Đề cương môn giải tích - Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
Ápdụngđểgiảiphươngtrình(3y2+3xy+x2)dx=(x2+2xy)dy
Đề cương môn giải tích - Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
Tài liệu gồm 21 trang , giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao.
Môn: Giải tích 2(GT2101) 17 tài liệu
Trường: Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng 1 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
NGÂN HÀNG CÂU HỎI TỰ LUÂN MÔN GIẢI TÍCH 2
CHƯƠNG I: TÍCH PHÂN BỘI y = 3 – x2
Bài 1: Tính tích phân bội hai I = (x – 2xy2 )dxdy
, với D : y = 2x2 D 2 y = x2
Bài 2: Tính tích phân bội hai I =
(xy + 3x)dxdy
, với D : y = 2x +1 D y = x2 –1
Bài 3: Tính tích phân bội hai I =
(x2 + 5xy)dxdy
, với D : y = 1– x D x = y
Bài 4: Tính tích phân bội hai I = xydxdy
, với D : x = 2 y D y = 1 1 x2 + y2 4
Bài 5: Tính tích phân bội hai I = (x – 4 y)dxdy , với D : D x y 3x
x2 + y2 = 2x
Bài 6: Tính tích phân bội hai I = 4 – x2 – y2 dxdy , với D : D y 0 D
Bài 7: Tính tích phân bội hai I = 4 – x2 – y2 dxdy , với
x2 + y2 2 y D : y x x2 + y2 4
Bài 8: Tính tích phân bội hai I = (x + 2 y)dxdy
, với D : y –x D y 0 y 2 – x2
Bài 9: Tính tích phân bội hai I = (2x – 7 y)dxdy
, với D : y 0 D y –x
2 y x2 + y2 4 y D :
Bài 10: Tính tích phân bội hai I = 3xdxdy , với y x D x 0 1 y = ln x
Bài 11: Tính tích phân bội hai I = (x – 6 y)dxdy
, với D : y = 0 D x = e2 x2 + z2 = 4
Bài 12: Tính tích phân bội ba I = x2 + z2 dxdydz , với Ω : y = 0 Ω y = 2
x – y + z = 0; x – y + z = 2
Bài 13: Tính tích phân bội ba Ω – I = , với :
(x + y – z)dxdydz
x + y + z = 1; –x + y + z = 3 Ω
x + y – z = –1; x + y – z = 4 1
x2 + y2 + z2 4
Bài 14: Tính tích phân bội ba I = dxdydz , với Ω:
x2 + y2 + z2 y 0 Ω
z = x2 + y2
Bài 15: Tính tích phân bội ba Ω I = xdxdydz , với : z + y = 2 Ω
1 x2 + y2 + z2 4
Bài 16: Tính tích phân bội ba I = zdxdydz , với Ω : Ω
x2 + y2 + z 0
Ω x2 + y2 + z2 2 y
Bài 17: Tính tích phân bội ba I = 2zdxdydz , với : Ω z 0
x2 + y2 + z2 4
Bài 18: Tính tích phân bội ba I = 3zdxdydz , với Ω : Ω x2 + y2 z
Bài 19: Tính tích phân bội ba I = ( 2 2 x x2 + y2 + z 2
+ y + z2 dxdydz , với Ω 1 : 9 4 9 4 Ω z 0 x2 + y2 4
Bài 20: Tính tích phân bội ba I =
(x – 4 y)dxdydz , với Ω : x 0 Ω 0 z 5 y2 + z2 = 4
Bài 21: Tính tích phân bội ba I = y2 + z2 dxdydz , với Ω : y + x = 2 Ω y – x = 2 2
x2 + y2 2x
Bài 22: Tính tích phân bội ba I =
z x2 + y2 dxdydz , với Ω : Ω 0 z y
x2 + y2 + z2 4z
Bài 23: Tính tích phân bội ba Ω I = xdxdydz , với
: x2 + y2 z2 Ω
z = x2 + 2 y2
Bài 24: Tính thể tích khối vật thể Ω: z = 1 x2 + y2 = 1
Bài 25: Tính thể tích khối vật thể Ω : z = x2 + y2
x2 + y2 = 4 – z
x 0, y 0, z 0
Bài 26: Tính thể tích khối vật thể Ω : x 2 + y2 1 z = 2 + x2
x2 + y2 + z2 1
Bài 27: Tính thể tích khối vật thể Ω : z x2 + y2
y = x, y = 2x
Bài 28: Tính tích phân I =
(x + z)dxdydz , với Ω : y = 1, z = 0 Ω
z = x2 + y2
y = x2 , y = x
Bài 29: Tính tích phân I =
xdxdydz , với Ω : z = 0 Ω z = 1+ y2 x2 + y2 = 4
Bài 30: Tính tích phân I = x2 + y2 dxdydz , với Ω : z = x2 + y2 Ω
z = x2 + 2 y2
x2 + y2 + z2 = 2x Bài 31: Tính tích phân Ω I = zdxdydz , với : z 0 Ω
x2 + y2 + z2 = 4
Bài 32: Tính tích phân I =
ydxdydz , với Ω : z Ω x2 + y2 3 x2 + y2 1
