.5. x = (−64, 43, 4, −2).
b) r(A + 5I) = 3. 2.6. a) λ = 5. 1 2 1.10. 52 28
a) det(AB) = −36, det(BA) = 0. b) x = , , − 46 . 39 39 39 1.11
b) r .( BA + 4I) = 3. 2.7. x x ,
x , 0, x ) với mọi λ.
a) det( 3 2 + 4 2 3) = 911 400. = (4 − 3 4 1 − 4 4 A B A B .
2.8. Nếu α = −2 hệ phương trình có nghiệm là
b) (A + 2B)2 − 19(A + 2B) = −70I.
x = (21 − 10x3 − x4, −12 + 7x3, x3, x4) với x3, x4 tùy ý.
1.12. det(AB) = −47, (det A = −47, det B = 1).
Nếu α ̸= −2 hệ phương trình có nghiệm là
1.13. det(A2B − 3AB2) = 15.080.310. x = (21 − 10x3, −
12 + 7x3, x3, 0) với 1 x3 tùy ý. 2
10 − λ 10 − λ λ − 6
HD: det(A2B − 3AB2) = det A. det(A − 3B). det B.
2.9. Hệ có nghiệm với mọi λ, x = , , với
1.14. a) det(A3B2 − 3A2B3) = 122.132.500. mọi λ. 2 2 2
b) r(A + 3B) = 3.
2.10. Với λ = 14 thì hệ có nghiệm và nghiệm là x = (−28 +
1.15. a) det(A3B2 +3A2B3) = (det A)2 det(A+3B)(det B)2 ̸= 17x4 + 14x5, 25 − 14x4 − 11x5, 6 − 2x4 − 2x5, x4, x5) với x4, x5
0 vì det A = 39, det B = −51, det(A + 3B) = −1878. Do đó ma tùy ý.
trận A3B2 + 3A2B3 khả nghịch.
2.11. a) λ = 5.
b) det(A2B−2AB2) = det A. det(A+3B). det B ̸= 0 vì det A =
b) x = (−5x3 − 8x4, −7x3 − 13x4, x3, x4) với x3, x4 tùy ý.
39, det B = −51, det(A + 3B) = 207. Do đó r(A2B − 2AB2) =
2.12. a) λ = 7. 1 2 3. − 1 12 1 5 7
b) x = − x3 + x4, −x3 +
x4, x3, x4 với x3, x4 tùy ý. 1 λ λ − − 2 1 1 + 7 26 3 2 7 36 8
1.16. A− = − 1 −1 1 . 2.13. x = + x3,
− 7 x3, x3, với x3 4 1 3 5 λ + 2 2 λ + 2 2 λ + 2 1.17. a) 3 A − A 8 2 8 + 0 A 17 = 10 −6 I . tùy ý. 1 2.14. 1 2
x = 26λ − 221 − 10 −3λ + 20 13 1 x x3, x3, 3, + −1 b) A = −2 5 −1 . với 11(λ − 8) 11 11(λ − 8) 11 λ − 8 10 x3 tùy ý. −2 0 4 1 λ λ λ λ 2
1.18. Nếu d = 0 thì không tồn tại x để A khả nghịch.
2.15. x − , , . , 4 4 4 4
Nếu d ̸= 0 thì A khả nghịch với x ∉ {a, b, c}.
2.16. Nếu λ ̸= 19 thì hệ vô nghiệm. Nếu λ = 19 thì hệ có
HD: Hãy chỉ ra rằng det A = d(a − x)(b − x)(c − x).
nghiệm x = (4 − 70x4, −1 + 55x4, −6x4, x4) với x4 tùy ý.
1.19. x ∉ {0, 3}.
3. Không gian tuyến tính
HD: Sử dụng đẳng thức det(A4 − 3A3) = (det A)3 det(A − 3I).
3.1. Hãy chỉ ra rằng = 2 + 2 + .
1.20. x ∉ {−2, −1, 2}. x a1 a2 6α a 3 5α + 11 1.21. 2 1 2 .
3.2. Hãy chỉ ra rằng x = 3 + 2 a1 3
a2 + α3a3 +
x ∉ {− , , } 7 7 1 −31 −9 8
với α3 ∈ R tùy ý. Nói riêng, nếu chọn α3 = 2 thì x = 1.22. X = − 15 −27 6 .
2a1 + 3a2 + 2a3. 18 −11 −9 − 14 −4α3 + 7 −7α3 + 1 3.3. x = a1 +
a2 + α3a3 với α3 ∈ R tùy ý. 17 10 8 5 5 1 3.4. a − α − 1.23. X = − 2α 29 29 0 4 = (1 4)a1 + (2
4)a2 + (α4 − 1)a3 + α4a4 với . 29 3 −29 4 0 29 α4 ∈ R tùy ý. − 1.24. 2 3 X = .
3.5. a4 = (1 − α4)a1 + (α4 − 1)a2 + (2 − 2α4)a3 + α4a4 với 1.25. ( 4 −7 α4 ∈ R tùy ý. r A) = 2. 3.6. λ = −5.
