Đề cương môn giải tích 2- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
Chúng tôi cũng đưa ra những khái niệm cơ bản
mang tính chất giới thiệu về chuỗi hàm, phần quan trọng mà chúng tôi muốn nhấn mạnh ở
đây là khảo sát sự hội tụ cũng như khai triển một số hàm thường gặp thành chuỗi lũy
thừa.
Đề cương môn giải tích 2- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
Tài liệu gồm 32 trang , giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao.
Môn: Giải tích 2(GT2101) 46 tài liệu
Trường: Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng 1.7 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Chương 6
CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA
Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản thường
được sử dụng vế chuỗi số. Một số tính chất cơ bản về chuối số dương, chuỗi đan dấu như
tiêu chuẩn Leibnitz cũng được giới thiệu. Chúng tôi cũng đưa ra những khái niệm cơ bản
mang tính chất giới thiệu về chuỗi hàm, phần quan trọng mà chúng tôi muốn nhấn mạnh ở
đây là khảo sát sự hội tụ cũng như khai triển một số hàm thường gặp thành chuỗi lũy thừa. 6.1. Chuỗi số
6.1.1. Các khái niệm cơ bản 1. Định nghĩa
Cho dãy số vô hạn (u ) , tổng vô hạn n nZ +
u1 + u2 + u3 + ... + un + ... được gọi là chuỗi số, ký hiêu là: un n =1
un được gọi là số hạng thứ n. 2. Dãy tổng riêng
Đặt s = u + u +u +... + u u n 1 2 3
n được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số n n =1 (s )
được gọi là dãy tổng riêng của chuỗi số un . n nZ + n =1
3. Chuỗi số hội tụ, phân kỳ u Chuỗi số
n được gọi là hội tụ nếu tồn tại giới hạn Lim s = s và s n được gọi là tổng n =1 n →
của nó. Ta viết: u n = s . n=1
Nếu giới hạn Lim s n không tồn tại hay bằng thì chuỗi số u n được gọi là phân kỳ n → n =1
và khi đó chuỗi số không có tổng. 4. Phần dư thứ n
Trong trường hợp chuỗi số un hội tụ có tổng bằng S thí hiệu S-Sn được gọi là phần n =1
dư thứ n của chuỗi số un , ký hiêu là: rn n =1
Vậy, dưới dạng ngôn ngữ “ε-N”, ta có: 122
Chuỗi số un hội tụ 0, N : n N s − s n n =1
0, N : n N r n 5. Các ví dụ
1) qn =1 + q + ... + qn + ...(tổng cấp số nhân vô hạn) n=0
Ta có tổng riêng S = 1 + q + ... + qn . Xét các trường hợp sau n a) q ≠ 1 ,
Ta có S = 1 − qn+1 q 1 , suy ra lim S n = n 1 1 − q n→ , q 1 1 − q b) q = 1
Ta có S = 1 + 1 + ... + 1 = n Do đó: lim S = n +. n n→ c) q = -1 1, n = 2k +1
