Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN I. Trắc nghiệm 2 3 5   
1. Cho ma trận A  1 6 0 
 . Khi đó phần tử a là: 23 4 5 1   A. a 1 B. a  6 C. a  5 D. a  0. 23 23 23 23 2. Cho A
; B . Điều kiện để phép cộng A  B thực hiện được là: m×n k×p A. m = n; k = p B. m = k, n = p C. m = p; n = k D. Với mọi m, n, k, p 3. Cho A B   C . Xác định m, n? 4 2  n 7  m 7 
A. m = 4, n = 7 B. m = 7, n = 4 C. m = 4, n = 2 D. m = 2, n = 4
4. Ma trận tam giác trên là ma trận vuông thỏa mãn điều kiện:
A. Tất cả các phần tử nằm phía trên đường chéo chính bằng 0.
B. Tất cả các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính bằng 0.
C. Tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 0.
D. Tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1. 2  1    2 3 1  
5. Cho hai ma trận A   và B  3 5 . Khi đó T A  B là ma trận  1 5 0     1  0     2 1  4 6 2  2 3 1   A.  B. C. 3 5
D. phép toán không xảy ra 2 10 0      1  5 0      1 0    1  5 1  6. Cho ma trận A  . Khi đó -3A 3  2 4 là ma trận    3 5 1  1 15 1   3 15 1   3  1  5 3   A.  B. C. D. 9 2 4           3 6 4   9 6 4   9  6  12    3 1 1 2 3   
7. Cho hai ma trận A ; B  5 8 
. Nếu C  AB , hãy xác định phần tử 2   m 1      4  m  
c của ma trận C . 12 1
Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN
A. 6m  3
B. 2  5m C. 15  3m D. 5m  4  2  1  1  5  
8. Cho hai ma trận A  ,B  
. Tìm ma trận X  A  2B .  3 5    2 3    4 9 4 11   0 11  4 11  A. X   B. X  C. X  D. X  1 1           7 11   1  1  1   1  1  1     3 1 9. Cho A   . Tính 2 A . 1 3   1  0 0  9 1 0 1 1 0 A. 2 A   B. 2 A  C. 2 A  D. 2 A  0 10         1 9   1 0   0 1  
10. Trong các ma trận sau, ma trận nào có dạng bậc thang hàng? A. B. C. D.
11. Xác định ma trận A, biết ? A. B. C. D. 0 0 0 0   
12. Cho ma trận A  0 2 4  1 
. Dùng phép biến đổi nào sau đây để đưa ma trận A về 0 0 2 0   
dạng ma trận bậc thang B? A. 1 h  2 h
A B B. 1 h  3 h
A  B C. 2 h  3 h
A B D. 1 h  2 h
A  B  2 h 3 h
13. Cho ma trận A2x3. Phép biến đổi nào sau đây không phải là phép biến đổi sơ cấp hàng trên A? A. 2  B. 0  C. h  2  D.  1 h 1 h 1 h 1 h 1 2 h 1 h 1 h 2 h
14. Cho ma trận A
. Khẳng định nào sau đây đúng? 4 4  A. 2A  2 A B. 2A  4 A C. 2A  8 A D. 2A 16 A 2 / 10
Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN 15. Ma trận con của ma trận là ma trận: A. B. C. D.
16. Cho phép biến đổi ma trận sau: 3 1 h  1 h
A B . Khi đó: A. A  B B. A   B C. A  3 B D. 3 A  B 17.  
Cho phép biến đổi ma trận sau: 2 h 2 1 h 2 h A 
B và A  6. Khi đó: 2 3 h 3 1 h  3 h A. B  6 B. B 12 C. B  1  8 D. B  36
18. Xác định giá trị của định thức ? A. B. C. D. a b 2  a 3b 19. Cho   và 1 1   . Hãy tính  theo  ? a b 1 2  a 3b 1 1 1 A.   6   B.   6
C.   2 D.   3 1 1 1 1
20. Khi lấy một hàng của ma trận vuông nhân với 2 thì định thức sẽ:
A. Nhân lên với 2 B. Không đổi. C. Bằng 0 D. Nhân lên với -2.  3 1 21. Cho A  , det   A  0 khi: m  5   A. m > 15 B. m < 15 C. m =15 D. với mọi m   1 2 3 3  2 5
22. Cho hai định thức: D  3 2 5 ; D  1 2
3 . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 2 a b c 3a 3b 3c A. D  3D B. D  3D C. D  3D D. D  3  D 2 1 2 1 1 2 1 2  1 2 3 1 1 4    
23. Cho hai ma trận A  1  0 6   , B  2 0 2   . Khi đó,  4 2 0   3 6 0   A. A  B B. A   B C. A  2 B D. đáp án khác 3 / 10
Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN
24. Ma trận nào sau đây là ma trận khả nghịch? A. B. C. D. 1  1
25. Ma trận nghịch đảo của ma trận A  là: 0  1   1 1 1 0 1  1   1 0 A. 1 A     B. 1 A    C. 1 A  D. 1 A    0 1         1 1   0 1   1 1   4 2 1 26.  