1.26. r(A) = 3. 3.7. λ = 7. 3
1.27. Nếu x = 1 thì r(A) = 1. Nếu x = − thì r(A) = 3. 3.8 I
. λ ∈ R tùy ý. 2
3.9. a) Sử dụng định nghĩa hoặc chỉ ra ma trận của hệ Nếu x ̸= 1 {a
} có hạng bằng 3 (có định thức khác 0). x ̸ 1, a2, a3 = − 3 thì r(A) = 4. 2 7 11 1 b) 1.28. a a a I Nếu
x = 1 thì r(A) = 1. Nếu x = −1 thì r(A) = 3. x = − 1 − 2 + 3. 6 6 2 x ̸ 3.10. Nếu = 1
a) Sử dụng định nghĩa hoặc chỉ ra ma trận của hệ thì r(A) = 4. x ̸= −1
{a1, a2, a3} có hạng bằng 3.
1.29. Nếu x = 2 thì r(A) = 1. Nếu x ̸= 2 thì r(A) = 3.
b) Phần tử x không có biểu diễn tuyến tính trên hệ {a1, a2, a3}.
1.30. x = 2.
3.11. a) λ ̸= 2.
b) x = a1 + a2 + a3. 2. Hệ phương 1 trì 2 nh
3.12. a) Sử dụng định nghĩa hoặc chỉ ra ma trận của hệ 2.1. 4 20 25 x = , , .
{a1, a2, a3} có hạng bằng 3. 3 9 9
2.2. x = (3 − 3x 4 + 2 x5, 1, −2, x4, x5) với x4, x5 tùy ý.
b) Hệ {a1, a2, a3} là một cơ sở của R3.
2.3. x = (1, 3 + x4, 2 + 2x5, x4, x5) với x4, x5 tùy ý.
3.13. a) Sử dụng định nghĩa hoặc chỉ ra ma trận của hệ
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 {a 120 192 120
1, a2, a3, a4} có hạng bằng 4. − b) B = − 1 11 − 52 − 4 .
b) Hệ {a1, a2, a3, a4} là một cơ sở của R4. 16 − 3.14. 89 92 −116
a) Hệ {a1, a2, a3, a4} độc lập tuyến tính.
4.5 . a) Sinh viên tự giải.
b) Hệ {a1, a2, a3, a4, b} phụ thuộc tuyến tính. 2 1 5 2 4
3.15. Không tồn tại λ để hệ {a1, a2, a3} phụ thuộc tuyến tính. b) B = 6 2 −2 . − 4 − 3.16. 4 3 a) λ = 1.
b) a2 = 2a1 − a3. 2 1 −3
3.17. [x] = (1, 3, 2).
4.6. a) A = 3 −2 −1 . 1 2 a 92 89 23 8 1 3 −2
3.18. [x]a = , , − , .
b) x = (1, 1, −1). 35 35 35 5 1 1 0 −1 3.19. λ = 1.
3.20. λ = −4.
4.7. a) A = 3 −2 1 0 . 1 0 1 −2 3.21. λ = 5.
b) x = (1, x4, 2x4 − 3, x4) với x4 tùy ý.
3.22. M là một không gian con của R3 và dim M = 2. N không 4.8. a) x = (1, 2, −1).
phải là không gian con của R3.
b) x = −3u = (−6, 3, − 6). 3 1 2
3.23. Phân tích để đi đến việc lựa chọn ba phần tử thích hợp 4.9. của a) A = 1 3 2 .
M và chỉ ra chúng tạo thành một hệ vừa là hệ sinh của M 3 3 5
vừa là hệ độc lập tuyến tính. dim M = 3. b) Hãy chỉ ra rằng 3.24.
f (a1) = 8a1, f (a2) = a2, f (a3) = 2a3 và Tương tự 1 bài 3.24. 9 sử dụng chúng. − 3.25. = 2, , [x]b 7 2 15 1 −2 1 7 .
4.10. a) A = −2 −2 2 . 3.26. 1 2 x [ 7 37 11 b ] , , − −5 −10 7 = 4 16 8 . 2 2 1 2
b) λ = 2, x = x1(1, 0, 1) + x2(0, 1, 2) với x 3.27. 1 + x2 ̸= 0. [x] 60 8 b = − 79 73 , 73 , 73 . 3 −1 2 1 1 2 31 27 1 3.28. [x] 0 3 −1 6 b = − , , . 4.11. 19 19 19 a) A = 0 0 3 5 . −17 −5 8 0 0 0 3 1 3.29. T ba = − 49 5 13 − 11 .
b) λ = 3, x = x1 (1, 0, 0, 0) với mọi x 9 −6 −10 1 ̸= 0. 2 0 0 0 − 4.12. 3 2 0 0 a) A = . 1 6 5 −13
3.30. Tba = 40 − 2 5 11 . 5 − 1 2 0 10 −5 5 2 −1 4 2 − 1 8 − 4
b) λ = 2, x = x4 (0, 0, 0, 1) với mọi x4 ̸= 0.
