Đề học sinh giỏi Toán 10 năm 2022 – 2023 trường THPT Nguyễn Gia Thiều – Hà Nội

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 10 đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 10 năm học 2022 – 2023 trường THPT Nguyễn Gia Thiều, thành phố Hà Nội; đề thi gồm 01 trang với 05 bài toán hình thức tự luận, thời gian làm bài 120 phút; đề thi có đáp án và lời giải chi tiết

35 18 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 10

Môn: Toán 10

Thông tin:

2 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Thanh Tâm
TRƯỜNG THPT NGUYỄN GIA THIỀU
(Đề chính thức gồm 05 câu 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM HỌC 2022 – 2023
Thời gian làm bài 120 phút
Họ và tên Học sinh: …………………………………………..… Lớp: …… Phòng: …. Số báo danh: …………………
Câu 1. Giá cước đi taxi của một công ty được cho như bảng sau
Giá mở cửa
Commencement rate up 0,9km
Giá km tiếp theo
Giá từ km thứ 26
Giá từ km thứ 33
20.000đ/0,9km
17.600đ/km
14.400đ/km
11.000đ/km
a. Bạn An đi taxi để về quê với quãng đường 36km, hỏi bạn phải trả bao nhiêu tiền đi taxi?
b. Lập công thức biểu diễn số tiền phải trả theo quãng đường khi đi taxi.
Câu 2. Hàng tuần bạn HS dành tối đa 14 giờ đồng hồ để tập thể dục giữ vóc dáng, bạn tập cả hai môn là
đạp xe và boxing. Biết rằng mỗi giờ đạp xe tiêu hao 600 calo và mỗi giờ tập boxing tiêu hao 900 calo. Bạn
HS muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không vượt quá 10800 calo cho tập cả hai môn này mỗi tuần. Hỏi số
giờ dành cho tập cả hai môn đạp xe và boxing trong mỗi tuần là bao nhiêu để số calo tiêu hao nhiều nhất?
Câu 3.
1. Cho hàm số
có đồ thị là parabol
( )
P
và hàm số
6y x m=+
có đồ thị là đường thẳng
d
. Tìm
m
để
d
cắt
( )
P
tại hai điểm có hoành độ
12
,xx
thỏa mãn
1
43x− −
và
2
10x−
.
2. Cho tam thức bậc hai
2
()f x ax bx c= + +
với
0a
, chứng minh rằng nếu
( ) 0fx
với mọi
x
thì
( )
4 2 4a c b a c− + +
.
3. Cho ba số thực
,,x y z
thỏa mãn
36x
,
36y
và
02z
và
11x y z+ + =
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
P xyz=
.
Câu 4. Cho tam giác
ABC
có diện tích là
S
và nội tiếp đường tròn có bán kính là
R
; kí hiệu các góc
BAC A=
,
CBA B=
,
ACB C=
. Cho biết
( )
2 3 3 3
3 2 sin sin sinS R A B C= + +
, chứng minh
ABC
là tam
giác đều.
Câu 5. Cho tam giác đều
ABC
có các cạnh bằng
a
. Các điểm
D
,
E
xác định bởi
3AD DC=
,
2 2 2BE AC BA BC= + +
. Gọi
N
và
Q
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
BC
và
AE
. Gọi
H
là
trực tâm của các tam giác
ABD
.
a. Chứng minh rằng
2
. . . / 2HC BE HC AC AC BE a= = =
.
b. Chứng minh hai đường thẳng
NQ
và
HC
vuông góc.
c. Tìm tập hợp điểm
M
sao cho
2
11
. . .
4
MAMB MB ME ME MA a+ + =
.
– – – – – – – Hết – – – – – – –
HƯỚNG DẪN
Câu 1. a (2,0đ).
( ) ( ) ( )
20000 17600 26 0,9 14400 33 26 11000 36 33 595560+ − + − + − =
(đ).
b (2,0đ). Gọi
,xy
là . . . , có
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 khi 0
20000 khi 0 0,9
20000 17600 0,9 khi 0,9 26
20000 17600 26 0,9 14400 26 khi 26 33
20000 17600 26 0,9 14400 33 26 11000 33 khi 33
x
x
y x x
xx
xx
=

= + −
+ − + −
+ − + − + −
.
Câu 2 (4,0đ). Gọi
,xy
là . . . , có hệ
14
600 900 10800
0
0
xy
xy
x
y
+
+
14
2 3 36
0
0
xy
xy
x
y
+
+
. 6 giờ đạp xe, 8 giờ boxing.
Câu 3. 1 (1,0đ). Xét phương trình
2
2 3 6x x x m− + − = +
2
43x x m − − − =
. Giải ra
30m−
.
2 (2,0đ).
( ) 0,f x x
( )
2
0, 0
4 0 *
ac
b ac

−
.
( )
*
2
4 16b ac
mà
( )
2
16 4ac a c+
. Từ đó ra đpcm.
3 (2,0đ).
2
2
xy
Pz
+



;
( )( )
22
11 1 9
11 11
2 2 18 2
x y z z
z z z z
+−
= = − −
;
( )( )
33
9 5.2
11 11 22
9
22
11 11
2 3 3
z
zz
z
zz
− + − + +

− −


. Tìm ra
9
81
max khi
2
2
2
xy
P
z
==
=
=
.
Câu 4 (2,0đ).
( )
2 3 3 3
3 2 sin sin sinS R A B C= + +
3 3 3
3abc a b c = + +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1
0
2
a b c a b b c c a

+ + − + − + − =

abc = =
. Vậy
ABC
là tam giác đều.
Câu 5.
(1,0đ)
2 2 2BE AC BA BC= + +
( )
2 BE BC BA AC BA − = + +
2CE BC BA = +
22CE BF=
(Với
F
là trung điểm đoạn thẳng
AC
).
BFEC
là hình bình hành.
D
là trung điểm của
FC
.
K
là trung điểm của
AB
.
a (1,0đ).
( )
. . . . .HC BE HA AC BE HA BE AC BE AC BE= + = + =
( )
. . . . . .HC AC HB BE EC AC HB AC BE AC EC AC AC BE= + + = + + =
( )
Do AC CE⊥
.
( )
( )
2 2 2 2
. 8. . 8. . .cos ; 8. . .cos 4 / 2AC BE DC DE DC DE DC DE DC DE CDE DC DE CE a= = = = + − =
.
b (1,0đ). Chỉ ra
2NQ BE CA=+
; có
( ) ( )
. 2 .HC NQ HC BE CA=+
. . 0HC BE HC AC= − =
đpcm.
c (2,0đ).
F
là trọng tâm
ABE
.
( )( ) ( )
2
..MAMB FA FM FB FM FAFB FM FA FB FM= − − = − + +
.
Tương tự
( )
2
..MB ME FB FE FM FB FE FM= − + +
,
( )
2
..ME MA FE FA FM FE FA FM= − + +
.
2
11
. . .
4
MAMB MB ME ME MA a+ + =
( )
2
2
11
3 2 . . .
4
a
FM FM FA FB FE FAFB FB FE FE FA − + + + + + =
( )
2
2
11
3
4
a
FM FE FA FB + + =
( )
2
11
32
4
a
FM FE FK + =
5
2
a
FM=
.
M
đ tròn
5
;
2
a
F




.
| 1/2
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TRƯỜNG THPT NGUYỄN GIA THIỀU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM HỌ C 2022 – 2023
(Đề chính thức gồm 05 câu 01 trang)
Thời gian làm bài 120 phút
Họ và tên Học sinh: …………………………………………..… Lớp: …… Phòng: …. Số báo danh: …………………
Câu 1. Giá cước đi taxi của một công ty được cho như bảng sau Giá mở cửa
Giá km tiếp theo Giá từ km thứ 26 Giá từ km thứ 33
Commencement rate up 0,9km 20.000đ/0,9km 17.600đ/km 14.400đ/km 11.000đ/km
a. Bạn An đi taxi để về quê với quãng đường 36km, hỏi bạn phải trả bao nhiêu tiền đi taxi?
b. Lập công thức biểu diễn số tiền phải trả theo quãng đường khi đi taxi.
Câu 2. Hàng tuần bạn HS dành tối đa 14 giờ đồng hồ để tập thể dục giữ vóc dáng, bạn tập cả hai môn là
đạp xe và boxing. Biết rằng mỗi giờ đạp xe tiêu hao 600 calo và mỗi giờ tập boxing tiêu hao 900 calo. Bạn
HS muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không vượt quá 10800 calo cho tập cả hai môn này mỗi tuần. Hỏi số
giờ dành cho tập cả hai môn đạp xe và boxing trong mỗi tuần là bao nhiêu để số calo tiêu hao nhiều nhất? Câu 3. 1. Cho hàm số 2
y = −x + 2x − 3 có đồ thị là parabol ( P) và hàm số y = 6x + m có đồ thị là đường thẳng
d . Tìm m để d cắt ( P) tại hai điểm có hoành độ x , x thỏa mãn 4 −  x  3 − và 1 −  x  0. 1 2 1 2 2. Cho tam thức bậc hai 2 f ( )
x = ax + bx + c với a  0 , chứng minh rằng nếu f (x)  0 với mọi x  thì
−(4a +c)  2b  4a +c . 3. Cho ba số thực , x ,
y z thỏa mãn 3  x  6 , 3  y  6 và 0  z  2 và x + y + z = 11. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức P = xyz .
Câu 4. Cho tam giác ABC có diện tích là S và nội tiếp đường tròn có bán kính là R ; kí hiệu các góc
BAC = A , CBA = B , ACB = C . Cho biết 2 S = R ( 3 3 3 3 2
sin A + sin B + sin C ) , chứng minh ABC là tam giác đều.
Câu 5. Cho tam giác đều ABC có các cạnh bằng a . Các điểm D , E xác định bởi AD = 3DC ,
2BE = AC + 2BA + 2BC . Gọi N và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC và AE . Gọi H là
trực tâm của các tam giác ABD. a. Chứng minh rằng 2
HC.BE = HC.AC = AC.BE = a / 2 .
b. Chứng minh hai đường thẳng NQ và HC vuông góc. 11
c. Tìm tập hợp điểm M sao cho 2 M . A MB + M .
B ME + ME.MA = a . 4
– – – – – – – Hết – – – – – – – HƯỚNG DẪN
Câu 1. a (2,0đ). 20000 +17600(26 − 0,9) +14400(33− 26) +11000(36 −3 ) 3 = 595560 (đ). 0 khi x = 0 
20000 khi 0  x  0,9  b (2,0đ). Gọi ,
x y là . . . , có y = 20000 +17600( x − 0,9) khi 0,9  x  26 .
20000+17600(26−0,9)+14400(x−26) khi 26 x  33  20000+17600 
(26−0,9)+14400(33− 26)+11000(x −33) khi x  33 x + y 14 x + y 14  
600x + 900y 10800
2x + 3y  36
Câu 2 (4,0đ). Gọi ,
x y là . . . , có hệ   
. 6 giờ đạp xe, 8 giờ boxing. x  0  x  0  y  0 y  0
Câu 3. 1 (1,0đ). Xét phương trình 2
−x + 2x − 3 = 6x + m 2
 −x − 4x − 3 = m . Giải ra 3 −  m  0.
a  0, c  0  ( ) *
2 (2,0đ). f (x)  0, x     . 2
 4b 16ac mà ac  ( a + c)2 16 4 . Từ đó ra đpcm. 2 b  − 4ac  0  ( ) * 2  2 2 x + y   x + y  11− z  1  9z
3 (2,0đ). P z   ; z = z =    
(11− z)(11− z) ;  2   2   2  18  2  3 3  9z   5.2 
11− z +11− z + 22 +  9 (        = = − 81 x y
z )( − z) 9z 2 2 11 11         . Tìm ra max P = khi  2 .  2  3 3     2  =     z 2 Câu 4 (2,0đ). 2 S = R ( 3 3 3 3 2
sin A + sin B + sin C ) 3 3 3
 3abc = a + b + c 1
 (a + b + c) (a −b)2 + (b − c)2 + (c − a)2  = 0  = = . Vậy ABC là tam giác đều. 2   a b c Câu 5.
(1,0đ) 2BE = AC + 2BA + 2BC
 2(BE − BC) = BA+ AC + BA  2CE = BC + BA
 2CE = 2BF (Với F là trung điểm đoạn thẳng AC ).
BFEC là hình bình hành.
D là trung điểm của FC . K là trung điểm của AB .
a (1,0đ). HC.BE = (HA + AC).BE = H .
A BE + AC.BE = AC.BE
HC.AC = (HB + BE + EC).AC = H .
B AC + BE.AC + EC.AC = AC.BE (Do AC ⊥ CE) . AC BE = DC DE = DC DE
(DC DE)= DC DE CDE = ( 2 2 2
DC + DE − CE ) 2 . 8. . 8. . .cos ; 8. . .cos 4 = a / 2 .
b (1,0đ). Chỉ ra 2NQ = BE + CA; có HC.(2NQ) = HC.(BE + CA) = HC.BE − HC.AC = 0 đpcm.
c (2,0đ). F là trọng tâm ABE
. MA MB = (FA− FM )(FB − FM ) = FA FB − FM (FA+ FB) 2 . . + FM .
Tương tự MB ME = FB FE − FM (FB + FE) 2 . .
+ FM , ME MA = FE FA− FM (FE + FA) 2 . . + FM . 11 2 a M . A MB + M .
B ME + ME.MA =
a FM − FM (FA+ FB + FE) 2 2 11 3 2 + F . A FB + F . B FE + F . E FA = 4 4 a    a a a 5
3FM + FE (FA+ FB) 2 11 2 =
FM + FE( FK) 2 11 3 2 = 5  FM =
. M đ tròn  F;    . 4 4 2 2  