Ta có S = 1−1 +1− ... =
. Do đó lim S không tồn tại n 0, n = 2k n→ n Vậy qn = 1
, hội tụ, nếu | q | 1 . n=0 1− q
Chuỗi số qn phân kỳ nếu | q | 1 thì chuỗi phân kỳ n=0 1 2) Cho chuỗi số
n=1 n(n + 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 s = + + + ... +
= (1− ) + ( − ) + ( − ) + ... + ( − ) = n 1.2 2.3 3.4 n(n +1) 2 2 3 3 4 n n +1 = 1 1 − n + 1
lim s = 1 Vậy, chuỗi số đã cho hội tụ và có tổng bằng 1. n n →
6.1.2. Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy 1. Tiêu chuẩn Cauchy
Chuỗi số un hội tụ 0, N 0 : p q N s − s . p q n =1 2. Ví dụ 123
Dùng tiêu chuẩn Cauchy, chứng tỏ rằng chuỗi số 1 phân kỳ. n n=1 Giải 1
= : N , p = 2N q = N N : s − s = s − s = 3 p q 2 N N 1 = 1 1 1 + 1 + ... + 1 + 1 + ... + N 1 = = = N +1 N + 2 2N 2N 2N 2N 2N 2 3
6.1.3. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ 1. Định lý
Nếu chuỗi số un hội tụ thì lim u = 0 . n n =1 n→ Chứng minh:
Gọi s là tổng của chuỗi số hội tụ un s ⎯n⎯→⎯ → n s n =1 Suy ra u = n sn − s
⎯⎯n→⎯⎯→ s − s = 0 n−1 2. Hệ quả
Nếu lim u 0 thì chuỗi số un phân kỳ. n n→ n =1 Ví dụ n n 1 Chuỗi số phân kỳ vì u =
→ 0 khi n → n n=1 2n +1 2n + 1 2 3. Chú ý
un ⎯n⎯→⎯⎯→ 0 chỉ là điều kiện cần mà không đủ để chuỗi số un hội tụ. n =1 1
Chẳng hạn, xét chuỗi số n =1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 n s = + + + ... + + + + ... + = = n n 1 2 3 n n n n n n Mà Lim n = 1
+ Lim s = + n . Vậy, chuỗi số phân kỳ. n → n→+ n =1 n
6.1.4. Tính chất cuả chuỗi số hội tụ 1. Tính chất 1 124
Nếu chuỗi số u v
n hội tụ có tổng là s, chuỗi số
n hội tụ có tổng là s’ thì các chuỗi n=1 n =1
(un vn ) cũng hội tụ và có tổng là s ± s’ n =1 Chứng minh:
Gọi sn và s’n lần lượt là các tổng riêng thứ n của các chuỗi số un và vn . n=1 n =1
Khi đó, lim s = s và lim s/ = s/ lim (s + s/ ) = s + s/ đ.p.c.m n n n→ n n→ n n→ Ví dụ
3n + 4n
Tính tổng của chuỗi số sau: n =1 12n Giải Ta có 1 1 n 1 ( ) = 4 = và 4 1 3 n=1 1− 4 1 n 3n + 4n 1 1 1 1 5 (1) = 3 = 1 = n
( )n + ( )n = + = 1 2 n=1 3 1− n=1 12 n=1 4 n=1 3 3 2 6 3 2. Tính chất 2
Nếu chuỗi số un hội tụ có tổng là s thì chuỗi số kun cũng hội tụ và có tổng là ks. n=1 n =1 Chứng minh:
Gọi sn lần lượt là tổng riêng thứ n của chuỗi số: un n=1
Lim ks = k Lim s = ks đ.p.c.m. n n n→ n→ 3. Tính chất 3
Tính hội tụ hay phân kỳ của 1 chuỗi số không thay đổi khi ta ngắt bỏ đi khỏi chuỗi số