Bài 33: Tính tích phân I =
(x + 2)dxdydz , với Ω : x 0, y 0, z 0 Ω
z = 1+ x2 + y2 x = y2 + z2 +1
Bài 34: Tính tích phân I =
2xdxdydz , với Ω : x= 0 Ω y2 + z2 = 1
z = x2 + y2 Bài 35: Tính tích phân Ω I = zdxdydz , với : z + x = 2 Ω
x2 + y2 + z2 = 4z
Bài 36: Tính tích phân I = ydxdydz , với Ω : Ω z x2 + y2 y = 2 – x2
Bài 37: Tính tích phân I =
( y + z)dxdydz , với Ω : y = 1, z 0 Ω z = 2x
x2 + y2 = 2x
Bài 38: Tính tích phân I =
3dxdydz , với Ω : x + z = 4 Ω x – z = 4
x2 + y2 + z2 = 4
Bài 39: Tính tích phân I =
2dxdydz , với Ω : x 2 + y2 1 Ω z 0
z = x2 + y2
Bài 40: Tính tích phân I =
–4dxdydz , với Ω : z = 2 – x2 – y2 Ω
x2 + y2 + z2 2 y
Bài 41: Tính tích phân I =
2 ydxdydz , với Ω : y 1 Ω
x2 + y2 + z2 1
Bài 42: Tính tích phân I =
zdxdydz , với Ω : z 0 Ω z 1
Bài 43: Tính tích phân I =
(x + z)dxdydz , với Ω : z 4 – x2 + y2 Ω
1 x2 + y2 + z2 4
Bài 44: Tính tích phân I =
(x2 + y2 + z2 )dxdydz , với Ω : Ω z x2 + y2 4 0 x 1
Bài 45: Tính tích phân I =
(x + yz)dxdydz , với Ω : 0 y 1 Ω 1 z 4
x2 + y2 2x
Bài 46: Tính tích phân I =
dxdydz , với Ω : z 0 Ω
z x2 + y2
Bài 47: Biểu diễn miền D sau dưới dạng đơn giản, tính diện tích D và tính tích phân I =
f (x, y)dxdy
, với D là hình chữ nhật bị giới hạn bởi x = 2, x = 3, y = 4, y = 6 và D
f (x, y) = x + y
Bài 48: Biểu diễn miền D sau dưới dạng đơn giản, tính diện tích D và tính tích phân I =
f (x, y)dxdy
, với D bị giới hạn bởi y = 2x, x = 0, y = 4 và f (x, y) = x D
Bài 49: Biểu diễn miền D sau dưới dạng đơn giản, tính diện tích D và tính tích phân I =
f (x, y)dxdy
, với D bị giới hạn bởi x = 4 – y2 , x = 0, –1 y 1 và f (x, y) = xy2 D
Bài 50: Biểu diễn miền D sau dưới dạng đơn giản, tính diện tích D và tính tích phân I =
f (x, y)dxdy
, với D là hình thang bị giới hạn bởi x = 0, y = 0, x + y = 2, x + y = 1 và D
f (x, y) = x
Bài 51: Biểu diễn miền D sau dưới dạng đơn giản, tính diện tích D và tính tích phân I =
f (x, y)dxdy
, với D là tam giác bị giới hạn bởi x = 0, y = 0, x + y = 3 và D
f (x, y) = x(x –1)exy
Bài 52: Biểu diễn miền D sau dưới dạng đơn giản, tính diện tích D và tính tích phân I =
f (x, y)dxdy
, với D là hình tròn x2 + y2 = 4 nằm trong phần tư thứ nhất, và D
f (x, y) = x2 + 2 y
Bài 53: Biểu diễn miền D sau dưới dạng đơn giản, tính diện tích D và tính tích phân I =
f (x, y)dxdy
, với D là miền | x | + | y | 1 và f (x, y) = x D
Bài 54: Biểu diễn miền D sau dưới dạng đơn giản, tính diện tích D và tính tích phân I =
f (x, y)dxdy
, với D là miền nằm phía trên đường y = 1 ; nằm trong vòng tròn 2 D
x2 + y2 = 1 và f (x, y) = x y2 +1 5
Bài 55: Biểu diễn miền D sau dưới dạng đơn giản, tính diện tích D và tính tích phân I =
f (x, y)dxdy
, với D bị giới hạn bởi y = 5 + x, y = –x + 7, x = 10 và f (x, y) = 3x – 5 D
Bài 56: Biểu diễn miền D sau dưới dạng đơn giản, tính diện tích D và tính tích phân I =
f (x, y)dxdy
, với D là hình tròn x2 + y2 16 nằm trong phần tư thứ hai, và D
f (x, y) = x
Bài 57: Biểu diễn miền D sau dưới dạng đơn giản, tính diện tích D và tính tích phân I =
f (x, y)dxdy
, với D là hình chữ nhật [–2, 2] [0,1] và f (x, y) = x – y D
Bài 58: Biểu diễn miền D sau dưới dạng đơn giản, tính diện tích D và tính tích phân I =
f (x, y)dxdy
