Đề cương môn Toán cao cấp- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
Trongℝ3, cho hệvéctơ 𝑀= {𝑣1= (−5,2,−3),𝑣2= (9,4,𝑚 − 4),𝑣3= (−2,2,1)}. Tìm điều kiện của tham số m để hệ M phụ thuộc tuyến tính.
Đề cương môn Toán cao cấp- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.
Tài liệu gồm 15 trang , giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao.
Môn: Toán cao cấp(TCC10) 28 tài liệu
Trường: Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng 1 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
CÁC VÍ DỤ TOÁN CAO CẤP. CHƯƠNG 1,2,3
Chương 1. Ma trận và định thức ma trận vuông 1 0 −1 1 1 0 0 0 2 1 2 0 3 −1 0 0
Ví dụ 1: Cho các ma trận: 𝐴 = ( ) ; 𝐵 = ( ) ; −1 3 0 4 7 9 2 0 3 1 1 2 22 6 5 3 1 1 0 𝐶 = (2 1 1). 3 3 1 a/ Tính det (A.B).
b/ Chứng minh C khả nghịch và tìm C-1
Giải: a/ Vì B là ma trận tam giác nên: det B = 1.(– 1).2.3 = – 6 . Ta có: 1
0 −1 1 (ℎ4−3.ℎ1→ℎ4) 1 0 −1 1 1 0 −1 1
(ℎ2−2.ℎ1→ℎ2)
(ℎ4−ℎ2→ℎ4) 2 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = | 1 2
0 (ℎ3+ℎ1→ℎ3) 0 | = 1 4
−2 (ℎ3−3.ℎ2→ℎ3) 1 4 −2 | | = |0 | −1 3 0 4 0 3 −1 5 0 0 −13 11 3 1 1 2 0 1 4 −1 0 0 0 1 = −13
⇒ 𝑑𝑒𝑡( 𝐴. 𝐵) = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 . 𝑑𝑒𝑡 𝐵 = (−13). (−6) = 78. 𝐶11 𝐶21 𝐶31
b/ Có det C = –1 ≠ 0, vì thế C khả nghịch, và: 𝐶−1 = 1 . [𝐶 𝑑𝑒𝑡𝐶 12 𝐶22 𝐶32] 𝐶13 𝐶23 𝐶33
tính các phần phụ đại số: 𝐶11 = −2, 𝐶12 = 1, 𝐶13 = 3, 𝐶21 = −1, 𝐶22 = 1, 𝐶23 = 0, 𝐶31 =
1, 𝐶32 = −1, 𝐶33 = −1 2 1 −1 ⇒ 𝐶−1 = (−1 −1 1 ) −3 0 1 1 4 0 0 0 2 3 0 0 0
Ví dụ 2 (tham khảo): Với 𝐴 = 7 9 6 8 2 , 1 2 0 1 3 [5 7 0 0 4] 1 4 6 8 2 có det(A) = |
| . |0 1 3| = −5.24 = −120 2 3 0 0 4 0 0 0 2 7 9 ⎡0 0 0 0 8 3⎤ 0 0 0 0 0 5
Ví dụ 3(tham khảo): Với 𝐴 = , 2 1 2 5 5 8 ⎢0 9 6 9 9 3⎥ [0 0 1 3 4 7] 2 7 9 2 1 2
det(𝐴) = |0 8 3| . (−1)4+5+6+1+2+3. |0 9 6| = −1440 0 0 5 0 0 1 1 2 0 1 3 1 4 0 0 0 2 3 0 0 0 ℎ1⟷ℎ4 2 3 0 0 0
Ví dụ 4 (tham khảo): Với 𝐴 = 7 9 6 8 2 , có 𝐴 →−−−→ 𝐵 = 7 9 6 8 2 1 4 0 0 0 1 2 0 1 3 [5 7 0 0 4] [5 7 0 0 4] 6 8 2 1 4
⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = −𝑑𝑒𝑡𝐵 = |
| . |0 1 3| = −5.24 = −120 2 3 0 0 4
Ví dụ 5: Tìm hạng của ma trận 2 1 1 0 −1 1 3 1 −1 1 𝐴 = ( ) − 1 0 2 5 1 −2 1 0 1 1
Ta có sơ đồ biến đổi:
(2ℎ2−ℎ1→ℎ2)
(ℎ3+ℎ2→ℎ3) 2 1 1 0
−1 (5ℎ3−3ℎ2→ℎ3) 2 1 1 0 −1 (ℎ 0 3
(3ℎ4−2ℎ3→ℎ4) 3
𝐴 →− 4+ℎ1→ℎ4 −−−−−−− −→ −− ( 5 1 −2 ) 0 → ( 5 1 −2 ) 0 3 3 4 2 0 0 12 26 1 0 2 1 1 0 0 0 −3 −5 −4 2 1 1 0 −1
4ℎ4+ℎ3→ℎ4 0 5 1 −2 3
→−−−−−−−−−−→ (
) = 𝐴∗(𝑚𝑎 𝑡𝑟ậ𝑛 𝑏ậ𝑐 𝑡ℎ𝑎𝑛𝑔) 0 0 12 26 1 0 0 0 6 −15
⇒ 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴∗) = 4. 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6
