Đề khảo sát Toán 12 năm 2019 – 2020 trường chuyên Hùng Vương – Phú Thọ

Đề khảo sát Toán 12 năm 2019 – 2020 trường chuyên Hùng Vương – Phú Thọ có mã đề 010, đề gồm 07 trang với 50 câu trắc nghiệm, đề thi có đáp án và lời giải chi tiết.

24 12 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2023

Môn: Toán

Thông tin:

22 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Thanh Hoa
1
SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 05
trang)
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
NĂM HỌC: 2019 - 2020
Bài thi:
TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Họ, tên thí sinh: .....................................................................
Số báo danh:..........................................................................
Câu 1. Hình chóp lục giác đều có bao nhiêu cạnh?
A.
12
. B.
6
. C.
10
. D.
11
.
Câu 2. Tập xác định của hàm số
3
1
y x
là
A.
1;

. B.
1;

. C.
\ 1
. D.
.
Câu 3. Cho khối lăng trụ
.
ABC A
B C
có thể tích bằng
15
. Thể tích của khối chóp
.
bằng
A.
5
. B.
6
. C.
3
. D.
10
.
Câu 4. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ?
A.
4 2
2 1
y x x
. B.
4 2
2y x x
. C.
4 2
2 1
y x x
. D.
3 2
2 1
y x x
.
Câu 5. Cho khối chóp
.
S ABC
D
có đáy là hình chữ nhật và thể tích bằng
8.
Thể tích của khối chóp
.
S BCD
bằng.
A.
2
. B.
4
. C.
6
. D.
3
.
Câu 6. Có bao nhiêu cách chọn
2
học sinh từ một tổ gồm
8
học sinh ?
A.
2
8
A .
B.
2
P .
C.
8
P .
D.
2
8
C .
Câu 7. Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
4 1
3
x
y
x
?
A.
3
y
. B.
4
y
. C.
3
x
. D.
4
x
.
Câu 8. Cho khối lập phương
.
ABCD A
B C D
có thể tích bằng 64, độ dài đường chéo
AC
bằng:
A.
4 3
. B. 8. C. 4. D.
4 2
.
Câu 9. Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
x

2
0
2
3

'f x
+
0
-
0
+
0
-
0
-
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A.
2
B.
3
C.
0
D.
1
Mã đề thi 010
2
Câu 10. Giá trị của phép tính
1
3
27
bằng
A.
9
B.
3
C.
6
D.
81
Câu 11. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng
;

?
A.
3
3y x x
. B.
1y x
. C.
3
3y x x
. D.
3 1y x
.
Câu 12. Đường thẳng
: 1d y x
và đường cong
3 2
: 1C y x
x x
có bao nhiêu điểm chung?
A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.
Câu 13. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?
A.
1
1
x
y
x
. B.
1
x
y
x
. C.
1
x
y
x
. D.
2
1
x
y
x
.
Câu 14. Cho cấp số cộng
( )
n
u
có số hạng đầu
1
2
u
và số hạng thứ tư
4
17
u
. Công sai của cấp số cộng
đã cho bằng
A.
15
2
. B.
5
. C.
3
. D.
15
.
Câu 15. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A.
2
log
2 .
y x
B.
2
log
.
y x
C.
2 .
x
y
D.
1
.
3
x
y
Câu 16. Cho hàm số
2
2 ln
.
f x x
x x
Kí hiệu
0
x
là nghiệm của phương trình
0,
f x
mệnh đề
nào dưới đây đúng?
A.
0
2;0
.
x
B.
0
3
;2 .
2
x
C.
0
3
0; .
2
x
D.
0
2; .
x

Câu 17. Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác cân tại
A
,
120BAC
,
3
BC AA
. Thể tích của khối lăng trụ
.ABC A B C
bằng
A.
3
4
. B.
3
8
. C.
3
2
. D.
3
4
.
Câu 18. Tập xác định của hàm số
2
3
log 3
23 20
y x x
có bao nhiêu giá trị nguyên?
A. 6. B. 4. C. 7. D. 5.
3
Câu 19. Cho hàm số bậc ba
( )y f x
có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình
1 0
f x
là
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 20. Cho hàm số bậc bốn
( )y f x
có bảng biến thiên như hình vẽ. Phương trình
( ) 2
f x
có số
nghiệm là
x
1
0
1
y
3
5
5
A. 5. B. 6. C. 2. D. 4.
Câu 21. Cho hàm số bậc ba
y f x
có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số
y f x
là
A. 3. B. 2. C. 4. D. 5.
Câu 22. Hình hộp chữ nhật
.
ABCD
A B C D
có
2,
AB a B
C a
và
3.
AA a
Góc giữa đường thẳng
AC
và mặt phẳng
ABCD
bằng
A.
o
30 .
B.
o
45 .
C.
o
60 .
D.
o
90 .
Câu 23. Cho hàm số
y f x
có đồ thị như hình vẽ.
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn
0:2
của hàm số đã cho bằng
A.
2
. B.
4
. C.
2
. D.
0
.
4
Câu 24. Đồ thị hàm số
2
2
4 3
x
y
x x
có bao nhiêu đường tiệm cận?
A.
1
. B.
3
. C.
4
. D.
2
.
Câu 25. Một hình chóp có 22 cạnh. Hỏi hình chóp đó có bao nhiêu mặt ?
A.
12
. B.
10
. C.
11
. D.
13
Câu 26. Cho hàm số
( )y f x
có bảng biến thiên như hình vẽ.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
A.
( ;1)
. B.
( 1; )
. C.
(1; )
. D.
( ; 1)
Câu 27. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A.
2
2 1.
x
y
B.
ln 2
.
y x
C.
log
1 .
y x
D.
2
3
2 2.
x
y
Câu 28. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thoi cạnh
a
và
o
60 .
BAC
Cạnh bên
2SA a
vuông
góc mặt phẳng đáy, thể tích khối chóp
.
S ABCD
bằng
A.
3
3
.
3
a
B.
3
3
.
2
a
C.
3
3
.
4
a
D.
3
3
.
6
a
Câu 29. Giá trị cực đại của hàm số
3 2
3 5
y x x
bằng
A.
0
. B.
5
. C.
2
. D.
1
.
Câu 30. Cho khối chóp
.
S AB
C
có thể tích bằng
48
. Gọi
, ,M N P
lần lượt là trung điểm của các
cạnh
, ,
SA S
B SC
. Thể tích của khối chóp
.
S MNP
bằng
A.
12
. B.
8
. C.
6
. D.
10
.
Câu 31. Cho hình chóp đều
.
S AB
CD
có
2 4.
SA A
B
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
AC
và
SD
bằng
A.
14
.
2
B.
7
.
4
C.
14
.
4
D.
7
.
2
Câu 32. Cho hàm số
f x
xác định và nghịch biến trên khoảng
; .
Biết bất phương trình
2
f x x
x m
có nghiệm thuộc đoạn
2;4
,
trong đó
m
là tham số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
4 12.
m f
B.
2 2.
m f
C.
2 2.
m f
D.
4 12
.
m f
Câu 33. Đồ thị của hàm số
1
42
ln
2
2
x
x
y
có bao nhiêu đường tiệm cận ?
A. 1 B. 4 C. 3 D. 2
Câu 34. Cho hàm số
2)56()1(
223
xmmxmxy
. Gọi
);( baS
là tập hợp các giá trị của
tham số m để hàm số có cực trị, giá trị của
ba
bằng :
5
A. 7 B. 6 C. 8 D. 9
Câu 35. Cho
0
a b
thỏa mãn
100
0
ab
và
log
.log 4
a b
. Giá trị của
log
a
b
bằng
A.
6
. B.
4
. C.
3
. D.
5
.
Câu 36. Cho hàm số
y f x
có bảng xét dấu của
f x
như hình vẽ:
Hàm số
3y f x
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
0;1
. B.
1;0
. C.
0;

. D.
1;1
.
Câu 37. Cho hình chóp đều
.
S AB
CD
có cạnh đáy bằng
2a
và mặt bên tạo với đáy
1
góc
60
. Gọi
M
là
trung điểm
SA
, thể tích của khối chóp
.
M ABC
bằng
A.
3
2 3
3
a
. B.
3
3
3
a
. C.
3
3
6
a
. D.
3
4 3
3
a
.
Câu 38. Cho
32 8 2
log
log log 11
a b c
và
5 6 8
a b c
. Giá trị của
2
log
abc
bằng
A.
11
2
. B.
19
. C.
11
. D.
19
2
.
Câu 39. Cho lăng trụ tam giác
. ,ABC A B C
biết rằng thể tích khối chóp
.
A BC
C B
bằng
12.
Thể tích
khối lăng trụ
.
ABC A
B C
bằng
A.
24
. B.
36
. C.
18
. D.
32
.
Câu 40. Có bao nhiêu
m
nguyên dương để đường thẳng
: 2d y mx
cắt đồ thị của hàm số
3 2
4 2
y x x
tại ba điểm phân biệt?
A.
3.
B.
5.
C.
4.
D.
2.
Câu 41. Chọn ngẫu nhiên 3 chữ số khác nhau từ 35 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để tạo thành một
cấp số cộng có công sai là số lẻ bằng
A.
9
385
. B.
8
385
. C.
17
385
. D.
30
11209
.
Câu 42. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
4 3 2 2
1
3 2 5
4
y x mx
m m x
chỉ có cực tiểu mà không có cực đại?
A.
28
. B.
27
. C.
25
. D.
26
Câu 43. Cho hàm số
3 2
f x a
x bx cx
có đồ thị
C
như hình vẽ. Đường thẳng
:
d y g
x
là tiếp
tuyến của
C
tại điểm có hoành độ
1.
x
Hỏi phương trình
1
0
1
f x g
x
g x f x
có bao nhiêu nghiệm?
A.
5.
B.
2.
C.
4.
D.
3.
6
Câu 44. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
2
2
2 1 3
1
x
y
x m
nghịch biến trên khoảng
2 2;

