Đề cương môn giải tích - Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
1. SựhộitụđềucủasuyrộngphụthuộcthamsốvàtiêuchuẩnWeierstrass
Đề cương môn giải tích - Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
Tài liệu gồm 15 trang , giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao.
Môn: Giải tích 2(GT2101) 17 tài liệu
Trường: Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng 1 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ
1. Sự hội tụ đều của suy rộng phụ thuộc tham số và tiêu chuẩn Weierstrass
( Xét sự hội tụ đều của các tích phân sau)
ˆ+∞arctan(x2 + y + 1)
1. I(y) = dx e2x+y2 0
Hướng dẫn giải
arctan(x2 + y + 1) π +) Ta có:
∀(x, y) ∈ [0, +∞] × R e2x+y2 ≤ 2e2x ˆ ˆ+ ∞ +∞ π π π +∞ π +) Mà dx = = 0 2e2x 2e2x −4e2x = hội tụ. 4 0 0
⇒ I(y) hội tụ đều theo tiêu chuẩn Weierstrass.
Vậy tích phân đã cho hội tụ đều ∀y ∈ R. ˆ+∞ sin xy
2. I(y) =
dx với 1 < y < +∞ x2 + y2 0
Hướng dẫn giải sin xy 1 +) Ta có: ≤ 1 <
∀(x, y) ∈ [0, ∞) × (1, +∞) x2 + y2 x2 + y2 x2 + 1 ˆ+∞ +∞ dx π Mà = arctan x hội tụ. = 2 x + 1 2 0 0
⇒ Theo định lý Weierstrass, I(y) hội tụ đều trên (1; +∞)
Vậy tích phân hội tụ đều với y ∈ (1; +∞) ˆ+∞
3. I(y) =
xy · e−xdx với y ∈ [0; b] 0
Hướng dẫn giải +∞ 1 +∞ ˆ ˆ ˆ
+) Ta có: I(y) =
xy · e−xdx =
xy · e−xdx +
xy · e−xdx 0 0 1 ˆ1
+) Xét: I1(y) =
xy · e−xdx ta thấy f (x, y) = xy · e−xdx liên tục [0, 1] × [0, b]. 0 ˆ1
⇒ xy · e−xdx xác định với mọi y ∈ [0, b]. 0 1
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập +∞ ˆ
+) Xét: I2(y) =
xy · e−xdx 1 • y b xy xb
Với x ∈ [1, +∞] thì x ≤ x với y ∈ [0, b] ⇒ ≤
∀(x, y) ∈ [1, +∞] × [0, b]. (1) ex ex 1
• Xét hai hàm số g g1(x) 1(x) = xb , g ta thấy lim
= lim x2+b = 0. x 2(x) = 2 x x e x →+∞ g2(x) x→+∞ e ˆ+∞ 1 • Kết hợp với
dx = 0, và g x2
1(x) và g2(x) > 0, ∀x ∈ [1, +∞]. 1
ˆ+∞xb dx hội tụ theo tiểu chuẩn so sánh. (2) ⇒ ex 1 ˆ+ ∞ y −x Từ (1) và (2) =⇒
x · e dx hội tụ đều ∀y ∈ [0, b] theo tiêu chuẩn Weierstrass. 1
Vậy tích phân hội tụ đều ∀y ∈ [0, b]. ˆ+∞dx
4. I(y) =
với 1 < y < +∞ xy 1
Hướng dẫn giải ˆ +∞ dx 1 1 +∞ 1
+) Ta có: I(y) = = · 1 xy 1 − y xy−1 = y − 1 1 ˆ A dx 1 1 1 1 1 1 +) Xét: I(y) − − ( · − ) · 1 xy = y − 1 1 − y Ay−1
1 − y = y − 1 Ay−1 ˆ A dx 1 1 Muốn · 1 I(y) − < ϵ thì
< ϵ. Khi đó A > y−1 = B(ϵ) 1 xy y − 1 Ay−1 ϵ(y − 1) +) Xét khi y → 1+: 1 y−1 1 · 1
— ln(ϵ(y−1)) ln +∞ lim B(ϵ) = lim
= lim ey−1 ϵ(y−1) = lim e y−1 = e = +∞ y→1+ y→1+ ϵ(y − 1) y→1+ y→1+
⇒ Không thể chọn hằng số A > B(ϵ) thỏa mãn yêu cầu của sự hội tụ đều.