Ví dụ 6: Tìm hạng của ma trận: 𝐴 = ( ) 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 Giải: Có biến đổi: ℎ1↔ℎ3 1 2 3 4 5
ℎ3−3.ℎ1→ℎ3 1 2 3 4 5
ℎ2↔ℎ4 (0 1 2 3 4) ℎ4−2.ℎ1→ℎ4 0 1 2 3 4 ) 𝐴 →−−−−→
→−−−−−−−−→ ( 3 4 5 6 7 0 −2 −4 −6 −8 2 3 4 5 6 0 −1 −2 −3 −4 1
ℎ3+2.ℎ2→ℎ3 2 3 4 5
2.ℎ4−ℎ3→ℎ4 0
→−−−−−−−−→ ( 1 2 3 4 ∗
) = 𝐴 (𝑏ậ𝑐 𝑡ℎ𝑎𝑛𝑔) ⇒ 𝑟(𝐴) = 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Chú ý: Ma trận vuông A cấp n có r(A) = n khi và chỉ khi 𝒅𝒆𝒕𝑨 ≠ 𝟎
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 𝑥 + 𝑦 = 2
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: {2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 7
a/ Dùng phương pháp ma trận nghịch đảo 1 1 0 2
Ma trận của hệ là 𝐴 = (2
1 1), cột tự do: 𝑏 = (4). Ta có det A = – 1 ≠ 0 nên hệ là hệ 3 3 1 7
Cramer. Trong phần trên ta đã tìm được 2 1 −1 𝑥 2 1 −1 2 1
𝐴−1 = (−1 −1 1 ) ⇒ 𝑋 = (𝑦) = 𝐴−1. 𝑏 = (−1 −1 1 ) . (4) = (1) −3 0 1 𝑧 −3 0 1 7 1
b/ Dùng phương pháp Cramer: 1 1 0 2 1 0 1 2 0 1 1 2
𝐴 = (2 1 1) , 𝐴1 = (4 1 1) , 𝐴2 = (2 4 1) , 𝐴3 = (2 1 4) 3 3 1 7 3 1 3 7 1 3 3 7 𝑑𝑒𝑡 𝐴1 𝑑𝑒𝑡 𝐴2 𝑑𝑒𝑡 𝐴3 ⇒ 𝑥 = = 1, 𝑦 = = 1, 𝑧 = = 1. 𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝑑𝑒𝑡 𝐴
c/ Dùng phương pháp khử Gauss: Có sơ đồ biến đổi ma trận: 1 1 0 2
ℎ2−2ℎ1→ℎ2 1 1 0 2 (𝐴 ⋮ 𝑏) = ( 2 1 1 4 | ) →
ℎ3−3ℎ1→ℎ3
−−−−−−−−→ (0 −1 1|0) 3 3 1 7 0 0 1 1
Nhận được hệ phương trình mới tương đương: 𝑥 + 𝑦 = 2 𝑥 = 1
{−𝑦 + 𝑧 = 0 có nghiệm duy nhất: {𝑦 = 1 𝑧 = 1 𝑧 = 1 Chú ý:
a/ Nếu đối với việc giải hệ phương trình mà không bắt buộc theo phương pháp nào, thì nên
chọn giải theo phương pháp khử Gauss.
b/ Với hệ m phương trình, n ẩn số: 𝑨. 𝒙𝑻 = 𝒃 ( 𝑨 = (𝒂 ) thì: 𝒊𝒋 𝒎×𝒏
b1/ Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi 𝒓(𝑨) < 𝒓(𝑨) (𝑨 = (𝑨|𝒃))
b2/ Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 𝒓(𝑨) = 𝒓(𝑨) = 𝒏 (số ẩn). Đặc biệt hệ n phương
trình, n ẩn số (có ma trận A là ma trận vuông cấp n) thì: Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ
khi 𝒅𝒆𝒕𝑨 ≠ 𝟎
b3/ Hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi 𝒓(𝑨) = 𝒓(𝑨) = 𝒓 < 𝒏 (𝒔ố ẩ𝒏)
c/ Với hệ thuần nhất m phương trình, n ẩn số: 𝑨. 𝒙𝑻 = 𝟎( 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋) thì: 𝒎×𝒏
c1. Hệ luôn có ít nhât một nghiệm là nghiệm tầm thường: x = (0, 0, …, 0)
c2. Hệ có nghiệm duy nhất (khi đó là nghiệm tầm thường) khi và chỉ khi r(A) = n (số ẩn)
c3. Hệ có vô số nghiệm (tức là có nghiệm khác 0) khi và chỉ khi: r(A) < n (số ẩn). Đặc biệt khi
m = n (A là ma trận vuông cấp n) thì hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi: det (A) = 0
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình tuyến tính: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 2
