40 trang 6 lượt tải

Đề cương môn giải tích - Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng

12

Địnhnghĩa1(TíchphânđườngloạiI)TíchphânđườngcủaftrênCđượckíhiệulà  Cfds vàđượcđịnhnghĩalà

Đề cương môn giải tích - Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

Tài liệu gồm 40  trang , giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao.

 

Môn: Giải tích 2(GT2101) 17 tài liệu

Trường: Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng 1 K tài liệu

Tác giả:

Profile

giang le

1 tuần trước
Danh sách Quiz
/40
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT
GIẢI TÍCH II
Mục lục
1
Tích phân đường và Tích phân mặt
1
1.1
Tích phân đường ........................................................................................................................... 1
1.1.1
Đường cong
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2
Tích phân đường loại
I
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.3
Tích phân đường loại
II
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.4
Mối liên hệ giữa tích phân đường loại
I
và loại
II
. . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Mặt
cong
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.1
Phương trình tham số mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Công thức diện tích mặt cong ...................................................................................................... 4
1.3.1
Vi phân diện tích mặt cong .............................................................................................. 4
1.4
Tích phân mặt loại I
.....................................................................................................................
5
1.5
Tích phân mặt loại II
....................................................................................................................
6
1.5.1
Cosin chỉ phương của pháp tuyến của mặt S ................................................................. 8
1.5.2
Định nghĩa tích phân mặt loại II
......................................................................................
9
2
Các định
lj
cơ bản của Giải tích vector
10
2.1
Định lý Green
.............................................................................................................................
10
2.2
Định lý Ostrogradsky .................................................................................................................... 11
2.3
Định lý Stokes .............................................................................................................................. 12
3
Lj
thuyết trường
12
3.1
Trường vector và đường dòng ..................................................................................................... 13
3.2
Thông lượng, div và trường ống ................................................................................................. 13
3.3
Hoàn lưu và trường xoáy ............................................................................................................. 14
3.4
Vector xoáy ................................................................................................................................... 14
3.5
Trường thế và hàm thế vị ............................................................................................................ 14
3.6
Trường điều hòa ........................................................................................................................... 14
4
Bài tập luyện
tập
15
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
x
=
x
(
t
)
1
Tích phân đường và Tích phân mặt
1.1
Tích phân đường
1.1.1
Đường cong
Cho đường cong
C
có phương trình
r
(
t
) :=
r
(
t
) =
x
(
t
)
e
x
+
y
(
t
)
e
y
+
z
(
t
)
e
z
, t
∈
[
a,
b
]
hay
y = y(t)
x = z(t),
, t
∈
[
a, b
]
.
R
1
a t b
Hình 1: Đường cong
C
trong
R
3
Đường cong
C
được gọi là
•
liên tục
nếu các hàm tọa độ là các hàm liên tục;
•
khả vi
nếu các hàm tọa độ là các hàm khả vi;
•
đóng
nếu điểm đầu và điểm cuối trùng nhau: (
x
(
a
)
, y
(
a
)
, z
(
a
))
=
(
x
(
b
)
, y
(
b
)
, z
(
b
)).
•
đơn
nếu
a < t
1
< t
2
<
b
kéo theo (
x
(
t
1
)
, y
(
t
1
)
, z
(
t
1
))
=
(
x
(
t
2
)
, y
(
t
2
)
, z
(
t
2
));
•
trơn nếu các hàm tọa độ có đạo hàm liên tục và không đồng thời bằng 0 với mọi t.
1.1.2
Tích
phân đường loại
I
Định nghĩa 1
(Tích
phân đường loại
I)
Tích phân đường của
f
trên
C
được kí hiệu là
C
f
ds
và được định nghĩa là:
r(t)
0
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
x
=
x
(
t
)
=
P
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
x
′
(
t
) +
Q
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
y
′
(
t
) +
R
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
z
′
(
t
)
dt.
Công thức tính:
∫ ∫ ∫
b
√
•
Nếu C là đường cong phẳng cho bởi
x
=
x
(
t
)
y
=
y
(
t
)
,
, t
∈
[
a, b
]
.
thì
∫ ∫
b
√
•
Nếu
C
là đường cong phẳng cho bởi
y
=
y
(
x
)
, x
∈
[
a, b
] thì
∫ ∫ ∫
b
√
•
Nếu
C
là đường cong phẳng cho bởi phương trình tọa độ cực
r
=
r
(
φ
)
, φ
∈
[
α, β
] thì
f
(
x, y
)
ds
=
C
f
(
x, y
)
dl
=
C
β
f(r(φ) cos φ, r(φ) sin φ)
α
√
(
r
(
φ
))
2
+
(
r
′
(
φ
))
2
dφ
1.1.3
Tích
phân đường loại
II
Định
nghĩa 2
(Tích
phân đường loại
II)
Cho đường cong
C
có phương trình
r
(
t
) :=
r
(
t
) =
x
(
t
)
e
x
+
y
(
t
)
e
y
+
z
(
t
)
e
z
, t
∈
[
a,
b
]
hay
y = y(t)
x = z(t),
,
t ∈ [a, b]
với điểm
đầu
A
=
(
x
(
a
)