đó 1 số hữu hạn các số hạng đầu tiên. Chứng minh:
Nếu bớt đi từ un m số hạng đầu tiên, ta được chuỗi số un n=1 n = m+1 125 Gọi s
n và s’k lần lượt là các tổng riêng thứ n và thứ k của các chuỗi số un và un n=1 n = m +1 s/ = s − s k m + k m u m+k → / k →
* Nếu chuỗi số n hội tụ s
⎯⎯⎯⎯⎯→ s s ⎯⎯⎯⎯→ s − sm n=1 m+k k
chuỗi số un hội tụ. n=m+1
* Nếu chuỗi số un phân kỳ sm + k không có giới hạn khi k → và do sm n=1
hữu hạn s’k không có giới hạn khi k → chuỗi số un phân kỳ. n = m+1 Ví dụ 1
Xét sự hội tụ của chuỗi số n=1 n + 3 Giải
Chuỗi này suy từ chuỗi điều hoà bằng cách ngắt bỏ đi 3 số hạng đầu tiên. Mà chuỗi 1
điều hoà phân kỳ nên chuỗi cũng phân kỳ. n=1 n + 3 Bài tập
Tính tổng của các chuỗi sau 1 1) 1 3) 4) 2n + 1 2 2 2
n=1 n(n + 4) n =14n − 1
n =1 n (n + 1) 1 2n + 5n 1 2) 5) 6)
n =1 n(n + 1)(n + 2) n =1 10n n=1 4n 2 − 1
6.2. Chuỗi số dương 6.2.1. Định nghĩa
Chuỗi số dương là chuỗi số un , mà u 0, n 1 n n=1 Ví dụ 1 là chuỗi số dương. n=1 n +1.3n 6.2.2. Định lý
Chuỗi số dương hội tụ khi và chỉ khi dãy (sn) bị chặn trên. Chứng minh: 126
Vì un hội tụ nên dãy (sn) hội tụ. Mà vì u 0, n 1 , suy ra dãy (s n n) tăng, do đó n=1
(sn) bị chặn trên. Ngược lại nếu (sn) bị chăn trên, thì tồn tại dưới hạn, vì dãy (sn) tăng, do
đó chuỗi số un hội tụ. n=1 Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau: 1 1) 2 n=1 n 1 1 1 1 Ta có 1 1 S = + + ... + + + = 2 − 2 n ... + 1 12 22 n 2 1 1.2 (n − 1)n n
Suy ra sn bị chặn. Vậy chuỗi trên hội tụ. 2) 1 n=1 n 1 Ta có 1 1 1 n S = + 1 + + + = = n ... + 1 ... + n 1 2 n n n n n
Suy ra sn không bị chặn. Vậy chuỗi phân kỳ.
6.2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ 1. Tiêu chuẩn so sánh a. Định lý Giả sử u v
n và vn là 2 chuỗi dương thoả un
n n n0 , khi đó n =1 n =1
* Nếu chuỗi v u
n hội tụ thì chuỗi n hội tụ. n =1 n =1 * Nếu chuỗi u v
n phân kỳ thì chuỗi n h phân kỳ. n=1 n=1 Chứng minh:
Do tính chất 3 của chuỗi số hội tụ, có thể giả sử n0 = 1, nghĩa là un vn n
* Gọi sn và sn lần lượt là tổng riêng thứ n của các chuỗi un và vn n =1 n =1
sn ≤ s’n n (1) 127
Nếu chuỗi vn hội tụ và có tổng là s’, nghĩa là Lim s/ = s/ n n =1 n→
s’n ≤ s’ n (2) Từ (1) và (2) s
n s/ n Chuỗi un hội tụ. n =1
* Nếu chuỗi un phân kỳ sn ⎯⎯⎯→+ n→ (3) n =1