{ 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 0 𝑥 + 𝑦 + 𝑡 = −1
Giải: Ta có sơ đồ biến đổi: 1 1 1 0 ⋮ 1
ℎ2−ℎ1→ℎ2 1 1 1 0 ⋮ 1
ℎ3−2ℎ1→ℎ3 ( 1 2 2 1 ⋮ 2 𝐴 ⋮ 𝑏) = ( )
ℎ4−ℎ1→ℎ4 0 1 1 1 ⋮ 1
→−−−−−−−−−−→ ( ) 2 1 2 1 ⋮ 0 0 −1 0 1 ⋮ −2 1 1 0 1 ⋮−1 0 0 −1 1 ⋮ −2 1 1 1 0 ⋮ 1 1 1 1 0 ⋮ 1
ℎ3+ℎ2→ℎ3
ℎ4+ℎ3→ℎ4 (0 1 1 1 ⋮ 1 ) (0 1 1 1 ⋮ 1 )
→−−−−−−−−−→
→−−−−−−−−−→ 0 0 1 2 ⋮ −1 0 0 1 2 ⋮ −1 0 0 −1 1 ⋮ −2 0 0 0 3 ⋮ −3
Hệ có nghiệm duy nhất 𝑥 = −1, 𝑦 = 1, 𝑧 = 1, 𝑡 = −1
Ví dụ 3:(Sinh viên tự giải): Giải hệ phương trình:
2𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 + 𝑡 = 1 −𝑥 + 𝑦 + 𝑡 = 1
{ 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 0 𝑥 + 𝑦 + 𝑡 = 1 𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − 2𝑡 = 2
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: {𝑥 − 3𝑧 − 𝑡 = 1
3𝑥 + 𝑦 − 11𝑧 − 2𝑡 = 2
Giải: Ta có sơ đồ biến đổi ma trận: 1 1 −5 0 ⋮
0 ℎ4−3ℎ3→ℎ4 1 1 −5 0 ⋮ 0
ℎ2−ℎ1→ℎ2
1 −1 −1 −2 ⋮ 2 ℎ3−ℎ1→ℎ3 (𝐴 ⋮ 𝑏) = ( ) 0 ⋮ 2 → −2 4 −2 ( ) 1 0 −3 −1 ⋮ 1 0 −1 2 −1 ⋮ 1 3 1 −11 −2 ⋮ 2 0 1 −2 1 ⋮−1
2ℎ4+ℎ2→ℎ4 1 − ℎ2→ℎ2 1 1 −5 0 ⋮ 0 𝑥 = 3𝑧 + 𝑡 + 1 2 0 1 −2 1 ⋮−1 𝑦 = 2𝑧 − 𝑡 − 1
2ℎ3−ℎ2→ℎ3
) . Vậy hệ có vô số nghiệm: → ( { 0 0 0 0 ⋮ 0 𝑧 𝑡ù𝑦 ý 0 0 0 0 ⋮ 0 𝑡 𝑡ù𝑦 ý ( 2 ẩn tự do là z, t;
2 ẩn phụ thuộc là x, y)
Ví dụ 5 :: Giải hệ phương trình:
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑡 − 𝑢 = −1
{3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 𝑡 + 𝑢 = 7
𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧 + 2𝑡 + 2𝑢 = 8
Giải: Có sơ đồ biến đổi ma trận: 2 −1 1 −1 −1 −1
2ℎ2−3ℎ1→ℎ2 2 −1 1 −1 −1 −1 ℎ 3
−(ℎ2−ℎ1)→ℎ3 (𝐴|𝑏) = (3 2 −2 1
1 | 7 ) →−−−−−−−−−−−→ (0 7 −7 5 5 | 17 ) 1 3 −3 2 2 8 0 0 0 0 0 0 1 9 9 3
⎛𝑥 = − 𝑧 + 𝑢 + 𝑡 + 2 14 14 14 ⎪ 5
𝑦 = 𝑧 − 5 𝑢 − 𝑡 + 17 Hệ có vô số nghiệm: 7 7 7 ⎨ 𝑧: 𝑡ù𝑦 ý ⎪ 𝑢: 𝑡ù𝑦 ý { 𝑡: 𝑡ù𝑦 ý
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 1
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình: { 2𝑥 + 𝑧 − 2𝑡 = 2
3𝑥 − 𝑦 − 𝑡 = −1
Giải: Có sơ đồ biến đổi ma trận: 1 −1 −1 1 1 ℎ2−2ℎ1→ℎ2 ℎ3−((ℎ1+ℎ2)→ℎ3 1 −1 −1 1 1 (𝐴|𝑏) = (2 0 1
−2| 2 ) →−−−−−−−−−−−→ (0 2 3 −4| 0 ) 3 −1 0 −1 −1 0 0 0 0 −4 Hệ vô nghiệm.
Vd 7: Tìm đ/k tham số m để hệ p.trình sau có nghiệm duy nhất:
𝑥 + 𝑦 + (1 − 𝑚)𝑧 = 𝑚 + 2
{ (1 + 𝑚)𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0
2𝑥 − 𝑚𝑦 + 3𝑧 = 𝑚 + 2 1 1 1 − 𝑚
Giải: Hệ 3 phương trình 3 ẩn số có ma trận: 𝐴 = (𝑚 + 1 −1 2 ). Hệ có nghiệm 2 −𝑚 3
duy nhất khi và chỉ khi: 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0, ℎ𝑎𝑦 𝑚3 − 4𝑚 ≠ 0, 𝑡ứ𝑐 𝑙à: 0 ≠ 𝑚 ≠ ±2 1 1 0 2 3 1 Vd 8: Cho: 𝐴 = (2 2 1) ; 𝐵 = (−1 4 3) 1 0 1 2 0 2
a/ Tìm m.trận U sao cho: A.U = B.