3.31. Tab = −1 31 −13 . 3 1 1 2 −22 10 4.13. a) A = 1 3 1 . 1 −14 14 13 −1 1 1 . 3.32 −16 11 7 . Tab = 5
b) λ = 1, x = x2(1, 1, −3) với mọi x2 ̸= 0; λ = 2, x = 17 −12 −14
x1(1, 0, −1) với mọi x1 ̸= 0; λ = 4, x = x2(1, 1, 0) với mọi 68 132 19 x2 ̸= 0. 3 1 2 1 3.33. T − ba = − 97 27 56 11 . 65 −45 31 4.14. a) A = − 1 3 − 2 . 1 1 1
b) λ = 1, x = x1(1, 1, − 3 ) với mọi x1 ̸= 0; λ = 2, x = 2 3
x (− 1 , 3 , 1) với mọi x ̸
λ = 4, x = x (−1, 1, 0) với mọi 2 2 3 = 0; 2
4. Ánh xạ tuyến tính x2 ̸= 0. 4.1.
c) Ứng với λ = 1 chọn véc tơ riêng a
a) Sinh viên tự giải.
1 = (2, 2, −3) (gán x1 = 2);
ứng với λ = 2 chọn véc tơ riêng a 1 2
2 = (−1, 2, 3) (gán x3 = 2); − 1
ứng với λ = 4 chọn véc tơ riêng a b) A =
3 = (−1, 1, 0) (gán x2 = 1). 1 −1 2 . 2 −1 −1
4.15. λ = 1, x = x2(−1, 1, 0)+x3(−2, 0, 1) với mọi x2 +x2 ̸= 0; 2 3
4.2. a) Sinh viên tự giải.
λ = 9, x = x1(1, 1, 3) với mọi x1 ̸= 0.
4.16. λ = 0, x = x3(−1, −1, 1) với mọi x3 ̸= 0; λ = 1, 2 − 1 − 1 1
x = x3(0, 1, 1) với mọi x3 ̸= 0; λ = 3, x = x2(1, 1, 2) với b) A = 1 1 −2 1 . mọi x 1 0 − 2 ̸= 0. 1 1
4.17. λ = 0, x = x 4.3.
1(1, 1, −2) với mọi x1 ̸= 0; λ = 2, a) α = 0. x = x 3 −2 1
1(1, −1, 0) với mọi x1 ̸= 0; λ = 5, x = x3(2, 2, 1) với mọi x3 ̸= 0. b) A = 1 1 1 .
4.18. λ = −1, x = x2(−1, 1, 0) + x3(−1, 0, 1) với mọi x2 + x2 ̸= 1 0 −1
0; λ = 5, x = x (1, 1, 1) với mọi x ̸ 2 3 = 0. 2 −1 2 4.19. 1 = 1, = 1 (1 1 3 = 0; = 2, 4.4. λ x
x1 , , − 2 ) với mọi x1 ̸ λ a) A = 1 2 −1 .
x = x3(−3, 1, 1) với mọi x3 ̸= 0; λ = 5, x = x3(1, 1, 1) với 3 4 −1
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 15 mọi x3 ̸= 0.
x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 ta có ⟨x, u4⟩ = λ1⟨x, u1⟩ + λ2⟨x, u2⟩ +
4.20. λ = 2, x = x1(1, 0, 0, 0) với mọi x1 ̸= 0; λ = −2, λ 3⟨ x, u 3⟩ = 0. 5
x = x1(1, −4, 0, 0) với mọi x1 ̸= 0; λ = 3, x = x2(6, 1, 5.5. 2 , 0) Tương với tự bài 5.4.
mọi x2 ̸= 0; λ = −3, x = x3( 6 , 16, 1, −6) với mọi x3 ̸= 0.
5.6. λ = 3, µ = 1. 5 4.21. 37
Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = 1 (bội 5.7. λ = − 6 , µ = .
n1 = 2), λ2 = 4 (bội n2 = 1). Ứng với λ1 = 1 ta có 41 41
r(A − λ1I) = 2 ̸ = n − n1 = 3 − 1 2 = 1. 5.8. x = ±√
(3, −1, 3, 1).
4.22. Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ 20 1 = 1 (bội
n1 = 2), λ2 = 6 (bội n2 = 1). Hãy chỉ ra rằng r( −
A λ1I) = 5.9. x = ± 1 (1, −1, 1, 1). n −
n1 và r(A −
λ2I) = n − 2
n2 (ở đây n = 3). 1 5.10. = (5 2 3 5 1)
4.23. Ma trận A có ba giá trị riêng phân biệt λ1 = 2, λ2 = x ± , , , , . 8
4, λ3 = 11 nên A chéo hóa được. Biến đổi đồng dạng đưa A về 5.11.
ma trận chéo có thể lựa chọn là
x = ± 1 (3, −7, 2, 1, 1). 8 1
5.12. x = ± (1, 3, −4, 1, 6, 1). 2 0 0 1 − 1 2 8
T −1AT = 0 4 0
với T = −4 −2 4 .
5.13. u = (4, −1, 3, 9), v = (2, 2, 1, −1). 0 0 11 5.14. 1 1 5
u = (3, 1, −5, 3), v = (−2, −1, −2, −1).