, y
(
a
)
, z
(
a
)) và điểm cuối
B
=
(
x
(
b
)
, y
(
b
)
, z
(
b
)). Tích phân
đường
loại
II
của
hàm
F
=
(
P, Q, R
) trên
C
được
ký hiệu và tính bởi công
thức
∫
P
(
x, y, z
)
dx
+
Q
(
x, y, z
)
dy
+
R
(
x, y, z
)
dz
∫
b
f
(
x, y, z
)
ds
=
f
(
x, y, z
)
dl
=
f
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
C
C
a
C
f
(
x, y
)
dl
=
f
(
x
(
t
)
,
y
(
t
))
C
a
f
(
x, y
)
ds
=
f
(
x, y
)
dl
=
f
(
x,
y
(
x
))
C
C
a
a
(
∫
(
x
′
(
t
))
2
+ (
y
′
(
t
))
2
+
(
z
′
(
t
))
2
dt
f
(
x, y
)
ds
=
(
x
′
(
t
))
2
+
(
y
′
(
t
))
2
dt
1
+
(
y
′
(
x
))
2
dx
∫
∫
∫
C
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
x
=
x
(
u, v
)
C
C
•
Nếu C là đường cong phẳng cho bởi
x
=
x
(
t
)
y
=
y
(
t
)
,
, t
∈
[
a, b
]
.
thì
P
(
x, y
)
dx
+
Q
(
x, y
)
dy
=
C
b
P
(
x
(
t
)
, y
(
t
))
x
′
(
t
) +
Q
(
x
(
t
)
, y
(
t
))
y
′
(
t
)
dt
a
•
Nếu
C
là đường cong phẳng cho bởi
y
=
y
(
x
)
, x
∈
[
a, b
] thì
P
(
x, y
)
dx
+
Q
(
x, y
)
dy
=
C
b
P
(
x, y
(
x
)) +
Q
(
x, y
(
x
))
y
′
(
x
)
dx.
a
Chú
j
1
Khi
đổi hướng đường cong lấy tích phân thì tích phân đường loại
II
đổi dấu.
1.1.4
Mối liên hệ gifia tích phân đường loại
I
và loại
II
Gọi
α, β, γ
là các góc tạo bởi tiếp tuyến của đường cong
C
với các trục tọa độ
Ox, Oy, Oz
ta có
∫
P
(
x, y, z
)
dx
+
Q
(
x, y, z
)
dy
+
R
(
x, y, z
)
dz
=
∫
(
P
cos
α
+
Q
cos
β
+
R
cos
γ
)
ds.
1.2
Mặt cong
Phương trình mặt cong trong không gian thường được cho bởi các dạng sau:
i)
Dạng tổng quát (dạng ẩn):
F
(
x, y, z
)
=
0.
ii)
Dạng tham số
hay dạng vector
y = y(u, v)
z = z(u, v),
(
u, v
)
∈
D
⊂
R
2
r
(
u, v
)
=
x
(
u, v
)
i
+
y
(
u, v
)
j
+
z
(
u, v
)
k
,
(
u, v
)
∈
D
⊂
R
2
trong đó
i
,
j
,
k
lần lượt là ba vector đơn vị trên các trục
Ox, Oy, Oz
.
iii)
Dạng
hiển
z
=
f
(
x, y
)
hoặc
y
=
g
(
x, z
)
hoặc
x
=
h
(
y, z
).
1.2.1
Phương trình tham số mặt cong
Ví
dụ 1
Viết phương trình tham số của mặt cầu tâm (0
,
0
,
0) bán kính
a
.
Ví
dụ 2
Viết phương trình tham số của các mặt sau
(a)
3
x
−
2
y
+
z
=
2
(b)
z
=
x
2
+
y
2
(
∫
∫
∫
∫
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
R
2
∂u ∂v
×
2
dudv.
√
√
ột mặt cong trơn
∂u
×
∂v
√
√
dudv.
Hình 2: Tham số hóa mặt cong
S
trong
R
3
Hình 3: Vi phân diện tích mặt
1.3
Công thfíc diện tích mặt cong
1.3.1
Vi phân diện tích mặt cong
Diện tích của m
là
r
(
u, v
)
=
x
(
u, v
)
i
+
y
(
u, v
)
j
+
z
(
u, v
)
k
,
(
u, v
)
∈
D
⊂
R
2
D
(
u,
v
)
r(u, v)
0
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
D
D
b
b
2
b
3
b
1
b
3
b
1
b
2
S
D
S
D
S
D
D
Ở đây ta sử dụng ký hiệu tích có hướng của hai vector:
i
j
k
a
a
a
a
a
a
a
×
b
=
a
1
a
2
a
3
=
2
3
i
−
1
3
j
+
1
2
k
(1)
= (
a
2
b
3
−
a
3
b
2
)
i
−
(
a
1
b
3
−
a
3
b
1
)
j
+ (
a
1
b
2
−
a
2
b
1
)
k
,
(2)
a
×
b
:=
|
a
×
b
|
=
√
(
a
2
b
3
−
a
3
b
2
)
2
+ (
a
1
b
3
−
a
3
b
1
)
2
+ (
a
1
b
2
−
a
2
b
1
)
2
•
Công thức diện tích mặt của mặt cong dạng
z
=
z
(
x, y
)
,
(
x, y
)
∈
D
xy
là
∫∫
dS
=
∫∫
s
∂z
2
∂z
2
∂y
+
1
dxdy.
•
Công thức diện tích mặt của mặt cong dạng
x
=
x
(
y, z
)
,
(
y, z
)
∈
D
yz
là
∫∫
dS
=
∫∫
s
∂x
2
∂x
2
∂z
+
1
dydz.
•
Công thức diện tích mặt của mặt cong dạng
y
=
y
(
x, z
)
,
(
x, z
)
∈
D
xz
là
∫∫
dS
=
∫∫
s
∂y
2
∂y
2
∂z
+
1
dxdz.
1.4
Tích phân mặt loại I
Bài toán đưa đến việc xây dựng tích phân mặt loại I: Tính khối lượng mặt cong có hàm mật độ khối
lượng
f
(
x,
y, z
).
Định
lj
1
Cho
S
là một mặt cong trong
R
3
được
tham số
bởi
r
(
u, v
)
=
x
(
u, v
)
i
+
y
(
u, v
)
j
+
z
(
u, v
)
k
,
và
f
(
x,
y, z
) là hàm xác định trên
tập
con của
R
3
chứa
S
. Khi đó
∫∫
f
(
x, y, z
)
dS
=
∫∫
∂
r
f
(
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)
, z
(
u, v
))
∂
r
du dv
=
∫∫
=
∫∫
∂u
×
∂v
f
(
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)
, z
(
u, v
))
√
A
2
+
B
2
+
C
2
du dv
f
(
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)
, z
(
u, v
))
√
EG
−
F
2
du dv .
1
b
2
b
3
∂x
∂y
∂x
+
+
+
S
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
2
2
¨
¨
S
D
S
D
S
D
trong đó A =
và
D
(
y, z
)
D
(
u, v
)
, B
=
D
(
z,
x
)
D
(
u, v
)
, C
=
D
(
x, y
)
,
D
(
u, v
)
¨
∂
r
¨
¨
∂
r
¨
∂
r
∂
r
¨
∂u
¨
, G
=
∂v
,
F
=
∂u
·
∂v
•
Nếu mặt
S
cho bởi
z
=
z
(
x, y
)
,
(
x, y
)
∈
D
thì công thức tính tích phân mặt loại
I
có dạng
∫∫
f
(
x, y, z
)
dS
=
∫∫
f
(
x, y, z
(
x, y
))
s
∂z
2
∂z
2
∂y
+
1
dxdy
•
Nếu mặt
S
cho bởi
y
=
y
(
x, z
)
,
(
x, z
)
∈
D
thì công thức tính tích phân mặt loại
I
có dạng
∫∫
f
(
x, y, z
)
dS
=
∫∫
f
(
x, y
(
x, z
)
, z
)
s
∂y
2
∂y
2
∂z
+
1
dxdz.
•
Nếu mặt
S
cho bởi
x
=
x
(
y, z
)
,
(
y, z
)
∈
D
thì công thức tính tích phân mặt loại
I
có dạng
∫∫
f
(
x, y, z
)
dS
=
∫∫
f
(
x
(
y, z
)
, y, z
)
s
∂x
2
∂x
2
∂z
+
1
dydz
1.5
Tích phân mặt loại II
Mặt không định hướng được: Dải Mobius, chai Klein,
. . .
(sẽ không xét tích phân mặt loại II trên
các mặt này)
Hình 4: Dải Mobius và Chai Klein
Mặt định hướng được: mặt cầu, mặt trụ, mặt paraboloid,...
Bài toán đưa đến việc xây dựng tích phân mặt loại II: Tính từ thông qua một mặt
S
, tính lưu
lượng nước chảy qua một mặt S (thông lượng, lưu lượng).
∂x
∂x
∂y
E
=
+
+
+
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
F
v = Q(x, y, z)
, n =
cos(Oy, n)
= cos β
.
Hình 5: Lưu lượng chất lỏng chảy qua mặt cong
S
Phân tích: Ta hãy hình dung có một mặt
S
hai phía được nhúng chìm trong một môi trường của
vật chất lỏng đang chạy ở chế độ dừng tức là tại mỗi điểm
M
(
x, y, z
) thì vận tốc của phần tử chất
lỏng tại đó là một vectơ
v
(
x, y, z