, với D là hình chữ nhật [0, 4] [1, 3] và f (x, y) = xy D 1 x
Bài 59: Tính tích phân sau I = dydx 0 0 1 0
Bài 60: Tính tích phân sau I = dydx 0 x 2 4– x2
Bài 61: Tính tích phân sau I = (4 – x2 )3/2 dxdy 0 0 4 y y3
Bài 62: Tính tích phân sau I = dxdy x 3 2 1 π /2 cos y
Bài 63: Tính tích phân sau I = ydxdy 0 0
Bài 64: Tính thể tích của khối Ω biết Ω có đáy là (0, 0), (a, 0),(0, b) , với a, b 0 và nằm dưới mặt
phẳng z = 2 – ( x + y a b
Bài 65: Tính thể tích của khối Ω biết Ω nằm phía trên mặt phẳng Oxy và dưới mặt
z = 1– x2 – 2 y2
Bài 66: Tính thể tích của khối Ω biết Ω nằm trong hình trụ x2 + 2 y2 = 8 , trên z = y – 4 và dưới z = 8 – x 6
Bài 67: Tính thể tích của khối Ω biết Ω là tứ diện nằm trong góc x 0, y 0, z 0 , tạo ra bởi các
mặt tọa độ và mặt 3x + 4 y + 2z = 12
Bài 68: Tính thể tích của khối Ω biết Ω là tứ diện có các đỉnh (0, 0, 0),(3, 0, 0), (2,1, 0),(3, 0, 5)
Bài 69: Tính thể tích của khối Ω biết Ω là nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 a2 , z 0, a 0
Bài 70: Tính thể tích của khối Ω biết Ω
là tứ diện với các mặt
x = 0, z = 0, x + y = 5,8x –12 y +15z = 0 7
CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT
Bài 1: Tính tích phân đường (trên mặt phẳng Oxy ) I = y2dx – xdy , với (C) : y2 = 4x từ (0, 0) (C ) đến (1, 2)
Bài 2: Tính tích phân đường (trên mặt phẳng Oxy ) I = x2 y2dx + xy2dy , với (C) là đường (C ) x = 1, 2 y 4 1
Bài 3: Tính tích phân đường (trên mặt phẳng x Oxy ) I = dx + y
dy , với (C) là x2 + y2 x2 + y2 4 (C )
vòng tròn bán kính 1, từ (1, 0) đến (0,1) .
Bài 4: Tính tích phân đường (trên mặt phẳng Oxy ) I = – ydx + xdy , với (C) là y2 = 4x từ (1, 2) (C ) đến (0, 0)
Bài 5: Tính tích phân đường (trên mặt phẳng Oxy ) I = (3x – 2 y)dx , với (C) là y = 8x – 2x2 từ (C ) (4, 0) đến (0, 0)
Bài 6: Tính tích phân đường (trên mặt phẳng Oxy ) I = xydx , với (C) là đường thẳng nối (0,1) (C ) tới (1, 0)
Bài 7: Tính tích phân đường (trên mặt phẳng Oxy ) I = (x2 – y2 )dx + xdy , với (C) là vòng tròn (C )
x2 + y2 = 4 , từ (0, 2) đến (2, 0)
Bài 8: Tính tích phân I = x2 y2dx + xy2dy , với (C) là đường cong kín, ngược chiều kim đồng hồ, (C )
tạo ra bởi đường x = 1 và parabol x = y2
Bài 9: Tính tích phân I = –xdy + ydx , với (C) là tam giác tạo bởi 3 đỉnh (0, 0), (0, a),(b, 0) ngược (C ) chiều kim đồng hồ. x2 y2 Bài 10: Tính tích phân +
I = xdy , với (C) là ellipse
= 1 thuận chiều kim đồng hồ. a2 b2 (C )
Bài 11: Tính tích phân I = ydx , với (C) là đường cong tạo bởi x2 + y2 = 1, y = 0 trong nửa mặt (C )
phẳng trên theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. 8
Bài 12: Tính tích phân I = (x3 – y2 )dx + 2xy2dy , với (C) là đường ngược chiều kim đồng hồ, (C )
xung quanh hình vuông tạo bởi x = 0, x = 2, y = 0, y = 2
Bài 13: Tính tích phân I = xy2dx , với (C) là đường tròn x2 + y2 = a2 thuận chiều kim đồng hồ. (C )
Bài 14: Tính tích phân I = x2 y2dx + x3 ydy , với (C) là hình vuông tạo bởi x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 (C )
ngược chiều kim đồng hồ.
Bài 15: Chứng minh tích phân sau không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân, và tính các
tích phân I = (ex + y)dx + (x + 2 y)dy , với (C) là đường cong bất kỳ khả vi từng khúc, nối (0,1) (C ) đến (2,4).