Từ (3) và (1) suy ra: s/ ⎯⎯⎯→+ , nghĩa là chuỗi vn phân kỳ. n n→ n =1 b. Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: 1 1) n=1 n.2n 1 Do 1 n n.2n 2n 1 mà chuỗi
n=12 n hội tụ chuỗi đã cho hội tụ. 1 2) Chuỗi số phân kỳ vì n=2 n − 1 1 1 1
n 2 mà chuỗi phân kỳ n n − 1 n = 2 n 2n
3) n=1 7n + 2n 2n 2 Ta có: 0
( )n , n 1 7n + 2n 7 2 n 2n
Mà chuỗi hội tụ nên chuỗi hội tụ. n=1 7 n n=1 5 + n ln n 4) n=2 n Ta có:
ln n 1 , n 3 n +1 n +1 128 ln n
Mà chuỗi 1 phân kỳ nên chuỗi phân kỳ. n=2 n +1 n=2 n +1
2. Tiêu chuẩn tương đương u
Giả sử u và v n = n
n là 2 chuỗi dương thoả lim k n =1 n =1 n→ vn
1) Nếu 0 k + thì hai chuỗisố un và, v đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ. n =1 n n=1
2) Nếu k = 0. và chuỗi số vn hội tụ thì un hội tụ. n=1 n=1
3) Nếu k = + và chuỗi số vn phân kỳ thì un phân kỳ. n=1 n=1 Chứng minh u
1) Từ lim n = k ta có u 0, n n − 0
0 : n n0 k . n→ v v n n u
Do đó n + k suy ra u ( + k )v , n n . n n 0 v n Nếu v + k)v
n hội tụ nên chuỗi (
n hội tụ. Theo định lý ở trên ta suy ra chuỗi n=1 n=1 un hội tụ. n=1 u
Nếu v phân kỳ thì ta cũng làm tương tự, tuy nhiên chú ý từ lim n = k suy ra n n→ n=1 vn v 1 1 n u lim
= . Vì 0 k + nên 0 + . Do đo nếu chuỗi n hội tụ thì t suy ra n→ u k k n n=1
chuỗi v hội tụ. Vậy u phân kỳ. n n n=1 n=1
Vậy 2 chuỗi u , v đồng hội tụ hoặc phân kỳ. n n n=1 n=1
2) Giả sử k = 0 và v hội tụ. n n=1 129 Khi đó từ giả thiết u
lim n = 0 ta có 0, n 0 : un , n n u v , n n . 0 0 n n 0 n→ v vn n
Vì v hội tụ, nên v hội tụ, do đó u hội tụ. n n n n=1 n=1 n=1
3) Chứng minh hoàn toàn tương tự như mục (2). Giả sử k = + và vn phân kỳ. Từ n=1 u v
lim n = + suy ra lim n = 0 . n→ v n→ u n n
Do đó un phân kỳ, vì nếu un hội tụ thì theo (ii) suy ra v hội tụ mâu thuẫn. n n=1 n=1 n=1 Chú ý
Thường ta so sánh với chuỗi số quan trọng chuỗi cấp số nhân và chuỗi điều hoà. Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: 2n + n2 +1 1)
n=1 5n + 2n + 2 2n + n2 + 1 2 Ta có u =
0 , với mọi n 1. Ta sẽ so sánh với chuỗi số v = ( )n n n 5n + 2n + 2 n=1 n=1 5 hội tụ. Dễ thấy rằng u
lim n = 1 , do đó chuỗi số đã cho hội tụ. n → vn ln n 2) n=1 n ln n 1 Ta có u =
, với mọi n 3 . n n n
Mà chuỗi 1 phân kỳ ( ví dụ ở trên), nên chuỗi đã cho phân kỳ. n=1 n 3) 3n +1 n=1 n2 n + n + 2 3n +1 Ta có u =
0 , với mọi n 1. n
n2 n + n + 2 130 1 u Chọn v =
0 . Ta có. Do lim n = 3 chuỗi v n
n hội tụ, nên n + 1 hội n n n → vn n=1
n=1 n 3 + n + 2 tụ.