b/ Tìm m.trận V sao cho: 𝑉. 𝐴𝑇 = 𝐵 (𝑋 + 𝑌). 𝐴 = 𝐵
c/ Tìm các m.trận X, Y sao cho: {
𝐴𝑇(𝑋 − 𝑌) = 𝐵𝑇 Giải: 𝐴11 𝐴21 𝐴31
a/ Có 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1 ≠ 0 , nên A khả nghịch và 𝐴−1 = 1 [𝐴 𝒅𝒆𝒕𝑨 12 𝐴22 𝐴32] 𝐴13 𝐴23 𝐴33 2 1 2 1
Tính: 𝐴11 = (−1)1+1 | | = 2, 𝐴12 = (−1)1+2 | | = −1 0 1 1 1 2 2 1 0 𝐴13 = (−1)1+3 |
| = −2, 𝐴21 = (−1)2+1 | | = −1 1 0 0 1 1 0 1 1 𝐴22 = (−1)2+2 | | = 1, 𝐴23 = (−1)2+3 | | = 1, 1 1 1 0 1 0 1 0 𝐴31 = (−1)3+1 | | = 1, 𝐴32 = (−1)3+2 | | = −1 2 1 2 1 1 1 𝐴33 = (−1)3+3 | | = 0 2 2 2 −1 1 2 −1 1
Vậy ta có: 𝐴−1 = 𝟏. [−1 1 −1] = [−1 1 −1] −2 1 0 −2 1 0
Nhân hai vế về bên trái của phương trình: A.U = B, với 𝐴−1, ta có phương trình tương đương:
𝐴−1(𝐴. 𝑈) = 𝐴−1. 𝐵 ⇔ (𝐴−1. 𝐴)𝑈 = 𝐴−1𝐵 ⇔ 𝐼. 𝑈 = 𝐴−1𝐵 Hay: 𝑈 = 𝐴−1𝐵. 2 −1 −2
b/ Vì A khả nghịch nên 𝐴𝑇 khả nghịch và (𝐴𝑇)−1 = (𝐴−1)𝑇 = [−1 1 1 ] −1 −1 0
Nhân về bên phải hai vế phương trình 𝑉. 𝐴𝑇 = 𝐵 với (𝐴𝑇)−1, nhận được phương trình
tương đương: (𝑉. 𝐴𝑇)(𝐴𝑇)−1 = 𝐵(𝐴𝑇)−1 ⇔ 𝑉. (𝐴𝑇. (𝐴𝑇)−1) = 𝐵. (𝐴−1)𝑇
Hay: 𝑉 = 𝐵. (𝐴−1)𝑇. (𝑋 + 𝑌). 𝐴 = 𝐵
{(𝑋 + 𝑌). 𝐴}𝐴−1 = 𝐵𝐴−1 c/ Ta có: { ⇔ { ⇔
𝐴𝑇(𝑋 − 𝑌) = 𝐵𝑇
(𝐴𝑇)−1{𝐴𝑇(𝑋 − 𝑌)} = (𝐴𝑇)−1𝐵𝑇
{(𝑋 + 𝑌). (𝐴𝐴−1) = 𝐵𝐴−1 {(𝑋 + 𝑌) = 𝐵𝐴−1 { ⇔ {
[(𝐴𝑇)−1𝐴𝑇](𝑋 − 𝑌) = (𝐴𝑇)−1𝐵𝑇
(𝑋 − 𝑌) = (𝐴𝑇)−1𝐵𝑇 1
𝑋 = {𝐵𝐴−1 + (𝐴𝑇)−1𝐵𝑇} ⇔ { 2 1
𝑌 = {𝐵𝐴−1 − (𝐴𝑇)−1𝐵𝑇} 2 −𝑥 + 𝑧 − 𝑢 = 1
Ví dụ 9. Tìm nghiệm của hệ p.trình: {2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 + 4𝑢 = 2 −2𝑥 + 2𝑧 + 𝑢 = 3
sao cho: 𝑢 + 2𝑧 − 2𝑥 = 4
HD: Yêu cầu bài toán là giải hệ 4 phương trình: −𝑥 + 𝑧 − 𝑢 = 1
{2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 + 4𝑢 = 2 −2𝑥 + 2𝑧 + 𝑢 = 3 −2𝑥 + 2𝑧 + 𝑢 = 4
Ví dụ 10. Cho hệ phương trình: 𝑥 + 6𝑦 + 2𝑧 = −1 { 2𝑥 + 9𝑦 + 2𝑧 = 0
(𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑙à 𝑐á𝑐 ẩ𝑛 𝑠ố)
𝑘2(𝑥 + 2) + 21𝑦 + 6𝑧 = 6
a. Định k để hệ có nghiệm duy nhất. b. Giải hệ khi k = 2. Giải:
a. Hệ đã cho là hệ 3 phương trình, 3 ẩn số: 𝑥 + 6𝑦 + 2𝑧 = −1 { 2𝑥 + 9𝑦 + 2𝑧 = 0
(𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑙à 𝑐á𝑐 ẩ𝑛 𝑠ố), có ma trận A là ma trận
𝑘2𝑥 + 21𝑦 + 6𝑧 = 6 − 2𝑘2 vuông: 1 6 2 𝐴 = [ 2 9 2] 𝑘2 21 6
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0, ℎ𝑎𝑦: − 6𝑘2 − 24 ≠ 0 (luôn
thỏa với mọi k). Vậy hệ có nghiệm duy nhất với mọi k.
b. Giải hệ khi k = 2 (SV tự giải)
𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 𝑚𝑡 = 0
3𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 − 4𝑡 = 0
Ví dụ 11. Cho hệ pt: { 4𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 + 3𝑡 = 0
3𝑥 + 8𝑦 + 24𝑧 − 19𝑡 = 0 1/ Giải hệ khi m = 3.
2/ Định m để hệ có vô số nghiệm.