) không phụ thuộc vào thời gian
t
. Hãy tính lưu lượng của chất
lỏng chảy qua mặt
S
tức là lượng chất lỏng chảy qua
S
trong một đơn vị thời gian theo một phía
nào đó xác định bởi chiều của vectơ pháp tuyến
n
.
Xét một diện tích vi phân
dS
tại điểm
M
(
x, y, z
). Trong một đơn vị thời gian lượng chất lỏng
chảy qua mảnh
dS
lấp đầy một hình trụ nghiêng có đáy
dS
và đường sinh song song với vectơ vận
tốc
v
(
x, y, z
) và bằng độ dài vectơ đó .
Thể tích của hình trụ bằng lượng chất lỏng chạy qua
F
trong một đơn vị thời gian và bằng
d
F
=
đáy
×
chiều cao
=
v
·
ndS
(Nếu góc (
v, n
)
< π/
2, lượng chất lỏng chảy qua
dS
theo phía
n
có dấu dương. Còn nếu góc
(
v, n
)
>
π/
2, lượng chất lỏng chảy qua
dS
theo phía
n
có dấu âm)
Giả sử vận tốc
v
và
n
lần lượt có các thành phần
P
(
x,
y,
z
)
cos(
Ox,
n)
cos
α
Khi đó
R
(
x, y, z
)
cos(
Oz,
n
)
cos γ
d
F
= (
P
(
x, y, z
) cos
α
+
Q
(
x, y, z
) cos
β
+
R
(
x, y, z
) cos
γ
)
dS
Vì vậy lưu lượng
F
của chất lỏng chảy qua mặt
S
bằng
F
=
∫∫
d
F
=
∫∫
v
·
ndS
=
∫∫
=
∫∫
(
P
(
x, y, z
) cos
α
+
Q
(
x, y, z
) cos
β
+
R
(
x, y, z
) cos
γ
)
dS
P
(
x, y, z
)
dydz
+
Q
(
x, y, z
)
dzdx
+
R
(
x, y, z
)
dxdy.
S
S
n
S
S
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
A
=
=
, B
=
=
, C
=
=
.
q
∂u
∂v
x
=
x
π
1.5.1
Cosin chỉ phương của pháp tuyến của mặt
S
∂
r
∂
r
Ta biết
N
=
×
=
(
A, B, C
) trong đó
D
(
y, z
)
y
u
′
y
v
′
D
(
z, x
)
z
u
′
z
v
′
D
(
x, y
)
x
′
u
x
′
v
D
(
u, v
)
z
u
′
z
v
′
D
(
u, v
)
x
′
u
x
′
v
D
(
u, v
)
y
u
′
y
v
′
N là vector pháp tuyến của của mặt cong S. Từ đó dễ thấy, cosin chỉ phương của vector pháp tuyến
bằng
cos(
Ox, N
) =
√
cos(Oy, N) =
√
A
,
A
2
+
B
2
+
C
2
B
,
cos(
Oz, N
) =
√
•
Nếu mặt cong
S
có phương trình
A
2
+
B
2
+
C
2
C
.
A
2
+
B
2
+
C
2
z
=
z
(
x, y
)
,
(
x, y
)
∈
D
xOy
.
Khi đó ta có thể quan niệm
S
là mặt tham số như sau (
u
=
x, v
=
y
)
hay dạng vector
y
=
y
z = z(x, y),
(
x, y
)
∈
D
⊂
R
2
Khi đó
r
(
x, x
)
=
x
i
+
y
j
+
z
(
x, y
)
k
,
(
x, y
)
∈
D
⊂
R
2
N
= (
−
z
x
′
,
−
z
y
′
,
1)
Cosin chỉ phương của vector pháp tuyến bằng
cos(
O
x,
N
)
=
q
cos(
O
y
,
N
)
=
q
−
z
x
′
,
1
+
(
z
x
′
)
2
+
(
z
y
′
)
2
−
z
y
′
,
cos(
O
z
,
N
)
=
q
1
+
(
z
x
′
)
2
+
(
z
y
′
)
2
1
.
1
+
(
z
x
′
)
2
+
(
z
y
′
)
2
Do cos(
Oz, N
) =
1
+
(
z
x
′
)
2
+
(
z
y
′
)
2
>
0 nên góc (
Oz, N
)
<
.
2
Nếu phương trình mặt cong có dạng
z
=
z
(
x, y
) thì
N
=
(
−
z
x
′
,
−
z
y
′
,
1) là pháp tuyến hướng lên
phía trên của
S
.
1
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
S
S
S
S
A
S
D
B
C
:=
S
D
1.5.2
Định nghĩa tích phân mặt loại II
Cho một trường vector
F
(
x, y, z
)
=
(
P
(
x, y, z
)
, Q
(
x, y, z
)
, R
(
x, y, z
)) và một mặt cong
S
hai phía
r
(
u, v
) =
x
(
u, v
)
·
i
+
y
(
u, v
)
·
j
+
z
(
u, v
)
·
k
.,
(
u, v
)
∈
D
Giả sử
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)
, z
(
u, v
) khả vi liên tục và ma trận
∂x
∂y
∂z
∂u
∂u
∂u
∂x
∂y
∂z
∂v ∂v ∂v
có hạng bằng 2. Giả sử
S
được định hướng dương theo vector pháp tuyến đơn vị
n
=
n
(
x, y, z
) là
pháp tuyến đơn vị đối với mặt cong
S
tại điểm (
x, y, z
).
Nếu vector N cùng hướng với n thì
∫∫
Pdydz
+
Qdzdx
+
Rdxdy
=
∫∫
F
·
dS
=
∫∫
(
F
·
n
)
dS
`
∫∫
ký hiệu tp
˛¸
mặt loại II
x
ký h
`
iệu tp
˛¸
mặt lo
x
ại II
ký
`
hiệu tp
˛¸
mặt loại
x
II
∫
`
∫
tp mặ
˛
t
¸
loại I
x
=
`
∫
∫
P
√
A
2
+
B
2
+
C
2
+
Q
√
A
2
+
B
2
+
C
2
+
R
√
A
2
+
B
2
+
C
2
dS
tp mặ
˛
t
¸
loại I
x
=
P
√
D
A
A
2
+
B
2
+
C
2
+
Q
√
B
A
2
+
B
2
+
C
2
+
R
√
C
A
2
+
B
2
+
C
2
√
A
2
+
B
2
+
C
2
dudv
=
`
∫
∫
(
PA
+
QB
+
RC
)
dudv
tích
p
˛
hâ
¸
n
kép
x
`
tích
p
˛
hâ
¸
n
kép
x
Nếu vector N ngược hướng với n thì
∫∫
Pdydz
+
Qdzdx
+
Rdxdy
=
−
∫∫
(
PA
+
QB
+
RC
)
dudv.
Các trường hợp đặc biệt
•
z
=
z
(
x, y
)
,
(
x, y
)
∈
D
xOy
⊂
R
2
. Khi đó chọn
u
=
x, v
=
y
ta có phương trình tham số của
S
r
(
u, v
) =
r
(
x, y
) = (
x, y, z
(
x, y
))
,
(
x, y
)
∈
D
xOy
.
(
P
cos
α
+
Q
cos
β
+
R
cos
γ
)
dS
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
∂P
∂y
dxdy.
·
S
S
S
Ta có
Khi đó vector pháp tuyến
r
u
(
u, v
) =
r
x
(
x, y
) = (1
,
0
, z
x
(
x, y
))
r
v
(
u, v
) =
r
y
(
x, y
) = (0
,
1
, z
y
(
x, y
))
i
j
k
N
=
r
x
(
x, y
)
×
r
y
(
x, y
)
=
1 0
z
x
(
x, y
)
=
−
z
x
i
−
z
y
j
+
k
.
0 1
z
y
(
x, y
)
Tích
vô hướng
N
k
=
1
>
0 nên góc
(
N,
Oz
) là góc nhọn nên
N
là vector pháp hướng lên
trên.
•
Nếu
S
được định hướng lên trên thì
∫∫
Pdydz
+
Qdzdx
+
Rdxdy
=
∫∫
D
xOy
[
−
P
(
x, y, z
(
x, y
))
z
x
(
x, y
)
−
Q
(
x, y, z
(
x, y
))
z
y
(
x, y
) +
R
(
x, y, z
(
x, y
)]
dxdy.
Đặc biệt nếu
P
=
Q
=
0 thì
∫∫
R
(
x, y, z
)
dxdy
=
∫∫
D
xOy
R
(
x, y, z
(
x, y
))
dxdy
.
•
Nếu
S
được định hướng xuống dưới thì
∫∫
Pdydz
+
Qdzdx
+
Rdxdy
=
−
∫∫
D
xOy
[
−
P
(
x, y, z
(
x, y
))
z
x
(
x, y
)
−
Q
(
x, y, z
(
x, y
))
z
y
(
x, y
) +
R
(
x, y, z
(
x, y
)]
dxdy.
Đặc biệt nếu
P
=
Q
=
0 thì
∫∫
R
(
x, y, z
)
dxdy
=
−
∫∫
D
xOy
R
(
x, y, z
(
x, y
))
dxdy
.
•
y
=
y
(
x, z
)
,
(
x, z
)
∈
D
xOz
⊂
R
2
và
x
=
x
(
y, z
)
,
(
y, z
)
∈
D
yOz
⊂
R
2
. Ta cũng có kết luận tương
2
Các định
lj
cơ bản của Giải tích vector
2.1
Định
lj
Green
Định
lj
2 (Công thfíc Green)
Cho
D
là một
miền trong
R
2
bị
chặn
bởi
đường cong đóng, trơn
từng khúc
C
và
P
(
x, y
)
, Q
(
x, y
) là các hàm liên tục có các
đạo
hàm
riêng
liên tục
trong miền mở
chứa
D
¯
. Khi
đó
tự.
S
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
S
V
S
S
S
V
trong đó chiều dương của đường cong lấy ngược chiều kim đồng hồ.
Định
lj
3 (Định