Vậy tích phân không hội tụ đều với 1 < y < +∞. ˆ+∞ e−xy
5. I(y) =
dx với y > 0 x4 + y2 0
Hướng dẫn giải
+) Do y > 0 nên e−xy < 1 ∀ (x; y) ∈ (0; +∞) × (0; +∞) ta có: ˆ ˆ ˆ +∞ +∞ +∞ e−xy e−xy 1 1 dx dx = A x4 + y2 ≤ A
x4 + y2 dx ≤ A x4 3A3 2
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập … … 1 1 ˆ +∞
+) Như vậy, ta có thể chọn A > 3 sao cho e−xy ∀ ϵ > 0,∀ A > 3 thì dx 3ϵ 3ϵ < ϵ A x4 + y2
Vậy tích phân hội tụ đều trên (0; +∞). 3
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
2. Tính liên tục của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
(Tính các giới hạn sau) ˆ+∞cos (yx) 6. A = lim dx y→0 1 + x2 0
Hướng dẫn giải ï ò cos(yx) 1
+) Xét hàm số f (x, y) =
là hàm số liên tục trên [0; +∞) × − 1 ; (1) 1 + x2 2 2 ï ò cos(yx) 1 1 1 +) Ta có: .
= g(x), ∀(x, y) ∈ [0; +∞) × — ;
1 + x2 ≤ 1 + x2 2 2 ˆ+ ∞ ˆ+ ∞ 1 +∞ π Lại có: g(x)dx = = arctan x = hội tụ. 2 1 + x 0 2 0 0 ˆ+∞cos(yx) ï ò 1 1 ⇒ I(y) =
dx hội tụ đều trên — ;
theo tiêu chuẩn Weierstrass (2) 1 + x2 2 2 0 ï +∞ ò ˆ cos(yx) 1 1
Từ (1) và (2) ⇒ I(y) =
dx liên tục trên — ;
⇒ I(y) liên tục tại y = 0. 1 + x2 2 2 0 ˆ+∞ ˆ+∞Å ã +∞ ˆ 1 +) Khi đó: A = lim cos(yx) dx =
lim cos(yx) dx = dx y→0 1 + x2 y→0 1 + x2 1 + x2 0 0 0 +∞ π = arctan x = . 0 2 ˆ +∞ 7. B = lim
e−yx2 dx y→1 0
Hướng dẫn giải ï ò 1 , 2
+) Xét hàm số f (x, y) = e−yx2 liên tục trên [0, +∞) × . 2 ï ò 1 1 1 (1) +) Ta có:
∀(x, y) ∈ [0, +∞) × , 2
eyx2 ≤ e 1 x2 2 2 ˆ∞ 1 2 Lại có: e− x 2 dx hội tụ. 0 ˆ ∞ ï ò 1 1
⇒ e−yx2 hội tụ đều trên − ;
theo tiêu chuẩn Weierstrass (2). 2 2 0 ï ò 1
Từ (1) và (2) suy ra I(y) là hàm số liên tục trên
, 2 ⇒ I(y) liên tục tại y = 1. 2 4
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập ∞ ˆ ∞ ˆ √π
+) Khi đó: B = lim I(y) = I(1) = lim
e−yx2 dx =
e−x2 dx = (Tích phân Gauss) y→1 y→1 2 0 0 ˆ+∞ y3 8. C = lim e−ydy x→0 x2 + y2 0
Hướng dẫn giải ï ò y3e−y 1 1
+) Xét hàm số f (y, x) =
liên tục trên [0; +∞) × − ; (1) x2 + y2 2 2 ï ò y3e−y y3e−y 1 1
+) Ta có: f (y, x ) = x2 + y2 ≤
= ye−y = g(y) ∀y ∈ [0; +∞), x ∈ — ; y2 2 2 ˆ+ ∞ ˆ+ ∞ +∞ ˆ+ ∞ +∞ Lại có: g(y)dy =
ye−ydy = −ye−y — = 1 (∗) hội tụ.