3. Tiêu chuẩn D/ Alembert
a. Định lý D/ Alembert u
Nếu chuỗi số dương u n +1 n thoả Lim
= D thì chuỗi số un sẽ hội tụ khi D 1 và n =1 n → un n =1 phân kỳ khi D 1
Khi D = 1 Chuỗi số dương un có thể hội tụ hoặc phân kỳ. n =1
Khi D =+ chuỗi số dương un phân kỳ. n =1 Chứng minh: * D 1
1 - D > 0 Chọn 1− D D + 1 un+1
lim un+1 = D n : n n − D 0 0 n →+ u u n n u ( D + )u n n n +1 n 0
n = n + 1 : u (D + )u 0 n + 2 n +1 0 0
n = n + 2 : u (D + )u (D + )2u 0 n +3 n + 2 0 0 n +1 0
n = n + k : u
(D + )k u 0 n0 +k +1 n0 +1 ... Mà chuỗi số
(D + )k u n hội tụ do 0 D + 1 k =0 0 +1 Chuỗi số u
n hội tụ Chuỗi số un hội tụ. n= n n=1 0 +1 * D 1
Chọn = D − 1 hay D − = 1 u u
Lim n+1 = D n : n n n+1 − D 0 0 n → + un un u
n+1 D − = 1 n n
u n n Limu 0 0 un +1 n 0 n u n→ n 131
chuỗi số dương un phân kỳ. n =1 u * n +1
Khi D = + : Với M=1, N : n N 1 u
u n N u n+`1 n n u
u ⎯ n⎯→⎯→ 0 chuỗi số dương n phân kỳ. n n =1 b. Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau
(n + 1)! 1) = u 2n n n=1 n=1 u
lim n+1 = lim[ (n + 2) 2n ] = lim n + 2 = n→ u n→ 2n+1 (n + 1)! n→ 2 n (n + 1)! Chuỗi số phân kỳ. n =1 2n n 2) = u 5n n n=1 n=1 u
lim n+1 = lim n +1 5n . = lim n +1 = 1 1 Chuỗi số n hội tụ. n→ u n→ 5n+1 n n→ 5n 5 n =15n n 2n 3) n=1 n! 2n 2n+1 Ta có u = ,u = . Do đó n
n! n+1 (n +1)! u 2 n+1 =
→ 0 , khi n → . Vậy chuỗi đã cho hội tụ. u n +1
n n3 − n2 +1 4)
n=1 2n + 3n + ln n n3 − n2 + 1 n3 Ta có u = ~ = v n
2n + 3n + ln n 2n n v (n + 1)3 2 n 1 n +1 → 1 . = v . n 2 n+1 n3 2
Do đó chuỗi vn hội tụ n=1 Chú ý 132
Khi D = 1 thì chưa có kết luận gì, nghĩa là chuỗi đó có thể hội tụ, cũng có thể là phân kỳ. en n!
Chẳng hạn, xét chuỗi n=1 nn n Ta có un+1 = e
→ 1khi n → . Vì 1 1 + u
e với mọi n 1nên u u , n+1 n n n 1 n 1 + n en n!
với mọi n ≥ 1. Đặc biệt u u = e , suy ra lim u e . Do vậy chuỗi phân kỳ. n 1 n n n n=1
Vậy chuỗi đã cho hội tụ.
4. Tiêu chuẩn Cauchy
Cho chuỗi số dương u . Giả sử lim n u = L . Khi đó n n n→ n=1
1) Nếu L < 1 thì un hội tụ; n=1
2) Nếu L > 1 thì un phân kỳ. n=1 Chứng minh:
Giả sử: lim n u = L . n n→
- Khi L < 1. Lấy r sao cho L < r < 1. Khi đó n0 0 :
r, n n 0 , nghĩa là
u r n , n n . Vì chuỗi n 0
r n hội tụ nên chuỗi un hội tụ. n=n n=1 0
- Khi L > 1. Ta có n 0
0 : n un 1, n n0 , tức là un 1, n n0 . Do đó un
không dần về 0 khi n → . Vậy chuỗi u phân kỳ . n n=1 Chú ý
Khi L = 1 thì chưa có kết luận gì, nghĩa là chuỗi đó có thể hội tụ, cũng có thể là phân kỳ. Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi sau: 133
2n + 1 n 2 1)
hội tụ, vì l = 1 n=1 3 n + 2 3
n +1 n2 2)
n phân kỳ, l = e 1 n=1
5. Tiêu chuẩn tích phân Cauchy a. Định lý
Xét chuỗi số dương u f (n) = u
n . Đặt hàm số f(x) thỏa n , n 1 n=1
Giả sử hàm f(x) đó liên tục, dương, giảm trên [1;+) . +
Khi đó chuỗi u hội tụ hội tụ. n
f (x)dx n=1 1 Chứng minh:
Theo giả thiết, ta có với mọi k, hàm f(x) giảm trên đoạn [k, k+1] nên u
= f (k + 1) f (x) f (k ) = u k +1
k , x [k, k + 1] , theo định lý trung bình tích k +1 phân ta có u
f (x)dx u k +1
k . Do đó với mọi k nên ta có k 2 3 n u
f (x)dx u
f (x)dx u 2
f (x)dx u1 , u3 2 , ..., un n−1 , 1 2 n−1 Suy ra: 2 3 n n
u + u + ... + u 2 3 n
f (x)dx + f (x)dx + ... + f (x)dx = f (x)dx 1 2 n−1 1
u + u + ... + u 1 2 n −1 Do đó: n s − u n 1
f (x)dx sn −1 1 n Đặt I
s − u I , I s
n = f (x)dx . Ta có, n 1 n n n −1 (*) 1
( ? ) Giả sử chuỗi un hội tụ. n=1
Theo định lý mục 2, suy ra dãy tổng riêng (sn-1) bị chặn. Do đó từ bất đẳng thức (*)
suy ra dãy {I n } cũng bị chặn. Hơn nữa lim I dễ thấy dãy {I n
n }tăng. Do vậy tồn tại, do n→ 134 +
đó f (x)dx hội tụ. 1 +
(? ) Giả sử f (x)dx hội tụ. Khi đó {I n } bị chặn. Từ bất đẳng thức (*) suy ra {S } n 1
bị chặn, cho nên chuỗi u hội tụ. n n=1 b. Ví dụ
1) Xét sự hội tụ của chuỗi 1 , R (chuỗi Riemann) n=1 n 1
- Nếu α 0 : đặt f (x) =
. Kiểm tra thấy f (x) thoả tất cả các điều kiện của định lý. x + 1
Ta biết rằng tích phân suy rộng dx hội tụ khi α 1 và phân kỳ khi 1 1 x 1
- Nếu α 0 thì lim u = lim 0 n n
Vậy chuỗi 1 , R hội tụ khi α 1 và phân kỳ khi α 1 n=1 n ln n 2) 3 n=1 n 2 1
Ta có u = ln n 1 , với mọi n 3 . Mà chuỗi
phân kỳ, nên chuỗi đã cho n 3 3 n2 n2 2 n=1 n 3 phân kỳ. 3 n 4 − 1 3) n=1 n n + 1 4 3 n 4 − 1 n 3 1 1 3 n4 −1 Ta có ~ = . Vì chuỗi phân kỳ, nên chuỗi 1 1 1 phân kỳ. n n + 1 n=1 n 6 n=1 n n + 1 n.n 2 n 6 ln n 4) n =3 n Giải ln x
Dùng tiêu chuẩn tích phân, xét hàm số f (x) = x 135 D = (0,+) , 1 − ln x f / ( x) =
, f / (x) = 0 x = e f x2 Bảng xét dấu đạo hàm x 0 e 3 + f / + 0 - f / f
Hàm f (x) liên tục, đơn điệu giảm, dương trong [3, + ) + ln xdx + + ln2 x b Mặt khác,
= ln xd (ln x) = lim x
b→+ ln xd (ln x) = lim b→+ 3 3 3 2 3
ln2 b − ln2 3 ln n Lim
= + . Vậy chuỗi phân kỳ. b → + 2 n =3 n 1 5)
n=2 n ln n
Xét hàm số f (x) = 1 = liên tục, dương trên
f (n) n 2 [2,+) và u x ln x n
f / (x) = − ln x + 1 0 x 1 f (x) giảm trên [2,+) x 2 ln 2 x + b dx d (ln x)
b lim ln ln b = ln ln 2 Mặt khác, = = lim [ x ln ln x ] = = + ln x lim
b→+ ln x b→+ 2 b→+ 2 2
Chuỗi đã cho phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân. Bài tập
Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau 1 3 n 1) n 2 4 n=1 2) n+1 n=1 n2 +2
1.4.9...n2 3)
1.3.5.7...(4n − 3) n=1 4) 5n + 3 ln n=1 5n 2 1 1 n 5) 1+ n n n=1 2 136 n 6) n=1 n3 + 2
6.3. Chuỗi số đan dấu - Chuỗi số có dấu bất kỳ 6.3.1. Chuỗi đan dấu 1. Định nghĩa
Chuỗi đan dấu là chuỗi số có dạng
u − u + u − ... 1 2 3
hay − u1 + u2 − u3 + ... , (1)
Trong đó u 0, n 1 n Ví dụ 1 1 1 − + − ... 2 3
Ta quy ước chỉ xét chuỗi đan dấu có dạng u − u + u − ... = (− 1)n−1 u . 1 2 3 n n=1 2. Định lý Leibnitz a. Định lý
Nếu dãy u ( n
là một dãy giảm và u → 0 khi n → thì chuỗi
−1)n−1 u hội tụ và n n n=1
(−1)n−1 u u . n 1 n=1 Chứng minh:
Để chứng tỏ dãy tổng riêng (sn) hội tụ ta chứng minh nó có 2 dãy con hội tụ (s2m) và (s2m+1)
Ta có s2(m+1) = s2m+2 =s2m + (u2m+1 - u2m+2 ) > s2m => (s2m) tăng Mặt khác, ta cũng có s
= u − (u − u ) + (u − u ) + (u − u ) + ...(u − u ) u 2(m+1) 1 2 3 4 5 6 7 2m 2m+1 1
Dãy (s2m) hội tụ về s ≤ u1
Chú ý rằng s2m > 0 m Ta lại có: s = s + u 2m +1 2m 2m +1
Do u → 0 u → 0 n 2m+1 s → s + 0 = s 2m +1
s → s 0, m : m m s − s 2m 1 1 2 m 137 s
→ s 0, m : m m s − s 2m+1 2 2 2m+1
Đặt N = max ( 2m , 2m + 1) 1 2
Khi đó, n N có 2 khả năng
* n = 2k 2m k m s − s 1 1 2k
* n = 2k + 1 2m2 + 1 k m2 s2k+1 = s
Vậy 0, N : n N sn − s (đ.p.c.m) b. Ví dụ 1
Xét sự hội tụ cua chuỗi đan dấu (−1)n−1. n =1 n Giải 1
u = ⎯⎯n→⎯⎯ → 0 và dãy (u ) n
đơn điệu giảm (u ) hội tụ thưeo Leibnitz n n n
và tổng s u1 = 1 c. Chú ý
Nếu chuỗi (1) thoả Leibnitz và hội tụ về s thì chuỗi
− (u1 − u2 + u3 − u4 + ...) hội tụ về -s
Như vậy nếu các giả thiết của định lý Leibnitz được thoả thì chuỗi đan dấu
(u1 − u2 + u3 − u4 + ...) hội tụ và tổng s của nó thoả s u1 .
d. Tính gần đúng tổng của chuỗi đan dấu hội tụ
Nếu chuỗi đan dấu (u1 − u2 + u3 − u4 + ...) thoả Leibnitz thì chuỗi phần dư thứ n u + u + ... n+1 n+2
cũng hội tụ theo Leibnitz và theo chú ý ở trên ta có: rn un+1
Theo định lý Leibnitz, ta chỉ biết chuỗi đan dấu hội tụ nhưng không rõ s bằng bao
nhiêu nên nảy sinh vấn đề ước lượng tổng s . Ta xem s ≈ s
n sẽ vấp phải sai số tuyệt đối là: s − s = r u n n n +1 Ví dụ 1
Trở lại chuỗi (−1)n −1. , nếu ta xem n =1 n s s 1 1 1 1
= 1 − + − + 0,5 + 0.33 − 0,25 + 0,2 0,78 5 2 3 4 5 1
Vấp phải sai số tuyệt đối là r u = 0,167 5 6 6
Thông thường ta gặp bài toán ngược lại 138
“ Phải chọn n tối thiểu bằng bao nhiêu để giá trị gần đúng sn của chuỗi đan dấu chính
xác đến δ ( nghĩa là sai số tuyệt đối không vượt quá δ)’’.
Áp dụng vào ví dụ trên, ta phải chọn n sao cho: r5 u6 1 1
Chẳng hạn = 0.001 , thế thì n phải thoả
n + 1 1000 n 999 n + 1 1000
Vậy, n tối thiểu là 999.
6.3.2. Chuỗi có dấu bất kỳ 1. Định lý
Nếu chuỗi số un hội tụ thì u hội tụ. n =1 n =1 n Chứng minh Gọi s u u
n và s’n lần lượt là tổng riêng thứ n của các chuỗi số và n , n =1 n n =1 /
nghĩa là s = u + u + u + ...u
s = u + u + u + ...u n 1 2 3 n và n 1 2 3 n
Trong chuỗi u , ký hiệu n =1 n s +
n là tổng của tất cả các số hạng dương trong n số hạng đầu tiên s −
n là tổng các giá trị tuyệt đối của tất cả các số hạng âm trong n số hạng đầu tiên. Ta có
s = s+ − s− và s/ = s+ + s− n n n n n n
Rõ ràng (s+ ) v à ( s − ) là những dãy tăng và s+ s/ , s− s/ (1) n n n n n n
Theo giả thiết, chuỗi số un hội tụ / s → s / s n
và / s/ n n (2) n =1
Từ (1) và (2) s+ s/ n, s− s/ n n n
Suy ra rằng các dãy số (s+ ) n và (s− )
n đều hội tụ (vì đều tăng và bị chặn trên.) Do đó (s ) n cũng hội tụ. 2. Định nghĩa
Chuỗi số u được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số un hội tụ. n =1 n n =1 3. Ví dụ 139 sin nx hội tụ tuyệt đối. n =1 n3 Giải sin nx sin nx 1 Ta có = n n3 n3 n3 1 mà chuỗi số
hội tụ ( Chuỗi Riemann với = 3 1) n=1 n 3 4. Chú ý
Điều kiện un hội tụ chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần để chuỗi số n =1
un hội tụ. Nghĩa là có trường hợp chuỗi số un hội tụ nhưng chuỗi số un phân n=1 n =1 n =1
kỳ, ta nói chuỗi số un bán hội tụ. n=1 Ví dụ 1 1
Chuỗi số (−1)n−1. bán hội tụ vì chuỗi số (−1) n−1 1
là chuỗi điều hoà phân = n =1 n n=1 n n=1 n kỳ. Ví dụ
Xét tính hội tụ của các chuỗi số sin n 1) n=1 n2 sin n 1 Ta có | |
, do đó chuỗi đã cho hội tụ n2 n2 2) 2n + 1n n (− 1) 3n + 1 Ta có 2n+1 2 n | u | =
→ 1 =>Chuỗi đã cho hội tụ. n 3n+1 3 Chú ý
Nếu chuỗi | un | phân kỳ thì chưa kết luận chuỗi un hội tụ hay phân kỳ. Tuy
nhiên, nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy mà biết được | u | n phân kỳ thì
un cũng phân kỳ. Thật vậy, từ 140
Tài liệu liên quan:
-
Đề cương môn giải tích 2- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng
17 9 -
Đề cương môn giải tích 2- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
14 7 -
Đề cương môn giải tích 2- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
16 8 -
Đề cương môn giải tích 2- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
16 8 -
Đề cương môn giải tích 2- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
21 11