lj
bốn mệnh đề tương đương)
Giả sử
D
là một miền đơn liên và
P
(
x, y
)
, Q
(
x, y
)
là hai hàm khả vi liên tục trong D. Khi đó bốn điều kiện sau là tương đương:
∂Q
1.
∂x
≡
∂P
∂y
, ∀x, y ∈ D,
2.
Tích phân
trong
D
,
3.
Tích
phân
P
(
x,
y)dx
+
Q
(
x,
y)dy
=
0 đối với mọi đường cong kín γ, trơn từng khúc, nằm
γ
-
-
P
(
x,
y)dx
+
Q
(
x,
y)dy trên mọi đường cong hở
AB
,
trơn từng khúc, nằm trong
AB
D
chỉ phụ thuộc vào vị trí của hai đầu
A, B
của đường cong mà không phụ thuộc vào đường
cong cụ thể nào nối từ
A
đến
B
.
4.
Tồn tại một hàm khả vi
F
(
x, y
) xác định trong
D
sao cho
dF
=
P
(
x, y
)
dx
+
Q
(
x, y
)
dy.
2.2
Định
lj
Ostrogradsky
Định
lj
4 (Công thfíc Gauss-Ostrogradsky)
Nếu các hàm
P
(
x, y, z
)
, Q
(
x, y, z
)
, R
(
x, y, z
) liên
tục và tất cả các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng cũng liên tục trong miền
V
thì
∫∫
Pdydz
+
Qdxdz
+
Rdxdy
=
∫∫∫
∂P
∂Q
+
∂x ∂y
+
∂R
dxdydz
∂z
trong đó mặt S được định hướng theo pháp tuyến ngoài.
Dạng vector của công thức Ostrograksky
∫∫
F
·
d
S
=
∫∫∫
(∇
·
F) dV ,
với
F
(
x, y, z
)
=
P
(
x, y, z
)
,Q
(
x, y, z
)
,R
(
x, y, z
)
. Ta có các công thức tính thể tích sau:
V
=
∫∫
xdydz
=
∫∫
ydxdz
=
∫∫
zdxdy
=
∫∫∫
dxdydz
S
V
∫
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
I
2.3
Định
lj
Stokes
Định
lj
5 (Công thfíc Stokes)
Cho
S
là
mặt
trơn với biên là
đường
cong
đóng
C
và
F
(
x, y, z
)
=
P
(
x, y, z
)
, Q
(
x, y, z
)
, R
(
x, y, z
)
là các hàm khả vi liên tục trên tập mở trong
R
3
chứa
S
. Khi đó
F
·
d
r
=
∫∫
(
∇ ×
F
)
·
d
S
=
∫∫
(∇ × F)
·
ndS,
trong đó
∂R
∂Q
∂P
∂R
∂Q
∂P
∇ × F =
∂y
−
∂z
i
+
∂z
−
∂x
j
+
∂x
−
∂y
k
là curl của trường vector
F
.
Hướng của đường cong và hướng của mặt được xác định theo quy tắc
bàn tay phải.
Dạng viết khác của công thức Stokes
I
Pdx
+
Qdy
+
Rdz
=
∫∫
∂R
−
∂Q
dydz
+
∂P
—
∂R
dzdx
+
∂Q
−
∂P
dxdy.
∂y ∂z
C
S
∂z ∂x ∂x ∂y
Hình 6: Định lý Stokes và quy tắc bàn tay phải
3
Lj
thuyết trường
(Đang chỉnh sửa)
C
S
S
=
i
j
k
∂
∂
∂
∂x
P
∂y
Q
∂z
R
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
3.1
Trường vector và đường dòng
Định
nghĩa 3
Cho
D
là miền trong
R
2
(miền phẳng) xác định một trường vector
F
nếu tại mọi
điếm
M
(
x, y
)
∈
D
đều xác định đại lượng vector
F
(
x, y
) =
P
(
x, y
)
i
+
Q
(
x, y
)
j
.
Định
nghĩa 4
Cho Ω là miền trong
R
3
xác định một trường vector
F
nếu tại mọi điếm
M
(
x, y, z
)
Ω đều xác định đại lượng vector
F
(
x, y, z
) =
P
(
x, y, z
)
i
+
Q
(
x, y, z
)
j
+
R
(
x, y, z
)
k
.
3.2
Thông lượng, div và trường ống
Định
nghĩa 5
Thông lượng của một dòng chảy qua một bề mặt là đại lượng chỉ lưu lượng chảy
qua bề mặt vuông góc với hướng chảy trong một đơn vị thời gian. Thông lượng của trường vector
F
=
P
(
x, y, z
)
i
+
Q
(
x, y, z
)
j
+
R
(
x, y, z
)
k
qua mặt S là:
Φ
=
∫∫
F
·
n
dS
=
∫∫
Pdydz
+
Qdzdx
+
Rdxdy,
trong đó n là vector pháp tuyến của mặt S theo hướng dòng chảy.
Định nghĩa 6
Cho trường vector
F
=
P
(
x, y, z
)
i
+
Q
(
x, y, z
)
j
+
R
(
x, y, z
)
k
trên
R
3
và
∂P
,
∂Q
,
∂R
tồn tại thì div của
F
là
∂P
div
F
=
∂x
∂Q
∂R
+
+
.
∂y ∂z
∂x ∂y
∂z
Định nghĩa 7
Giả sử
F
là truờng vector xác định trên Ω có div
F
là hàm liên tục tại mọi điểm
thuộc Ω.
•
Nếu div
F
(
M
)
>
0, thì
M
được gọi là điểm nguồn của truờng
F
.
•
Nếu div
F
(
M
)
<
0, thì
M
được gọi là điểm rò (hút) của trường
F
.
•
Nếu div
F
(
M
) =
0 tại mọi
M
thì trường
F
gọi là trường ống (trường không nén được).
Định
lj
6
Tính chất của trường ống
•
Nếu
F
là truờng ống thì thông lượng đi vào miền bằng thông lượng đi ra miền.
Khi
đó, ta nói
rằng trường vectơ
F
có thông lượng được bảo toàn.
•
Thông lượng của truờng ống qua mặt cong kín S bất kỳ trong truờng đều bằng 0.
S
S
∈
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
C
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
3.3
Hoàn lưu và trường xoáy
Định
nghĩa 8
Cho trường vector
F
=
P
(
x, y, z
)
i
+
Q
(
x,
y,
z
)
j
+
R
(
x,
y, z
)
k
và đường cong
(có thể
kín hoặc không kín) trong không gian. Đại lượng
Pdx
+
Qdy
+
Rdz
C
được gọi là hoàn lưu (hay lưu số) của
F
dọc theo đường cong C.
Theo ý ngh¯ıa cơ học của tích phân đường loại 2 nếu
F
là trường lực thì hoàn lưu của nó dọc theo
đường cong C là công do lực
F
sinh ra khi vật di chuyến dọc theo C.
3.4
Vector xoáy
Định nghĩa 9
r
−
→
o
t
F
=
∂R
−
∂Q
i
+
∂P
−
∂R
j
+
∂Q
−
∂P
k.
Định
lj
7
Nếu
u
là hàm vô hướng có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục thì
r
−
→
o
t
(
g
−−
r
a
→
d
u
)
=
→
−
0
.
Định
lj
8
Cho trường vector
F
=
Pi
+
Qj
+
Rk
trên
R
3
và các đạo hàm riêng cấp 2 của
P, Q, R
liên tục thì div(rot
F
)
=
0.
3.5
Trường thế và hàm thế vị
Định
nghĩa 10
Truờng vector
F
(
M
)
được gọi là trường thế nếu tồn tại truờng vô hướng
u
(
M
) sao
cho:
F
(
M
) =
g
−−
r
a
→
d
u
(
M
)
Khi
đó hàm
u
(
M
) được gọi là hàm thế vị của trường
F
(
M
).
3.6
Trường điều hòa
Định
nghĩa
11
Trường vector
F
(
M
)
được gọi là trường điều hòa nếu nó vừa là truờng ống vừa là
trường thế, tức là:
r
−−
o
−
t
→
F
=
→
−
0
div
F
=
0
.
Định
lj
9
Hàm thế vị
u
(
M
) của trường điều hòa
F
(
M
) là hàm điều hòa, túc là
u
(
M
). thóa mãn
phuong trình Laplace: ∆
u
=
0 hay
∂
2
u
+
∂
2
u
+
∂
2
u
=
0.
∂x
2
∂y
2
∂z
2
∫
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
∫
∫
∫
∫
∫
ds
=
f
(
x,
y
(
x
))
2x(
I
∫
—
∫
2
1
4
Bài tập luyện tập
Câu
1
............................................................................................................................................
(10 điểm)
Tính tích phân đường
C
O
(0; 0) đến
A
(2; 0).
ydx
−
(
x
−
y
)
dy
, với
C
là nửa đường tròn
x
2
+
y
2
=
2
x, y
≥
0, đi từ
Giải: Phương trình tham số của nửa đường tròn
C
là
x
=
1
+
cos
t, y
=
sin
t
,
t
O
=
π, t
A
=
0.
Tích phân
∫
ydx − (x − y)dy =
=
0
[sin
t
(
−
sin
t
)
−
(1
+
cos
t
−
sin
t
) cos
t
]
dt
0
[
−
1
−
cos
t
+
sin
t
cos
t
]
dt
=
π.
Câu
2
............................................................................................................................................
(10 điểm)
Tính tích phân đường
I
=
L
x
2
+
y
dx
+
(
x
−
xy
)
dy
, với
L
là biên của miền
D
giới hạn bởi
các đường
y
=
x
2
, y
=
0 và
x
=
1, chiều dương lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
Giải:
L
là đường cong kín
OABO
, với
A
(1; 0)
, B
(1; 1).
I
=
OA
OA
·
·
·
+
BO
·
·
·
+
BO
·
·
·
1
=
x
2
dx
+
0
1
(1
y)dy
+
0
∫
0
2
x
2
+
x
−
x
3
2
x
dx
1 1 14 1
=
3
+
2
−
15
=
−
10
.
Câu
3
............................................................................................................................................
(10 điểm)
Tính
C
Giải:
x
3
ds
trong đó
C
là đường thẳng
y
=
y
x
2
2
,
0
≤
x
≤
2
.
∫
x
3
∫
b
√
∫
2
√
2
2
+1
=
0
2
+1
udu
đổi biến
u
=
x
2
+
1
, du
=
2
x dx
3
5
2
√
=
3
u
2
=
(5
3
5 − 1).
π
π
C
y
a
0
1
1 + (
y
′
(
x
))
2
dx
=
1
+
x
2
)
dx
∫
C
∫
AB
∫
1
√
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
∫
#
− −
x
=
2
t
∫
2
2
+
5
2
+
(
−
1)
2
dt
x
=
20
t
∫
—
√
—
Câu
4
............................................................................................................................................
(10 điểm)
Tính
(
x
2
+
y
2
+
z
)
ds,
trong đó
C
là đường cong cho bởi phương trình tham số
C
r
(
t
)
=
(cos
t,
sin
t, t
)
,
0
≤
t
≤
2
π.
Giải:
Ta
có
Suy ra
q
(
x
′
(
t
))
2
+
(
y
′
(
t
))
2
+
(
z
′
(
t
))
2
=
q
(
−
sin(
t
))
2
+
cos
2
(
t
)
+
1
=
√
2
.
(
x
2
+
y
2
+
z
)
ds
=
C
2π
(1
+
t
)
0
√
2 dt
=
"
√
2t
+
√
2t
2
2π
2
0
=
2
√
2
π
+
2
√
2
π
2
.
Câu
5
............................................................................................................................................
(10 điểm)
Tính
C
(
x
2
+
yz
)
ds,
trong đó
C
là đoạn thẳng AB với
A
=
(0
,
0
,
0) và
B
=
(20
,
50
,
−
10).
Giải: Đường thẳng
AB
có vec tơ chỉ phương
u
=
AB
=
(20
,
50
,
10)
//
(2
,
5
,
1). Vậy phương
trình tham số có dạng
Khi đó
∫
y
=
5t
x = −t,
∫
10
, t
∈
[0
,
10]
.
√
10
=
30t
2
dt
=
0
√
30
10
t
3
3
0
1000
√
30
=
.
3
y
=
50
t
x = −10t,
, t
∈
[0
,
1]
.
C
0
Phương trình đường thẳng AB cũng có thể tham số theo cách khác sau
(
x
2
+
yz
)
ds
=
((2
t
)
2
+
5
t
(
−
t
))
∫
∫
—
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
∫
√
(
x
2
+
yz
)
ds
=
((20
t
)
2
+
50
t
(
−
10
t
))
4
4
—
√
—
Khi đó
∫
∫
1
√
1
=
3000 × 100t
2
dt = −
√
3000 × 100
1
t
3
3
0
100
√
3000
=
3
1000
√
30
=
.
3
Câu
6
............................................................................................................................................
(10 điểm)
Tính
C
x
√
x
2
−
y
2
ds,
trong đó
C
là đường cong cho bởi phương trình:
(
x
2
+
y
2
)
2
=
4(
x
2
−
y
2
)
, x
≤
0
.
Giải:
Đường cong dưới tọa độ cực
ta có
hay
x
=
r
cos
φ
y
=
r
sin
φ
r
4
= 4r
2
(cos
2
φ − sin
2
φ)
r
=
2
√
cos 2
φ,
kết hợp với điều kiện x ≤ 0 ta suy ra φ ∈
3π
,
5π
.
Ta có
√
(
r
(
φ
))
2
+ (
r
′
(
φ
))
2
=
s
4
cos 2
φ
+
4
−2 sin 2φ
2
= 2
s
cos
2
φ
+
sin
2
2φ
2
=
√
.
2 cos 2φ
cos 2φ
cos 2φ
C
0
0
(
20
2
+
50
2
+
(−10)
2
dt
—
∫
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
∫
2
2
√
—
+
sin
φ
3
√
—
∫
I
=
Từ đó
x
x
2
y
2
ds
=
C
5π/4
3
π/
4
∫
5
π/
4
2
√
cos 2φ cos φ
2
4 cos 2φ(cos φ sin
φ)
dφ
cos 2φ
∫
5
π/
4
=
8 cos φ cos 2φdφ = 4
3
π/
4
(cos 3φ + cos φ)dφ
3
π/
4
1
sin 3φ
[cos
a
cos
b
=
2
(cos(
a
+
b
)
+
cos(
a
−
b
))]
5
π/
4
=
4
sin 15
π/
4
+
sin 5
π/
4
−
sin 9
π/
4
+
sin 3
π/
4
3 3
=
...
=
−
16
√
2
3
Câu
7
............................................................................................................................................
(10 điểm)
Tính
z dx
+
x dy
+
y dz,
trong đó
C
là đường cong cho bởi phương trình
C
x
=
t
2
Giải:
y
=
√
t
z = t,
, t
∈
[1
,
4]
.
z dx
+
x dy
+
y dz
=
C
∫
4
t
(2
t
) +
t
2
1
2
√
t
+
√
t
dt
∫
4
2
t
2
+
t
3
/
2
2
+
√
t
dt
2t
3
=
t
5
/
2
+
2
t
3
/
2
t
=4
+
3 5
793
=
.
15
3
t
=1
Câu
8
............................................................................................................................................
(10 điểm)
Tính
e
xy
y
2
dx
+
e
xy
(2
+
xy
)
dy,
trong đó
C
là đường cong kín bị chặn bởi các đường sau (lấy
C
theo chiều ngược chiều kim đồng hồ):
y
=
1
, y
=
1
, y
=
1
/
2
, x
=
0
.
x
3π/4
1
1
=
4
∫
q
∫
Tích phân đường, tích phân mặt
ĐHBK-ĐHĐN
TS. Chử Văn Tiệp
∫
I
y
1
1
Giải:
Áp dụng định lý Green
I
P dx
+
Q dy
=
∫∫
∂Q
−
∂P
dxdy
C
D
∂x
∂y
với
P
(
x, y
) =
e
xy
y
2
, Q
(
x, y
) =
e
xy
(2 +
xy
). Ta có
∂P
=
xe
xy
y
2
+
e
xy
2
y
=
ye
xy
(
xy
+
2)
∂y
∂Q
=
ye
xy
(2 +
xy
) +
e
xy
y
=
ye
xy
(3 +
xy
)
∂x
Do đó
I
=
C
e
xy
y
2
dx
+
e
xy
(2 +
xy
)
dy
=
∫∫
ye
xy
dxdy
1
=
dy
1
/
2
1
/y
0
ye
xy
dx
=
1
1
/
2
1
/y
e
xy
0
dy
=
1
1
/
2
e − 1dy
= (
e
−
1)
y
1
/
2
= (
e
−
1)
/
2
.
Câu
9
............................................................................................................................................
(10 điểm)
Tính
C
xydx
+
(
x
+
y
)
dy,
trong đó
C
là đường tròn
x
2
+
y
2
=
R
2
(lấy theo chiều ngược chiều
kim đồng hồ)
D
1
∫
∫
∫
I

