-
Thông tin
-
Quiz
Đề học sinh giỏi Toán 10 năm 2020 – 2021 trường Phùng Khắc Khoan – Hà Nội
Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 10 đề học sinh giỏi Toán 10 năm học 2020 – 2021 trường THPT Phùng Khắc Khoan, huyện Thạch Thất, thành phố Hà Nội; đề gồm 01 trang với 06 bài toán dạng tự luận, thời gian học sinh làm bài thi là 150 phút, đề thi có lời giải chi tiết
Đề thi Toán 10 793 tài liệu
Toán 10 2.8 K tài liệu
Đề học sinh giỏi Toán 10 năm 2020 – 2021 trường Phùng Khắc Khoan – Hà Nội
Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 10 đề học sinh giỏi Toán 10 năm học 2020 – 2021 trường THPT Phùng Khắc Khoan, huyện Thạch Thất, thành phố Hà Nội; đề gồm 01 trang với 06 bài toán dạng tự luận, thời gian học sinh làm bài thi là 150 phút, đề thi có lời giải chi tiết
Chủ đề: Đề thi Toán 10 793 tài liệu
Môn: Toán 10 2.8 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:





Tài liệu khác của Toán 10
Preview text:
SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC
NĂM HỌC 2020 – 2021 KHOAN-THẠCH THẤT MÔN THI: TOÁN 10 ĐỀ CHÍ NH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm: 01 trang Câu 1 (2,5 điểm) Cho parabol (P): 2
y = x – 2x + 4 và các đường thẳng (d = + + m): y
3x 2m 1 (m là tham số)
Biện luận số giao điểm của (P) và (dm) theo tham số m. Câu 2 (4,5 điểm)
Giải các bất phương trình sau : a/ f ( x) 1 1 = − 0 b/ 2 2 x 5x 4 5 x 5x 28 x − 3 2 Câu 3 (5 điểm)
1/ Cho lục giác ABCDEF có AB vuông góc với EF và hai tam giác ACE và BDF có
cùng trọng tâm. Chứng minh rằng 2 2 2
AB + EF = CD .
2/ Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức: cot A + cot C = cot B . 2 2 2
b + c − a
a.Chứng minh rằng cot A = 4s 1
b. Xác định góc giữa hai đường trung tuyến AA và CC của tam giác ABC khi = . 1 1 2 Câu 4 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, BE và CD là các đường cao
của tam giác.Giả sử D(2;0), E(1;3) và đường thẳng BC có phương trình : y = 1 - 2x
a/ Tìm tọa độ của M biết M là trung điểm của BC
b/ Tìm tọa độ của điểm B biết B có hoành độ dương Câu 5 (2 điểm) Tìm m để phương trình: 2
4 + x + 4 − x + 2 16 − x = m có nghiệm duy nhất. Câu 6 (3điểm)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức S = x + y + z
--------------------HẾT--------------------
Thí sinh không mang tài liệu và máy tính vào phòng thi
Giám thị không cần giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ................................................Số báo danh: ............................
Họ và tên, chữ kí CBCT 1: ..................................................................................
Họ và tên, chữ kí CBCT 2: ..................................................................................
SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC
NĂM HỌC 2020 – 2021 KHOAN-THẠCH THẤT
ĐÁP ÁN MÔN THI: TOÁN 10
Lưu ý: Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Nội dung Điểm Cho parabol (P): 2
y = x – 2x + 4 và các đường thẳng (d 2,5 m):
y = 3x + 2m + 1 (m là tham số)
1) Biện luận số giao điểm của (P) và (dm) theo tham số m.
Xét phương trình hoành độ: x2 – 2x + 4 = 3x + 2m + 1 1
x2 – 5x + 3 – 2m = 0 (1). Ta có: = 8m + 13 Câu 0,5 1 (2,5 +) Nếu 13 m −
(>0) thì (1) có hai nghiệm phân biệt, do đó (dm) cắt (P) điểm) 8
tại hai điểm phân biệt. +) Nếu 13 0,5 m = −
( = 0) thì (1) có 1 nghiệm kép, do đó (dm) cắt (P) tại 8 một điểm. 13 0, 5 +) Nếu m −
( 0) thì (1) vô nghiệm, do đó (dm) không cắt (P). 8 Câu
Giải bất phương trình: 1/ f ( x) 1 1 = − 0 2(5, x − 3 2 điểm) 2,0 1 1 1 1 5 − x Ta có − 0 − 0 . 0 x − 3 2 x − 3 2 2.( x − 3) 0,5 − Đặ 5 t
t t = x , bpt trở thành (
. Cho 5 − t = 0 t = 5 Cho t − ) 0 2 3 0,5