(−e−y)dy = −e−y(y + 1) 0 0 0 0 0 ˆ+∞ ï ò y3 1 1 Vậy ta có: I(x) =
e−ydy hội tụ đều ∀x ∈ − ; (2) x2 + y2 2 2 0 ˆ+∞ ï ò y3 1 1
Từ (1) và (2) ⇒ I(x) = ⇒
e−ydy liên tục trên − ;
I(y) liên tục tại y = 1. x2 + y2 2 2 0 ˆ+ ∞ ˆ+∞Å ã +∞ ˆ 3 +) Khi đó: C = lim
y3 e−ydy = lim y e−y dy = ye−ydy x→0 x2 + y2
x→0 x2 + y2 0 0 0 Theo (∗) ⇒ C = 1 ˆ 1 x x 2 9. D = lim .e y2 dx y→0 y2 0
Hướng dẫn giải 1 ˆ ˆ Å ã 1 x x 2 x 2 1 x2 Ta có: D = lim .e y2 dx = lim .e y2 d y→0 y2 y→0 2 y2 0 0 1 1 1 1 x 2 x=1 = lim .e y2 = lim .ey2 — y→0 2 x=0 y→0 2 2 = +∞ 5
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
3. Tính khả vi của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
(Tính các tích phân sau bằng phương pháp đạo hàm dưới dấu tích phân)
ˆ+∞e−ax2 − cos bx 10. I dx (a > 0) 1 = x2 0
Hướng dẫn giải ˆ +∞e−ax2 − ˆ cos bx 1 e−ax2 − ˆ cos bx
+∞e−ax2 − cos bx +) Ta có: I1 = dx = dx + dx = T x2 x2 x2 1 + T2 0 0 1 b2 · x2 (1 − ax2) − (1 − ) b2
+) Xét giới hạn: lim e−ax2 − cos bx = lim 2 = a + . x→0 x2 x→0 x2 2
ˆ 1 e−ax2 − cos bx ⇒ T
dx là tích phân xác định. 1 = x2 0
e−ax2 − cos bx với x ̸ = 0
+) Xét f (x; a) = x2 b2 a + với x = 0 2 • e−ax2 cos bx b2 — Với mỗi a ∈ R :
lim f (x; a) = lim = a + = f (0; a) 2 x→0 x→0 x 2
⇒f (x; a) liên tục trên R. ⇒ f (x; a) liên tục trên R × R (1)
• f ′ (x; a) = −e−ax2 liên tục theo x trên R. ⇒ f ′ (x; a) liên tục trên R × R (2) a a +) Xét T2 ta có:
e−ax2 − cos bx
e−ax2 + | cos bx| e−ax2 + 1 1 1 1 ≤ = + ∼ khi x → +∞ x2 ≤ x2 x2 eax2 · x2 x2 x2 ˆ +∞ ˆ +∞e−ax2 − 1 cos bx Vì hội tụ nên T dx hội tụ. (3) x2 2 hội tụ suy ra x2 1 0 +∞ ˆ ˆ +∞ ˆ 1 1 1 +) Ta có:
−e−ax2 dx = − dx eax2 dx − eax2 0 0 1 1 1 ˆ+∞ ˆ+ ∞ 1 1 Dễ thấy:
≤ khi x → +∞; mà dx hội tụ nên dx hội tụ đều. eax2 x2 x2 eax2 1 ˆ1 1 1 Mà
dx xác định, hội tụ eax2 0 ˆ+ ∞ Do đó f ′
a (x, a)dx hội tụ đều (4) 0
Từ (1), (2), (3), (4) ⇒ I1(a) khả vi trên R. 6
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập ˆ +∞ ˆ +∞ ˆ+∞ √ √ √π ′ ′ − − ax2 1 ( ax)2 +) I − √ 1(a) =
fa(x, a)dx = −e dx = √ e d( ax) = − (Tích phân Gauss) a 2 a 0 0 0 √
⇒ I1(a) = − πa + C Mà: ˆ +∞ +∞ ˆ Å ã 1 − cos bx −1 I (1 cos bx)d 1(0) = dx = — x2 x 0 0 Å ã +∞ ˆ+∞ 1 1 bπ
= (1 − cos bx) · − +
· b · sin bxdx =
sgn(b) ( Tích phân Dirichlet ) x x 2 0 bπ 0 ⇒ C = sgn(b) 2 √ bπ
Vậy I (a) = − πa + sgn(b). 1 2 á ë −1 với x < 0
Định nghĩa hàm: sgn x = 0 với x = 0 1 với x > 0 ˆ+ ∞ 11. I2 =
e−ax2 cos bxdx. (a > 0) 0
Hướng dẫn giải
+) Ta thấy: f (x, b) = e−ax2 cos bx liên tục trên [0; +∞) × R (1) eax2 Do lim
= +∞ ⇒ ∃ε > 0 sao cho: eax2 > ax2, ∀x > ε x→+∞ ax2 +∞ ˆ ˆ ε +∞ ˆ
+) Xét sự hội tụ của I2 =
f (x, b)dx = f (x, b) +
f (x, b)dx = D1 + D2 0 0 ε ˆ ε • Dễ thấy: D1 =
f (x, b)dx là tích phân xác định. 0 +∞ ˆ 1 1
• Có: |e−ax2 cos bx| < ; dx hội tụ ax2 ax2 ε ˆ+ ∞ ⇒ D hội 2 =
|e−ax2 cos bx|dx hội tụ tuyệt đối ⇒ I tụ 2 (2) ε ˆ+ ∞ Đặt I(b) =
e−ax2 cos bxdx 0
+) Ta có fb ′ (x; b) = −xe−ax2 sin bx liên tục trên [0; +∞) × R (3) 7
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập +∞ ˆ
+) Xét sự hội tụ đều của f ′
b (x, b)dx 0 • Ta có: +∞ +∞ ˆ ˆ Å ã +∞ +∞ ˆ 1 b f ′ −
b (x, b)dx =
−xe−ax2 sin bx =
· e−ax2 sin bx
e−ax2 cos bxdx. 2a 2a 0 0 0 0 •
Do | sin bx| ≤ 1; lim e−ax2 = 0 x → +∞ ˆ ˆ∞ + ∞ b
⇒ lim e−ax2 sin bx = 0. ⇒ f ′(x; b)dx = −
e−ax2 cos bxdx x → +∞ b 2a 0 0 ax2 • Ta thấy: e
> 1 , ∀x > 0 . ˆ +∞ γ +∞ ˆ ˆ
b e−ax2 cos bxdx = b b
e−ax2 cos bxdx +
e−ax2 cos bxdx 2a 2a 2a 0 0 γ ˆ+ ∞ ˆ +∞ √ b cos bx b b π <
e−ax2 , ∀x > 0 và
e−ax2 dx hội tụ ( sử dụng kết quả:
e−x2 dx = ) 2a eax2 2a 2a 2 0 0 ˆ+ ∞ ⇒ ′
I2 hội tụ đều theo tiêu chuẩn Weierstrass ⇒
fb (x; b)dx hội tụ đều (4) 0
Từ (1), (2), (3), (4) ⇒ I(b) khả vi trên R ˆ+ ∞ ˆ+ ∞ b −b
+) Khi đó ta có: I′(b) =
− xe−ax2 sin bxdx = −
e−ax2 cos bxdx = I(b) 2a 2a 0 0 I′(b) b ⇒ = − I(b) 2a 2 − ⇒ b ln |I(b)| = + C 1 4a − b2 ⇒
I(b) = C2 · e 4a . ˆ+ ∞ ⇒ I(0) = C
e−ax2 dx 2 ⇒ C2 = 0 +∞ ˆ √ • π Ta có kết quả:
e−x2 dx = (Tích phân Gauss). 2 0 8
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập ˆ∞ + √ √ √ 1 ⇒
e−( ax)2 d( ax) = π √ C = √ · . 2 a 2 a 0 √π −b2
⇒ I(b) = √ · e 4a 2 a √π −b2
Vậy: I(b) = √ · e 4a 2 a +∞
ˆ cos ax — cos bx 12. I3 = dx xex 0 Hướng dẫn giải
cos ax − cos bx với x ̸= 0
+) Xét g(x; a) = xex 0 với x = 0
• Với mỗi a ∈ R : − a + b a − b 2 sin( x) sin( x)
cos ax − cos bx
cos ax − cos bx
lim g(x; a) = lim = lim = lim 2 2 x→0 x→0 Å xex ã Å x→0 xex a + b ã xex x→0 −2 · x
a − b · x 2 2
−(a — b )x = lim 2 2 = lim = 0 = g(0; a) x→0 xex x→0 2ex
⇒ Với mỗi a ∈ R ta đều có g(x; a) liên tục trên R. ⇒ g(x; a) liên tục trên R × R (1). — sin ax • Ta có g ′ ex với x ̸= 0
a (x; a) = 0 với x = 0 − sin ax
Dễ thấy được với ∀a ∈ R có lim
= 0 = g′ (0; a) ⇒ g′ (x; a) liên tục theo x trên R. x→0 ex a a
⇒ g ′ a(x; a) liên tục trên R × R (2) ˆ ˆ+∞ + ∞
cos ax − cos bx
+) Xét tính hội tụ của I3(a) =
g(x; a)dx = dx xex 0 0 ex x 2 • Vì lim x
= +∞ nên tồn tại ε > 0 sao cho e > x , ∀x > ε →+∞ x 2 ˆε ˆ+∞
cos(ax) − cos(bx)
cos(ax) − cos(bx) ⇒ I3(a) = dx + dx = C xex xex 1 + C2 0 ε
cos ax − cos bx
C là tích phân xác định do lim = 0 (chứng minh trên) 1 x→0 xex 9
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập ˆ +∞cos(ax) − cos(bx) • Xét C2 = dx xex ε Khi đó ta có: ˆ+ ∞ ˆ+ ∞ ˆ+∞ ˆ+ ∞
cos(ax) − cos(bx) 2 2
cos(ax) − cos(bx) dx < dx hội tụ C2 = < dx hội tụ ⇒ xex xex x3 xex ε ε ε ε
⇒ C2 hội tụ ⇒ I3(a) hội tụ (3). ˆ + ∞ ˆ+∞ sin(ax)
+) Xét tính hội tụ đều của g ′ dx.
a (x; a)dx = − ex 0 0 +∞ +∞ ˆ ˆ • sin(ax) Xét D = g ′
a (x; a)dx = — dx. ex ε ε sin( ax) 1 Ta có < ex ex ˆ+∞ ˆ+∞ 1 sin(ax) Mà dx hội tụ nên
dx hội tụ đều theo tiêu chuẩn Weierstrass (4) — ex ex ε ε
Từ (1), (2), (3), (4) ta được I 3(a) khả vi và: ˆ +∞ +∞ − ˆ s in(ax) I′ (a) = dx =
— sin(ax)e−xdx 3 ex 0 0 ˆ +∞ +∞
= (e−x sin(ax)) — a
e−x cos(ax)dx 0 0
Do | sin(ax)| ≤ 1, lim e−x = 0 nên lim e−x sin(ax) = 0 x→ +∞ x→+∞ ˆ+ ∞
⇒ I ′3 (a) = −a e−x cos(ax)dx Ñ 0 é ˆ+ ∞ − +∞ = −a
e−x cos(ax) − 0 a
e−x sin(ax)dx . 0
= −a (1 + aI ′ 3 (a)) − ⇒ a I′ 3 (a) = a2 + 1 1 2 ⇒ 3
I (a) = − ln a + 1 + C 2 1
Ta có: I (b) = 0 ⇒ − 1 ln (b2 + 1) + C = 0 ⇒ C = ln (b2 + 1) 3 Å 2 ã 1 Å ã 2 1 b2 + 1 b2 + 1 ⇒ I3(a) = ln ⇒ I ln 2 a2 + 1 3 = 2 a2 + 1 1 Å ã
Vậy I = ln b2 + 1 3 2 a2 + 1 10
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập +∞
ˆ sin ax · c os bx 13. I4 = dx x 0
Hướng dẫn giải ˆ ˆ +∞ ∞
sin ax · cos bx
sin[(a + b)x] + sin[( — a b)x] +) Ta có: dx = dx x 2x 0 0 ∞ ˆ ˆ
sin[(a + b)x] ∞ sin[( — a b)x] = dx + dx 2x 2x 0 π π 0
= sgn(a + b) + sgn(a − b) (Tích phân Đirichlet) 4 4 Vậy I π π
= sgn(a + b) + sgn(a − b) 4 4 4 á ë −1 với x < 0
Định nghĩa hàm: sgn x = 0 với x = 0 1 với x > 0
Đọc thêm về tích phân Dirichlet Tại đây
ˆ+∞ln (1 + a2x2) 14. I dx 5 = 1 + x2 0