Bài 16: Chứng minh tích phân sau không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân, và tính các
tích phân I = (2xy2 +1)dx + (2x2 y)dy , với (C) là đường cong bất kỳ nối từ (–1, 2) đến (2, 3) . (C )
Bài 17: Chứng minh tích phân sau không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân, và tính các
x(t) = t1/2
tích phân I = ( y + 2xey )dx + (x + x2ey )dy , với (C) là đường , nối từ đến .
y(t) = ln t (C )
Bài 18: Chứng minh tích phân sau không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân, và tính các tích phân ( 1
I = + y2 dx + (2xy)dy , với (C) là đường cong bất kỳ nối từ (1, 4) đến (3, 2) trong x2 (C ) miền x, y 0
Bài 19: Chứng minh tích phân sau không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân, và tính các
tích phân I = x cos(x + y) + sin(x + y) dx + x cos(x + y) dy , với (C)
là đường cong bất kỳ, nối từ (C ) ( π π (0, 0) đến , 6 3
Bài 20: Chứng minh tích phân sau không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân, và tính các
tích phân I = (2xy)dx + (x2 +1)dy , với (C) là đường cong tạo bởi bốn cạnh của hình vuông (C )
x = 0, x = 2, y = 0, y = 2
Bài 21: Chứng minh tích phân sau không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân, và tính các
tích phân I = (2xy)dx + (x2 +1)dy , với (C) là đường cong bất kỳ, nối từ (0,1) đến (2, 3) (C ) 9
Bài 22: Chứng minh tích phân sau không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân, và tính các
tích phân I = (4x2 – 4 y2 )dx + (ln y – 8xy)dy , với (C) là đường cong bất kỳ, nối từ (–1,1) đến (C )
(4, e) trong miền y 0
Bài 23: Hãy tính tích phân đường bằng định lý Green I = ydx + xdy , với (C) là đường cong kín (C ) 0 x 1
bao quanh miền D : 0 y 1
Bài 24: Hãy tính tích phân đường bằng định lý Green I = ex cos ydx + ex sin ydy , với (C) là tam (C )
giác có 3 đỉnh (0, 0), (0,1), (1, 0)
Bài 25: Hãy tính tích phân đường bằng định lý Green I = ydx , với (C) là đường cong kín bao (C )
quanh miền D là phần hình tròn nằm trong góc phần tư thứ nhất.
Bài 26: Hãy tính tích phân đường bằng định lý Green I = xydx + (x3/2 + y3/2 )dy , với (C) là đường (C )
cong kín, bao quanh miền D là hình vuông [0,1] [0,1]
Bài 27: Hãy tính tích phân đường bằng định lý Green I = y cos xdx + x sin ydy , với (C) là biên (C ) ( π
của tam giác có 3 đỉnh (0, 0), ( π . , 0 , 0, 2 2
Bài 28: Hãy tính tích phân đường bằng định lý Green I = ex cos ydx + ex sin ydy với (C) là biên (C )
của tam giác có 3 đỉnh (0, 0),(1,1), (1, 0)
Bài 29: Hãy tính tích phân đường bằng định lý Green I = ex cos ydx + ex sin ydy với (C) là đường (C )
cong kín bao quanh miền D :[0, 2] [0,1].
Bài 30: Chứng minh rằng với miền D thỏa định lý Green thì ta có thể tính diện tích D bằng các
công thức – ydx ,với (C) là đường cong kín bao quanh miền D . Áp dụng để tính diện tích hình (C )
tam giác D có các đỉnh (0, 0), (5, 2), (–3,8)
Bài 31: Chứng minh rằng với miền D thỏa định lý Green thì ta có thể tính diện tích D bằng các công thức
xdy , với (C) là đường cong kín bao quanh miền D . Áp dụng để tính diện tích tứ (C )
giác với các đỉnh (0, 0),(2,1),(–1, 3), (4, 4) . 10
Bài 32: Chứng minh rằng với miền D thỏa định lý Green thì ta có thể tính diện tích D bằng các
công thức 1 – ydx + xdy , với (C) là đường cong kín bao quanh miền D . Áp dụng để tính diện 2 (C )
tích tam giác với 3 đỉnh (a , b ), (a , b ), (a , b ) , với giả thiết 3 điểm này không thẳng hàng. 1 1 2 2 3 3 – y
Bài 33: Cho P(x, y) =
và Q(x, y) = x x2 + y2 x2 + y2 6 Q 6P a/ Chứng minh rằng = 6x 6y ( 6Q 6P
b/ Chứng minh rằng Pdx + Qdy – 6
dxdy , với (C) là đường cong kín bao x 6y (C ) D
quanh D : x2 + y2 1
c/ Giải thích vì sao định lý Green không thỏa ở câu b/
x2 + y2 = 2x
Bài 34: Tính tích phân đường I = xydx + y2dy , với (C) là nửa đường tròn ngược x 1 (C ) chiều kim đồng hồ.