Cho ma trận A  0 m + 1 0 
 . Tìm giá trị m để ma trận A khả nghịch? 0 3 0   A. m = -1 B. m  -1 C. với mọi m
D. không tồn tại giá trị của m 1  3 8
27. Xác định hạng của ma trận A  : 0  0 0   A. r(A) = 1 B. r(A) = 2 C. r(A) = 3 D. r(A) = 4 7 1 0   
28. Cho ma trận A  0 0 m 
. Tìm giá trị của m để r  A  2 ? 2 0 0 m 1   A. m = 0 B. m = 1 C. A., B. đều đúng D. A.,B. đều sai
29. Cho ma trận A
. Khẳng định nào sau đây đúng? 4 7 
A. r  A 4 B. r   A  4
C. 4  r  A  7
D. r  A  7
30. Cho ma trận A . Nếu ma trận A khả nghịch thì: m×n m×n A. m > n B. m = n C. m < n
D. m, n nhận giá trị bất kì
31. Với A 0 , hãy tìm công thức tính ma trận X của phương trình AX  B ? B A. X  B. 1 X  A B C. 1 X BA  
D. không tồn tại ma trận X A
32. Trong các hệ sau đây, hệ nào không phải là hệ phương trình tuyến tính? x  y  7 A. B. C.  D. x   y  5 4 / 10
Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN
33. Trong các hệ sau đây, hệ nào là hệ Cramer? A. B. C. D.
34. Số nghiệm của một hệ Cramer là: A. Vô nghiệm B. 1 nghiệm C. 2 nghiệm D. 3 nghiệm
35. Tập nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là: A. Tập rỗng B. 1 phần tử C. ít nhất 1 phần tử D. vô số các phần tử
36. Hệ phương trình AX = B có vô số nghiệm nếu: A. B. C. D.
x  2y  z  a 
37. Nghiệm của hệ phương trình  y  z  2  là:
  y  z  0 
A. (1,1,a 1) B. (1,1, a  1) C. (a  1,1,1) D. (a 1,1,1) 1  2 3 2   
38. Hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng là A  0 1  1 0 
 thì họ nghiệm tổng quát của 0  0 0 0    hệ có: A. 1 ẩn cơ bản B. 2 ẩn cơ bản C. 3 ẩn cơ bản D. vô số ẩn cơ bản
39. Ma trận hệ số của hệ phương trình là: A. B. C. D.  1 0 3  40.  
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số là A  0 5 6   có 2  0 5 m  2m  6  
nghiệm không tầm thường khi: A. m  0 B. m  2
C. m  0 và m 2 D. m  0 hoặc m  2 5 / 10
Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN  2 1 0 0  
41. Tìm giá trị m để hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng là A  0 3 1 0   vô 2  0 0 m  1 0   nghiệm? A. m  1 B. m  1  C. m  1 D. không có giá trị m
42. Cho không gian vector V ; x ,y ,z V
 ;  . Phát biểu nào sai?
A. x  y  y  x
B. x  θ  θ  x  θ V V V
C. x  y  z  x   y  z
D. x  y  y  x
43. Cho không gian vector V ; x ,y ,z V
 ;  . Phát biểu nào đúng?