5.15. u = (4, 3, −4, 5), v = (2, 3, −2, −5).
4.24. Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = −1 (bội 5.16. u = (3, −3, −5, 3), v = (1, 2, 0, 1).
n1 = 2), λ2 = −
3 (bội n2 = 1). Chỉ ra ma trận A chéo hóa 5.17. u = (3, 4, 0, 0, −10), v = (2, 1, 1, −2, 1).
được bằng cách xây dựng một cơ sở gồm 3 véc tơ riêng của A. 5.18. x = 2u1 + 2u2 = (4, −4, 4, 0) hoặc x = −(u1 + u2) =
Biến đổi đồng dạng đưa A về ma trận chéo có thể lựa chọn là (−2, 2, −2, 0).
HD: Từ giả thiết chúng ta có ⟨u
1, u1⟩ = 18, ⟨u1, u2⟩ = −9, − 3 0 0 1 2 1 ⟨u T −1
2, u2⟩ = 18. Nếu x là phần tử cần tìm thì x = λ1u1 + λ2u2. AT = 0 −1
0 với T = −1 1 0 .
Chỉ ra rằng ∥x − u1∥2 = 18(λ1 − 1)2 − 18(λ1 − 1)λ2 + 18λ22 0 0 −1 1 0 1
và đối chiếu với giả thiết ∥x − u1∥ = 6 ta có phương trình 18(λ 1 1
1 − 1)2 − 18(λ1 − 1)λ2 + 18λ2 = 36. Tiếp theo từ giả thiết
4.25. a) λ = 1, x = x (1, 2, −2) với mọi x ̸= 0; λ = 2, ∥x − u ∥
2 λ2 − 18λ (λ − 1) + 18(λ −
x = x1(1, 5, −3) với mọi x1 ̸= 0; λ = 5, x = x1(1, 2, 0) với mọi
2 = 6 ta có phương trình 18 1 1 2 2 2 x1 = 0.
1) = 36. Giải hệ hai phương trình được đưa ra ta thu được ̸
b) Lựa chọn một cơ sở của R3 gồm 3 véc tơ riêng ứng với A,
hai nghiệm λ1 = λ2 = 2 và λ1 = λ2 = − 1. chẳng 5.19. hạn là a
x = 3u1 + 3u2 = (6, 12, 6, 6) hoặc x = 2u1 2u2 = 1 = (1, 2, −
2), a2 = (1, 5, − − − − −
3), a3 = (1, 2, 0). Từ (− 4, 8, 4 − ,
đó khẳng định được A là ma trận chéo hóa được. Biến đổi 4).
5.20. x = 4u1 + 4u2 = (0, − 6 , −
6, 0) hoặc x = − 2u1 −
đồng dạng đưa A về ma trận chéo tương ứng với việc lựa chọn 2u2 =
{a1, a2, a3} là
(0, 4, 4, 0). 1 1 1 5.21.
x = 3u1 + 3u2 = (3, 3, 6, 0, 12) hoặc x = −2u1 − 2u2 = T −1AT với = 1 0 0 0 2 0 T = 2 5 2 .
(−2, −2, −4, 0, −8).
5.22. a) Có thể chọn cơ sở của L là {a3, a4} với a3 = 0 0 5 −2 −3 0 (1, −
1, 1, 0) và a4 = ( −
1, 0, 0, 1).
b) (Theo cách chọn của câu (a)) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 = 2 2
4.26. a) λ = 1, x = x2(−1, 1, 0)+x3(−1, 0, 1) với mọi x2 +x3 ̸= a2 − 2 u1, u3 = a3, u4 = a4 + 1
u3. Sau đó chuẩn hóa các phần
0; λ = 7, x = x3(1, 1, 1) với mọi x3 ̸= 0. 3 3 tử 1 2 3 4 u , u , u , u . b) Tương tự bài 4.24.
4.27. a) λ = 1, x = x (1, 1, − 3 ) với mọi x ̸= 0; λ = 2, 5.23. a) Có thể chọn cơ sở của L là {a3, a4} với a3 = 1 2 1
(11, −7, 1, 0) và a4 = (−11, 6, 0, 1).
x = x1(1, −1, 0) với mọi x1 ̸= 0; λ = 8, x = x1(1, 1, 2) với mọi b) (Theo cách chọn của câu (a)) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 = x1 ̸= 0.
a2 − 1 u1, u3 = a3, u4 = a4 + 163 u3. Sau đó chuẩn hóa các 15 171 b) Tương tự bài 4.25.
phần tử u1, u2, u3, u4.
4.28. a) λ = 1, x = x1(1, 1, −1) với mọi x1 ̸= 0; λ = 8, 5.24. a) Có thể chọn cơ sở của L là { a3, a4} với a3 = (3, −
5, 1, 0) và a4 = ( − x = x
4, 5, 0, 1). 1(1, 1, 5
2 ) với mọi x1 ̸= 0. b) Ma trận
b) (Theo cách chọn của câu (a)) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 =
A không chéo hóa được (tương tự bài 4.21). 2 37
4.29. a) λ = 2, x = x a u u
1(1, 1, −1) với mọi x1 ̸= 0; λ = 8, 2 +
1, u3 = a3, u4 = a4 +
3. Sau đó chuẩn hóa các phần 7 35 x tử = x
u1, u2, u3, u4.