Tài liệu khác của Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng

Preview text:

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT GIẢI TÍCH II Mục lục
1 Tích phân đường và Tích phân mặt 1
1.1 Tích phân đường ........................................................................................................................... 1 1.1.1
Đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2
Tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.3
Tích phân đường loại II
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.4
Mối liên hệ giữa tích phân đường loại I và loại II
. . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1
Phương trình tham số mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Công thức diện tích mặt cong ...................................................................................................... 4
1.3.1 Vi phân diện tích mặt cong .............................................................................................. 4
1.4 Tích phân mặt loại I ..................................................................................................................... 5
1.5 Tích phân mặt loại II .................................................................................................................... 6
1.5.1 Cosin chỉ phương của pháp tuyến của mặt S ................................................................. 8
1.5.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II ......................................................................................9
2 Các định lj cơ bản của Giải tích vector 10
2.1 Định lý Green ............................................................................................................................. 10
2.2 Định lý Ostrogradsky .................................................................................................................... 11
2.3 Định lý Stokes .............................................................................................................................. 12
3 Lj thuyết trường 12
3.1 Trường vector và đường dòng ..................................................................................................... 13
3.2 Thông lượng, div và trường ống ................................................................................................. 13
3.3 Hoàn lưu và trường xoáy ............................................................................................................. 14
3.4 Vector xoáy ................................................................................................................................... 14
3.5 Trường thế và hàm thế vị ............................................................................................................ 14
3.6 Trường điều hòa ........................................................................................................................... 14
4 Bài tập luyện tập 15 ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp
1 Tích phân đường và Tích phân mặt
1.1 Tích phân đường 1.1.1 Đường cong
Cho đường cong C có phương trình
r(t) := r⃗(t) = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez, t ∈ [a, b] hay x = x(t) y = y(t) , t ∈ [a, b]. x = z(t), r(t) R1 a t b 0
Hình 1: Đường cong C trong R3
Đường cong C được gọi là
• liên tục nếu các hàm tọa độ là các hàm liên tục;
• khả vi nếu các hàm tọa độ là các hàm khả vi;
• đóng nếu điểm đầu và điểm cuối trùng nhau: (x(a), y(a), z(a)) = (x(b), y(b), z(b)).
• đơn nếu a < t1 < t2 < b kéo theo (x(t1), y(t1), z(t1)) ̸= (x(t2), y(t2), z(t2));
• trơn nếu các hàm tọa độ có đạo hàm liên tục và không đồng thời bằng 0 với mọi t.
1.1.2 Tích phân đường loại I ∫
Định nghĩa 1 (Tích phân đường loại I) Tích phân đường của f trên C được kí hiệu là f ds C
và được định nghĩa là: ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp Công thức tính: ∫ ∫ ∫ b √ f(x, y, z)ds = f(x, y, z)dl =
f(x(t), y(t), z(t)) (x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2dt C C a •
Nếu C là đường cong phẳng cho bởi ( x = x(t) y , t ∈ [a, b]. = y(t), thì ∫ ∫ ∫ b √ f(x, y)ds = f(x, y)dl =
f(x(t), y(t)) (x′(t))2 + (y′(t))2dt C C a
• Nếu C là đường cong phẳng cho bởi y = y(x), x ∈ [a, b] thì ∫ ∫ ∫ b √ f(x, y)ds = f(x, y)dl = f(x, y(x)) 1 + (y′(x))2dx C C a
• Nếu C là đường cong phẳng cho bởi phương trình tọa độ cực r = r(φ), φ ∈ [α, β] thì ∫ ∫ ∫ β √ f(x, y)ds = f(x, y)dl =
f(r(φ) cos φ, r(φ) sin φ) (r(φ))2 + (r′(φ))2dφ C C α
1.1.3 Tích phân đường loại II
Định nghĩa 2 (Tích phân đường loại II) Cho đường cong C có phương trình
r(t) := r⃗(t) = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez, t ∈ [a, b] hay x = x(t) y = y(t) , t ∈ [a, b] x = z(t),
với điểm đầu A = (x(a), y(a), z(a)) và điểm cuối B = (x(b), y(b), z(b)). Tích phân đường loại II của
hàm F = (P, Q, R) trên C được ký hiệu và tính bởi công thức ∫
P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz C ∫ b =
P(x(t), y(t), z(t))x′(t) + Q(x(t), y(t), z(t))y′(t) + R(x(t), y(t), z(t))z′(t)dt. a ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp •
Nếu C là đường cong phẳng cho bởi ( x = x(t) y , t ∈ [a, b]. = y(t), thì ∫ ∫ b P(x, y)dx + Q(x, y)dy =
P(x(t), y(t))x′(t) + Q(x(t), y(t))y′(t)dt C a
• Nếu C là đường cong phẳng cho bởi y = y(x), x ∈ [a, b] thì ∫ ∫ b P(x, y)dx + Q(x, y)dy =
P(x, y(x)) + Q(x, y(x))y′(x)dx. C a
Chú j 1 Khi đổi hướng đường cong lấy tích phân thì tích phân đường loại II đổi dấu.
1.1.4 Mối liên hệ gifia tích phân đường loại I và loại II
Gọi α, β, γ là các góc tạo bởi tiếp tuyến của đường cong C với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz ta có ∫ ∫
P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = (P cos α + Q cos β + R cos γ)ds. C C 1.2 Mặt cong
Phương trình mặt cong trong không gian thường được cho bởi các dạng sau:
i) Dạng tổng quát (dạng ẩn): F(x, y, z) = 0. ii) Dạng tham số x = x(u, v) y = y(u, v) (u, v) ∈ D ⊂ R2 z = z(u, v), hay dạng vector
r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) ∈ D ⊂ R2
trong đó i, j, k lần lượt là ba vector đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.
iii) Dạng hiển z = f(x, y) hoặc y = g(x, z) hoặc x = h(y, z).
1.2.1 Phương trình tham số mặt cong
Ví dụ 1 Viết phương trình tham số của mặt cầu tâm (0, 0, 0) bán kính a.
Ví dụ 2 Viết phương trình tham số của các mặt sau (a) 3x − 2y + z = 2 (b) z = x2 + y2 ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp R2 D (u, v) r(u, v) 0
Hình 2: Tham số hóa mặt cong S trong R3
Hình 3: Vi phân diện tích mặt
1.3 Công thfíc diện tích mặt cong
1.3.1 Vi phân diện tích mặt cong √ √ ∂u × ∂v 2dudv. Diện tích của mộ t mặt cong trơn
r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) ∈ D ⊂ R2 là √ √ d udv. ∂u × ∂v ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp
Ở đây ta sử dụng ký hiệu tích có hướng của hai vector: i j k a a a a a a a × b = a 2 3 1 3 1 2 1 a2 a3 = i − j + k (1) b b2 b3 b1 b3 b1 b2 b b 1 2 3
= (a2b3 − a3b2)i − (a1b3 − a3b1)j + (a1b2 − a2b1)k, (2) √
a × b := |a × b| = (a2b3 − a3b2)2 + (a1b3 − a3b1)2 + (a1b2 − a2b1)2
• Công thức diện tích mặt của mặt cong dạng z = z(x, y), (x, y) ∈ Dxy là ∫∫ ∫∫ s 2 ∂z ∂z 2 dS = + + 1 dxdy. ∂x ∂y S D
• Công thức diện tích mặt của mặt cong dạng x = x(y, z), (y, z) ∈ Dyz là ∫∫ ∫∫ s 2 ∂x ∂x 2 dS = + + 1 dydz. ∂y ∂z S D
• Công thức diện tích mặt của mặt cong dạng y = y(x, z), (x, z) ∈ Dxz là ∫∫ ∫∫ s 2 ∂y ∂y 2 dS = + + 1 dxdz. ∂x ∂z S D
1.4 Tích phân mặt loại I
Bài toán đưa đến việc xây dựng tích phân mặt loại I: Tính khối lượng mặt cong có hàm mật độ khối lượng f(x, y, z).
Định lj 1 Cho S là một mặt cong trong R3 được tham số bởi r(u, v) = x(u, v)i +y(u, v)j +z(u, v)k,
và f(x, y, z) là hàm
∫∫ xác định trên tập
∫∫ con của R3 chứa S. Khi đó f(x, y, z) dS = ∂ f r (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∂r du dv × ∂u ∂v S D ∫∫ √ =
f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A2 + B2 + C2 du dv D ∫∫ √ =
f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) EG − F 2 du dv . D ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp D(y, z) D(z, x) D(x, y) trong đó A = , , B = , C = D(u, v) D(u, v) D(u, v) và ¨ 2 2 ∂r ¨ ¨∂r ¨
∂r ∂r E = ¨ ¨ ¨ ∂u¨ , G = , F · ∂v = ∂u ∂v
• Nếu mặt S cho bởi z = z (x, y) , (x, y) ∈ D thì công thức tính tích phân mặt loại I có dạng ∫∫ ∫∫ s 2 ∂z ∂z 2 f (x, y, z) dS = f (x, y, z (x, y)) + + 1 dxdy ∂x ∂y S D
• Nếu mặt S cho bởi y = y (x, z) , (x, z) ∈ D thì công thức tính tích phân mặt loại I có dạng ∫∫ ∫∫ s 2 ∂y ∂y 2 f (x, y, z) dS = f (x, y(x, z), z) + + 1 dxdz. ∂x ∂z S D
• Nếu mặt S cho bởi x = x (y, z) , (y, z) ∈ D thì công thức tính tích phân mặt loại I có dạng ∫∫ ∫∫ s 2 ∂x ∂x 2 f (x, y, z) dS = f (x (y, z) , y, z) + + 1 dydz ∂y ∂z S D
1.5 Tích phân mặt loại II
Mặt không định hướng được: Dải Mobius, chai Klein, . . . (sẽ không xét tích phân mặt loại II trên các mặt này)
Hình 4: Dải Mobius và Chai Klein
Mặt định hướng được: mặt cầu, mặt trụ, mặt paraboloid,...
Bài toán đưa đến việc xây dựng tích phân mặt loại II: Tính từ thông qua một mặt S, tính lưu
lượng nước chảy qua một mặt S (thông lượng, lưu lượng). ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp
Hình 5: Lưu lượng chất lỏng chảy qua mặt cong S
Phân tích: Ta hãy hình dung có một mặt S hai phía được nhúng chìm trong một môi trường của
vật chất lỏng đang chạy ở chế độ dừng tức là tại mỗi điểm M(x, y, z) thì vận tốc của phần tử chất
lỏng tại đó là một vectơ v⃗(x, y, z) không phụ thuộc vào thời gian t. Hãy tính lưu lượ F ng của chất
lỏng chảy qua mặt S tức là lượng chất lỏng chảy qua S trong một đơn vị thời gian theo một phía
nào đó xác định bởi chiều của vectơ pháp tuyến n⃗.
Xét một diện tích vi phân dS tại điểm M(x, y, z). Trong một đơn vị thời gian lượng chất lỏng
chảy qua mảnh dS lấp đầy một hình trụ nghiêng có đáy dS và đường sinh song song với vectơ vận
tốc v⃗(x, y, z) và bằng độ dài vectơ đó .
Thể tích của hình trụ bằng lượng chất lỏng chạy qua F trong một đơn vị thời gian và bằng
dF = đáy × chiều cao = v⃗ · n⃗dS
(Nếu góc (v⃗, n⃗) < π/2, lượng chất lỏng chảy qua dS theo phía n⃗ có dấu dương. Còn nếu góc
(v⃗, n⃗) > π/2, lượng chất lỏng chảy qua dS theo phía n⃗ có dấu âm)
Giả sử vận tốc v⃗ và n⃗ lần lượt có các thành phần P(x, y, z) cos(O⃗x, n⃗) cos α
v⃗ = Q(x, y, z) , n⃗ = cos(O⃗y, n⃗) = cos β . R(x, y, z) cos(O⃗z, n⃗) cos γ Khi đó
dF = (P(x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ)dS
Vì vậy lưu lượng F của chất lỏng chảy qua mặt S bằng ∫∫ ∫∫ F = dF = v⃗ · n⃗dS ∫∫ S S =
(P(x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ) dS ∫∫ S =
P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy. Sn⃗ ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp
1.5.1 Cosin chỉ phương của pháp tuyến của mặt S ∂r ∂r Ta biết N⃗ = ∂u × ∂v = (A, B, C) trong đó D(y, z) y′ y ′ D(z, x) z′ z ′ D(x, y) x′ A = = u v ′ ′ , B = = u v , C = = u x′ v ′ ′ . D (u, v) zu zv D(u, v) x′u x′v D(u, v) yu yv
N⃗ là vector pháp tuyến của của mặt cong S. Từ đó dễ thấy, cosin chỉ phương của vector pháp tuyến bằng A cos(O⃗x, N⃗) = √ , A2 + B2 + C2 B cos(O⃗y, N⃗) = √ , A2 + B2 + C2 C cos(O⃗z, N⃗) = √ . A2 + B2 + C2
• Nếu mặt cong S có phương trình z = z(x, y), (x, y) ∈ DxOy.
Khi đó ta có thể quan niệm S là mặt tham số như sau (u = x, v = y) x = x y = y (x, y) ∈ D ⊂ R2 z = z(x, y), hay dạng vector
r(x, x) = xi + yj + z(x, y)k, (x, y) ∈ D ⊂ R2 Khi đó N⃗ = (−z ′ ′ x , −zy , 1)
Cosin chỉ phương của vector pháp tuyến bằng −z ′ x cos(O⃗x, N⃗ ) = q , 1 + (z ′ ′ x )2 + (zy )2 −z ′ y cos(O⃗y, N⃗ ) = q , ′ ′ 1 + (zx )2 + (zy )2 1 cos(O⃗z, N⃗ ) = q . 1 + (z ′ ′ x )2 + (zy )2 1 Do cos( ⃗ Oz, ⃗ N) = q > 0 nên góc ( ⃗ Oz, ⃗ π N) < . 1 + (z ′ ′ 2 x )2 + (zy )2
Nếu phương trình mặt cong có dạng z = z(x, y) thì N⃗ = (−z ′ ′
x , −zy , 1) là pháp tuyến hướng lên
phía trên của S. ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp
1.5.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II
Cho một trường vector F (x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) và một mặt cong S hai phía
r (u, v) = x (u, v) · i + y (u, v) · j + z (u, v) · k., (u, v) ∈ D
Giả sử x (u, v) , y (u, v) , z (u, v) khả vi liên tục và ma trận ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v
có hạng bằng 2. Giả sử S được định hướng dương theo vector pháp tuyến đơn vị n⃗ = n (x, y, z) là
pháp tuyến đơn vị đối với mặt cong S tại điểm (x, y, z).
Nếu vector N⃗ cùng hướng với n⃗ thì ∫∫ ∫∫ ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = F · dS = (F · n) dS S S S ` ˛¸ x ` ˛¸ x ` ˛¸ x
∫∫ ký hiệu tp mặt loại II ký h iệu tp mặt lo ại I ký hiệu tp mặt loại II :=
(P cos α + Q cos β + R cos γ) dS S ` ˛ ¸ x ∫ ∫ tp mặ t loại I A B C = P √ + Q√ + R√ dS A2 A2 A2 ` + B2 + C2 + B2 + C2 + B2 + C2 S ˛ ¸ x ∫ ∫ tp mặ t loại I A B C √ = P √ A2 + B2 + C2dudv A + Q√ + R√ 2 A2 A2 D + B2 + C2 + B2 + C2 + B2 + C2 ` ˛ ¸ x tích p h â n kép ∫ ∫ = (PA + QB + RC) dudv D ` ˛ ¸ x tích p h â n kép
Nếu vector N⃗ ngược hướng với n⃗ thì ∫∫ ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = − (PA + QB + RC) dudv. S D
Các trường hợp đặc biệt
• z = z(x, y), (x, y) ∈ DxOy ⊂ R2. Khi đó chọn u = x, v = y ta có phương trình tham số của S
r(u, v) = r(x, y) = (x, y, z(x, y)), (x, y) ∈ DxOy. ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp Ta có
ru(u, v) = rx(x, y) = (1, 0, zx(x, y))
rv(u, v) = ry(x, y) = (0, 1, zy(x, y)) Khi đó vector pháp tuyến i j k ⃗
N = rx(x, y) × ry(x, y) = 1 0 zx(x, y) = −zxi − zyj + k. 0 1 zy(x, y) Tích vô hướng ·
N⃗ k = 1 > 0 nên góc (N⃗, Oz) là góc nhọn nên N⃗ là vector pháp hướng lên trên.
• Nếu S được định hướng lên trên thì ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S ∫∫ =
[−P(x, y, z(x, y))zx(x, y) − Q(x, y, z(x, y))zy(x, y) + R(x, y, z(x, y)] dxdy. DxOy ∫∫ ∫∫
Đặc biệt nếu P = Q = 0 thì R(x, y, z)dxdy = R (x, y, z(x, y))dxdy. DxOy S
• Nếu S được định hướng xuống dưới thì ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S ∫∫ = −
[−P(x, y, z(x, y))zx(x, y) − Q(x, y, z(x, y))zy(x, y) + R(x, y, z(x, y)] dxdy. DxOy ∫∫ ∫∫
Đặc biệt nếu P = Q = 0 thì R(x, y, z)dxdy = − R (x, y, z(x, y))dxdy. DxOy S
• y = y(x, z), (x, z) ∈ DxOz ⊂ R2 và x = x(y, z), (y, z) ∈ DyOz ⊂ R2. Ta cũng có kết luận tương tự.
2 Các định lj cơ bản của Giải tích vector 2.1 Định lj Green
Định lj 2 (Công thfíc Green) Cho D là một miền trong R2 bị chặn bởi đường cong đóng, trơn
từng khúc C và P(x, y), Q(x, y) là các hàm liên tục có các đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa D ¯ . Khi đó ∂P dxdy. ∂y ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp
trong đó chiều dương của đường cong lấy ngược chiều kim đồng hồ.
Định lj 3 (Định lj bốn mệnh đề tương đương) Giả sử D là một miền đơn liên và P(x, y), Q(x, y)
là hai hàm khả vi liên tục trong D. Khi đó bốn điều kiện sau là tương đương: ∂Q ∂P 1. ≡ , ∀x, y ∈ D ∂x ∂y , ∫ 2. Tích phân
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 đối với mọi đường cong kín γ, trơn từng khúc, nằm γ trong D, ∫ -
3. Tích phân - P(x, y)dx + Q(x, y)dy trên mọi đường cong hở AB, trơn từng khúc, nằm trong AB
D chỉ phụ thuộc vào vị trí của hai đầu A, B của đường cong mà không phụ thuộc vào đường
cong cụ thể nào nối từ A đến B.
4. Tồn tại một hàm khả vi F(x, y) xác định trong D sao cho dF = P(x, y)dx + Q(x, y)dy.
2.2 Định lj Ostrogradsky
Định lj 4 (Công thfíc Gauss-Ostrogradsky) Nếu các hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) liên
tục và tất cả các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng cũng liên tục trong miền V thì ∫∫ ∫∫∫ ∂P ∂Q ∂R Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = + + dxdydz ∂x ∂y ∂z S V
trong đó mặt S được định hướng theo pháp tuyến ngoài.
Dạng vector của công thức Ostrograksky ∫∫ ∫∫∫ F · dS = (∇ · F) dV , S V
với F (x, y, z) = P (x, y, z) ,Q (x, y, z) ,R (x, y, z) . Ta có các công thức tính thể tích sau: ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ V = xdydz = ydxdz = zdxdy = dxdydz S S S V ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp 2.3 Định lj Stokes
Định lj 5 (Công thfíc Stokes) Cho S là mặt trơn với biên là đường cong đóng C và
F (x, y, z) = P (x, y, z) , Q (x, y, z) , R (x, y, z)
là các hàm khả vi liên tục trên tập mở trong R3 chứa S. Khi đó I ∫∫ ∫∫ F · dr =
(∇ × F) · dS =
(∇ × F) · ndS, C S S trong đó i j k ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∇ × ∂ ∂ ∂ F = ∂x = − − − ∂y ∂z i + ∂z ∂x j + ∂x ∂y k P ∂y Q ∂z R
là curl của trường vector F. Hướng của đường cong và hướng của mặt được xác định theo quy tắc bàn tay phải.
Dạng viết khác của công thức Stokes I ∫∫ Pdx ∂Q + Qdy + Rdz = ∂R − ∂Q ∂P dydz — ∂R dzdx − ∂P dxdy. + + ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y C S
Hình 6: Định lý Stokes và quy tắc bàn tay phải
