ĐỀ CUONG ÔN TẬP ĐSTT 1

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1 I. LÝ THUYẾT
CHƯƠNG 1: Phát biểu các định nghĩa và cho ví dụ về
- Hạng của một ma trận, các bước tìm hạng
- Ma trận khả nghịch, ma trận không suy biến
- Đa thức đặc trưng và đa thức tối tiểu của một ma trận vuông
- Hệ phương trình tuyến tính Cramer, công thức tính nghiệm
- Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Mối quan hệ giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
tổng quát và hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứn CHƯƠNG 2 - Không gian véctơ
- Tổ hợp tuyến tính, hệ véc tơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
- Hệ véctơ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ hữu hạn véctơ. Nêu các bước tìm một hệ véc tơ
con độc lập tuyến tính tối đại
- Hạng của một hệ hữu hạn vectơ, nêu cách tìm
- Cơ sở của một K - không gian véctơ, không gian véc tơ hữu hạn chiều
- Không gian véctơ con của một không gian véctơ
- Tổng, tổng trực tiếp của các không gian vec tơ con của một không gian véc tơ.
- Phát biểu các định lý :
Định lí về điều kiện cần và đủ để một tập con của một KGVT là không gian véc tơ con
Định lí về điều kiện cần và đủ để tổng của hai không gian véc tơ con là tổng trực tiếp. CHƯƠNG 3
- Ánh xạ tuyến tính giữa các K  KGVT. Nêu các tính chất cơ bản của một ánh xạ tuyến tính.
- Ảnh, hạt nhân, hạng của một ánh xạ tuyến tính. Nêu các bước tìm hạng của một ánh xạ tuyến tính.
- Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu.
- Phát biểu các định lý :
Định lý về ảnh, tạo ảnh của một KGVT con qua 1 ánh xạ tuyến tính.
Định lý về sự xác định duy nhất của một ánh xạ tuyến tính
Định lý năm mệnh đề tương đương về đơn cấu (CM các mệnh đề tương đương).
Định lý về sự đẳng cấu giữa các không gian véc tơ hữu hạn chiều.
Định lý về sự xác định duy nhất của một ánh xạ tuyến tính II. BÀI TẬP Chương 1
- Bài tập giải PT ma trận; Tính lũy thừa của ma trận; Tính định thức và hạng của MT
- Giải và biện luận hệ PTTT; Giải hệ phương trình TT bằng PP Gauss
- Tìm nghiệm tổng quát và một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Chương 2
- Chứng minh tập A là một không gian véctơ con và tìm dim A
- Cho hai không gian véc tơ con A, B của R3. Tìm 3 A  B, A  B,  / A
- CM 1 hệ là cơ sở, tìm MT chuyển cơ sở, CT đổi tọa độ Chương 3
- CM ánh xạ f là ánh xạ tuyến tính
- Tìm ảnh, hạt nhân, hạng của 1 ánh xạ tuyến tính
- Viết ma trận và biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f trong 1 cơ sở S MỘT SỐ DẠNG BT    1) Trong không gian 3
 cho cơ sở   {  (1,1,1),  (1, 2  ,1),  (1,0, 1  )} 1 2 3    và cho axtt 3 3
f :    xác định bởi f( )  (5,5,5), f( )  ( 1  ,2, 1  ), f( )  ( 1  ,0,1) 1 2 3
Viết ma trận và biểu thức tọa độ của f đối với cơ sở chính tắc .
2) Với tích vô hướng của hai véc tơ đã học ở THPT, cho 3 véc tơ sau
  a ,a ,a ;  b ,b ,b ;  c ,c ,c lập các định thức 1
 1 2 3 2  1 2 3 3  1 2 3
          .  .  . 1 a 1 b 1 c  1 1 1 2 1 3
      a b c    và D   .  .  . .  2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
      a   3 3 b c3   3  . 1  3  . 2  3. 3  Chứng minh rằng 2 D   . 3 (det ) a  b   3) Cho A       Mat 2,  .     c d   Chứng minh 2
A thuộc không gian véc tơ con của Mat 2,  sinh bởi A và I .   2
Giả sử a d  0 . CMR: Với mọi B  Mat
 A B  BA  AB  BA .   2 2 2, , n 4) Cho A  a  Mat ,
n  có rank A = 1. Chứng minh k k 1 A  a  ,
A a  a , với k  1 .  ij   ii i 1   
5) Chứng minh rằng số chiều của không gian con sinh bởi hệ véc tơ X   ,.. , bằng hạng của 1 m  hệ véc tơ đó.
6) Giả sử W,Z là hai không gian véc tơ con của không gian véc tơ hữu hạn chiều V. Chứng minh
rằng: Nếu dim(W  Z)  dim(W  Z)  1 thì một trong hai không gian véc tơ con trên chứa trong
không gian véc tơ con còn lại.
7) Cho W , W là các K- không gian véc tơ hữu hạn chiều, với số chiều dimW  m;dimW  n . 1 2 1 2 Hãy tính dim W  W .  1 2
8) Giả sử W,Z là hai không gian véc tơ con của không gian véc tơ hữu hạn chiều V. Chứng minh 
rằng: Nếu dimW  dimZ  dimV thì W Z chứa véc tơ khác 0.
9) Cho đồng cấu f :V  V của K- không gian véc tơ hữu hạn chiều V thỏa mãn 2 f  f. Chứng minh rằng V  Im f  e K r f .
10) Cho các dạng tuyến tính sau là một cơ sở của 3 
 . Hãy xác định cơ sở đối ngẫu của cơ sở này.     
 x  x  2x  x ; x  2x  3x  3x ; x  3x  7x  x . 1   1 2 3 2   1 2 3 3   1 2 3
11) Cho V là K- không gian véc tơ có số chiều 2 ,
p p   và cho f :V V là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn rank f  p và 2
f  0 . Chứng minh rằng Im f = Ker f.
12) Cho f,g là các ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vectơ V,W. Chứng minh rằng :
| rank f rank g |rank(f  g) rank f rank g.