1(1, 1, 1) với mọi x1 ̸= 0.
b) Ma trận A không chéo hóa được (tương tự bài 4.21).
5.25. a) λ = − 1 , µ = − 7 . 6 3 8
5. Không1 gian Euclid
b) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 = a2 − u1, u3 = 5.1. = (2 2 5 4). b. 15 x ±
, − , − ,
5.26. a) α = − 4 , γ = − 1 . 7
5.2. u4 = ± 1 (−2, 1, −4, 2). 3 3 1 5 1 5.3. = (1 5 1 3).
b) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 = a2 − u1, u3 = b. 3 u4 ±
, − , − , 6
a) λ1 = −2, λ2 = −1. ⊥ ⊥ ⊥ 5.27. 1 1
5.4. Cách 1: Chứng minh rằng nếu x u1, x u2, x
u3 thì b) Hệ trực chuẩn: u1 =
(1, 3, 1, 5), u2 =
(3, −1, 5, −1),
x = x4(1, 1, 1, 1) và ta tính được trực tiếp ⟨ x, u4⟩ = 0. 6 6 Cách 2: Chỉ ra u
u3 = 1 6 (5, 1, −3, −1).
4 có dạng u4 = λ1u1 + λ2u2 + λ3u3 nên khi
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023
Downloaded by giang le (legiangnamban@gmail.com) 16
Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ 2
a) λ1 = −7, λ2 = 2.
A và cột i của AT chính là a2 1 + + a
. . . + a2 . Nếu tổng này i1 i2 in 5.28. 1
b) Hệ trực chuẩn: u1 =
(2, 4, 2, 5), u2 =
(4, −2, 5, −2),
bằng 0 thì tất cả phần tử trên hàng thứ i của A là 0. 6.7. 7 7 a) Sinh vi 3 ên tự giải. 4
u3 = 1 ( −2, −5, 2, 4).
2.32011 − 22011 22011 − 32011 b) 2011 = 7 1 1 A
5.29. Cơ sở trực chuẩn: u1 =
(2, 1, −2), u2 =
(2, 2, −1),
2.3 2011 − 22012 22012 − 32011 3 3
u3 = 1 (−1, 2, 2). Tọa độ của x trên cơ sở {u1, u2, u3} là 6.8. Sử dụng AA∗ =
(det A)I để đưa ra đẳng thức 3 [x , 1, 3).
det A det A∗ = (det A)n. ]u = (5 6.9. 1
Sử dụng đẳng thức I − A4 = (I − A)(I + A)(I + A2) để
5.30. Cơ sở trực chuẩn: u1 = √3 (1, 0, 1, −1), u2 = chứng minh det(I + A) ̸= 0. 1 1 1
√3 (0, 1, 1, 1), u3 = √3 (1, −1, 0, 1), u4 = √3 (1, 1, −1, 0), Tọa độ 6.10. Đặt B = I + A3 thì A2 + A5 = A2B và A2B = BA2. 1 2 13 5 2 1 2 3 4
Do đó (A2B)5 = A10B5 = θ và ta phân tích được tương tự bài
của x trên cơ sở {u , u , u , u } là [x]u = 0, √ , √ , −√ . 5.31. 6.9. 3 3 3 a) Sinh viên tự giải.
6.11. Chỉ ra det A ̸= 0 và sử dụng đẳng thức (BA)10 = 1 2 48 11
b) Tọa độ của x trên cơ sở {u1, u2, u3} là [x] 121 u = ,
, − 5 . A−1(AB)10A. 7 7 7 5.32. x2 = . 6.1 các 2 . gi N á ếu trị rA i ê có ng ba củ ag iá 3 tr
ị riêng thực phân biệt là λ , λ , λ là 3 3 3 1 2 3 thì 4 6.13. Nếu A
λ1, λ2, λ3 và là ba số thực phân biệt. 9
A có ba giá trị riêng thực phân biệt là λ 361
1, λ2, λ3 thì 5.33. x2 .
các giá trị riêng của A5 − A4 + 4A là f (λ 4 = 5.34 49
1), f (λ2), f (λ3) với
f (x) = x5 − x4 + x. Do f (x) đồng biến nên f (λ1), f (λ2), f (λ3)
. Có thể lựa chọn một cơ sở thông thường {e1, e2} của M với
là ba số thực phân biệt.
e1 = (2, 1, −2, 0, 1), e2 = (−9, −8, 12, 5, 0). Trực chuẩn hóa hệ
6.14. Nếu A có các giá trị riêng thực là λ
{e1, e2} ta thu được một cơ sở trực chuẩn {w1, w2} của M
1, λ2, . . . , λn >
0 thì ma trận A3 + 3A − 5A−1 có các giá trị riêng là 1 1 3 −1 với w1 = √
(2, 1, −2, 0, 1), w2 = (1, −3, 2, 5, 5).
f (λ1), f (λ2), . . . , f (λn) với f (x) = x + 2x − 3x . Do f (x) 10 8
đồng biến trên (0, ∞ + 5.35. ) nên f (λ
a) Sinh viên tự giải.