t − 3 = 0 t = 3 Bảng xét dấu a 0,5
Căn cứ bảng xét dấu ta được x 3 hay x 5 . 0,5
Đáp án thi HSG môn Toán 10 - Năm học 2020-2021 Trang 1/4 trang b b) Bất phương trình 2 2 x 5x 4 5 x 5x 28 2,5 Đặt 2 2 2 t x 5x 28 ,t 0 x 5x 4 t 24 0,5
Bất phương trình trở thành 2 t 24 5t 1 2 t 5t 24 0 3 t 8 Suy ra 2 2 x 5x 28 8 x 5x 36 0 9 x 4 0,5
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S 9; 4 0,5 Câu
a/ Cho lục giác ABCDEF có AB vuông góc với EF và hai tam giác ACE 3 (5
và BDF có cùng trọng tâm. Chứng minh rằng 2 2 2
AB + EF = CD . điểm) 2,00
Ta có AB ⊥ EF A . B EF = 0 suy ra + = ( + )2 2 2 AB EF AB EF (1) 0,5
Mặt khác ACE và BDF có cùng trọng tâm nên AB + CE + EF = 0 (2) có chứng minh 1 Từ (1) và (2) suy ra 2 2 2
AB + EF = CD 0, 5
b/ Tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức: cot A + cot C = cot B . 2 2 2
b + c − a Câu 3
1.Chứng minh rằng cot A = (5 điểm) 4s 3đ
2. Xác định góc giữa hai đường trung tuyến AA và CC của tam giác 1 1 1 ABC khi = . 2 2 2 2
b + c − a
Chứng minh được rằng cot A = 1, 0 4s Ta có: 0, 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b + c − a
a + c − b
b + a − c cot A = ;cot B = ;cot C = 4s 4s 4s 1 0, 5 Khi = . Ta có: 2 1 cot A + cot C = cot B 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b + c − a
a + b − c
1 c + a − b + = 0, 5 4s 4s 2 4s 2 2 2
5b = a + c Ta có: 0, 5
Đáp án thi HSG môn Toán 10 - Năm học 2020-2021 Trang 2/4 trang 2 2 2 2 2 2 4 4 b + c a 4 4 a + b c 2 2 2 2 AG = AA = −
;CG = CC = − 1 1 9 9 2 4 9 9 2 4 2 2 2 2 4 a + c
4 5b + 4b Suy ra 2 2 2 2 AG + CG = b + =
= b AA ⊥ CC . 1 1 9 4 9 4
Vậy góc giữa AA và CC bằng 90°. 1 1
Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, BE và CD là các
đường cao của tam giác.Giả sử D(2;0), E(1;3) và đường thẳng BC có Câu 4 phương trình (3,0điểm) 2 x + y - 1 = 0. 3,0
a/ Tìm tọa độ của M biết M là trung điểm của BC
b/ Tìm tọa độ của điểm B biết B có hoành độ dương
Gọi M là trung điểm của BC, tứ giác BCDE nội tiếp ta có MD = ME 1 0,5 vẽ hình minh họa Gọi M ( ; m 2 − m + )
1 , ta có MD = ME nên 2 2
5m −8m + 5 = 5m −10m + 5 m = 0 M (0 ) ;1 , 2 2 0,5
Ta có B (b − b + ) b MB = (b − ) + (− b + − ) 2 ; 2 1 , 0. 0 2 1 1 = 5b 2
MB = MD = 5 5b = 5,b 0 b = 1 B (1;− ) 1 1,0 Câu Tìm m để phương trình: 2
4 + x + 4 − x + 2 16 − x = m có nghiệm duy 5 (2 nhất. điểm) 2 2
4 + x + 4 − x + 2 16 − x = m (điều kiện 4 − x 4) 0, 5
Điều kiện cần. Giả sử hệ có nghiệm duy nhất là x 0 Ta có 2
4 + x + 4 − x + 2 16 − x = m 0 0 0 0, 5
4 + (−x ) + 4 − (−x ) + 2 16 − (−x )2 = m 0 0 0
−x là một nghiệm của phương trình 0
Vì phương trinh duy nhất nên x = −x x = 0 m = 12 0 0 0
Đáp án thi HSG môn Toán 10 - Năm học 2020-2021 Trang 3/4 trang
Điều kiện đủ: Xét m = 12 phương trình đã cho trở thành 0, 5
2 16 − x 2 16 = 8( 4 + x + 4 − x )2 2 2 = 8 + 2 16 − x = 12 2
4 + x + 4 − x + 2 16 − x 16 0, 5 2
4 + x + 4 + x + 2 16 − x 4 + 8 = 12
Đẳng thức xảy ra x = 0 . Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0, vậy m = 12.
Câu 6 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 8. Tìm giá trị
(3điểm) nhỏ nhất của biểu thức S = x + y + z 3
S = ( x + y + z )2 2 2 2 2
= x + y + z + 2( x y + y z + z x ) 2 2 2 2
S = x + y + z + x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) 0, 5
Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có + + = − = ( + ) 2 y z y z x x x y z z
Chứng minh tương tự y ( z + x ) 2
y z ( x + y ) 2 , z 1 Vì vậy 2 S ( 2 2 2
2 x + y + z ) Thay 2 2 2 2
x + y + z = 8 S 16 S 4 1
Dấu bằng có thể xảy ra, khi ( x, y, z) = (2; 2
− ;0) hoặc các hoán vị, ta có 0, 5 S=4 Vậy min S = 4
Đáp án thi HSG môn Toán 10 - Năm học 2020-2021 Trang 4/4 trang