1/ Khi m = 3., hệ có sơ đồ biến đổi mt: 1 2 4 −3 0 ℎ2−3.ℎ1→ℎ2 1 2 4 −3 0 ℎ3−ℎ1−ℎ2→ℎ3 3 5 6 −4 (𝐴|0) = (
|0) →−ℎ−4−−−ℎ−2−→ −−ℎ−4→ (0 −1 −6 5 |0) 4 5 −2 3 0 0 −2 −12 10 0 3 8 24 −19 0 0 3 18 −15 0 ℎ3−2ℎ2→ℎ3 1 2 4 −3 0 ℎ4+ℎ2+ℎ3→ℎ4
→−−−−−−−−−→ (0 −1 −6 5 | ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝒙 = 𝟖𝒛 − 𝟕𝒕 𝒚 = −𝟔𝒛 + 𝟓𝒕
Suy ra hệ có vô sống nghiệm: { 𝒛: 𝒕ù𝒚 ý 𝒕: 𝒕ù𝒚 ý 1 2 4 −𝑚 ℎ2 − 3. ℎ1 → ℎ2 1 2 4 −𝑚
𝟐 − 𝑪ó: 𝑑𝑒𝑡𝐴 = |3 5 6
−4 | (ℎ3 − ℎ1 − ℎ2 → ℎ3) = |0 −1 −6 −4 + 3𝑚| 4 5 −2 3 0 −2 −12 7 + 𝑚 3 8 24 −19 ℎ4 − ℎ2 → ℎ4 0 3 18 −15 1 2 4 −𝑚 ℎ3 − 2ℎ2 → ℎ3 −4 + 3𝑚 −1 −6 | = 0, ∀𝑚
(ℎ4 + ℎ2 + ℎ3 → ℎ4) = |0 0 0 0 15 − 5𝑚 0 0 0 −12 + 4𝑚
Vậy hệ có vô số nghiệm với mọi m 2 2 −1 1 2
Ví dụ 12. Cho các ma trận: 𝐴 = [2 1 −1] ; 𝐵 = [0 −1] 1 1 0 2 3
K/s tính khả nghịch và tìm 𝐴−1(nếu có) và tìm ma trận X sao cho 𝑋. 𝐴𝑇 = 𝐵
Giải. Có sơ đồ biến đổi: (𝐴|𝐼) =
2 2 −1 1 0 0 ℎ2−ℎ1→ℎ2 2 2 −1 1 0 0
(2 1 −1|0 1 0) →−2−ℎ−3 −−−ℎ−1→ (0 −1
0 |−1 1 0) (⇒ ∃𝐴−1) 1 1 0 0 0 1 0 0 1 −1 0 2 ℎ1+2ℎ2+ℎ3→ℎ1 2 0 0 −2 2 2 1 ℎ1→ℎ1 1 0 0 −1 1 1
→−−−−−ℎ−2−→−ℎ−2−−→ (0 1 0| 1
−1 0) 2→−−−−→ (0 1 0| 1 −1 0) 0 0 1 −1 0 2 0 0 1 −1 0 2 −1 1 1 Vậy 𝐴−1 = [ 1 −1 0] −1 0 2
• 𝑋. 𝐴𝑇 = 𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐵. (𝐴𝑇)−1 = 𝐵. (𝐴−1)𝑇. Tuy nhiên tích 𝐵. (𝐴−1)𝑇 không tồn tại.
Vậy không tồn tại ma trận X thỏa điều kiện đã cho.
Ứng dụng thuật toán Jordan khảo sát tính khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo (nếu có)
Ví dụ 13: Khảo sát tính khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận: 1 2 3 0 2 3 6 2 𝐴 = ( ) 1 1 4 3 1 2 3 1
Giải: Ta có sơ đồ biến đổi: 1 2 3 0⋮1 0 0 0
ℎ2−2.ℎ1→ℎ2 1 2 3 0⋮ 1 0 0 0 2 3 6 2⋮0 1 0 0
ℎ3−ℎ1→ℎ3 ( ) ( )
ℎ4−ℎ1→ℎ4 (0 −1 0 2⋮−2 1 0 0 𝐴 ⋮ 𝐼 =
→−−−−−−−−−−→ ) 1 1 4 3⋮0 0 1 0 0 −1 1 3⋮−1 0 1 0 1 2 3 1⋮0 0 0 1 0 0 0 1⋮−1 0 0 1 1 2 3 0⋮ 1 0 0 0
ℎ3−ℎ2→ℎ3 (0 −1 0 2⋮−2 1
0 0 = (𝐴∗ ⋮ 𝐵∗). Vậy A khả nghịch.
→−−−−−−−−−→ ) 0 0 1 1⋮ 1 −1 1 0 0 0 0 1⋮−1 0 0 1 1 2 3 0⋮ 1 0 0 0
ℎ3−ℎ4→ℎ3 ∗ ℎ ℎ ℎ
Ta biến đổi tiếp: ( 𝐴∗ ⋮ 𝐵 ) − 2+2. 4→ 2
→−−−−−−−−−−→ (0 1 0 0⋮ 0 −1 0 2 ), 0 0 1 0⋮ 2 −1 1 −1 0 0 0 1⋮−1 0 0 1 1 0 0 0⋮−5 5 −3 −1 −5 5 −3 −1
ℎ1−2ℎ2−3ℎ3→ℎ1 0 1 0 0⋮ 0 −1 0 2 −1 0 2
→−−−−−−−−−−−−−−→ ( ) ⇒ 𝐴 −1 = ( 0 ) 0 0 1 0⋮ 2 −1 1 −1 2 −1 1 −1 0 0 0 1⋮−1 0 0 1 −1 0 0 1
Ví dụ 14(Sinh viên tự giải): Khảo sát tính khả nghịch của A và tìm 𝐴−1(𝑛ế𝑢 𝑐ó), 𝑣ớ𝑖: 0 1 1 1 1 l1 1 0 1 1 𝐴 = ⎪1 0 1 1 1⎪ 1 1 1 0 1 𝗁1 1 1 1 0)
Ví dụ 15. Khảo sát tính khả nghich và tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận: 1 1 0 𝐴 = (2 2 1) 1 0 1
Giải: Có sơ đồ biến đổi:
1 1 0 1 0 0 ℎ2−2ℎ1→ℎ2 1 1 0 1 0 0 ℎ2↔ℎ3 1 1 0 1 0 0
(𝐴|𝐼) = (2 2 1|0 1 0) →ℎ−3−−−ℎ−1−→ −−ℎ→ 3 (0 0
1|−2 1 0) →−−−→ (0 −1 1|−1 0 1) 1 0 1 0 0 1 0 −1 1 −1 0 1 0 0 1 −2 1 0 ℎ2−ℎ3→ℎ2 1 1 0 1 0 0 −ℎ2→ℎ2 1 0 0 2 −1 1
(𝑣ậ𝑦 𝐴 𝑘ℎả 𝑛𝑔ℎị𝑐ℎ) →−−−−−−→ (0 −1 0| 1 −1 1) ℎ→1−+
−−ℎ−2−→−ℎ→1 (0 1 0|−1 1 −1) 0 0 1 −2 1 0 0 0 1 −2 1 0 2 −1 1 Vậy 𝐴−1 = [−1 1
−1] (chính là ma trận 𝐴−1 ở bài trên tìm được nhờ công thức −2 1 0 theo ma trận phụ hợp)
Ví dụ 16. Khảo sát tính khả nghịch và tìm ma trận nghịch đáo (nếu có) của ma trận: −1 1 4 3 𝐵 = [ 3 4 2 0 ] 1 0 2 1 0 4 −4 −3 −1 0 0 2 1 0 0 0 3 4 2 0
Giải: Có sơ đồ biến đổi ma trận: (𝐵|𝐼) = ( |0 1 0 0) 1 0 2 1 0 0 1 0 0 4 −4 −3 0 0 0 1 −1 0 0 2 1 0 0 0 ℎ2+3ℎ1→ℎ2 →ℎ−3−+−ℎ−1−→ −−ℎ→ 3 ( 0 4 2 6 |3 1 0 0) 0 0 2 3 1 0 1 0 0 4 −4 −3 0 0 0 1 −1 0 0 2 1 0 0 0 ℎ4−ℎ2→ℎ4 0 4 2 6 →−−−−−−→ ( | 3 1 0 0) 0 0 2 3 1 0 1 0 0 0 −6 −9 −3 −1 0 1 −1 0 0 2 1 0 0 0 ℎ4+3ℎ3→ℎ4 0 4 2 6| 3 1 0 0 →−−−−−−−→ ( ) 0 0 2 3 1 0 1 0 0 0 0 0 0 −1 3 1
Suy ra B không khả nghịch (có det(B) = 0) 𝑚 + 1 1 3
Ví dụ 17. Tìm đ/k cho m để m.trận 𝐴 = [ 2 𝑚 + 2 0] khả nghịch 2𝑚 1 3
Giải: 𝐴 khả nghịch khi và chỉ khi det(𝐴) ≠ 0, hay: 3(m + 2)(1 – m) ≠ 0, 𝑡ứ𝑐 𝑙à: − 2 ≠ 𝑚 ≠ 1
Chương 3. Không gian véc tơ
Một số chú ý: Trong không gian ℝ𝒏: cho hệ m véc tơ 𝑺 = {𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒎}:
a/ Nếu m > n thì hệ S phụ thuộc tuyến tính
b/ Nếu hệ S có chứa véc tơ 0 thì S phụ thuộc tuyến tính
c/ Nếu hệ S có một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại của S thì S phụ thuộc tuyến tính.
d/ Nếu S có một hệ con B phụ thuộc tuyến tính thì S cũng phụ thuộc tuyến tính.
e/ Nếu m = n, tức là S gồm n véc tơ thì:
- S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi 𝒅𝒆𝒕(𝑺∗) ≠ 𝟎 (hay: S phụ thuộc tuyến tính khi
và chỉ khi 𝒅𝒆𝒕(𝑺∗) = 𝟎) (𝑺∗ là ma trận liên kết cột hoặc liên kết hàng của hệ véc tơ S))
f/ rank (S) (hạng của hệ véc tơ S) = r(𝑺∗) (hạng của ma trận 𝑺∗)
f/ Nếu m < n thì: S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi rank (S) = m, S phụ thuộc tuyến
tính khi và chỉ khi rank (S) < m
Ví dụ 1: Trong ℝ3, xét hệ: 𝑆 = {𝑢1 = (1,1,0), 𝑢2 = (𝑚 − 1,1,0), 𝑢3 = (𝑚, − 1, 𝑚 + 1)}
Tìm điều kiện của tham số m để hệ S phụ thuộc tuyến tính. Giải:
Cách 1. (theo định nghĩa) Hệ S phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi: tồn tại các số thực
𝑥, 𝑦, 𝑧 không đồng thời bằng 0 sao cho:
𝑥. 𝑢1 + 𝑦. 𝑢2 + 𝑧. 𝑢3 = 𝒪,
tức là hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường:
𝑥 + (𝑚 − 1)𝑦 + 𝑚𝑧 = 0 { 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 (𝑚 + 1)𝑧 = 0
Vậy điều kiện cần tìm là: 1 𝑚 − 1 𝑚 𝑚 = −1 𝑑𝑒𝑡 (1 1
−1 ) = 0 ⇔ −𝑚2 + 𝑚 + 2 = 0 ⇔ [ . 𝑚 = 2 0 0 𝑚 + 1 1 𝑚 − 1 𝑚
Cách 2. Hệ S có ma trận liên kết cột là 𝑺∗ = (1 1 −1 ). Hệ S phụ thuộc 0 0 𝑚 + 1
tuyến tính khi và chỉ khi: det (𝑺∗) = 𝟎 ⇔ −𝑚2 𝑚 = −1 + 𝑚 + 2 = 0 ⇔ [ 𝑚 = 2
Ví dụ 2: Trong ℝ𝑛, chứng minh hệ sau đây là độc lập tuyến tính cực đại:
𝛷 = {𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛}, (𝑒𝑗 = (0, … ,0, ⏟
1 , 0, … ,0) , 𝑗 = 1,2, … , 𝑛). 𝑗 Giải:
- Từ: 𝑥1𝑒1 + 𝑥2𝑒2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑒𝑛 = 𝒪 ⇒ (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = (0,0, … ,0) ⇒ 𝑥1 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0
Vậy hệ 𝛷 = {𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛} là hệ độc lập tuyến tính trong ℝ𝑛.
- ∀𝑢 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛, ta có: 𝑢 = 𝑥1𝑒1 + 𝑥2𝑒2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑒𝑛, do đó hệ 𝐵 = 𝛷 ∪
{𝑢} là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ 3: Trong ℝ4, tìm hạng của họ véc tơ:
𝐵 = {u1 = (1, 2, 1, 2), u2 = (2, 1, 2, 1), u3 = (1, 1, 1, 2), u4 = (1, 0, 1, 1)}
Giải: B có ma trận liên kết cột: 1 2 1 1 B∗ = (2 1 1 0) 1 2 1 1 2 1 2 1
Để tìm hạng của B∗, ta có sơ đồ biến đổi: ℎ2−2.ℎ1→ℎ2 ℎ3−ℎ1→ℎ3 1 2 1 1 1 2 1 1
ℎ3,ℎ4 đổ𝑖 𝑐ℎỗ
B∗ →ℎ−4−−−ℎ−2−→−−ℎ→
4 (0 −3 −1 −2) →−−−−−−−−→ (0
−3 −1 −2) = 𝐵∗∗ (ma trận bậc 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0
thang). Suy ra: rank (B) = 𝑟(B∗) = 𝑟(𝐵∗∗) = 3.
Ví dụ 4 : Trong ℝ4, tìm hạng của họ véc tơ:
U = {u1, u2, u3, u4}, với: u1= (1, 2, 3, 4), u2 = (-1, 0, 1, 1), u3 =2, 1, 3, 1), u4 = (3, - 1, 0, 2).
Giải: Ma trận liên kết cột với họ véc tơ U trong cơ sở chính tắc Φ là: 1 2 3 4 1 0 1 1 U . 2 1 3 1 3 1 0 2
Ta có sơ đồ biến đổi U* về ma trận bậc thang: 1 2 3 4 1 2 3 4
h2h1h2 0 2 4 5
2h3h2h3 0 2 4 5 U
h32h2h3
0 1 5 3 h4h3h4 0 0 6 1
h43h2h4 0 1 3 5 0 0 8 8 1 2 3 4
3h44h3h4 0 2 4
5 C Suy ra: rah3nk (U) = r(U*) = r(C) = 4 0 0 6 1 0 0 0 20
Ví dụ 5. Kiểm tra xem trong ℝ4 , họ véc tơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính:
a/ 𝑆 = {𝑢1 = (1, 2, 0, 1), 𝑢2 = (0, −1, 3, 1), 𝑢3 = (−1, 3, −3, 1), 𝑢4 = (0, 6, 0, 4)}
b/ 𝐵 = {𝑣1 = (−1, 1, 0, 1), 𝑣2 = (0, −1, 2, 1), 𝑣3 = (−1, 0, 2, 1)} Giải:
a/ Cách 1. Ta có sơ đồ biến đổ ma trân liên kết hàng của S: 1 2 0 1 1 2 0 1 ℎ3+ℎ1→ℎ3 1 2 0 1 𝑆∗ = [0 −1
3 1 ] ℎ→4−+−−6−ℎ−2−→−ℎ→4 [0 −1 3 1 ℎ3+5ℎ2→ℎ3 ] [0 −1 3 1 ] −1 3 −3 1 0 5 −3
2 →−−−−−−−→ 0 0 12 7 0 6 0 4 0 0 18 10 0 0 18 10 1 2 0 1 3 1 2ℎ4−3ℎ3→ℎ4 ] = 𝑆′ [0 −1
→−−−−−−−−→ (ma trận bậc thang) 0 0 12 7 0 0 0 −1
Suy ra rank (S) = 𝑟(𝑆∗) = 𝑟(𝑆′) = 4 , nên hệ S độc lập tuyến tính
Ví dụ 6. Định m để hệ véc tơ sau độc lập tuyến tính
𝑆 = {𝑢 = (2,1,3), 𝑣 = (1,1,2), 𝑤 = (𝑚, 3,1)} 2 1 𝑚
Giải. Hệ S có ma trận liên kết cột: 𝑆∗ = [1 1
3 ]. Hệ S độc lập tuyến tính khi và chỉ 3 2 1
khi 𝐝𝐞𝐭 𝑆∗ = −𝟐 − 𝒎 ≠ 𝟎, hay 𝒎 ≠ −𝟐.