1), f (λ2), . . . , f (λn) là n giá trị riêng phân biệt.
b) Thực hiện tương tự bài 5.34.
6.15. det(A3 + 3A) = 2280.
5.36. (x, y, z) = ± 1 (2, −1, 2).
6.16. det B = 181002(2100 − 2 1)(31002− 3 1)2.
5.37. (x, y, z, t) = ± (1, 1, 1, 1).
6.17. D = n!.
5.38. Bước 1: Chỉ ra hệ { u1, u }
2 là hệ trực chuẩn nên tồn HD: Cộng hàng 1 vào các hàng 2, 3, . . . , n, ta thu được định
tại cơ sở trực chuẩn của R4 chứa hệ { u1, u2}
. Bước 2: Xét thức tam giác.
tất cả các véc tơ x ∈ R4 sao cho x ⊥
u1, x ⊥
u2 và chỉ ra 6.18. D = 1.
x = (x4, x3, x3, x4). Chọn a1 = (1, 1, 1, 1) ứng với việc gán x3 = HD: Ký hiệu định thức là Dn. Bước 1, biến đổi định thức theo
x4 = 1 thì a1 ⊥ u1, a1 ⊥ u2. Tiếp theo chọn x = (x4, x3, x3, x4)
thứ tự sau: lấy hàng n trừ hàng (n − 1), hàng (n − 1) trừ hàng
sao cho x ⊥ a1 và ta thu được x = a2 = (1, −1, −1, 1). Chuẩn (n − 2), . . ., lấy hàng 2 trừ hàng 1. Lấy kết quả thu được khai a1 a2
hóa hệ {a1, a2}: u3 = , u4 =
thì hệ {u1, u2, u3, u4}
triển theo cột 1. Bước 2, biến đổi định thức theo thứ tự sau: ∥a1∥ ∥a2∥
lấy cột (n − 1) trừ đi cột (n − 2), lấy lấy cột (n − 2) trừ đi cột
chính là cơ sở trực chuẩn cần xây dựng.
(n − 3), . . ., lấy cột 2 trừ cột 1. Đến đây ta thu được Dn − 1 ,
5.39. Tương tự bài 5.38.
nghĩa là Dn = Dn −1 .
5.40. Biến đổi đồng dạng đưa ma trận A về ma trận đường 6.19. Hãy chỉ ra trace(AB) = trace(BA) với mọi A, B vuông
chéo và ma trận trực giao được lựa chọn để sử dụng tương ứng cùng cỡ. Từ đó chỉ ra được trace(AB −BA) = 0 ̸= trace(I) = n là
nên AB − BA ̸= I. 1 0 0 √√ √
6.20. Hãy chỉ ra rằng nếu M là ma trận vuông và r(M ) = 1 1 − 3 3 2 2 1 T −1AT = và T = .
thì M 2 = (trace(M ))M , sau đó sử dụng trace(AB − BA) = 0.
6.21. Hãy chỉ ra rằng r(AB) = 2 và (AB)2 = 9AB. Sử dụng 0 1 0 √ 0 0 13 6 √
r(AB) = 2 để chỉ ra r(BA)
≥ r((AB)2) = 2 và khẳng định 0 − 2 2
được BA là ma trận khả nghịch. Sử dụng (AB)2 = 9AB để
6. Một số bài tập nâng cao
chỉ ra (BA)3 = 9(BA)2. Nhân (BA)−2 vào hai vế đẳng thức
6.1. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
(BA)3 = 9(BA)2 thì thu được kết quả.
6.2. Sử dụng các biến đổi sơ cấp để rút nhân tử chung (a+b+c)
6.22. Nếu x = 0 thì det(xA + yB) = det(yB) = y3 det B = 0.
ra ngoài định thức ba lần để thu được (a + b + c)3 bên ngoài Nếu x ̸= 0 thì det(xA + yB) = x3P (t) trong đó t = y và x
định thức. Sau đó khai triển định thức sẽ thu được nhân tử P (t) = det(A + tB) là đa thức bậc 3. Theo giả thiết P (0) =
còn lại của vế phải là 2abc.
P (1) = P (−1) = 0 nên P (t) phải có dạng P (t) = αt(t2 − 1) với
6.3. det A = (a2 + b2 + c2 + d2)2.
α là hằng số. Tiếp theo α = lim 1 P (t) = lim det(1 A+B) =
HD: Thực hiện phép nhân ma trận AT A. Sử dụng kết quả phép det t→∞ t3 t→∞ t
nhân để thu được (det A)2 = (a2 + b2 + c2 + d2)4 và suy ra rằng
B = 0. Từ đó ta có P (t) = 0 với mọi t.
det A = k(a2 + b2 + c2 + d2)2 với k2 = 1. Thay b = c = d = 0 6.23. Tương tự bài 6.10. và 6. o 4. h ai vế
1 đẳng thức này để khẳng định 1 −1 k = 1. 6.24. n = 2013 3. HD: Đặt =
4 thì phương được cho là + = x x x 2 M D = 1 + + + . . . + (a − x) 1 1 − X2015 Xn nếu a 1 − x a2 − x an − x i 1≤i≤n
2I + 4028M . Chỉ r a X thỏa mãn phương trình MX = XM và
x ̸ = ai với mọi i = 1, 2, . . . , n. Nếu x = ai, i = 1, 2, . . . , n
giải phương trình này để thu được X = αI + βM với α, β∈ Z.
thì D = x(a1 − x) . . . (a −
i 1 − x)(ai+1 − x) . . . (an − x).