.
A.
6
. B.
4
. C.
3
. D.
5
.
Câu 45. Từ một tấm bìa hình vuông có độ dài cạnh bằng 10 với
,M N
là trung điểm của hai cạnh, người
ta gấp theo các đường
,
AM MN
và
AN
để được hình chóp
.H
Thể tích của khối chóp
H
bằng
A.
125
4
. B.
125 5
4
. C.
125
3
. D.
125 2
4
.
Câu 46. Cho hàm số
2
khi 0
8
khi 0
x
x
f x
x
x
có đồ thị
.T
Xét điểm
A
di động trên đường thẳng
: .y x
Hai đường thẳng
d
và
d
qua
A
tương ứng song song
,Ox Oy
và cắt
T
tại lần lượt tại
, .B C
Tam giác
ABC
có diện tích nhỏ nhất bằng
A. 16. B. 9. C.18. D.8.
Câu 47. Xét các số nguyên dương
, , ,a b c d
có tổng bằng 2020, giá trị lớn nhất của
ac bc
ad
bằng
A.
10200
98
. B.
10201
00
. C.
10200
99
. D.
1020
101
.
Câu 48. Đồ thị của hàm số
4 2
f x ax
bx c
có đúng ba điểm chung với trục hoành tại các điểm
, ,M N P
có hoành độ lần lượt là
, ,
m n p m n p
. Khi
3
1
4
f
và
1 1
f
thì
;
max
m p
f x
bằng
A.
1
4
. B.
4
. C.
0
. D.
1
.
Câu 49. Xét
1
a b
và biểu thức
2 3 2
16
log
log
3
ab a
P a a b
đạt giá trị nhỏ nhất khi
m
n
b a
(
m
n
là
phân số tối giản). Giá trị của
m n
bằng
A.
3
. B.
5
. C.
7
. D.
4
.
7
Câu 50. Cho hình lăng trụ
.
ABC
A B C
, khoảng cách từ
A
đến
BB
và
CC
lần lượt bằng
3
và
2,
góc giữa hai mặt phẳng
BCC B
và
ACC
A
bằng
o
60
. Hình chiếu vuông góc của
A
lên mặt phẳng
A B C
là trung điểm
M
của
B C
và
13
A M
. Thể tích của khối lăng trụ
.
ABC A
B C
bằng
A.
26
. B.
39
. C.
13
. D.
39
3
.
-------------- HẾT --------------
8
ĐÁP ÁN ĐỀ THI
1.A 2.A 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B 8.A 9.D 10.B
11.D 12.B 13.C 14.B 15.A 16.C 17.D 18.D 19.C 20.D
21.D 22.B 23.D 24.D 25.A 26.C 27.D 28.A 29.B 30.C
31.D 32.A 33.C 34.C 35.D 36.B 37.B 38.B 39.C 40.A
41.A 42.B 43.C 44.D 45.C 46.B 47.C 48.D 49.A 50.C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Chọn A
Hình chóp lục giác đều có đáy là lục giác đều nên có 6 cạnh đáy và 6 cạnh bên. Vậy hình chóp lục giác
đều có tất cả 12 cạnh.
Câu 2: Chọn A
Hàm số lũy thừa
3
1
y x
xác định khi và chỉ khi
1 0 1x x
.
Vậy tập xác định của hàm số
3
1
y x
là
1;D
.
Câu 3: Chọn A
Do khối chóp
.
và khối lăng trụ
.
ABC A
B C
có chung đường cao và đáy là tam giác
ABC
nên:
. .
1 1
.15 5
3 3
A ABC AB
C A B C
V V
.
Câu 4: Chọn A
Hàm số chẵn và có đồ thị cắt trục
Oy
tại điểm có tung độ dương nên
4 2
2 1
y x x
.
Câu 5: Chọn B
Do
. .
1 1
.8 4
2 2
S BCD S
ABCD
V V
.
Câu 6: Chọn D
Số cách chọn
2
học sinh từ một tổ gồm
8
học sinh là một tổ hợp chập 2 của 8 phần tử .
Do đó có
2
8
C
cách chọn.
Câu 7: Chọn B
Ta có

lim 4
x
y
,
lim 4
x
y

nên
4
y
là tiệm cận ngang.
Câu 8: Chọn A
Thể tích của hình lập phương
3
64 4
V AA A
A
A B C D
là hình vuông
4 2
A C
2 2
16 32
4 3
AC Al
A A C
9
Câu 9: Chọn D
Qua bảng xét dấu đạo hàm ta thấy
'f x
chỉ đổi dấu từ - sang + khi qua điểm
0
x
nên hàm số chỉ có 1
điểm cực tiểu.
Câu 10: Chọn B
Câu 11: Chọn D
Hàm số
3 1y x
đồng biến trên khoảng
;

vì đây là hàm số có dạng
y ax
b
với hệ số
3 0
a
.
Câu 12: Chọn B
Hoành độ giao điểm của đường thẳng
d
và đường cong
C
là nghiệm phương trình
3 2
1 1x x x
x
3 2
2 0
x x x
0
1
2
x
x
x
.
Từ đó đường thẳng
d
và đường cong
C
có 3 điểm chung có tọa độ là
0;1
,
1; 0
,
2;3
.
Câu 13: Chọn C
Đồ thị hàm số có 2 đặc điểm là đi qua gốc tọ độ
0;0
O
và đường tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung
nên chọn C, hàm số
1
x
y
x
.
Câu 14: Chọn B
Ta có
1 1
1
4 1
2 2
2
17 3 17
5
u u
u
u u
d
d
Vậy công sai của cấp số cộng đã cho bằng 5.
Câu 15: Chọn A
Theo hình vẽ ta có hàm số cần tìm xác định
2
x
nên ta loại đáp án B, C và D.
Câu 16: Chọn C
2
2 ln
1
' 2 2
ln 2 2 ln 1 2 2ln 2
2
'' 2
2
'' 0 2 1.
f x x x x
f x x x x x x x x
x
f x
x
f x x
x
Câu 17: Chọn D
Gọi
M
là trung điểm
BC
.
10
Do
ABC
cân tại
A
:
3 1 1 1 3
30 .tan . .
2 2 2
4
3
ABC
ABC ACB AM BM ABC S AM BC
.
.
3
.
4
ABC A B C ABC
V AA S
.
Câu 18: Chọn D
Điều kiện xác định:
2
20
3 23 20 0 1
3
x x x
tập xác định có 5 giá trị nguyên.
Câu 19: Chọn B
Dựa vào hình vẽ, ta có:
1 0 1 , 0
x a
f x f x x a a
x a
.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Câu 20: Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
, 1
( ) 2
, 1
( ) 2
( ) 2
, 1
, 1
x
a a
f x x b b
f x
f x x c a c
x d d
b
.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Câu 21: Chọn D
Hàm số
y f x
có 2 điểm cực trị không nằm trên Ox.
Đồ thị hàm số
y f x
cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
Do đó hàm số
y f x
có 5 điểm cực trị.
Câu 22: Chọn B
A'
B'
D'
C'
C
D
B
A
Ta có
CC
ABC
D
nên hình chiếu của
AC
lên
ABC
D
là
AC
.
Do đó
AC ; AC
;
ABC
D AC C AC
C AC
vuông tại A có:
3;
AA a
2
2 2 2
2 3AC AB BC
a a a
3
tan 1
3
CC a
A
CA
CA
a
11
0
45
C AC
Vậy:
0
AC ;
45
ABCD
Câu 23: Chọn D
Từ đồ thị hàm số đã cho ta có:
0; 2
ax 2
m f x
và
0; 2
min 2
f x
.
Vậy:
0; 2
0
; 2
max m
in 0
f x f
x
.
Câu 24: Chọn D
Tập xác định:
2;3 3;
D
.
Ta có:
2
2
1 2
li
m lim 0
4 3
1


x x
x
x
y
x
x
đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là
0
y
.
3 3
2
lim
lim
1 3

x x
x
y
x x
và
3 3
2
lim
lim
1 3

x x
x
y
x x
đồ thị hàm số có đường tiệm cận
đứng
3
x
.
Vậy: Đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.
Câu 25: Chọn A
Do hình chóp có số cạnh đáy bằng số cạnh bên nên hình chóp có 11 cạnh đáy. Số cạnh đáy bằng số mặt
bên nên hình chóp đó có 11 mặt bên, 1 mặt đáy.
Vậy tổng số mặt của hình chóp đó là 12.
Câu 26: Chọn C
Từ bảng biến thiên ta thấy trong 4 đáp án trên thì đáp án C là đáp án đúng.
Câu 27: Chọn D
A.
2
2 1.
x
y
Tập xác định
D R
. Ta có:
2
' 2 2 ln 2
x
y x
Hàm số đồng biến
0;

. Hàm số nghịch biến
;0

. Theo đồ thị loại A
B.
ln( 2)
y x
. Tập xác định
2;D

. Theo đồ thị loại B
C.
log( 1)
y x
. Tập xác định D=
1;

. Theo đồ thị loại loại C
D.
2
3
2 2
x
y
. Tập xác định
D R
. Ta có
2
3
' 2 2
ln 2
x
y x
Hàm số đồng biến
;0

. Hàm số nghịch biến
0;

Câu 28: Chọn A
12
Gọi
I
là giao điểm
AC
và
BD
. Vì
ABCD
là hình thoi và
0
60
BAC
nên
BAC
là tam giác đều do đó
AB BC
AC a
. Xét
ABI
vuông tại
I
, theo hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông. Ta có
0
3
.sin 60 3
2
a
IB AB DB a
.
Vậy
3
.
1 1 1 3
. .2 . .
3
3 3 2 3
S ABCD ABCD
a
V SA S a a a
.
Câu 29: Chọn B
Đặt
3 2
( ) 3 5
y f x x
x
.
Ta có
2
’ 3 6y x x
,
2
0
’ 0 3 6
0
2
x
y x x
x
.
Do
1 0
a
nên giá trị cực đại của hàm số là
0 5
f
.
Câu 30: Chọn B
Do
, ,M N P
lần lượt là trung điểm của các cạnh
, , SA SB
SC
nên áp dụng tỉ số thể tích ta có
.
. .
.
1 1 1 1
1 1
. . . . . .48 6
2 2 2 8
8 8
S MNP
S
MNP S ABC
S ABC
V
SM SN SP
V V
V
SA SB SC
.
Câu 31: Chọn D
Vì hình chóp
.
S ABC
D
là hình chóp đều nên ta có:
AC BD
AC SBD
AC SO
Trong mặt phẳng
SBD
kẻ
OK SD
mà
AC SBD
OK AC
OK SBD
Vậy
,
d AC B
D OK
.
13
4
2
2
2 2
2
2 2
AB
AC
AO OD
Tam giác
SAO
vuông tại
O
suy ra
2 2
16 2
14
SO S
A OA
.
Tam giác
SDO
vuông tại
O
đường cao
OK
:
2 2
. 14. 2 7
.
2
14 2
SO OD
OK
SO OD
Câu 32: Chọn A
2
2
1
f x x
x m
m f x x x
Đặt
2
g x f x x x
. Vì
1
có nghiệm thuộc đoạn
2;4
nên
2;4
m >
Min
x
g x
.
' ' 2
1.
' 0 2;4 .
2 1 0 2;4 .
' ' 2
1 0 2;4 .
g x f
x x
f x x
x x
g x f x x x
2;4
Min 4 4 12
x
g x g f
.
Do đó
4 12.
m f
Câu 33: Chọn C
TXĐ:
2
2
2
2 4
0
1
2
x
x
x
x
+
2
2
2 4
2
1
x x
x
lim y lim ln ln
x


+
2
2
2 4
2
1
x x
x
lim y
lim ln ln
x


Suy ra:
2y ln
là tiệm cận ngang
+
2
2
2 2
2 4
1
x x
x
lim y
lim ln
x

.
Suy ra
2
x
là tiệm cận đứng
+
2
2
2 2
2 4
1
x x
x
lim y lim ln
x

.
Suy ra
2
x
là tiệm cận đứng
Câu 34: Chọn C
56)1(23'
22
mmxmxy
Để hàm số có cực trị
0'
y
có 2 nghiệm phân biệt
0)56(3)1('
22
mmm
014162
2
mm
71
m
)7;1(
S
. Vậy,
8
ba
Câu 35: Chọn D
Ta có
100
0 log log 3 log 1;log 4
log .
log 4 log .log 4 log 4;log 1
ab a b
a b
a b a b a b
14
Theo bài
0 log
log
a b a b
. Do đó ta chọn được
4
5
1
log 4 10
10
log 1
10
a a
a
b
b
b
Vậy
5
log log10 5.
a
b
Câu 36: Chọn B
Ghi nhớ công thức:
.f u f u u
Ta có
3 3 . 3
3 . 3
y f x f
x x f x
.
Kết hợp bảng xét dấu của
f x
, được:
3 0
f x
3 . 3 0
f x
3 0
f x
3 3
0 3 6
x
x
1
2 0
x
x
Suy ra hàm số
3y f x
nghịch biến trên các khoảng
2;0
và
1;
.
Vì khoảng
1;0 2
;0
nên chọn B.
Câu 37: Chọn B.
Chóp
.
S ABC
D
là chóp đều nên
SO AB
CD
(với
O
là giao điểm của
AC
và
BD
).
Kẻ
MH AC
//
MH SO
MH ABCD
Gọi
I
là trung điểm cạnh
AD
OI AD
SI AD
( );( )
; 60
SAD ABCD
SI IO SIO
.
Ta dễ dàng chứng minh được:
OI
là đường trung bình của tam giác
ACD
OI a
Xét tam giác
SIO
vuông tại
O
:
tan .t
an 60 3
SO
SIO SO
IO a
IO
Xét tam giác
SAO
có
MH
là đường trung bình
3
2 2
SO a
MH
Diện tích tam giác
2
1 1
. .2 .2 2
2 2
ABC
S AB B
C a a a
.
Vậy thể tích
3
2
.
1 1 3 3
. 2 .
3 3 2 3
M ABC ABC
a a
V S M
H a
.
15
Câu 38: Chọn B.
Điều kiện:
, , 0
a b c
.
Đặt:
5 6 8
a b c
y
(với
0
y
). Ta có:
5
a y
,
6
b y
,
8
c y
.
Khi đó:
32 8 2
11 l
og log log
a b c
2 2 2
1 1
log log log
5 3
a b c
1 1
5 3
2
log
a b c
1 1
5 6
8
5 3
2
log
y y y
11
2
log
y
2
11.l
og
y
.
Suy ra
2
log 1 2
y y
(thỏa mãn).
Do đó
5 6 8 19
2 2 2 2 2
log
log . . log 19.log 19.log 2 19
abc
y y y y y
.
Câu 39: Chọn C
Ta có:
. . . . . .
1 2
3 3
A BCC
B ABC A B C A A B C ABC A B C ABC A B C ABC A B C
V V V V V V
.
Suy ra:
. .
3 3
12 1
8
2 2
ABC A
B C A BCC B
V V
(đvtt).
Câu 40: Chọn A
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:
3 2 3 2
4 2 2
4 0 *
x x m
x x x mx
2
0
4 0 1
x
x x m
Để
*
có 3 nghiệm phân biệt thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
16 4 0
4
0 0
m m
m m
Vậy có 3 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán là
1; 2; 3
m
Câu 41: Chọn A
Từ 1 đến 35 có 35 số nguyên dương
Số phần tử của không gian mẫu là:
3
35
C
Gọi A là biến cố chọn được “ba số tự nhiên tạo thành một cấp số cộng có công sai là số lẻ”.
Giả sử ba số được chọn trong 35 chữ số đầu tiên là
, ,a b c
do
, ,a b c
tạo thành một cấp số cộng nên ta có
2a c b
; vì
d
là số lẻ nên
1
d
thì a có thể chọn từ các số
1; 2
;3....
cho đến
35 1
.2 33
suy ra có
33
kết quả thuận lợi
3
d
thì a có thể chọn từ các số
1; 2;3....
cho đến
35 3
.2 29
suy ra có
29
kết quả thuận lợi
5
d
thì a có thể chọn từ các số
1; 2
;3....
cho đến
35 5
.2 25
suy ra có
25
kết quả thuận lợi
….
17
d
thì a có thể chọn từ các số
1; 2
;3....
cho đến
35 1
7.2 1
suy ra có
1
kết quả thuận lợi
16
Vậy có:
1 33
33 2
9 25 ... 1 .9 17.9 153
2
kết quả thuận lợi
Xác suất phải tìm là:
3
35
153 9
( )
385
n A
C
.
Câu 42: Chọn B
Ta có
3 2 2
' 3 2
3 2
y x m
x m m x
.
Cho
2 2
0
' 0
3 2 3 2 0(*)
x
y
x mx m
m
YCBT
PT (*) vô nghiệm hoặc pt (*) có nghiệm kép
0x
hoặc pt (*) có 1 nghiệm là 0 và nghiệm
còn lại khác 0
TH1: (*) có nghiệm kép
0x
2 2
2
9 8 3 2 0
12 4 10 12 4 10
2 1
2 3 2 0
m m m
m m
m
m m
m m
TH2: PT(*) vô nghiệm
2 2
9 8 3
2 0 12 4 10 12 4 10
m m m m
TH3: PT(*) có nghiệm
2
0 3 2
0 1 2
x m m
m m
Với
2
0
1 (*
) : 3 0
3
x
m x x
x
. Nhận
1m
Với
2
0
2 (*
) : 6 0
6
x
m x x
x
. Nhận
2m
Vậy có 27 giá trị m
Câu 43: Chọn C
Xét phương trình
1
0 0; 1
1
f x g
x
f x g x
g x f x
2 2
2 2
(1)
.
1
(2)
f x f x g x g x
f x g x f x g x
f x g
x f x g x f x g x
f x g
x
f x g x
Xét phương trình
(1)
: Từ đồ thị suy ra
(1)
có đúng 2 nghiệm phân biệt
1
0.
x
x
Xét phương trình
(2)
: Xét hàm số
( )y f x
có đồ thị là đường cong
C
như hình vẽ và hàm số
( ) 1
y g x
có đồ thị là đường thẳng
d
được xác định như sau:
+ Lấy đối xứng phần đồ thị đường thẳng
d
qua trục
Ox
.
+ Sau đó tịnh tiến đường thẳng trên theo phương
Oy
lên trên 1 đơn vị.
Khi đó số nghiệm của
(2)
bằng số giao điểm của
C
với
d
. Từ đồ thị suy ra có 3 giao điểm, trong đó
1 giao điểm là gốc tọa độ O.
Do đó
(2)
có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm
0
x
(loại).
Kết luận: Phương trình đã cho có 4 nghiệm .
17
Câu 44: Chọn D
Đặt
2
1
t x
. Nhận thấy hàm số
2
1
y x
đồng biến trên
2 2;

, do đó với
2 2;x
thì
3;t

. Ta được hàm số
2 3t
y
t m
.
Hàm số
2
2
2 1 3
1
x
y
x m
nghịch biến trên khoảng
2 2;

khi và chỉ khi hàm số
2 3t
y
t m
nghịch
biến trên
3;

2
2 3
0
3;
m
y
t m
m
3
2
3
m
m
3
3
2
m
.
Do
m
là số nguyên nên
1;0;
1;2;3
m
. Vậy có tất cả
5
giá trị nguyên của
m
thỏa mãn.
Câu 45: Chọn C
Từ cách gấp ta có:
10, 5 5, 5
AB AM AN BN
BM
Gọi
I
là trung điểm của
MN
, khi đó ta có:
MN AI
MN AB
I
MN BI
Do đó
1 1 1
. . .
3 3 3
ABMN ABMI
ABNI ABI ABI ABI
V V V M
I S NI S MN S
Xét
ABI
có
2 2
1 5 2 15 2
10, ,
2 2 2
AB BI MN AI
AM MI
Áp dụng công thức Hê-rông ta có:
25 2
2
ABI
S
Vậy
1 1 25 2 125
. .5 2.
3 3 2 3
ABMN ABI
V MN S
Câu 46: Chọn B
Gọi điểm
( ; )
A a a d
Gọi
1
d
đi qua điểm
( ; )A a a
và
Ox
1
:
d y a
Ta có tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình:
2
y
x
y a
2
x
a
y a
2
( ; )B a
a
Gọi
2
d
đi qua điểm
( ; )A a a
và
Oy
2
:
d x a
Ta có tọa độ điểm C là nghiệm hệ phương trình:
8
x a
y
x
8
x a
y
a
8
( ; )
C a
a
18
Ta có
2
2 2
2 2 2 2
( ) ( )
a
AB a a
a a a
a a a a
2
2 2
8 8 8 8
( ) ( )
a
AC a a a a a
a a a a
2 2
2
1 ( 2).( 8)
. .
2 2
ABC
a a
S AB AC
a
Đặt
2
0
t a
, xét hàm số
( 2).( 8)
( )
2
t t
f t
t
trên
0;

Có
2
( 2).( 8) 10
16
( )
2 2
t t t t
f t
t t
2
2
2 32
'( )
4
t
f t
t
,
2
'( ) 0 2 3
2 0 4
f t t t
Bảng biến thiên
Từ BBT suy ra
ABC
S
nhỏ nhất bằng 9
Câu 47: Chọn C
2
2
2020
1 1 1020
099
4 4
a b c d
P ac
bc ad a b c d bd
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1009, 1
.
a c b d
Câu 48: Chọn D
3
4 2f x ax bx
Vì đồ thị của hàm số
4 2
f x ax bx c
có đúng ba điểm chung với trục hoành nên đồ thị hàm số tiếp
xúc với trục hoành tại gốc tọa độ suy ra
0 0
f
.
Ta có
1
0 0
0
4
3 3
1 1
4 4
0
4 2 1
1 1
f
c
a
f a b c
b
c
a b
f
.
Vậy
4 2
1
4
f x x x
.
4 2
0
1
0 0 2
4
2
x
f x x x x
x
suy ra
2, 0, 2
m n p
.
Vậy
; 2;2
max max
m p
f x f x
.
19
Xét hàm số
4 2
1
4
g x f
x x x
trên
2;2
.
3 4 2
4
2
1
2
4
1
4
x x x
x
g x
x x
2
0
2
x
g x
x
và
g x
không xác định tại các điểm
0, 2
x x
.
2 2 0
0, 2 2 1
g g g
g g
Suy ra
2; 2
max 1
g x
Vậy
;
max
1
m p
f x
.
Câu 49: Chọn A
2
3
2 3 2 2
log
16 16
lo
g log log log
3 log 3
a
ab a a a
a
a
P a a b a
b
ab
2
9 16
2
log
3
1 log
a
a
b
b
.
Đặt
log
a
t b
.
Do
1
a b
log
log log 1
a a a
a b
0 lo
g 1
a
b
.
Khi đó
2 2
9 16 9 8 8 16
2 1 1
3 3 3 3
1 1
P t t t
t t
với
.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương, ta có:
3
2 2
9 8 8 9
8 8
1 1 3 . 1 . 1
3 3 3 3
1 1
t t t t
t t
2
9 8 8
1 1 1
2
3 3
1
t t
t
16
12
3
P
hay
52
3
P
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3
2
9 8 27
1
1 1
3 8 2
1
t t t
t
.
Với
1
2
t
, suy ra
1
log
2
a
b
1
2
b a
.
Do đó
P
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
52
3
khi
1
2
b a
, ta được
1
m
;
2
n
.
Vậy
3
m n
.
Câu 50: Chọn C
* Ta sử dụng bổ đề sau: “ Thể tích hình lăng trụ tam giác bất kỳ bằng tích của diện tích thiết diện vuông
góc với cạnh bên và độ dài cạnh bên”.
Chứng minh bổ đề:
20
Xét lăng trụ hình lăng trụ
.
ABC A
B C
có các cạnh bên
// //
AA BB
CC
.
Ta dựng hai mặt phẳng qua
A
và
A
vuông góc với các cạnh bên và cắt hình chóp theo thiết diện
1 1
ABC
và
2 2
A B C
.
Do
ABB A
và
1 2
AB B A
là các hình bình hành nên
1 2 1 2
BB B B
AA BB B B
.
Tương tự
1 2
CC C C
.
Từ đó suy ra
1 1 2 2 1 1 2
2
. .
BCC B
B C C B A BCC B A B C C B
S S V V
.
Suy ra
1 1 2 2 1
1
. .
.
ABC A B
C AB C A B C AB C
V V AA
S
.
Vậy bổ đề được chứng minh.
* Giải bài toán:
Gọi
H
và
K
lần lượt là hình chiếu của
A
lên
BB
và
CC
.
Theo giả thiết ta có
3
AH
và
2AK
.
Ta thấy
AHK
là thiết diện của mặt phẳng vuông góc với cạnh bên và lăng trụ
.
ABC A
B C
.
Suy ra
60
HK CC
AKH
.
21
Theo định lý cosin trong tam giác
AHK
:
2 2 2
2 . .c
os
AH AK
HK AH HK AKH
2 0 2
2.2.
.cos60 4 3 ( 1) 0 1
HK HK H
K HK
.
Tam giác
AHK
có
2
2 2 2 2 2
3 1 2
AH HK AK AHK
vuông tại
H
.
Qua
M
dựng mặt phẳng song song với mặt phẳng
AHK
, cắt các cạnh bên
, ,
AA BB
CC
lần lượt tại
, ,N P Q
.
Suy ra
NPQ A
HK
và
( )
NPQ A
A MN AA
.
Dễ thấy theo Talet thì
M
cũng là trung điểm
PQ
.
Xét tam giác
NPM
vuông tại
P
nên
2
2
2 2
1 13
3
2 2
NM NP
PM
.
Do
2 2 2
1 1 1
AM A B C
AM MA
MN MA MA
2 2
2
1 2 1 3 3
9
13 3
13 13
MA
M
A
.
Theo Pitago
2
2
2 2
39 2 3
9
13
3 3
AA MA
MA
.
1 1 3
. . 3.1
2 2 2
AHK
S AH H
K
.
Theo bổ đề :
.
2 39 3
. . 13
3 2
ABC A
B C AHK
V AA S
.
Lời giải 2:
Qua
M
dựng mặt phẳng vuông góc với các cạnh của lăng trụ, cắt các cạnh bên
, ,
AA BB
CC
lần lượt tại
, ,N P Q
.
Theo giả thiết ta có:
3, 2
NP NQ
và
, 60
NQP A
CC A BCC B
.
Tương tự lời giải 1, tính được
1
PQ
và dẫn đến tam giác
NPQ
vuông tại
P
.
Mặt khác, do
//
BB CC
và
M
là trung điểm của
BC
nên
M
cũng là trung điểm của
PQ
.
22
Từ đó tính được
13
2
MN
.
Do
2 2
2
1 1
1
AM A
B C AM MA
MN MA MA
2 2
2
1 2 1 3 39
13
3
13
13
MA
MA
.
Ta lại có
,
AA
NPQ AM A B C
nên
, ,
A B
C NPQ AA AM A AM
.
1
cos cos
2
MN
A
AM A MN
MA
.
Do vậy
1
. 3.
1
2
3
1
cos
2
NPQ
A
B C
S
S
A AM
.
Vậy
.
39
. .
3 13
3
ABC A B C A B C
V AM S
.
-------------- HẾT --------------
| 1/22
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC: 2019 - 2020 Bài thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
(Đề thi có 05 trang)
Họ, tên thí sinh: ..................................................................... Mã đề thi 010
Số báo danh: ..........................................................................
Câu 1. Hình chóp lục giác đều có bao nhiêu cạnh? A. 12 . B. 6 . C. 10 . D. 11.
Câu 2. Tập xác định của hàm số y   x   3 1 là A. 1;  . B.  1  ;  . C.  \   1 . D.  .
Câu 3. Cho khối lăng trụ ABC.A BC
  có thể tích bằng 15 . Thể tích của khối chóp A .ABC bằng A. 5 . B. 6 . C. 3 . D. 10 . Câu 4.
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ? A. 4 2
y x  2x 1. B. 4 2
y x  2x . C. 4 2
y  x  2x 1. D. 3 2
y x  2x 1.
Câu 5. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và thể tích bằng 8. Thể tích của khối chóp S.BCD bằng. A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 3 . Câu 6.
Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh từ một tổ gồm 8 học sinh ? A. 2 A . B. P . C. P . D. 2 C . 8 2 8 8 4x  1 Câu 7.
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  ? x  3 A. y  3 . B. y  4 . C. x  3 . D. x  4 .
Câu 8. Cho khối lập phương ABC . D A BCD
  có thể tích bằng 64, độ dài đường chéo AC bằng: A. 4 3 . B. 8. C. 4. D. 4 2 .
Câu 9. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: x  2  0 2 3  f '  x + 0 - 0 + 0 - 0 -
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực tiểu ? A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 1 1
Câu 10. Giá trị của phép tính 3 27 bằng A. 9 B. 3 C. 6 D. 81
Câu 11. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng  ;   ? A. 3
y x  3x .
B. y  x 1. C. 3
y  x  3x .
D. y  3x 1 .
Câu 12. Đường thẳng d : y x 1 và đường cong C  3 2
: y x x x  1 có bao nhiêu điểm chung? A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.
Câu 13. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây? x 1 x x x  2 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . x 1 x 1 x 1 x 1
Câu 14. Cho cấp số cộng (u ) có số hạng đầu u  2 và số hạng thứ tư u  17 . Công sai của cấp số cộng n 1 4 đã cho bằng 15 A. . B. 5 . C. 3 . D. 15 . 2
Câu 15. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? x  1  A. y  log x  2 . B. y  log . x C. 2x y  . D. y  . 2   2    3 
Câu 16. Cho hàm số f x 2
x  2x ln .
x Kí hiệu x là nghiệm của phương trình f  x  0, mệnh đề 0 nào dưới đây đúng?  3   3  A. x  2  ;0 . B. x  ; 2 . C. x  0; .
D. x  2;  . 0   0   0   0    2   2  
Câu 17. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A BC
  có đáy ABC là tam giác cân tại A , BAC  120 ,
BC AA  3 . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A BC   bằng 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 4 8 2 4
Câu 18. Tập xác định của hàm số y  log  2
3x  23x  20 có bao nhiêu giá trị nguyên? 3  A. 6. B. 4. C. 7. D. 5. 2
Câu 19. Cho hàm số bậc ba y f (x) có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình f x  1  0 là A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 20. Cho hàm số bậc bốn y f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Phương trình f (x)  2 có số nghiệm là x  1 0 1  y   3  5  5  A. 5. B. 6. C. 2. D. 4.
Câu 21. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y f x là A. 3. B. 2. C. 4. D. 5.
Câu 22. Hình hộp chữ nhật ABC . D A BCD
  có AB a 2, BC a và AA  a 3. Góc giữa đường thẳng
AC và mặt phẳng  ABCD bằng A. o 30 . B. o 45 . C. o 60 . D. o 90 .
Câu 23. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ.
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0:2 của hàm số đã cho bằng A. 2 . B. 4 . C. 2  . D. 0 . 3 x  2
Câu 24. Đồ thị hàm số y
có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x  4x  3 A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 2 .
Câu 25. Một hình chóp có 22 cạnh. Hỏi hình chóp đó có bao nhiêu mặt ? A. 12 . B. 10 . C. 11. D. 13
Câu 26. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? A. (;1) . B. (1; ) . C. (1; ) . D. (; 1)
Câu 27. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 2 2 A. 2x y  1.
B. y  ln  x  2.
C. y  log  x   1 . D. 3 2 x y    2. 
Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và o
BAC  60 . Cạnh bên SA  2a vuông
góc mặt phẳng đáy, thể tích khối chóp S.ABCD bằng 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 6
Câu 29. Giá trị cực đại của hàm số 3 2
y x  3x  5 bằng A. 0 . B. 5 . C. 2 . D. 1.
Câu 30. Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 48 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh S ,
A SB, SC . Thể tích của khối chóp S.MNP bằng A. 12 . B. 8 . C. 6 . D. 10 .
Câu 31. Cho hình chóp đều S.ABCD có SA  2AB  4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD bằng 14 7 14 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2
Câu 32. Cho hàm số f x xác định và nghịch biến trên khoảng  ;
  . Biết bất phương trình   2
f x x x m có nghiệm thuộc đoạn 2; 4, trong đó m là tham số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. m f 4 12.
B. m f 2  2.
C. m f 2  2.
D. m f 4 12. 2 2 x  4
Câu 33. Đồ thị của hàm số y  ln
có bao nhiêu đường tiệm cận ? 2 x  1 A. 1 B. 4 C. 3 D. 2 Câu 34. Cho hàm số 3
y x  (m  ) 1 2 x  ( 2 m  6m  )
5 x  2 . Gọi S  (a ; b) là tập hợp các giá trị của
tham số m để hàm số có cực trị, giá trị của a b bằng : 4 A. 7 B. 6 C. 8 D. 9 a
Câu 35. Cho a b  0 thỏa mãn ab  1000 và log . a log b  4  . Giá trị của log bằng b A. 6 . B. 4 . C. 3 . D. 5 .
Câu 36. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của f  x như hình vẽ:
Hàm số y f 3x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0;  1 . B. 1;0 . C. 0;  . D. 1;  1 .
Câu 37. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và mặt bên tạo với đáy 1 góc 60 . Gọi M là
trung điểm SA , thể tích của khối chóp M .ABC bằng 3 2a 3 3 a 3 3 a 3 3 4a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 6 3
Câu 38. Cho log a  log b  log c  11 và 5 6 8
a b c . Giá trị của log abc bằng 2   32 8 2 A. 11 2 . B. 19 . C. 11. D. 19 2 .
Câu 39. Cho lăng trụ tam giác ABC.AB C  ,
 biết rằng thể tích khối chóp . A BCC B   bằng 12. Thể tích
khối lăng trụ ABC.A BC   bằng A. 24 . B. 36 . C. 18 . D. 32 .
Câu 40. Có bao nhiêu m nguyên dương để đường thẳng d : y mx
2 cắt đồ thị của hàm số 3 2
y x 4x 2 tại ba điểm phân biệt? A. 3. B. 5. C. 4. D. 2.
Câu 41. Chọn ngẫu nhiên 3 chữ số khác nhau từ 35 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để tạo thành một
cấp số cộng có công sai là số lẻ bằng 9 8 17 30 A. . B. . C. . D. . 385 385 385 11209 1
Câu 42. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 4 3 y
x mx   2
m  3m  2 2 x  5 4
chỉ có cực tiểu mà không có cực đại? A. 28 . B. 27 . C. 25 . D. 26 Câu 43. Cho hàm số   3 2
f x ax bx cx có đồ thị C  như hình vẽ. Đường thẳng d : y g x là tiếp
f x 1 g x
tuyến của C  tại điểm có hoành độ x  1  . Hỏi phương trình   0 có bao nhiêu nghiệm? g x 1 f xA. 5. B. 2. C. 4. D. 3. 5 2 2 x 1  3
Câu 44. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  nghịch biến trên khoảng 2 x 1  m 2 2; . A. 6 . B. 4 . C. 3 . D. 5 .
Câu 45. Từ một tấm bìa hình vuông có độ dài cạnh bằng 10 với M , N là trung điểm của hai cạnh, người
ta gấp theo các đường AM , MN và AN để được hình chóp  H . Thể tích của khối chóp  H  bằng 125 125 5 125 125 2 A. . B. . C. . D. . 4 4 3 4  2  khi x  0   x
Câu 46. Cho hàm số f x  
có đồ thị T . Xét điểm A di động trên đường thẳng 8  khi x  0   x
 : y x. Hai đường thẳng d và d  qua A tương ứng song song Ox, Oy và cắt T  tại lần lượt tại B, C.
Tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất bằng A. 16. B. 9. C.18. D.8.
Câu 47. Xét các số nguyên dương a, b, c, d có tổng bằng 2020, giá trị lớn nhất của ac bc ad bằng A. 1020098 . B. 1020100 . C. 1020099 . D. 1020101 .
Câu 48. Đồ thị của hàm số   4 2
f x ax bx c có đúng ba điểm chung với trục hoành tại các điểm 3
M , N , P có hoành độ lần lượt là , m ,
n p m n p . Khi f   1   và f  
1  1 thì max f x bằng 4 m; p 1 A. . B. 4 . C. 0 . D. 1 . 4 16 m m
Câu 49. Xét a b  1 và biểu thức 2 P  log aa b
đạt giá trị nhỏ nhất khi n b a ( là ab  3  loga  2  3 n
phân số tối giản). Giá trị của m n bằng A. 3 . B. 5 . C. 7 . D. 4 . 6
Câu 50. Cho hình lăng trụ ABC.AB C
  , khoảng cách từ A đến BB và CC lần lượt bằng 3 và 2,
góc giữa hai mặt phẳng  BCC B
  và  ACC A   bằng o
60 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  AB C
  là trung điểm M của B C
  và AM  13 . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A BC   bằng 39 A. 26 . B. 39 . C. 13 . D. . 3
-------------- HẾT -------------- 7 ĐÁP ÁN ĐỀ THI 1.A 2.A 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B 8.A 9.D 10.B 11.D 12.B 13.C 14.B 15.A 16.C 17.D 18.D 19.C 20.D 21.D 22.B 23.D 24.D 25.A 26.C 27.D 28.A 29.B 30.C 31.D 32.A 33.C 34.C 35.D 36.B 37.B 38.B 39.C 40.A 41.A 42.B 43.C 44.D 45.C 46.B 47.C 48.D 49.A 50.C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn A
Hình chóp lục giác đều có đáy là lục giác đều nên có 6 cạnh đáy và 6 cạnh bên. Vậy hình chóp lục giác
đều có tất cả 12 cạnh. Câu 2: Chọn A
Hàm số lũy thừa y   x   3 1
xác định khi và chỉ khi x 1  0  x  1.
Vậy tập xác định của hàm số y   x   3 1
là D  1;  . Câu 3: Chọn A
Do khối chóp A .ABC và khối lăng trụ ABC.A BC
  có chung đường cao và đáy là tam giác ABC nên: 1 1 VV  .15  5 . A .  ABC ABC.    3 A B C 3 Câu 4: Chọn A
Hàm số chẵn và có đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương nên 4 2
y x  2x 1. Câu 5: Chọn B 1 1 Do VV  .8  4 . S .BCD S . 2 ABCD 2 Câu 6: Chọn D
Số cách chọn 2 học sinh từ một tổ gồm 8 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 8 phần tử . Do đó có 2 C cách chọn. 8 Câu 7: Chọn B
Ta có lim y  4 , lim y  4 nên y  4 là tiệm cận ngang. x x Câu 8: Chọn A
Thể tích của hình lập phương V   AA3  64  AA  4 A BCD
  là hình vuông  A C    4 2
AC   AlA2   A C
 2  16  32  4 3 8 Câu 9: Chọn D
Qua bảng xét dấu đạo hàm ta thấy f '  x chỉ đổi dấu từ - sang + khi qua điểm x  0 nên hàm số chỉ có 1 điểm cực tiểu. Câu 10: Chọn B Câu 11: Chọn D
Hàm số y  3x 1 đồng biến trên khoảng  ;   vì đây là hàm số có dạng y ax b với hệ số a  3  0 . Câu 12: Chọn B
Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đường cong C  là nghiệm phương trình  x  0 3 2
x x x 1  x 1 3 2
x x  2x  0   x  1 .   x  2 
Từ đó đường thẳng d và đường cong C  có 3 điểm chung có tọa độ là 0; 
1 , 1; 0 , 2;3 . Câu 13: Chọn C
Đồ thị hàm số có 2 đặc điểm là đi qua gốc tọ độ O 0;0 và đường tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung x
nên chọn C, hàm số y  . x 1 Câu 14: Chọn B u   2 u   2 u   2 Ta có 1 1 1      u  17 u  3d  17 d  5  4  1 
Vậy công sai của cấp số cộng đã cho bằng 5. Câu 15: Chọn A
Theo hình vẽ ta có hàm số cần tìm xác định x  2
 nên ta loại đáp án B, C và D. Câu 16: Chọn C f x 2
x  2x ln x  1 
f ' x  2x  2 ln x x  2x  2   ln x  
1  2x  2 ln x  2  x  2
f '  x  2  x 2
f '  x  0  2   x  1. x Câu 17: Chọn D
Gọi M là trung điểm BC . 9 Do ABC cân tại A :    3 1 1 1 3
ABC ACB  30  AM BM .tan ABC  .   SAM .BC  . 2 ABC 3 2 2 4 3 VAA .S  .
ABC. AB C   ABC 4 Câu 18: Chọn D 20 Điều kiện xác định: 2 3
x  23x  20  0  1  x
 tập xác định có 5 giá trị nguyên. 3 Câu 19: Chọn B
Dựa vào hình vẽ, ta có:  x a
f x  1  0  f x   1  x a, a  0   .  x  a
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm. Câu 20: Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
x a, a  1   f (x)  2
x b, 1  b
f (x)  2     .
f (x)  2
x c, a c  1  
x d, 1  d b
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Câu 21: Chọn D
Hàm số y f x có 2 điểm cực trị không nằm trên Ox.
Đồ thị hàm số y f x cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
Do đó hàm số y f x có 5 điểm cực trị. Câu 22: Chọn B A' B' D' C' A B D C
Ta có CC   ABCD nên hình chiếu của AC lên  ABCD là AC . Do đó 
  ABCD    AC   AC ; AC ;  C ACCA
C vuông tại A có: AA  a 3; AC AB BC  a 2 2 2 2 2  a a 3  CCa 3 tan A CA    1 CA a 3 10  0  C AC  45 Vậy:    ABCD 0 AC ;  45 Câu 23: Chọn D
Từ đồ thị hàm số đã cho ta có: max f x  2 và min f x  2 . 0; 2 0; 2
Vậy: max f x  min f x  0 . 0; 2 0; 2 Câu 24: Chọn D
Tập xác định: D  2;3  3;   . 1 2  2 x Ta có: x lim y  lim
 0  đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y  0 . x x 4 3 1   2 x x x  2 x  2 lim y  lim
  và lim y  lim
   đồ thị hàm số có đường tiệm cận x 3 x 3    x   1  x  3 x 3 x 3    x   1  x  3 đứng x  3 .
Vậy: Đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận. Câu 25: Chọn A
Do hình chóp có số cạnh đáy bằng số cạnh bên nên hình chóp có 11 cạnh đáy. Số cạnh đáy bằng số mặt
bên nên hình chóp đó có 11 mặt bên, 1 mặt đáy.
Vậy tổng số mặt của hình chóp đó là 12. Câu 26: Chọn C
Từ bảng biến thiên ta thấy trong 4 đáp án trên thì đáp án C là đáp án đúng. Câu 27: Chọn D 2 2 A. 2x y
1. Tập xác định D R . Ta có: '  2 2x y x ln 2
Hàm số đồng biến 0;  . Hàm số nghịch biến  ;
 0 . Theo đồ thị loại A
B. y  ln(x  2) . Tập xác định D  2;  . Theo đồ thị loại B
C. y  log(x 1) . Tập xác định D= 1;  . Theo đồ thị loại loại C 2 2 D. 3 2 x y  
 2 . Tập xác định D R . Ta có 3 ' 2 2 x y x    ln 2
Hàm số đồng biến  ;
 0 . Hàm số nghịch biến 0;  Câu 28: Chọn A 11
Gọi I là giao điểm AC và BD . Vì ABCD là hình thoi và 0
BAC  60 nên BAC là tam giác đều do đó
AB BC AC a . Xét A
BI vuông tại I , theo hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông. Ta có a 3 0 IB  . AB sin 60   DB a 3 . 2 3 1 1 1 a 3 Vậy V  . SA S  .2 . a . a a 3  . S . ABCD 3 ABCD 3 2 3 Câu 29: Chọn B Đặt 3 2
y f (x)  x  3x  5 . x  0 Ta có 2 ’
y  3x  6x , 2 ’
y  0  3x  6x  0   . x  2 
Do a  1  0 nên giá trị cực đại của hàm số là f 0  5 . Câu 30: Chọn B
Do M , N , P
lần lượt là trung điểm của các cạnh S , A SB, SC
nên áp dụng tỉ số thể tích ta có V SM SN SP 1 1 1 1 1 1 S .MNP  . .  . .   V  .V  .48  6 . S .MNP S . V SA SB SC 2 2 2 8 8 ABC 8 S . ABC Câu 31: Chọn D
Vì hình chóp S.ABCD là hình chóp đều nên ta có:  AC BD
AC  SBDAC SO   AC   SBD
Trong mặt phẳng SBD kẻ OK SD mà   OK AC OK   SBD 
Vậy d AC, BD  OK . 12 4 AB   2 2 AC 2 2 AO OD    2 2 2
Tam giác SAO vuông tại O suy ra 2 2
SO SA OA  16  2  14 . S . O OD 14. 2 7
Tam giác SDO vuông tại O đường cao OK : OK    . 2 2 SO OD 14  2 2 Câu 32: Chọn A f x 2
x x m   1
m f x 2  x x Đặt      2 g x
f x x x . Vì  
1 có nghiệm thuộc đoạn 2;4 nên m > Min g x . x   2;  4
g ' x  f ' x  2x 1.
f ' x  0 x  2; 4. 2  x 1  0 x  2; 4.
g ' x  f ' x  2x 1  0 x  2; 4.
Min g x  g 4  f 4 12 . x   2;4
Do đó m f 4 12. Câu 33: Chọn C 2 2x  4  x   2 TXĐ:  0   2 x 1  x  2  2 2x  4
+ lim y lim lnln 2 2 x x x 1 2 2x  4
+ lim y lim lnln 2 2 x x x 1
Suy ra: y ln 2 là tiệm cận ngang 2 2x  4 + lim y lim ln   .   2 x 2 x 2 x 1
Suy ra x   2 là tiệm cận đứng 2 2x  4 + lim y lim ln   .   2 x 2 x 2 x 1 Suy ra x  2 là tiệm cận đứng Câu 34: Chọn C y'  3 2 x  ( 2 m  ) 1 2
x m  6m  5 Để hàm số có cực trị  y'  0 có 2 nghiệm phân biệt  '  (m  ) 1 2  3( 2 m  6m  ) 5  0  2 2
m  16m  14  0  1  m  7  S  1
( ;7) . Vậy, a b  8 Câu 35: Chọn Dab  1000 l
 og a  log b  3 log a  1  ; log b  4 Ta có      log . a log b  4  log . a log b  4 
log a  4; log b  1     13 4 log a  4  a  10 a
Theo bài a b  0  log a  log b . Do đó ta chọn được 5      10 1 log b  1  b   10 ba Vậy 5 log  log10  5. b Câu 36: Chọn B
Ghi nhớ công thức: f u 
  f u.u  
Ta có y   f  3
x  f  3  x. 3  x    f  3  x. 3   .
Kết hợp bảng xét dấu của f  x , được:  3  x  3  x  1
f  3x 
 0  f 3x.3  0  f 3x  0     0  3  x  6  2   x  0 
Suy ra hàm số y f 3x nghịch biến trên các khoảng 2; 0 và 1;   .
Vì khoảng 1; 0  2; 0 nên chọn B. Câu 37: Chọn B.
Chóp S.ABCD là chóp đều nên SO   ABCD  (với O là giao điểm của AC và BD ).
Kẻ MH AC MH // SO MH   ABCD
Gọi I là trung điểm cạnh AD OI   AD      SAD ABCD    SI IO   ( ); ( ) ;  SIO  60 . SI AD 
Ta dễ dàng chứng minh được: OI là đường trung bình của tam giác ACD OI a
Xét tam giác SIO vuông tại O :  SO tan SIO   SO  .
IO tan 60  a 3 IO SO a 3
Xét tam giác SAO có MH là đường trung bình  MH   2 2 1 1 Diện tích tam giác 2 SA . B BC  .2 .2
a a  2a . ABC 2 2 3 1 1 a 3 a 3 Vậy thể tích 2 VS .MH  2a .  . M . ABC 3 ABC 3 2 3 14 Câu 38: Chọn B.
Điều kiện: a, b, c  0 . Đặt: 5 6 8
a b c y (với y  0 ). Ta có: 5 a y , 6 b y , 8 c y . Khi đó: 1 1 1 1  
11  log a  log b  log c
log a  log b  log c  5 3 log a b c 32 8 2 2 2 2   5 3 2   1 1    log  5 y   6 y   8 5 3 y  11
log y  11.log y . 2  2 2  
Suy ra log y  1  y  2 (thỏa mãn). 2
Do đó log abc  log  5 y . 6 y . 8 y   log  19 y
 19.log y  19.log 2  19 . 2 2 2  2 2   Câu 39: Chọn C 1 2 Ta có: VVVVVV . A.BCC B   ABC . A BC  
A. AB C   ABC . A BC  
ABC . AB C   ABC.    3 3 A B C 3 3 Suy ra: VV  12  18 (đvtt).
ABC. AB C   A.   2 BCC B 2 Câu 40: Chọn A
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: 3 2 3 2
x  4x  2  m
x 2  x  4x mx  0* x  0    2
x  4x m  0    1  * Để
có 3 nghiệm phân biệt thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0    164m  0 m  4       m  0 m  0   m  1; 2; 
Vậy có 3 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3 Câu 41: Chọn A
Từ 1 đến 35 có 35 số nguyên dương
Số phần tử của không gian mẫu là: 3 C35
Gọi A là biến cố chọn được “ba số tự nhiên tạo thành một cấp số cộng có công sai là số lẻ”.
Giả sử ba số được chọn trong 35 chữ số đầu tiên là a, b, c
do a, b, c tạo thành một cấp số cộng nên ta có a c  2b ; vì d là số lẻ nên
d  1 thì a có thể chọn từ các số 1; 2; 3.... cho đến 35 1.2  33 suy ra có 33 kết quả thuận lợi
d  3 thì a có thể chọn từ các số 1; 2; 3.... cho đến 35  3.2  29 suy ra có 29 kết quả thuận lợi
d  5 thì a có thể chọn từ các số 1; 2; 3.... cho đến 35  5.2  25 suy ra có 25 kết quả thuận lợi ….
d  17 thì a có thể chọn từ các số 1; 2; 3.... cho đến 35 17.2  1 suy ra có 1 kết quả thuận lợi 15 1 33
Vậy có: 33  29  25  ... 1 
.9  17.9  153 kết quả thuận lợi 2 153 9
Xác suất phải tìm là: n( ) A   . 3 C 385 35 Câu 42: Chọn B Ta có 3 2
y x mx   2 ' 3
2 m  3m  2 x . x  0 Cho y '  0   2 x  3mx  2   2
m  3m  2  0(*) 
YCBT  PT (*) vô nghiệm hoặc pt (*) có nghiệm kép x  0 hoặc pt (*) có 1 nghiệm là 0 và nghiệm còn lại khác 0
TH1: (*) có nghiệm kép x  0 2 9  m  8   2
m  3m  2  0  m  12   4 10  m  12   4 10      m   2 2
m  3m  2  0
m  2  m  1   TH2: PT(*) vô nghiệm 2  m   2 9
8 m  3m  2  0  12  4 10  m  12  4 10 TH3: PT(*) có nghiệm 2
x  0  m  3m  2  0  m  1 m  2 x  0 2
Với m  1  (*) : x  3x  0   . Nhận m  1 x  3   x  0 2
Với m  2  (*) : x  6x  0   . Nhận m  2 x  6   Vậy có 27 giá trị m Câu 43: Chọn C f x 1 g x Xét phương trình 
 0  f x  0; g x   1 g x 1 f x 2
f x  f x 2
g x  g x 2  f x 2
g x  f x  g x
  f x  g x  f x  g x  f x  g x    
f x  g x (1)   .
f x  1 g x (2)  x  1 
Xét phương trình (1) : Từ đồ thị suy ra (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt x   0. 
Xét phương trình (2) : Xét hàm số y f (x) có đồ thị là đường cong C  như hình vẽ và hàm số
y   g ( x)  1 có đồ thị là đường thẳng d  được xác định như sau:
+ Lấy đối xứng phần đồ thị đường thẳng d qua trục Ox .
+ Sau đó tịnh tiến đường thẳng trên theo phương Oy lên trên 1 đơn vị.
Khi đó số nghiệm của (2) bằng số giao điểm của C  với d . Từ đồ thị suy ra có 3 giao điểm, trong đó
1 giao điểm là gốc tọa độ O.
Do đó (2) có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x  0 (loại).
Kết luận: Phương trình đã cho có 4 nghiệm . 16 Câu 44: Chọn D Đặt 2 t
x 1 . Nhận thấy hàm số 2 y
x 1 đồng biến trên 2 2; , do đó với x 2 2; thì 2t  3
t  3;  . Ta được hàm số y  . t m 2 2 x 1  3 2t  3 Hàm số y
nghịch biến trên khoảng 2 2; khi và chỉ khi hàm số y  nghịch 2 x 1  m t m  2m  3 y   0  3  2 m   3
biến trên 3;    t m   2    m  3 .  2 m  3;  m  3  
Do m là số nguyên nên m  1  ; 0;1; 2; 
3 . Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 45: Chọn C Từ cách gấp ta có:
AB  10, AM AN  5 5, BN BM  5
Gọi I là trung điểm của MN , khi đó ta có: MN AI
MN   ABI MN BI  1 1 1 Do đó VVVMI.SNI.SMN.S ABMN ABMI ABNI 3 ABI 3 ABI 3 ABI 1 5 2 15 2 Xét ABI có 2 2
AB  10, BI MN  , AI AM MI  2 2 2 25 2
Áp dụng công thức Hê-rông ta có: SABI  2 1 1 25 2 125 Vậy VMN.S  .5 2.  ABMN 3 ABI  3 2 3 Câu 46: Chọn B
Gọi điểm A(a; a)  d
Gọi d đi qua điểm A(a; a) và  Ox d : y a 1 1  2   2  y  x  2
Ta có tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình:  x   a B( ; a)  a y a   y a
Gọi d đi qua điểm A(a; a) và  Oy d : x a 2 2 x ax a   8 
Ta có tọa độ điểm C là nghiệm hệ phương trình:  8    8   C(a; ) y   y   axa 17 2 2 2  2 a  2 Ta có 2 2 AB  (
a)  (a a)   a   a a a a a 2 8 8 8 a  8 2 2
AC  (a a)  (  a)   a   a a a a a 2 2 1
(a  2).(a  8) S  .A . B AC ABC 2 2 2a
(t  2).(t  8) Đặt 2
t a  0 , xét hàm số f (t)  trên 0; 2t 2
(t  2).(t  8) t 10t 16 Có f (t)   2t 2t 2 2t  32 f '(t)  , 2
f '(t)  0  2t  32  0  t  4  2 4t Bảng biến thiên Từ BBT suy ra S nhỏ nhất bằng 9 ABC Câu 47: Chọn C
a b c d 2 2 2020
P ac bc ad  a bc d   bd  1  1  1020099 4 4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a c  1009, b d  1. Câu 48: Chọn D f  x 3  4ax  2bx
Vì đồ thị của hàm số   4 2
f x ax bx c có đúng ba điểm chung với trục hoành nên đồ thị hàm số tiếp
xúc với trục hoành tại gốc tọa độ suy ra f 0  0 .  f    1 0  0 c  0 a     4  3  3  Ta có  f   1  
 a b c   b   1. 4 4   c  0  f   1  1
4a  2b  1     1 Vậy f x 4 2  x x . 4  x  0 1  f x 4 2  0 
x x  0  x  2 suy ra m  2, n  0, p  2 . 4   x  2 
Vậy max f x  max f x . m; p  2  ;  2 18 1
Xét hàm số g x  f x 4 2  x x trên  2  ; 2. 4   1 3  x  2x 4 2 x x    4  g x  1 4 2 x x 4 x  2
g x  0  
và g x không xác định tại các điểm x  0, x  2 . x   2  g  2
   g 2  g 0  0, g  2   g  2   1
Suy ra max g x  1 2; 2
Vậy max f x  1. m; pCâu 49: Chọn A 2 3 16  log a  16 2 P  log  3 a   log  2 a ba     a b ab a  2 log log a a  3 log aba   3  9 16   2  log b . 2  a  1 log b a  3
Đặt t  log b . a
Do a b  1  log a  log b  log 1  0  log b  1  0  t  1 . a a a a 9 16 9 8 8 16 Khi đó P   2  t   1 t  1 t  với 0  t  1 . 2   2     1 t 3 1 t  3 3 3 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương, ta có: 9 8 8 9 8 8 9 8 8
 1 t   1 t   33 . 1 t . 1 t   1 t  1 t  12 2     2 2     1 t  3 3 1 t  3 3 1 t 3 3 16 52  P  12  hay P  . 3 3 9 8 27 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
1 t  1 t   t  . 2    3 1 t  3 8 2 1 1 1 Với t  , suy ra log b   2 b a . 2 a 2 52 1
Do đó P đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi 2
b a , ta được m  1; n  2 . 3
Vậy m n  3 . Câu 50: Chọn C
* Ta sử dụng bổ đề sau: “ Thể tích hình lăng trụ tam giác bất kỳ bằng tích của diện tích thiết diện vuông
góc với cạnh bên và độ dài cạnh bên”. Chứng minh bổ đề: 19
Xét lăng trụ hình lăng trụ ABC.AB C
  có các cạnh bên AA // BB // CC .
Ta dựng hai mặt phẳng qua A và A vuông góc với các cạnh bên và cắt hình chóp theo thiết diện AB C 1 1 và A BC . 2 2 Do ABB A
  và AB B A là các hình bình hành nên BB  B B AA  BB B B  . 1 2 1 2 1 2
Tương tự CC C C  . 1 2 Từ đó suy ra SSVV . BCC B B CCB . A BCC B A .  B CCB 1 1 2 2 1 1 2 2 Suy ra VVAA .S . ABC.A BC   AB C .A BC AB C 1 1 2 2 1 1
Vậy bổ đề được chứng minh. * Giải bài toán:
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên BB và CC .
Theo giả thiết ta có AH  3 và AK  2 .
Ta thấy AHK là thiết diện của mặt phẳng vuông góc với cạnh bên và lăng trụ ABC.AB C   . 
Suy ra HK CC  AKH  60 . 20 2 2 2 
Theo định lý cosin trong tam giác AHK : AH AK HK  2AH.HK.cos AKH 2 0 2
HK  2.2.HK.cos 60  4  3  (HK 1)  0  HK  1.
Tam giác AHK có AH HK   2 2 2 2 2 2 3
1  2  AK AHK  vuông tại H .
Qua M dựng mặt phẳng song song với mặt phẳng  AHK  , cắt các cạnh bên AA , BB ,CC lần lượt tại N, , P Q . Suy ra NPQ AHK và (NP )
Q AA  MN AA .
Dễ thấy theo Talet thì M cũng là trung điểm PQ . 2 2  1  13
Xét tam giác NPM vuông tại P nên 2 2 NM
NP PM   3     .  2  2 1 1 1
Do AM   AB C
   AM MA    2 2 2 MN MA MA 2 2 1  2   1  3 39      MA  . 2     MA  13   13  13 3 2 2  39  2 39 Theo Pitago 2 2 AA  MA  MA   13     .  3  3   1 1 3 SAH.HK  . 3.1  . AHK 2 2 2 2 39 3 Theo bổ đề : VAA .S  .  13 .
ABC.AB C   AHK 3 2 Lời giải 2:
Qua M dựng mặt phẳng vuông góc với các cạnh của lăng trụ, cắt các cạnh bên AA ,
BB ,CC lần lượt tại N, , P Q .
Theo giả thiết ta có: NP  3, NQ  2 và 
NQP   ACC A    BCC B    ,  60 .
Tương tự lời giải 1, tính được PQ  1 và dẫn đến tam giác NPQ vuông tại P .
Mặt khác, do BB // CC  và M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của PQ . 21 13
Từ đó tính được MN  . 2 1 1 1
Do AM   AB C
   AM MA    2 2 2 MN MA MA 2 2 1  2   1  3 39      MA  . 2     MA  13   13  13 3
Ta lại có AA   NPQ, AM   A BC
  nên  AB C
   NPQ
  AAAM    , ,  AAM .   MN 1
cos AAM  cos AMN   . MA 2 1 . 3.1 S Do vậy NPQ 2 S    . ABC    3 1 cos A AM  2 39 Vậy VAM .S  . 3  13 . ABC. A BC   A BC   3
-------------- HẾT -------------- 22