Hướng dẫn giải +∞ ˆ ˆ ˆ ln (1 + a2x2)
1 ln (1 + a2x2)
+∞ ln (1 + a2x2) I dx + 5 = dx = dx 1 + x2 1 + x2 1 1 + x2 0 0 ` ˛ ¸ x TP X Đ ln (1 + a2x2)
+) Nhận thấy f (x; a) =
liên tục trên [0; +∞) × [0; +∞) (1) 1 + x2
+) Xét tính hội tụ của I5. Ta có:
ln (1 + a2x2)1 + x2 ln (1 + a2x2) ln (1 + a2x2) lim − x 1 = lim x + x = lim 3 1 x → ∞ x 1 + →+∞ x 2 2 →+∞ 3 2 x 2 2a2x 2 3 L′ 4a x2 = lim 1+a2x2 1 2 = 0 x x− 1 = lim x 2 →+∞ →+∞ 1 + a x 2 2 ˆ+∞ ˆ+∞ 1 Mà dx hội tụ nên 3
f (x; a)dx hội tụ ⇒ I5 hội tụ (2). x2 1 1 2ax2 +) f ′
a (x; a) =
liên tục trên [0, +∞) × [0; +∞) (3)
(1 + x2) (1 + a2x2) 11
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập +∞ ˆ
+) Xét tính hội tụ đều của f ′
a (x; a)dx: 0 +∞ ˆ ˆ+∞ 1 ˆ ˆ+∞ 2ax2 2ax2 2ax2 f ′ dx = dx
a (x; a)dx = dx +
(1 + x2) (1 + a2x2)
(1 + x2) (1 + a2x2)
(1 + x2) (1 + a2x2) 0 0 0 1 ` ˛ ¸ x TP X Đ 2ax2 2ax2 2 Ta có = với x ≥ 1.
(1 + x2) (1 + a2x2) < x2 · a2x2 ax2 +∞ ˆ ˆ+∞ 2 2ax2 Mà dx hội tụ nên dx hội
tụ đều theo tiêu chuẩn Weierstrass ax2
(1 + x2) (1 + a2x2) 1 1 ˆ+ ∞ ⇒ f ′
a (x; a)dx hội tụ đều (4) 0 ˆ +∞ 2ax2
Từ (1), (2), (3), (4) ta được I ′
5(a) khả vi và : I dx. 5 (a) = 0
(1 + x2) (1 + a2x2)
• Nếu a = 0 thì I ′ 5(0) = I (0) = 0 ˆ5 +∞ 2x2
• Nếu a = 1 ⇒ I ′ dx 5 (a) = 0 (1 + x2)2 dx
Đặt x = tan t ⇒ 0 ≤ t ≤ π và = dt nên ta có : 2 1 + x2 ˆ π ˆ π 2 2 tan2 t 2 π I ′ 2 sin2 tdt = dt = 5 (1) = 0 1 + tan2 t 0 2
• Nếu a ̸= 0, a ̸= 1: Å ã ˆ +∞ 2a 1 1 I′ (a) = · − dx 5 0 a2 − 1 1 + x2 1 + a2x2 Å 2a 1 ã +∞ =
arctan x − arctan(ax) a2 − 1 a Å ã 0 2a π 1 π = − · a2 — 1 2 a 2 π = a + 1 π
+) Ta có: lim I′ (a) =
= I′ (1) ⇒ I′(a) liên tục trên (0, +∞) 5 5 a→1 2 π +) 5 I′ (a) =
, ∀a > 0 ⇒ I (a) = π ln(a + 1) + C với a > 0 a + 1 5
Mà I5(0) = 0 và I5(a) liên tục trên [0, +∞) × [0; +∞) ⇒
lim I5(a) = I5(0) ⇒ C = 0 a→0+
Vậy I5(a) = π ln (a + 1) , ∀a ≥ 0 12
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
4. Tính khả tích của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
(Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi thứ tự lấy tích phân)
ˆ+∞e−αx − e−βx 15. I dx. (α, β R+) 1 = ∈ x 0
Hướng dẫn giải ˆβ e y = α ˆ+∞Å ã′ +) Ta thấy: −αx e− yx — e−βx = = e−yx dy = e−yxdy x x x y = β y Ñ 0 α + β é ∞ ˆ ˆ Khi đó: I1 = e−yxdy dx. 0 α ˆ+ ∞
