Preview text:
ĐH KHTN Ôn tập Vi tích phân 1B
TÀI LIỆU ÔN TẬP VI TÍCH PHÂN 1B
(Bám sát cấu trúc đề thi 2024-2025) Ngày 7 tháng 1 năm 2026 ĐỀ ÔN TẬP SỐ 1
Câu 1. (1đ) Một khối cầu bằng băng đang tan chảy, bán kính r giảm dần. Thể tích khối cầu
được tính bởi V = 4 πr3. 3
a) Tìm tỉ lệ biến thiên trung bình của thể tích V theo bán kính r khi r thay đổi từ 3 cm xuống 1 cm.
b) Tại thời điểm bán kính r = 2 cm, nếu bán kính đang giảm với tốc độ 0.5 cm/phút, thì
thể tích khối cầu giảm với tốc độ bao nhiêu?
Câu 2. (1đ) Một sợi dây thép dài 100 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất uốn
thành một hình vuông có cạnh x. Đoạn thứ hai uốn thành một hình tròn có bán kính r. Để
tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất, hãy tìm tỉ số giữa cạnh hình vuông và bán kính hình tròn ( x ). r
Câu 3. (2đ) Cho hàm số f (x) = 1 . (x+1)2
a) Tính chính xác tích phân I = R 1 f (x)dx. 0
b) Xấp xỉ tích phân I bằng tổng Riemann M4 (quy tắc Trung điểm) với 4 đoạn chia đều.
c) Tìm K = maxx∈[0,1] |f ′′(x)|. Dùng công thức sai số |I − Mn| ≤ K(b−a)3 để tìm số đoạn 24n2
chia n tối thiểu sao cho sai số không quá 10−4. Câu 4. (2đ) √ √ a) Tìm nguyên hàm R
x ln x dx. Từ đó tính tích phân suy rộng R 1 x ln x dx (nếu hội tụ). 0
b) Tính tích phân suy rộng R ∞ ln x dx. 1 x3
Câu 5. (2đ) Cho hàm số f (x) = sin x.
a) Viết đa thức Taylor T3(x) của hàm số tại tâm a = π . 4
b) Dùng đa thức này để xấp xỉ sin(46◦) (đổi sang radian).
Câu 6. (2đ) Cho chuỗi lũy thừa P∞ (−1)n(x−2)n . n=1 n·2n
a) Tìm bán kính hội tụ R và tâm a.
b) Tìm miền hội tụ của chuỗi (xét cả hai đầu mút). 1 ĐỀ ÔN TẬP SỐ 2
Câu 1. (1đ) Một hồ chứa nước hình lập phương có cạnh x (mét).
a) Tìm tỉ lệ biến thiên trung bình của thể tích V theo cạnh x khi x tăng từ 2m đến 5m.
b) Tại thời điểm cạnh x = 4m, nếu mực nước dâng lên làm cạnh khối nước tăng với tốc độ
0.1 m/phút, hãy tính tốc độ tăng thể tích nước.
Câu 2. (1đ) Từ một sợi dây dài L, người ta cắt thành hai phần. Phần một uốn thành tam
giác đều cạnh a, phần hai uốn thành hình vuông cạnh x. Tìm tỉ số x để tổng diện tích hai a hình là nhỏ nhất.
Câu 3. (2đ) Cho hàm số f (x) = 1 trên đoạn [0, 1]. 2x+3
a) Tính giá trị chính xác của I = R 1 f (x)dx. 0
b) Tìm biểu thức đạo hàm cấp 2 f ′′(x) và tìm giá trị lớn nhất K của |f ′′(x)| trên [0, 1].
c) Với K tìm được, cần chia đoạn [0, 1] thành bao nhiêu phần (n) để sai số theo quy tắc
Trung điểm nhỏ hơn 10−5? Câu 4. (2đ)
a) Tính tích phân suy rộng R 1 x ln x dx. 0
b) Tính tích phân suy rộng R ∞ 1 dx. 1 x(x+1)
Câu 5. (2đ) Cho hàm số f (x) = e2x.
a) Tìm đa thức Maclaurin bậc 3 (T3) của f (x) (tâm a = 0).
b) Dùng T3 để xấp xỉ e0.2.
Câu 6. (2đ) Cho chuỗi lũy thừa P∞ n(x+1)n . n=1 3n
a) Dùng tiêu chuẩn Tỉ số để tìm bán kính hội tụ.
b) Khảo sát sự hội tụ tại các đầu mút để kết luận miền hội tụ. 2
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1
• Câu 1: a) 52π/3 ≈ 54.45. b) Giảm 8π cm3/phút.
• Câu 2: x = 2 (Cạnh hình vuông bằng đường kính hình tròn). r
• Câu 3: a) 0.5. b) M4 ≈ 0.498. c) n > 50, chọn n = 51. • Câu 4: a) −4. b) 1. 9 4 √ • Câu 5: a) T 2 3(x) =
[1 + (x − π ) − 1 (x − π )2 − 1 (x − π )3]. b) Thay x = π + π vào 2 4 2 4 6 4 4 180 công thức.
• Câu 6: a) R = 2, tâm a = 2. b) Miền hội tụ: (0, 4]. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2
• Câu 1: a) 39 m3/m. b) 4.8 m3/phút. • Câu 2: x = 1√ . a 3
• Câu 3: a) 1 ln 5. b) K = 8 . c) n ≥ 36. 2 3 27 • Câu 4: a) −1. b) ln 2. 4
• Câu 5: T3(x) = 1 + 2x + 2x2 + 4x3. Xấp xỉ e0.2 ≈ 1.221. 3
• Câu 6: a) R = 3. b) Miền hội tụ: (−4, 2). 3