Bài 35: Tính tích phân đường I = e–(x2 + y2 ) L(x + 2 y)dx + (x2 – y)dy , với (C) là đường tròn (C )
x2 + y2 = 4 theo chiều dương lượng giác.
(x – y)dx
(x + y)dy
Bài 36: Tính tích phân đường I = + , trong đó x2 + y2 x2 + y2 (C )
TH1: (C) là đường tròn x2 + y2 = a2 theo chiều dương lượng giác
TH2: (C) là đường cong tùy ý không bao quanh gốc tọa độ O , ngược chiều kim đồng hồ. (3,4)
Bài 37: Tính tích phân đường I = (ex + y)dx + (x – y3 )dy (1,–1) 1
Bài 38: Tính tích phân đường là
I = (x + y2 )dx + 2xdy , với (C)
đường ellipse x2 + 4 y2 = 1 , 4 (C )
phần y 0 , theo chiều kim đồng hồ.
Bài 37: Tính tích phân đường I = (xy + 2)dx + y2 xdy , với (C) là chu vi tam giác OAB , trong đó (C )
O(0, 0), A(1,1), B(0, 2) ngược chiều kim đồng hồ. 11
Bài 40: Tính tích phân đường I = xydx + 2 y2dy , với (C) là 1 / 2 đường tròn x2 + y2 = 4 cùng (C ) chiều kim đồng hồ.
Bài 41: Tính tích phân đường I = (x2 – y2 )dx + 2xydy , với (C) là 1 / 2 đường tròn x2 + y2 = 4x , (C )
y 0 ngược chiều kim đồng hồ
Bài 42: Tính tích phân đường I =
(x + 2 y)dx
+ ( y – 3x)dy , với
là đường tròn x2 + y2 = 9 (C) x2 + y2 x2 + y2 (C )
ngược chiều kim đồng hồ 2x + 3y
Bài 43: Tính tích phân đường
dx + x – 5 y dy , với (C) I = là phần tư ellipse x2 + 4 y2 x2 + 4 y2 (C )
x2 + 4 y2 = 1 ở góc phần tư thứ nhất, ngược chiều kim đồng hồ.
Bài 44: Tính tích phân đường I = e–x2 – y2 L(2xy +1)dx + (3y2 – x2 )dy , với (C) là đường tròn (C )
x2 + y2 = 1 cùng chiều kim đồng hồ.
Bài 45: Tính tích phân đường I = xydx + (2x + 3y)dy , với (C) là chu tuyến (biên của chu vi) (C ) y = x2
dương của miền D : y = 2 – x
Bài 46: Tính tích phân đường I = (x3 + 2 y)dx + (ey + 2x)dy , với (C) là đường cong tùy ý, nối từ (C )
A(1,1) đến B(3, 2) (3,2) xdx + ydy
Bài 47: Tính tích phân đường I =
theo đường cong tùy ý không chứa gốc O . x2 + y2 (1,1)
Bài 48: Tính tích phân đường I = (xy2 +1)dx + (x2 – y2 )dy , với (C) là nửa đường tròn (C )
x2 + y2 = 4 y , y 1 ngược chiều kim đồng hồ.
Bài 49: Tính tích phân đường I = 2xdx + ( y + z)dy + zdz , trong đó (C )
TH1: (C) là đoạn thẳng nối từ A(2,1, –1) đến B(3, 3, 2) (chiều từ A B )
TH2: (C) là giao của x2 + y2 = 1 và z = 2 – x2 + y2 theo chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương Oz . 12
Bài 50: Tính tích phân đường I = xydx + xzdy + yzdz , với (C) là giao của y = x2 và z = x từ (C ) (0, 0, 0) đến (1,1,1) .
Bài 51: Cho P(x, y) = (1+ x + y)e– y và Q(x, y) = (1– x – y)e– y
a/ Tìm h = h(x) , với h(0) = 1 để
I = h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy không phụ thuộc vào đường đi. (C )
b/ Với h(x) ở câu a/ hãy tính I , với (C) là 1 / 2 đường tròn x2 + y2 = 9 bên phải trục tung,
ngược chiều kim đồng hồ.
Bài 52: Tìm hàm h(x2 – y2 ) , với h(1) = 1 để tích phân sau không phụ thuộc vào đường đi
I = h(x2 – y2 ) L(x3 + xy2 )dy – (x2 y + y2 )dx (C ) 13
Bài 53: Tính tích phân mặt (loại 1) I = (x + 2z)dS , với (S ) là phần mặt phẳng x + y + z = 1 ở góc S phần 8 thứ nhất.
Bài 54: Tính tích phân mặt (loại 1) I = zdS , với (S ) là phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4 nằm trên S
hình nón z = x2 + y2
Bài 55: Tính tích phân mặt (loại 1) I = ( x + y)dS , với (S ) là phần mặt nón z = x2 + y2 nằm S
trong hình trụ x2 + y2 = 2x
Bài 56: Tính tích phân mặt (loại 1) I = dS , với (S ) là phần mặt paraboloic z = x2 + y2 nằm trong S
hình trụ x2 + y2 = 4 ở góc phần 8 thứ nhất.