Sử dụng M 2 = θ để chỉ ra X2015 + Xn = (α2015 + αn)I +
6.5. Tính toán trực tiếp.
6.6. Đặt A = (aij)m×n. Khi đó kết quả phép nhân hàng i của
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 17
(2015α2014 + nαn−1)βM . Từ đó quy về hệ phương trình
Bài 5. Trong không gian Euclid R4 cho hệ I
{u1, u2, u3, u4} với
α2015 + αn = 2
(2015α2014 + nαn−1)β = 2048
u1 = (1, 1, 1, 2), u2 = (2, 1, 1, −1),
Chỉ ra α là ước của 2 để giải phương trình thứ nhất và tính
u3 = (3, 2, −1, 3), u4 = (5, 2, 5, −4).
ra nghiệm α = 1. Thay α = 1 vào phương trình thứ hai thì Hãy chỉ ra rằng nếu phần tử
thu được (2015 + n)β = 4048. Dựa vào n + 2015 là ước số của
x ∈ R4 nào đấy thỏa
4048 ta khẳng định được n + 2015 = 4048 và suy ra β = 1. Từ
mãn x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 thì ta phải có x ⊥ u4. 3 4 1 2 0 − ĐỀ SỐ 2 đó 1
ta tính được n = 2013 và hơn nữa tính được X = .
Bài 1. Tính hạng ma trận sau theo x
MẪU ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê trân trọng giới thiệu x 3 3 x
một số mẫu đề thi kết thúc học phần môn Đại số tuyến tính.
A = 3 x x x .
Để có sự chuẩn bị tốt cho kỳ thi sinh viên cần lưu ý các điểm x x x x sau:
Bài 2. Giải hệ phương trình
1. Sinh viên học ĐSTT 2 tín chỉ chỉ làm bốn câu đầu tiên.
Thời gian làm bài đối với mỗi đề thi là 70 phút.
3x1 − x2 + 5x3 − x4 = 3
2. Sinh viên học ĐSTT 3 tín chỉ chỉ làm cả 5 câu. Thời gian
2x1 + x2 + x3 + 4x4 = 6
làm bài đối với mỗi đề thi là 90 phút.
2x1 − x2 + 4x3 − 2x4 = 2
3. Không được mang tài liệu trong phòng thi. Không mang
điện thoại vào phòng thi.
Bài 3. Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ với
4. Mang thẻ sinh viên khi đi thi, mang máy tính (nếu cần)
{ a1, a2, a3, a4 }
a1 = (1, 1, −
1), a2 = (2, 1, 3) a3 =
để sử dụng trong giờ thi.
(1, 4, 2), a4 = (5, 0, 2). Hãy tìm tất cả các biểu diễn
tuyến tính có thể có của
5. Sinh viên không được nháp vào đề thi, phải nộp lại đề thi
a4 trên hệ {a1, a2, a3, a4}.
cùng bài làm khi hết giờ làm bài. 3 1 − 1 ĐỀ SỐ 1
Bài 4. Cho ma trận A = 1 3 −1 . A B 5 4 −5 −3 5
Bài 1. Cho ma trận A = .
a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A. −2 3
b) Ma trận A có chéo hóa được không? Tại sao? Nếu a) Tính A215. 512 215 251
được hãy tìm ma trận T và ma trận đường chéo B để b) Tính det(A + 4A + 2A ).
cho B = T −1AT . Bài 2. Giải
và biện luận hệ phương trình
Bài 5. Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ x =
x − x + 2x − 1 2 3 x4 = 4
(2, 4, −5, 6) và cho M là không gian con hai chiều
2x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = 2
có một cơ sở gồm 2 véc tơ u1 = (2, 1, 3, −1), u2 =
4x1 − x2 + 7x3 + λx4 = 8
(1, −1, 1, 2). Hãy tìm các véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈
Bài 3. Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1, a2, a3} M ⊥ sao cho ta có đẳng thức x = u + v. với ĐỀ SỐ 3
Bài 1. Cho hai ma trận
a1 = (1, 1, 3, −2), a2 = (2, 1, 2, 1), a3 = (1, 3, 3, 2).
a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3} là hệ độc lập tuyến 1 2 2 1 5 3 A = 2 3 −2 tính. , B = −1 3 1 . 1 1 1 2 −1 2
b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) của phần tử
x = (4, 0, 4, −2) qua hệ {a1, a2, a3}.
a) Tính nghịch đảo của ma trận A.