+) Xét tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
e−yxdx với y ∈ [α; β] 0 Nhận thấy:
• f (x, y) = e−yx liên tục trên miền [0; +∞] × [α; β] ˆ +∞
• e−yx ≤ e−αx, mà
e−αxdx hội tụ với α > 0 ˆ 0 +∞ ⇒
e−yxdx hội tụ đều theo tiêu chuẩn Weierstrass. 0
+) Như vậy, ta có thể đổi thứ tự lấy tích phân: ˆ β ˆ +∞ ˆβ ˆ β − β e−yx x=+∞! β I 1 1 = dy e−yxdx = dy =
dy = ln |y| = ln . y y α α α 0 α x=0 α +∞
ˆ cos ax — cos bx 16. I2 = dx x 0
Hướng dẫn giải ˆ +∞ b +∞ ˆ cos ax − ˆ cos bx +) Ta có: I2 = dx = dx sin (xy)dy x 0 0 a ˆ+∞ ˆ ˆ ˆ
cos ax − cos bx +∞ b sin xy +∞sin xy
+) Xét tích phân I = dx = dx
dy và T (y) = dx (t > 0) x · etx etx etx 0 0 a 0 Nhận thấy: sin xy • liên tục [0, ∞ + ] × [a, b] etx | ˆ+∞ sin xy| 1 1 • ≤ ;
dx hội tụ khi t > 0 etx etx etx 0 13
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
⇒ T (y) hội tụ đều trên [a, b] khi t > 0 ˆ b
Như vậy T (y) khả tích trên [a, b] và I = T (y)dy a +) Ta có: ˆ ˆ +∞sin xy +∞ − e−tx T (y) = dx = d(cos xy) etx y 0 0 ˆ+∞ ˆ+∞ −tx +∞
— cos xy · e
−t · cos xy · e−tx 1
t · e−tx = + dx = − d(sin xy) y y y y2 0 0 0 ˆ+∞ 1
t · sin xy · e−tx +∞
−t2 · sin xy · e−tx 1 t2 = − + dx = − · T (y) y y2 y2 y y2 0 0 y
⇒ T (y) = y2 + t2 ˆb ˆb Å ã 1
d(y2 + t2) 1 b2 + t2 ⇒ I =
T (y)dy = = ln 2 y2 + t2 2 a2 + t2 a a Å ã 1 b2 + 02 Å ã b I2 = lim I = ln ⇒ t→0+ 2 a2 + 02 = ln a ˆ+∞ arctan x − arctan x 17. I a b 3 = dx a, b > 0 x 0 +) Ta thấy: a Ç å b ˆ
arctan x − arctan x arctan x y=a arctan x ′ ˆ 1 a b y y = = dy = dy x x x y=b x2 + y2 b y a Ñ é ˆ+∞ ˆb 1 Khi đó: I3 = dy dx. x2 + y2 0 a ˆ+ ∞ 1
+) Xét tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
dx với y ∈ [a, b] x2 + y2 0 Nhận thấy: 1 • f (x, y) =
liên tục trong miền [0; + ∞ ] ×
[a, b] (a, b > 0) x2 + y2 • 1 ≤ 1
∀x ∈ [0; +∞], ∀y ∈ [a, b] x2 + y2 x2 + a2 ˆ+ ∞ +∞ 1 1 x π Xét dx = arctan = (hội tụ) x2 + a2 a a 2a 0 0 +∞ ˆ 1
Do đó, theo tiêu chuẩn Weierstrass, ta có: dx hội tụ đều. x2 + y2 0 14
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ Trợ Học Tập
+) Như vậy, ta có thể đổi thứ tự lấy tích phân: x ˆ b b ˆ+ ∞ ˆ arctan + ∞ b 1 y ˆb π π π b I3 = dy dx = dy · = dy = ln |y| ln x2 + y2 y 2y 2 = 2 a a a 0 a 0 a 15