Bài 57: Tính tích phân mặt (loại 1) I = x2dS , với (S ) là phần mặt trụ x2 + y2 = 4 nằm giữa 2 S z = 0 mặt phẳng z = 1 y
Bài 58: Tính tích phân mặt (loại 1) I = dS , với (S ) là phần mặt z = x2 + y2 giới hạn bởi z 2 S y = 1
y = 1 + 1– x2
Bài 59: Tính tích phân mặt (loại 1) I = zdS , với (S ) là phần mặt nón z = x2 + y2 nằm dưới S mặt phẳng z = 2 x
Bài 60: Tính tích phân mặt (loại 1) I =
dS , với (S ) là phần 8 mặt cầu x2 + y2 + z2 4 x 2+ y 2 S
trong góc x 0, y 0, z 0
Bài 61: Tính tích phân mặt (loại 1) I = xdS , với (S ) là phần mặt trụ x2 + y2 = 1 nằm giữa 2 mặt S
phẳng z = 0, z = 4
Bài 62: Tính tích phân mặt (loại 1) I = zdS , với (S ) là phần mặt trụ x2 + z2 = 4z bị cắt bởi mặt S
nón z = x2 + y2 14
Bài 63: Tính tích phân mặt (loại 2) I = (2x + y2 )dydz + (3z + x2 )dxdy , với (S ) là phần của mặt S
z = x2 + y2 nằm trong hình trụ x2 + y2 = 1, phía dưới nhìn từ hướng dương Oz .
z = x2 + y2
Bài 64: Tính tích phân mặt (loại 2) I =
xdydz , với (S ) là mặt phía dưới z = 0 S z = 6
Bài 65: Tính tích phân mặt (loại 2) I = ( x + 2 y)dydz + ( y + z)dxdz + (2x – z)dxdy , với (S ) là phần S
mặt nón z = x2 + y2 nằm trong hình trụ x2 + y2 = 4 , phía dưới.
Bài 66: Tính tích phân mặt (loại 2) I = ( x + z)dxdy , với (S ) là biên của vật thể bị giới hạn bởi S
z = x2 + y2 , z = 4 , phía ngoài.
Bài 67: Tính tích phân mặt (loại 2) I = ( x + 2 y)dydz + ( y + 2z)dxdz + (z + 2x)dxdy , với (S ) là phần S
mặt nón z = x2 + y2 bị cắt bởi mặt phẳng z = 2 , phía dưới, nhìn từ hướng dương Oz .
Bài 68: Tính tích phân mặt (loại 2) I = xdydz + ydxdz + (z2 +1)dxdy , với (S ) là nửa trên mặt cầu S
x2 + y2 + z2 = 2x (phần z 0 ), phía trong.
Bài 69: Tính tích phân mặt (loại 2) I = xdydz + ydxdz + (z +1)dxdy , với (S ) là phần mặt S
paraboloic z = x2 + y2 nằm dưới mặt phẳng x + z = 2 , phía dưới, nhìn từ hướng dương Oz .
Bài 70: Tính tích phân mặt (loại 2) I = ( x + z)dydz + 2 ydxdz + z2dxdy , với (S ) là phần mặt trụ S
x2 + y2 = 4 nằm giữa 2 mặt phẳng z = 0, z = 1, phía ngoài.
Bài 71: Tính tích phân mặt (loại 2) I = (z + x + 2)dxdy , với (S ) là phần hình cầu x2 + y2 + z2 = 1 ở S
góc phần 8 thứ nhất, phía trong.
Bài 72: Tính tích phân mặt (loại 2) I = (x + 2 y)dydz + ( y + 2z)dxdz + z2dxdy , với (S ) là phần mặt S
cầu x2 + y2 + z2 = 4 nằm trên mặt nón z = x2 + y2 , phía ngoài.
Bài 73: Tính tích phân mặt (loại 2) I = 2 ydx + 3xdy + xdz , với (C) là giao của x2 + y2 = 2x và mặt (C )
phẳng x + z = 2 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương Oz .
Bài 74: Tính tích phân mặt (loại 2) I = ( y2 – z2 )dx + (z2 – x2 )dy + (x2 – y2 )dz , trong đó (C ) 15
TH1: (C) là giao giữa paraboloic z = x2 + y2 và hình trụ x2 + y2 = 1 chiều ngược
chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương Oz
TH2: (C) là giao của x2 + y2 + z2 = 4 và x + y + z = 1 , chiều ngược chiều kim đồng
hồ, nhìn từ hướng dương Oz .
Bài 75: Tính tích phân mặt (loại 2) I = (2x + y)dydz + ( y + x2 )dxdz + (z + y2 )dxdy , với (S ) là phần S
mặt phẳng x + y + z = 2 ở góc phần 8 thứ nhất, phía dưới nhìn từ hướng dương Oz .
Bài 76: Tính tích phân I = xdydz + ydzdx + zdxdy , với S là phía trên của phần mặt phẳng S
x + z –1 = 0 , nằm giữa 2 mặt phẳng y = 0, y = 4 và thuộc góc phần tám thứ nhất.
Bài 77: Tính tích phân I = 2dxdy + ydxdz – xzdydz , với S là phía ngoài ellipsoid 4x2 + y2 + 4z2 = 4 S
và thuộc góc phần tám thứ nhất.
Bài 78: Tính tích phân I = xydS , với S là mặt z = 2x, 0 x 1, 0 y 2 S
Bài 79: Tính tích phân I = ( xy + y2 + yz)dS , với S là mặt x + y + z = 1, 0 y 1, 0 z 2 S
CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài 1: Giải phương trình vi phân cấp 1 y '+ 2 y = 4x
Bài 2: Giải phương trình vi phân cấp 1 y '+ y = cos x 2
Bài 3: Giải phương trình vi phân cấp 1 y '+ 2xy = xe–x
Bài 4: Giải phương trình vi phân cấp 1 y '+ ( 1– 2x y = 1 x2
Bài 5: Giải phương trình vi phân cấp 1 xy '+ y – ex = 0, y(a) = b
Bài 6: Giải phương trình vi phân cấp 1 xy '– y = x, y(1) = 0 x +1
Bài 7: Giải phương trình vi phân cấp 1 (1+ x2 ) y '– 2xy = (1+ x2 )2 16
Bài 8: Giải phương trình vi phân cấp 1 y ' = y 2x
Bài 9: Giải phương trình vi phân cấp 1 y ' = 3y –1 x
Bài 10: Giải phương trình vi phân cấp 1 y '+ 2ex y = ex 2 x
Bài 11: Giải phương trình vi phân y ' = y2
Bài 12: Giải phương trình vi phân x ' = ex sin t với x = x(t)
Bài 13: Giải phương trình vi phân y ' = x2 y2
Bài 14: Giải phương trình vi phân y ' = 1– y2 với y = y(x)
Bài 15: Giải phương trình vi phân (1+ x) ydx + (1– y)xdy = 0
Bài 16: Giải phương trình vi phân y ' = cos(x – y)
Bài 17: Giải phương trình vi phân (x2 – yx2 ) y '+ y2 + xy2 = 0
Bài 18: Giải phương trình vi phân y ' cos 2 y – sin y = 0
Bài 19: Giải phương trình vi phân y ' = y2 (1– y) với y = y(x)
Bài 20: Giải phương trình vi phân y '+ sin(x + y) = sin(x – y)
Bài 21: Giải phương trình vi phân (2x3 – xy2 )dx + (2 y3 – x2 y)dy = 0 xdy ( y
Bài 22: Giải phương trình vi phân = –1 dx x2 + y2 x2 + y2
Bài 23: Giải phương trình vi phân eydx + (xey – 2 y)dy = 0
xdx + (2x + y)dy
Bài 24: Giải phương trình vi phân = 0 (x + y)2
Bài 25: Giải phương trình vi phân (x + y +1)dx + (x – y2 + 3)dy = 0 17
Bài 26: Khi gặp phương trình dạng
y '+ a(x) y = b(x) y ta có thể đặt
z = y1– . Lúc này, hãy
chứng minh z thỏa z '+ (1– )a(x)z = (1– )b(x) . Tìm được z ta sẽ tìm được y. Dùng lý luận trên
để giải phương trình y '– y = 5x2 y5 2x
Bài 27: Khi gặp phương trình dạng
y '+ a(x) y = b(x) y ta có thể đặt
z = y1– . Lúc này, hãy
chứng minh z thỏa z '+ (1– )a(x)z = (1– )b(x) . Tìm được z ta sẽ tìm được y. Dùng lý luận trên
để giải phương trình y '+ y + y2 = 0 x +1
Bài 28: Khi gặp phương trình dạng
y '+ a(x) y = b(x) y ta có thể đặt
z = y1– . Lúc này, hãy
chứng minh z thỏa z '+ (1– )a(x)z = (1– )b(x) . Tìm được z ta sẽ tìm được y. Dùng lý luận trên
để giải phương trình y '+ 2xy = 2x3 y3
Bài 29: Khi gặp phương trình dạng
y '+ a(x) y = b(x) y ta có thể đặt
z = y1– . Lúc này, hãy
chứng minh z thỏa z '+ (1– )a(x)z = (1– )b(x) . Tìm được z ta sẽ tìm được y. Dùng lý luận trên
để giải phương trình xy '+ y = y2ln x
Bài 30: Khi gặp phương trình dạng
y '+ a(x) y = b(x) y ta có thể đặt
z = y1– . Lúc này, hãy
chứng minh z thỏa z '+ (1– )a(x)z = (1– )b(x) . Tìm được z ta sẽ tìm được y. Dùng lý luận trên
để giải phương trình y '– ytgx + y2 cos x = 0 ( y
Bài 31: Khi gặp phương trình dạng y ' = f ta đặt u = y , khi đó y = ux . Hãy chứng minh x x dx rằng = du
. Áp dụng để giải phương trình ( y – x)dx + ( y + x)dy = 0 x
f (u) – u ( y
Bài 32: Khi gặp phương trình dạng y ' = f ta đặt u = y , khi đó y = ux . Hãy chứng minh x x dx rằng = du
. Áp dụng để giải phương trình xyy '+ x2 – 2 y2 = 0 x
f (u) – u ( y
Bài 33: Khi gặp phương trình dạng y ' = f ta đặt u = y , khi đó y = ux . Hãy chứng minh x x dx rằng = du
. Áp dụng để giải phương trình y ' = x + y x
f (u) – u y x ( y
Bài 34: Khi gặp phương trình dạng y ' = f ta đặt u = y , khi đó y = ux . Hãy chứng minh x x dx rằng = du
. Áp dụng để giải phương trình (3y2 + 3xy + x2 )dx = (x2 + 2xy)dy x
f (u) – u 18 ( y
Bài 35: Khi gặp phương trình dạng y ' = f ta đặt u = y , khi đó y = ux . Hãy chứng minh x x du rằng dx
. Áp dụng để giải phương trình xdy – ( y – x2 + y2 )dx = 0 = x
f (u) – u ( y
Bài 36: Khi gặp phương trình dạng y ' = f ta đặt u = y , khi đó y = ux . Hãy chứng minh x x dx rằng = du
. Áp dụng để giải phương trình (3x2 + y2 ) y + ( y2 – x2 )xy ' = 0 x
f (u) – u ( y
Bài 37: Khi gặp phương trình dạng y ' = f ta đặt u = y , khi đó y = ux . Hãy chứng minh x x du y rằng dx
. Áp dụng để giải phương trình xy ' = y ln = x
f (u) – u x ( y
Bài 38: Khi gặp phương trình dạng y ' = f ta đặt u = y , khi đó y = ux . Hãy chứng minh x x du rằng dx
. Áp dụng để giải phương trình y ' = 2xy = x
f (u) – u x2 – y2 ( y
Bài 39: Khi gặp phương trình dạng y ' = f ta đặt u = y , khi đó y = ux . Hãy chứng minh x x dx du y y rằng =
. Áp dụng để giải phương trình y ' = e x + . x
f (u) – u x
Bài 40: Giải phương trình vi phân 2 y "+ y '– y = 2ex
Bài 41: Giải phương trình vi phân y "– 6 y '+ 9 y = 2x2 – x + 3
Bài 42: Giải phương trình vi phân y "+ a2 y = ex
Bài 43: Giải phương trình vi phân y "– 3y '+ 2 y = e–x
Bài 44: Giải phương trình vi phân y "– 7 y '+ 6 y = sin x
Bài 45: Giải phương trình vi phân y "+ y '– 2 y = 0
Bài 46: Giải phương trình vi phân y "– 4 y ' = 0
Bài 47: Giải phương trình vi phân y "– 9 y = 0
Bài 48: Giải phương trình vi phân y "+ y = 0
Bài 49: Giải phương trình vi phân y "+ 6 y '+13y = 0 19 d 2 x dx
Bài 50: Giải phương trình vi phân 4 – 20 + 25x = 0 dt 2 dt
Bài 51: Giải phương trình vi phân x"+ x '+ 7x = 0 với x = x(t) d 2 x
Bài 52: Giải phương trình vi phân +
4x = 0 với x = x(t) dt 2
Bài 53: Giải phương trình vi phân y "+ 6 y '+12 y = 0
Bài 54: Giải phương trình vi phân y "+ 2 y '+ 5 y = 0
Bài 55: Giải phương trình vi phân y "– 2 y '+ y = 0 y(0) = 6
Bài 56: Giải phương trình y "– 4 y '+ 3y = 0 với y '(0) = 10 y(0) = 0
Bài 57: Giải phương trình y "+ 4 y '+ 29 y = 0 với y '(0) = 15 y(0) = 2
Bài 58: Giải phương trình 4 y "+ 4 y '+ y = 0 với y '(0) = 0
Bài 59: Giải phương trình vi phân y "– 5 y '+ 6 y = 0
Bài 60: Giải phương trình vi phân y "– 4 y '+ 4 y = 0
Bài 61: Giải phương trình vi phân y "+ 4 y = 0
Bài 62: Giải phương trình vi phân y '''– 4 y "+ 3y ' = 0
Bài 63: Giải phương trình vi phân y ''''+ y = 0
Bài 64: Giải phương trình vi phân 4 y ''''+ 4 y "+ y = 0
Bài 65: Giải phương trình vi phân y ' ' '– 6 y ' ' + 9 y ''' = 0
Bài 66: Giải phương trình vi phân y "– 3y '+ 2 y = 2x3 – 30
Bài 67: Giải phương trình vi phân y "– 2 y '+ 2 y = x2
Bài 68: Giải phương trình vi phân y "+ 2 y '– 3y = 4e–x
Bài 69: Giải phương trình vi phân y "– 6 y '+ 9 y = 4e3x 20