Bài 4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định b) Giải phương trình AX = B. bởi công thức
Bài 2. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo
f (x) = (3x1 + x2 + 2x3, 2x1 + 2x2 − 3x3, 3x1 + x2 − x3) tham số λ
với mọi x = (x , x , x ) ∈ R3. Hãy tìm ma trận của f
x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 2 2 + 3 + = 5 1 2 3 trên cơ sở {a x
1, a2, a3} của R3 với 1
x2 x3 − x4 3 1 x + 5 2 x + 3 3 x + 4 4 x = 8 6 + 10 + = 15
a1 = (2, 1, 4), a2 = (1, −1, 1), a3 = (2, 2, 1). x1 x2 λx3 + 5x4
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023 18
Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ
Bài 3. Trong không gian tuyến tính R4 cho không a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A. gian con
b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay
không. Nếu có hãy chỉ ra ma trận chuyển T và ma
M = {(x1, x2, x3, x4)|x1 + x2 − 2x3 + 4x4 = 0}
trận đường chéo B để cho B = T −1AT .
và phần tử w ∈ M với w = (1, 1, 3, 1). Hãy xác định Bài 5. Trong không gian Euclid R4, cho các véc tơ u = (3, − 2, −
2, 11), v1 = (2, −
một cơ sở và số chiều của M và cho biết tọa độ của
1, 3, 3), v2 = (1, 1, −
w trên cơ sở được đưa ra. 1, 2).
a) Hãy xác định các số λ, µ sao cho w = u+λv1 +µv2
Bài 4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R −→ 3 R3 xác định trực bởi công thức
giao với các véc tơ v1, v2.
b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ h {
ệ v1, v2, } w theo
f (x) = (4x thủ tục Gram–Schmidt.
1 +3x2 −3x3, x1 −2x2 −3x3, x1 +3x2 +2x3), với ĐỀ SỐ 5
mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 .
a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc Bài 1. Giải phương trình của R3 x 1 1 x
b) Xác định x ∈ R3 để f (x) = f (2, −1, 3). -x x x x-
Bài 5. Bằng phương pháp trực chuẩn hoá Gram– x = 0. 2 x 2
Schmidt hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn của không -2 2 - x x
gian R3 từ cơ sở đã cho sau đây:
Bài 2. Giải hệ phương trình
a1 = (2, 2, 1); a2 = (4, 10, −1); a3 = (2, 7, 3).
x + 2x + 2x − 3x − 1 2 3 4 4 5 x = 11
Tính tọa độ của phần tử x = (1, 8, 9) trên cơ sở nhận được.
3x1 + x2 + 3x3 − 9x4 − 2x5 = 14
2x1 − 2x2 + 5x3 − 6x4 + 4x5 = 13 ĐỀ SỐ 4
Bài 1. Cho hai ma trận
Bài 3. Hãy tìm tọa độ của véc tơ x = (3, 10,− 2, 3)
trong cơ sở dưới đây của không gian tuyến tính R4:
a1 = (1, 1, −1, 2); a2 = (2, 3, 1, 1); 2 1 1 1 2 3 A = 3 −2 1 , B = 3 −2 1 .
a3 = (−1, 2, −2, 1); a4 = (1, 1, 1, −1). −2 1 2 1 4 −2
Bài 4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định
a) Tính det(2A3B2 + 3A2B3). bởi công thức
b) Tính hạng của ma trận A + 2B.
f (x) = (4x1 +x2 −x3, 2x1 +3x2 −x3, −x1 −3x2 +2x3),
Bài 2. Cho hệ phương trình
với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3.
x1 + x2 + x3 + x4 = 4
a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc
3x1 + x2 − x3 − 2x4 = 6 của R3. 2x 4x + x 2x = 5 − − 1 2 3 4
b) Hãy chỉ ra rằng ma trận của f trên cơ sở mới 2x {a
1 + 6x2 − x3 + x4 = λ
1, a2, a3} của R3 với
Xác định λ để hệ trên có nghiệm. Giải hệ với λ tìm
a1 = (1, 1, 4), a2 = (3, −1, 5), a3 = (−1, −1, 1) được.
là một ma trận đường chéo.
Bài 3. Trong không gian tuyến tính R3 cho hai hệ cơ Bài 5. Trong không gian Euclid R4 cho hệ cơ sở
sở (a) = {a1, a2, a3} và (b) = {b1, b2, b3} với 1
trực chuẩn {u1, u2, u3, u4} với u1 = (4
5 , 2, 1, 2), u2 =
a1 = (2, 1, −1), a2 = (3, 1, 2), a3 = (2, 1, 4), 1 1 ( − b
1, 2, 4, −2), u3 = (2, −4, 2, −1). Hãy xác định
1 = (1, 2, 3), b2 = (−1, 0, 2), b3 = (5, 1, 2). 5 5
tất cả các giá trị có thể có của u4.
Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (a) sang hệ (b). 3 − 1 2
Bài 4. Cho ma trận A = 1 1 2 . 3 −1 5
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023
Tài liệu liên quan:
-
Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
28 14 -
Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
47 24 -
Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
21 11 -
Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
21 11 -
Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
25 13