A. x  y  y  x B. x  θ  θ C.
D.   x V : x  x  θ V V V
44. Vector đối của vector
là vector y thỏa mãn điều kiện: A. y  θ B. y  θ  θ
C. x  y  y  x  θ D. y  V  V V V V
45. Mọi cơ sở trong một không gian vector n chiều đều là hệ:
A. độc lập tuyến tính B. hệ sinh C. có n vector
D. cả A., B., C. đều đúng
46. Số chiều của một không gian vector V là: A. 0
B. Số vector trong một cơ sở C. n D. Một số bất kỳ
47. Một hệ các vector của không gian vector V là cơ sở nếu nó: A. Độc lập tuyến tính
B. Phụ thuộc tuyến tính C. Hệ sinh D. Cả A. và C.
48. Tọa độ của một vector đối với hai cơ sở khác nhau trong cùng một không gian vector thì
A. giống nhau B. khác nhau C. bất kì D. cả A., B., C. đều sai
49. Ma trận chuyển cơ sở trong một không gian vector n chiều là ma trận
A. đơn vị B. vuông C. bậc thang D. bất kì
50. Cho X, Y là hai cơ sở trong một không gian vector. Khẳng định nào sai? A. det P  B. det P   0 Y X   0 X Y  C. det P det P  0 D. de  t P det P  0 XY   YX  XY   YX
51. Vector không của không gian vector là: A. 0 B. C. (0;0;0) D. (1;0;0) 6 / 10
Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN
52. Vector đối của vector a  1,2,3 trong không gian vector 3  là: A. a    1
 ,2,3 B. a  1,2,3
C. a  1,2,  3 D. a    1  , 2  , 3  
53. Trong không gian vector 2
 , cho các vector 3,6; 4,  1 ; m, 
3 . Xác định giá trị m để
3,6 là tổ hợp tuyến tính của   4, 1;m, 3 ?
54. Tìm m để hệ 
 1,3;5,m độc lập tuyến tính trong không gian 2  ? A. m  15 B. m  15
C. với mọi giá trị m  D. không có giá trị m
55. Tìm m để hệ 
 2,0,0;1,5,0;4,2,mm 1 phụ thuộc tuyến tính trong không gian 3  ? A. m  0 B. m  1
C. cả A., B. đều đúng D. cả A., B. đều sai
56. Trong các hệ sau, hệ nào là cơ sở của không gian vector 2  ? A. 
 1, 3;3, 9 B. 1, 3;3,9 C.  1  ,  3 ; 3  , 9
  D. cả A., B., C. đều đúng
57. Trong không gian vector 2
 , tọa độ của x  4,  
9 đối với cơ sở B 1,0 ;0, 1   là: A.   x  4, 
9 B. x   4,  9 C.   x  4,9
D. x  4,9 B B B B
58. Trong không gian vector 2
 , cho x    2, 
1 đối với cơ sở B  
 1,5;2,3. Khi đó: B A. x  2,1  0 B. x  2,  3
C. x  4,1  3 D. x  2,1  0 II. Trả lời ngắn 2 7 6  1.  
Cho ma trận A  0 3 1 
 . Xác định cấp của ma trận A, liệt kê phần tử cơ sở của ma trận 0 0 0   
A. Ma trận A có đặc điểm gì?
2. Cho ví dụ về ma trận vuông, bậc thang, đơn vị…
3. Nêu điều kiện của phép cộng/phép nhân/phép lũy thừa trên ma trận.
4. Thế nào là: Ma trận vuông? Ma trận khả nghịch? Hai ma trận bằng nhau?...
5. Nêu mối liên hệ giữa các phép biến đổi và định thức của ma trận.
6. Viết điều kiện của hệ phương trình tuyến tính có nghiệm/vô nghiệm/vô số nghiệm/có một nghiệm.
7. Tính chất của hệ Cramer, hệ thuần nhất. 7 / 10
Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN a b 1
8. Tính định thức   c d 1 . a  c b  d 1 2 2 1 1  2 1   
9. Tìm hạng của ma trận A  2 2 4 0   . 1 1  2 1     1  2 2 5  
10. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số là A  0 1 4 1   thì họ 0  0 0 0  
nghiệm tổng quát của hệ có mấy ẩn cơ bản? x  y  2
11. Cho hệ phương trình tuyến tính 
. Xác định giá trị của m để hệ đã cho là x  my  3  hệ Cramer? x  y  a
12. Cho hệ phương trình tuyến tính 
. Xác định giá trị của a, b để hệ đã cho x  my  b  là hệ thuần nhất? 1  2 3 0  
13. Xác định số nghiệm của hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng là A  0 4 5 2   . 0 0 1 0   3  2 1  0 
14. Viết công thức nghiệm của hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng là A  . 0  0 2 1  
x  2x  3x  x  2 1 2 3 4 
15. Tìm m để hệ sau có nghiệm. 2x  x  x  3x  1 . 1 2 3 4 3
 x x 2x 4x m  1 2 3 4
Tìm a để hệ sau có 1 nghiệm duy nhất.
3x  2 y  z 1  
y  az  2
  y z 3  8 / 10
Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN 1 2 3  1 2 3     
16. Cho hai ma trận: A  1 b c ; B  0 b  2 c  3     . Tính det( )
B theo det(A) . a 0 5
a  2 b  2 c  8    
17. Tìm m để họ sau là một cơ sở của 3
 : u  (m,1,1); v  (1,m,1); w  (1,1,m).
18. Phát biểu sau đây đúng hay sai: Trong không gian vector 2  , hệ   0;0;1;3; 2  ,5 phụ thuộc tuyến tính.
19. Có bao nhiêu vector trong một cơ sở của không gian vector n chiều?
20. Trong không gian vector 2
 , cho hai cơ sở:
H a  1;2;b   1
 ;3;G x  2;5; y  4;  3  .
Viết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở G sang cơ sở H.
21. Có bao nhiêu vector trong một cơ sở của không gian vector 6 chiều?
22. Trong không gian vector V 3 chiều, cho S  s , s , s là hệ độc lập tuyến tính. Hỏi hệ 1 2 3
M s ,s độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? 1  2
23. Cho V là không gian vector 4 chiều. Hỏi S s ,s ,s ,s ,
 độc lập tuyến tính hay 1 2 3 4 s  5 V phụ thuộc tuyến tính?
III. Tự luận: (giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, tìm điểm cân bằng thị trường, …)
1. Xét thị trường có ba lọai hàng hóa biết hàm cung và hàm cầu ba loại hàng tiêu theo giá là:
Qs1 = 10p1 – p2 – 30; Qd1 = 143 - 9p1 + p2 + p3;
Qs2 = 12p2 – p3 -13; Qd2 = 80 + p1 - 10p2;
Qs3 = - p1 + 9p3 -20; Qd3 = 79 + 2p2 – 8p3.
+ Tìm điểm cân bằng thị trường.
+ Nếu cứ một đơn vị thời gian người ta xuất đi 10 dơn vị hàng thứ nhất, 15 đơn vị hàng thứ ba và
nhập về 8 đơn vị hàng thứ hai. Hãy tìm điểm cân bằng mới. 9 / 10
Ôn tập toán cao cấp C2 - KHTN 0.3 0.1 0.1  
2. Trong mô hình IO, cho ma trận hệ số kĩ thuật là A  0.1 0.2 0.3  . 0.2 0.3 0.2  
a. Nêu ý nghĩa kinh tế của hệ số a23 = 0,3.
b. Tìm mức sản lượng của ba ngành kinh tế, nếu ngành kinh tế mở yêu cầu ba ngành trên phải
cung cấp cho nó những lượng sản phẩm trị giá tương ứng (35; 45 ;15)
3. Giả sử một công ty có bốn loại nguyên liệu làm thép (kí hiệu là S1, S2, S3, S4) với thành
phần tỉ lệ các chất (tính bằng % khối lượng) như sau: Al Si C Fe S1 5 3 4 88 S2 7 6 5 82 S3 2 1 3 94 S4 1 2 1 96
Công ty đó cần phối trộn bốn loại nguyên liệu như thế nào để tạo thành một hỗn hợp với tỉ lệ các
chất (tính bằng % khối lượng) là: Al - 4.43%; Si - 3.22%; C - 3.89%; Fe - 88.46%.
4. Một nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm A, B, C. Mỗi sản phẩm phải qua 3 công đoạn: CĐ1,
CĐ2 và CĐ3 với thời gian yêu cầu cho mỗi công đoạn như sau:
Sản phẩm A: CĐ1 - 0.6 giờ, CĐ2 - 0.6 giờ, CĐ3 - 0.2 giờ
Sản phẩm B: CĐ1 - 1 giờ, CĐ2 - 0.9 giờ, CĐ3 - 0.3 giờ
Sản phẩm C: CĐ1 - 1.5 giờ, CĐ2 - 1.2 giờ, CĐ3 - 0.5 giờ
Các công đoạn 1, 2, 3 có số giờ công nhiều nhất trong mỗi tuần lần lượt là 380, 330 và 120 giờ
công. Hỏi nhà máy phải sản xuất số lượng mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu mỗi tuần để nhà máy
hoạt động hết công suất?
5. Trong tháng 1 hai tổ sản xuất được tổng cộng 800 (đvsp). Tháng 2, tổ 1 sản xuất vượt mức
15%, tổ 2 sản xuất vượt mức 20% nên tổng sản phẩm là 945 (đvsp). Tính số đvsp mỗi tổ sản xuất được trong tháng 1. 10 / 10