Một số bài tập sinh viên tự giải:
𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 𝑡 = 0
1. Cho hệ pt: { −𝑥 + 𝑦 − 4𝑡 = 0
2𝑥 + 𝑚𝑦 − 2𝑧 + 3𝑡 = 0
3𝑥 − 2𝑦 + 7𝑧 − 9𝑡 = 0
a/ Giải hệ khi m = - 1. b/ Định m để hệ có vô số nghiệm. 2 2 −1 1 2
2. Cho các ma trận: 𝐴 = [2 1 −1] ; 𝐵 = [0 −1] 1 1 0 2 3
K/s tính khả nghịch và tìm 𝐴−1(nếu có) và tìm ma trận X sao cho 𝑋. 𝐴𝑇 = 𝐵
3. Định m để hệ véc tơ sau độc lập tuyến tính
𝑆 = {𝑢 = (2, 𝑚, 𝑚 + 1), 𝑣 = (−1,1,0), 𝑤 = (𝑚, 0, 1)} 4. Cho x, y thỏa mãn: 𝑥 − 4𝑦 = −5
{ 𝑥 − 7𝑦 − 𝑧 = −6 . 𝑇í𝑛ℎ 𝑥2 + 𝑦2. 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −7
5. Tìm điều kiện của a, b để hệ phương trình sau có vô số nghiệm: 𝑥 + 2𝑦 + 𝑎𝑧 = 3
{5𝑥 + (3 − 𝑎)𝑧 = 𝑏 + 2
3𝑥 − 𝑦 − 𝑎𝑧 = 2
6. Tìm ma trận X sao cho AX = B, với : 1 1 0 0 2 0 2 4 A
; BT 1 2 1 2. 1 1 1 9 2 2 3 12
7. Giải và biện luận hệ phương trình sau đây theo tham số m:
x y z 2
3x 2 y 5z 3m 8.
mx y 2z 2
8. Giải và biện luận hệ phương trình sau đây theo tham số m:
x y z 2
2 x 3 y z 2m .
3x 4 y mz 1 9. Cho x, y thỏa mãn: 𝑥 − 4𝑦 = −5
{ 𝑥 − 7𝑦 − 𝑧 = −6 . 𝑇í𝑛ℎ 𝑥2 + 𝑦2. 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −7
10. Tìm điều kiện của a, b để hệ phương trình sau có vô số nghiệm: 𝑥 + 2𝑦 + 𝑎𝑧 = 3
{5𝑥 + (3 − 𝑎)𝑧 = 𝑏 + 2
3𝑥 − 𝑦 − 𝑎𝑧 = 2
11. Tìm ma trận X sao cho AX = B, với : 1 1 0 0 2 0 2 4 A
; BT 1 2 1 2. 1 1 1 9 2 2 3 12
12. Giải và biện luận hệ phương trình sau đây theo tham số m:
x y z 2
3x 2 y 5z 3m 8.
mx y 2z 2
13. Giải và biện luận hệ phương trình sau đây theo tham số m:
x y z 2
2 x 3 y z 2m .
3x 4 y mz 1
14: Trong ℝ3, xét hệ: 𝑆 = {𝑢1 = (1,1,0), 𝑢2 = (𝑚 − 1,1,0), 𝑢3 = (𝑚, − 1, 𝑚 + 1)}
Tìm điều kiện của tham số m để hệ S phụ thuộc tuyến tính.
15. Trong ℝ4, tìm hạng của họ véc tơ:
𝐵 = {u1 = (1, 2, 1, 2), u2 = (2, 1, 2, 1), u3 = (1, 1, 1, 2), u4 = (1, 0, 1, 1)}
16. Hãy xác định giá trị tham số m sao cho véc tơ x sau đây là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3:
a. 𝑢1 = (3,7,8), 𝑢2 = (1, −6,1), 𝑢3 = (2,3,5), 𝑥 = (7, −2, 𝑚).
b. 𝑢1 = (4,1,6), 𝑢2 = (4,4,3), 𝑢3 = (7,2,1), 𝑥 = (5,9, 𝑚).
17. Trong ℝ3, cho hệ véc tơ 𝐵 = {𝑣1 = (8,3,1), 𝑣2 = (2,5,2), 𝑣3 = (𝑚 − 3,4,3)}. Tìm điều kiện
của tham số m để hệ B độc lập tuyến tính.
18. Trong ℝ3, cho hệ véc tơ 𝑀 = {𝑣1 = (−5,2, −3), 𝑣2 = (9,4, 𝑚 − 4), 𝑣3 = (−2,2,1)}. Tìm
điều kiện của tham số m để hệ M phụ thuộc tuyến tính.
19. Trong ℝ4, xét xem hệ véc tơ
𝑆 = {𝑠1 = (4, −3,1,2), 𝑠2 = (2,1, −4,3), 𝑠3 = (4,8, −5, −2), 𝑠4 = (4, −3,1,2)}
là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?