3 Lj thuyết trường (Đang chỉnh sửa) ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp
3.1 Trường vector và đường dòng
Định nghĩa 3 Cho D là miền trong R2 (miền phẳng) xác định một trường vector F nếu tại mọi
điếm M(x, y) ∈ D đều xác định đại lượng vector
F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j.
Định nghĩa 4 Cho Ω là miền trong R3 xác định một trường vector F nếu tại mọi điếm M(x, y, z) ∈
Ω đều xác định đại lượng vector
F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k.
3.2 Thông lượng, div và trường ống
Định nghĩa 5 Thông lượng của một dòng chảy qua một bề mặt là đại lượng chỉ lưu lượng chảy
qua bề mặt vuông góc với hướng chảy trong một đơn vị thời gian. Thông lượng của trường vector
F = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k qua mặt S là: ∫∫ ∫∫ Φ = F · ndS = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, S S
trong đó n là vector pháp tuyến của mặt S theo hướng dòng chảy.
Định nghĩa 6 Cho trường vector F = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k trên R3 và ∂P , ∂Q, ∂R ∂x ∂y ∂z
tồn tại thì div của F là ∂P ∂Q ∂R div F = + + . ∂x ∂y ∂z
Định nghĩa 7 Giả sử F là truờng vector xác định trên Ω có div F là hàm liên tục tại mọi điểm thuộc Ω.
• Nếu div F(M) > 0, thì M được gọi là điểm nguồn của truờng F.
• Nếu div F(M) < 0, thì M được gọi là điểm rò (hút) của trường F.
• Nếu div F(M) = 0 tại mọi M thì trường F gọi là trường ống (trường không nén được).
Định lj 6 Tính chất của trường ống
• Nếu F là truờng ống thì thông lượng đi vào miền bằng thông lượng đi ra miền. Khi đó, ta nói
rằng trường vectơ F có thông lượng được bảo toàn.
• Thông lượng của truờng ống qua mặt cong kín S bất kỳ trong truờng đều bằng 0. ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp
3.3 Hoàn lưu và trường xoáy
Định nghĩa 8 Cho trường vector F = P(x, y, z)i⃗ + Q(x, y, z)j⃗ + R(x, y, z)k⃗ và đường conC g (có thể
kín hoặc không kín) trong không gian. Đại lượng ∫ Pdx + Qdy + Rdz C
được gọi là hoàn lưu (hay lưu số) của F dọc theo đường cong C.
Theo ý ngh¯ıa cơ học của tích phân đường loại 2 nếu F là trường lực thì hoàn lưu của nó dọc theo
đường cong C là công do lực F sinh ra khi vật di chuyến dọc theo C. 3.4 Vector xoáy Định nghĩa 9 −→ ∂R ∂P ∂Q rotF = − ∂Q − ∂R − ∂P ∂y ∂z i⃗ + ∂z ∂x j⃗ + ∂x ∂y k⃗.
Định lj 7 Nếu u là hàm vô hướng có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục thì −→ −−→ → − rot(gradu) = 0 .
Định lj 8 Cho trường vector F = Pi⃗ + Qj⃗ + Rk⃗ trên R3 và các đạo hàm riêng cấp 2 của P, Q, R
liên tục thì div(rotF) = 0.
3.5 Trường thế và hàm thế vị
Định nghĩa 10 Truờng vector F(M) được gọi là trường thế nếu tồn tại truờng vô hướng u(M) sao cho: −−→ F(M) = g radu(M )
Khi đó hàm u(M) được gọi là hàm thế vị của trường F(M).
3.6 Trường điều hòa
Định nghĩa 11 Trường vector F(M) được gọi là trường điều hòa nếu nó vừa là truờng ống vừa là
trường thế, tức là: −−−→ → − rot F = 0 div F = 0.
Định lj 9 Hàm thế vị u(M) của trường điều hòa F(M) là hàm điều hòa, túc là u(M). thóa mãn
phuong trình Laplace: ∆u = 0 hay ∂2u + ∂2u + ∂2u = 0. ∂x2 ∂y2 ∂z2 ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp 4 Bài tập luyện tập
Câu 1 ............................................................................................................................................ (10 điểm) ∫ Tính tích phân đường
ydx − (x − y)dy, với C là nửa đường tròn x2 + y2 = 2x, y ≥ 0, đi từ C O(0; 0) đến A(2; 0).
Giải: Phương trình tham số của nửa đường tròn C là x = 1 + cos t, y = sin t, tO = π, tA = 0. Tích phân ∫ ∫ 0 C ydx −
[sin t(− sin t) − (1 + cos t − sin t) cos t]dt (x − y)dy = ∫ π 0 =
[−1 − cos t + sin t cos t]dt = π. π
Câu 2 ............................................................................................................................................ (10 điểm) I
Tính tích phân đường I =
x2 + y dx + (x − xy)dy, với L là biên của miền D giới hạn bởi L
các đường y = x2, y = 0 và x = 1, chiều dương lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
Giải: L là đường cong kín OABO, với A(1; 0), B(1; 1). ∫ ∫ ∫ I = · · · + · · · + · · · OA OA BO AB BO 1 ∫ ∫ ∫ 1 1 0 = x2dx + (1 — y)dy + 2x2 + x − x3 2x dx 0 0 1 1 1 14 1 = + − = − . 3 2 15 10 Câu 3 ∫
............................................................................................................................................ (10 điểm) x3 x2 Tính
ds trong đó C là đường thẳng y = , 0 ≤ x ≤ 2. C y 2 Giải: ∫ ∫ x3 b √ ∫ 2 √ 1 + x2)dx ds = f(x, y(x)) 1 + (y′(x))2dx = 2x( C y a 0 ∫ 22+1 √ =
udu đổi biến u = x2 + 1, du = 2x dx 02+1 3 5 2 2 √ = u 2 = (5 5 − 1). 3 3 1 ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp Câu 4 ∫
............................................................................................................................................ (10 điểm) Tính
(x2 + y2 + z) ds, trong đó C là đường cong cho bởi phương trình tham số C
r⃗(t) = (cos t, sin t, t), 0 ≤ t ≤ 2π. Giải: Ta có q q √
(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2 = (− sin(t))2 + cos2(t) + 1 = 2. Suy ra ∫ ∫ 2π √ (x2 + y2 + z) ds = (1 + t) 2 dt C 0 # " √ √ 2π 2t2 = 2t + 2 0 √ √ = 2 2π + 2 2π2.
Câu 5 ............................................................................................................................................ (10 điểm) ∫ Tính
(x2 + yz) ds, trong đó C là đoạn thẳng AB với A = (0, 0, 0) và B = (20, 50, −10). C
Giải: Đường thẳng AB có vec tơ chỉ phương u⃗ = AB⃗ = (20, 50− , 10)//(2, 5 − , 1). Vậy phương trình tham số có dạng x = 2t y = 5t , t ∈ [0, 10]. x = −t, Khi đó ∫ ∫ 10 √ (x2 + yz) ds =
((2t)2 + 5t(−t)) 22 + 52 + (−1)2dt C 0 √ ∫ 10 10 √ √ t3 1000 30 = — 30t2dt = — 30 = — . 0 3 0 3
Phương trình đường thẳng AB cũng có thể tham số theo cách khác sau x = 20t y = 50t , t ∈ [0, 1]. x = −10t, ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp Khi đó ∫ ∫ 1 √ (x2 + yz) ds =
((20t)2 + 50t(−10t)) 202 + 502 + (−10)2dt C 0 √ √ ∫ 1 1 √ t3 100 3000 1000 30 √ =
— 3000 × 100t2dt = − 3000 × 100 = = — — . 0 3 0 3 3
Câu 6 ............................................................................................................................................ (10 điểm) ∫ √ Tính
x x2 − y2ds, trong đó C là đường cong cho bởi phương trình: C
(x2 + y2)2 = 4(x2 − y2), x ≤ 0.
Giải: Đường cong dưới tọa độ cực ( x = r cos φ y = r sin φ ta có r4 = 4r2(cos2 φ − sin2 φ) hay √ r = 2 cos 2φ, 3π
kết hợp với điều kiện x ≤ 0 ta suy ra φ ∈ , 5π . 4 4 Ta có s s √ 2 2
(r(φ))2 + (r′(φ))2 = 4 cos 2φ + 4 − sin2 2φ √2 sin 2φ = 2 cos 2φ + = √ . 2 cos 2φ cos 2φ cos 2φ ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp Từ đó ∫ ∫ √ 5π/4 √ q 2 2 2 x x2 y2ds 4 cos 2φ(cos φ sin φ) √ — = 2 cos 2φ cos φ — dφ C 3π/4 cos 2φ ∫ ∫ 5π/4 5π/4 = 8 cos φ cos 2φdφ = 4 (cos 3φ + cos φ)dφ 3π/4 3π/4 1
[cos a cos b = (cos(a + b) + cos(a − b))] 2 sin 3φ 5π/4 + sin φ = 4 3 3π/4 sin 15π/4 sin 9π/4 = 4 + sin 5π/4 − + sin 3π/4 3 3 √ −16 2 = ... = 3 Câu 7 ∫
............................................................................................................................................ (10 điểm) Tính
z dx + x dy + y dz, trong đó C là đường cong cho bởi phương trình C x = t2 √ y = t , t ∈ [1, 4]. z = t, Giải: ∫ ∫ 4 1 √ z dx + x dy + y dz = t(2t) + t2 √ + t dt C 1 2 t ∫ 4 √ t3/2 = 2t2 + t dt + 1 2 2t3 2t3/2 t=4 = t5/2 + + 3 5 3 t=1 793 = . 15 Câu 8 I
............................................................................................................................................ (10 điểm) Tính
exyy2 dx + exy(2 + xy) dy, trong đó C là đường cong kín bị chặn bởi các đường sau (lấy C
theo chiều ngược chiều kim đồng hồ): 1 y = , y = 1, y = 1/2, x = 0. x ĐHBK-ĐHĐN
Tích phân đường, tích phân mặt TS. Chử Văn Tiệp Giải: y 1 1 Áp dụng định lý Green I ∫∫ ∂Q P dx + Q dy = − ∂P dxdy C D ∂x ∂y
với P(x, y) = exyy2, Q(x, y) = exy(2 + xy). Ta có
∂P = xexyy2 + exy2y = yexy(xy + 2) ∂y
∂Q = yexy(2 + xy) + exyy = yexy(3 + xy) ∂x Do đó I ∫∫ I = exyy2 dx + exy(2 + xy) dy = yexydxdy ∫ C D ∫ ∫ ∫ 1 1/y 1 1/y 1 = dy yexydx = exy dy = e − 1dy 1/2 0 1/2 0 1/2 1
= (e − 1)y 1/2 = (e − 1)/2. Câu 9 I
............................................................................................................................................ (10 điểm) Tính
xydx + (x + y) dy, trong đó C là đường tròn x2 + y2 = R2 (lấy theo chiều ngược chiều C kim đồng hồ)

Tài liệu liên quan: