14 trang 2 lượt tải

Đề cương môn Toán cao cấp- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

3

 Mlàđiểmdừngnhưng khôngphảicựctrịcủahàmf(x,y)

Đề cương môn Toán cao cấp- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

Tài liệu gồm 14 trang , giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao.

Môn: Toán cao cấp(TCC10) 28 tài liệu

Trường: Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng 1 K tài liệu

Tác giả:

Profile

giang le

5 ngày trước
Danh sách Quiz
/14
{
2
{
{
−
6
0
−
6
36
Bài 1: Tìm cực trị của hàm:
1/
2/ f(x,y) =4x
4
+2y
4
-2x
2
-y
2
, với x>0, y>0
Giải:
1/ f(x, y) = x
2
+ y
3
- 6xy
Ta có:
∂ u
=¿
2x – 6y;
∂u
=3 y
2
– 6x
∂
x
∂
y
Giải hệ phương trình:
2 x−6 y=0
⇔
x=3 y
⇔
x=3 y
⇔
x=0 , y=0
3 y
2
−6 x=0 3 y −6.3 y=0
y=0 , y=6 x=18 , y=6
Vậy M
1
(0,0), M
2
(18,6) là 2 điểm dừng
∂
2
u
∂
2
u
∂
2
u
∂ x
2
=2 ;
∂ y
2
=6 y ;
∂ x ∂ y
=−6 ;
*Tại M
1
(0,0), ma trận Hesse H=
(
2 −6
)
Ta có:
H
1
=
2
>
0
H
2
=
∣
H
∣
=−
36
∈
0
Vậy hàm số không đạt cực trị tại M
1
(0,0)
*Tại M
2
(18,6), ma trận Hesse H=
(
2 −6
)
Ta có:
H
1
=
2
>
0
H
2
=
∣
H
∣
=
36
>
0
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại M
2
(18,6) và giá trị cực tiểu tại f(18,6)= -108
2/ f(x,y) =4x
4
+2y
4
-2x
2
-y
2
, với x>0, y>0
{
{
{
Do Điểm dừng
Ta có: ; ;
Tại , xét ma trận Hesse:
=> đạt cực tiểu địa phương tại
Bài 2: Tìm cực trị của hàm: f(x,y)=x.y với điều kiện
Giải:
Ta có hàm Lagrange:
Ta có hệ phương trình:
⇨
Hàm L có điểm dừng tại
Xét:
Ta có:
Vậy hàm f đạt cực đại địa phương tại .
Bài 5. Tìm cực trị của các hàm sau đây
a)
Ta có:
Giải hệ phương trình:
Điểm dừng là
Các đạo hàm riêng cấp 2 tại điểm là:
Ma trận Hesse tại là:
Vậy suy ra hàm f(x,y) không đạt cực trị.
b)
Ta có:
Giải hệ phương trình:
Điểm dừng là
Các đạo hàm riêng cấp 2 là:
Ma trận Hesse tại là:
Vậy suy ra hàm f(x,y) đạt cực tiểu tại với giá trị cực tiểu f(2,2) = 6
c)
Ta có:
Giải hệ phương trình:
Điểm dừng là
Các đạo hàm riêng cấp 2 là:
Ma trận Hesse tại là:
Vậy suy ra hàm f(x,y) đạt cực tiểu tại với giá trị cực tiểu f( ) =
d)
;
Giải hệ phương trình
Các đạo hàm riêng cấp 2
Xét tại M
0
(5;2) ta có ma trận Hesse tại M
0
(5;2)
Nên hàm f(x;y) đạt cực tiểu tại M
0
(5;2) và có giá trị cực tiểu là f(5;2)=30
e)
;
Giải hệ phương trình
Vậy M
1
(0;0) và M
2
(-1;-1) là điểm dừng.
Các đạo hàm riêng cấp 2
Xét tại M
1
(0;0), có trận Hesse
⇨
Nên hàm f(x,y) không đạt cực trị tại M
1
(0,0)
Xét tại M
2
(-1;-1) có ma trận Hesse
⇨
Hàm f(x,y) đạt cực đại tại M
2
(-1;-1) và có giá trị cực đại là f(-1;-1)=1
f)
;
Giải hệ phương trình
Vậy M
1
(0;0) và M
2
(24;-144) là điểm dừng.
Các đạo hàm riêng cấp 2
Xét tại M
1
(0;0), ta có ma trận Hesse
⇨
Nên hàm f(x,y) không đạt cực trị tại M
1
(0,0)
Xét tại M
2
(24;-144) có ma trận Hesse
⇨
Hàm f(x,y) đạt cực tiểu tại M
2
(24;-144) và có giá trị cực tiểu là f(24;-144)=-6911
Bài 6
a)
với
Ta có:
Lập hàm:
Ta có:
Điểm dừng N ( , )
Ta có các đạo hàm cấp 2: ; ; =0
; ;
Ta có ma trận Hesse
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại N ( , )
b)
nếu x và y thỏa mãn điều kiện
Lập hàm:
Ta có:
Điểm dừng N=(3, 4, -2) hay N=(0, 0, 0)
Ta có các đạo hàm cấp 2: , ,
, ,
Ta có ma trận Hesse
•
N (3, 4, -2)
=50>0
=-14<0
Vậy hàm số f(x, y) đạt cực đại tại N (3, 4, -2)
•
N (0, 0, 0)
=-50<0
=-9<0
Vậy hàm số f(x, y) đạt cực tiểu tại N (0, 0, 0)
c)
Giải hệ trên
Ta có các đạo hàm cấp 2: , ,
, ,
Ma trận Hesse:
Hàm số đạt cực tiểu tại ( , )
Hàm số đạt cực tiểu tại ( , )
Hàm số đạt cực đại tại ( , )
Hàm số đạt cực đại tại ( , )
Bài 9. Hàm có 2 điểm dừng là và . Chọn kết luận
đúng
a) Hàm f không đạt cực trị địa phương tại A, đạt cực đại địa phương tại B
b) Hàm f đạt cực tiểu địa phương tại A, đạt cực đại địa phương tại B
c) Hàm f không đạt cực trị địa phương tại A, đạt cực tiểu địa phương tại B
d) Hàm f đạt cực đại địa phương tại A, đạt cực tiểu địa phương tại B
Ta có:
Các đạo hàm riêng cấp 2 là:
•
Ma trận Hesse tại là:
Vậy suy ra hàm f(x,y) không đạt cực trị địa phương tại
•
Ma trận Hesse tại là:
Vậy suy ra hàm f(x,y) đạt cực tiểu địa phương tại
Kết luận: câu c đúng.
Bài 10: Cho hàm . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
đây
A. Hàm z đạt cực tiểu tại M(0,1)
B. Hàm z đạt cực đại tại M(0,1)
C. Hàm z có điểm dừng nhưng không có cực trị
D. Hàm z không có điểm dừng
Giải:
Ta có hệ phương trình:
⇨
Hệ vô nghiệm vì
Vậy hàm z không có điểm dừng. CHỌN D.
Bài 11: Cho hàm . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
đây
A. Hàm f đạt cực tiểu tại M(0,0)
B. Hàm f đạt cực đại tại M(0,0)
C. Hàm f có điểm dừng nhưng không có cực trị
D. Hàm f không có điểm dừng
Giải:
Ta có hệ phương trình:
⇨
Hàm f có điểm dừng tại M(0,0)
Xét:
Ta có:
Vậy hàm f có điểm dừng nhưng không có cực trị. CHỌN C.
Bài 12: Xét hàm và điểm M(0;1). Chọn kết luận đúng
a) Hàm f đạt cực tiểu tại M
b) Hàm f đạt cực đại tại M
c) M là điểm dừng nhưng không phải cực trị của hàm f
d) M không phải là điểm dừng của hàm f
Ta có hệ phương trình
(1)
Thay M(0,1) vào (1)
⇨
M(0;1) là điểm dừng của hàm f(x,y)
Các đạo hàm riêng cấp 2
Xét tại điểm M(0,1) có ma trận Hesse
⇨
Nên hàm f(x,y) không đạt cực trị tại M (0,1)
⇨
Câu c đúng: M là điểm dừng nhưng không phải cực trị của hàm f(x,y)
Bài 13. Vi phần toàn phần của hàm là kết quả nào?
A.
B.
C.
D.

Tài liệu khác của Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng

Preview text:

Bài 1: Tìm cực trị của hàm: 1/
2/ f(x,y) =4x4+2y4-2x2-y2, với x>0, y>0 Giải: 1/ f(x, y) = x2 + y3 - 6xy ∂ u ∂u Ta có: =¿ 2x – 6y; =3 y 2 – 6x ∂ x ∂ y Giải hệ phương trình: 2 x−6 y=0 { 3 y2−6 x=0 { ⇔ x=3 y 3 y −6.3 y=0 {⇔ x=3 y y=0 , y=6 { ⇔ x=0 , y=0 2 x=18 , y=6
Vậy M1(0,0), M2(18,6) là 2 điểm dừng ∂2 u ∂2u ∂2 u = = ∂ x 2 ; 6 y ; 2 ∂ y2 ∂ x ∂ y=−6 ;
*Tại M1(0,0), ma trận Hesse H=( 2 −6) −6 0 H =2>0 Ta có: 1 { H 2=∣H∣=−36∈0
Vậy hàm số không đạt cực trị tại M1(0,0)
*Tại M2(18,6), ma trận Hesse H=( 2 −6) −6 36 H =2>0 Ta có: 1 { H 2=∣H∣=36>0
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại M2(18,6) và giá trị cực tiểu tại f(18,6)= -108
2/ f(x,y) =4x4+2y4-2x2-y2, với x>0, y>0 Do Điểm dừng Ta có: ; ; Tại , xét ma trận Hesse: =>
đạt cực tiểu địa phương tại
Bài 2: Tìm cực trị của hàm: f(x,y)=x.y với điều kiện Giải: Ta có hàm Lagrange: Ta có hệ phương trình:
⇨ Hàm L có điểm dừng tại Xét: Ta có:
Vậy hàm f đạt cực đại địa phương tại .
Bài 5. Tìm cực trị của các hàm sau đây a) Ta có: Giải hệ phương trình: Điểm dừng là
Các đạo hàm riêng cấp 2 tại điểm là: Ma trận Hesse tại là:
Vậy suy ra hàm f(x,y) không đạt cực trị. b) Ta có: Giải hệ phương trình: Điểm dừng là
Các đạo hàm riêng cấp 2 là: Ma trận Hesse tại là:
Vậy suy ra hàm f(x,y) đạt cực tiểu tại
với giá trị cực tiểu f(2,2) = 6 c) Ta có: Giải hệ phương trình: Điểm dừng là
Các đạo hàm riêng cấp 2 là: Ma trận Hesse tại là:
Vậy suy ra hàm f(x,y) đạt cực tiểu tại
với giá trị cực tiểu f( ) = d) ; Giải hệ phương trình
Các đạo hàm riêng cấp 2
Xét tại M0(5;2) ta có ma trận Hesse tại M0(5;2)
Nên hàm f(x;y) đạt cực tiểu tại M0(5;2) và có giá trị cực tiểu là f(5;2)=30 e) ; Giải hệ phương trình
Vậy M1(0;0) và M2(-1;-1) là điểm dừng.
Các đạo hàm riêng cấp 2
Xét tại M1(0;0), có trận Hesse
⇨ Nên hàm f(x,y) không đạt cực trị tại M1(0,0)
Xét tại M2(-1;-1) có ma trận Hesse
⇨ Hàm f(x,y) đạt cực đại tại M2(-1;-1) và có giá trị cực đại là f(-1;-1)=1 f) ; Giải hệ phương trình
Vậy M1(0;0) và M2(24;-144) là điểm dừng.
Các đạo hàm riêng cấp 2
Xét tại M1(0;0), ta có ma trận Hesse
⇨ Nên hàm f(x,y) không đạt cực trị tại M1(0,0)
Xét tại M2(24;-144) có ma trận Hesse
⇨ Hàm f(x,y) đạt cực tiểu tại M2(24;-144) và có giá trị cực tiểu là f(24;-144)=-6911 Bài 6 a) với Ta có: Lập hàm: Ta có: Điểm dừng N ( , )
Ta có các đạo hàm cấp 2: ; ; =0 ; ; Ta có ma trận Hesse
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại N ( , ) b)
nếu x và y thỏa mãn điều kiện Lập hàm: Ta có:
Điểm dừng N=(3, 4, -2) hay N=(0, 0, 0)
Ta có các đạo hàm cấp 2: , , , , Ta có ma trận Hesse • N (3, 4, -2) =50>0 =-14<0
Vậy hàm số f(x, y) đạt cực đại tại N (3, 4, -2) • N (0, 0, 0) =-50<0 =-9<0
Vậy hàm số f(x, y) đạt cực tiểu tại N (0, 0, 0) c) Giải hệ trên
Ta có các đạo hàm cấp 2: , , , , Ma trận Hesse:
Hàm số đạt cực tiểu tại ( , )
Hàm số đạt cực tiểu tại ( , )
Hàm số đạt cực đại tại ( , )
Hàm số đạt cực đại tại ( , ) Bài 9. Hàm
có 2 điểm dừng là và . Chọn kết luận đúng
a) Hàm f không đạt cực trị địa phương tại A, đạt cực đại địa phương tại B
b) Hàm f đạt cực tiểu địa phương tại A, đạt cực đại địa phương tại B
c) Hàm f không đạt cực trị địa phương tại A, đạt cực tiểu địa phương tại B
d) Hàm f đạt cực đại địa phương tại A, đạt cực tiểu địa phương tại B Ta có:
Các đạo hàm riêng cấp 2 là: • Ma trận Hesse tại là:
Vậy suy ra hàm f(x,y) không đạt cực trị địa phương tại • Ma trận Hesse tại là:
Vậy suy ra hàm f(x,y) đạt cực tiểu địa phương tại
Kết luận: câu c đúng. Bài 10: Cho hàm
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây
A. Hàm z đạt cực tiểu tại M(0,1)
B. Hàm z đạt cực đại tại M(0,1)
C. Hàm z có điểm dừng nhưng không có cực trị
D. Hàm z không có điểm dừng Giải: Ta có hệ phương trình: ⇨ Hệ vô nghiệm vì
Vậy hàm z không có điểm dừng. CHỌN D. Bài 11: Cho hàm
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây
A. Hàm f đạt cực tiểu tại M(0,0)
B. Hàm f đạt cực đại tại M(0,0)
C. Hàm f có điểm dừng nhưng không có cực trị
D. Hàm f không có điểm dừng Giải: Ta có hệ phương trình:
⇨ Hàm f có điểm dừng tại M(0,0) Xét: Ta có:
Vậy hàm f có điểm dừng nhưng không có cực trị. CHỌN C. Bài 12: Xét hàm
và điểm M(0;1). Chọn kết luận đúng
a) Hàm f đạt cực tiểu tại M
b) Hàm f đạt cực đại tại M
c) M là điểm dừng nhưng không phải cực trị của hàm f
d) M không phải là điểm dừng của hàm f Ta có hệ phương trình (1) Thay M(0,1) vào (1)
⇨ M(0;1) là điểm dừng của hàm f(x,y)
Các đạo hàm riêng cấp 2
Xét tại điểm M(0,1) có ma trận Hesse
⇨ Nên hàm f(x,y) không đạt cực trị tại M (0,1)
⇨ Câu c đúng: M là điểm dừng nhưng không phải cực trị của hàm f(x,y)
Bài 13. Vi phần toàn phần của hàm là kết quả nào? A. B. C. D.

Tài liệu liên quan: