17 trang 21 lượt tải

Đề ôn tập Vecto trong không gian – góc giữa hai đường thẳng môn Toán 11

42

Đề ôn tập Vecto trong không gian – góc giữa hai đường thẳng môn Toán 11. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem.

Chủ đề: Đề thi Toán 11 287 tài liệu

Môn: Toán 11 3.7 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Thinh Le

1 tháng trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/17
VECTO TRONG KHÔNG GIAN – GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1: Cho bốn vectơ
, , ,a b c d
bất kỳ. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
ab
và
c d a c b d
B.
a b a b
C.
a c b d a d b c
D.
ab
và
c d a d c b
Câu 2: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Từ
3AB AC
ta suy ra
.
B. Từ
3AB AC
ta suy ra
2CB AC
.
C. Nếu
25AB AC AD
thì bốn điểm
, , ,A B C D
cùng thuộc một mặt phẳng.
D. Nếu
1
2
AB BC
thì B là trung điểm của đoạn AC.
Câu 3: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây.
A. Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có
SB SD SA SC
thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu
AB CD
.
C. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu
0AB BC CD DA
.
D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu
AB AC AD
.
Câu 4: Cho
3, 5ab
, góc giữa
a
và
b
bằng
120
. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
A.
7ab
B.
19ab
C.
29ab
D.
2 139ab
Câu 5: Cho tứ diện ABCD, O là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm của AD. Khẳng định nào
dưới đây đúng?
A.
1 1 1
3 3 6
OM AB AC AD
B.
2 1 1
3 3 6
OM AB AC AD
C.
1 1 1
3 3 6
OM AB AC AD
D.
1 1 1
3 3 6
OM AB AC AD
Câu 6: Cho 2 điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi
OM OB kBA
.
B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi
OM OB k OB OA
.
C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi
1OM kOA k OB
.
D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi
OM OA OB
.
Câu 7: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
có cạnh bằng a. Giá trị
.ABC A

bằng
A.
2
a
B.
2
2a
C.
2
2a
D.
2
a
Câu 8: Khẳng định nào sau đây sai?
A. Vì
0NM NP
nên N là trung điểm của đoạn MP.
B. Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điểm O bất kì ta có
1
2
OI OA OB
.
C. Từ hệ thức
28AB AC AD
ta suy ra ba vectơ
,,AB AC AD
đồng phẳng.
D. Vì
0AB BC CD DA
nên bốn điểm
, , ,A B C D
cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 9: Trong không gian cho ba điểm
,,A B C
bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2 2 2
1
.2
2
BABC BA BC AC
B.
2 2 2
1
.
2
BABC BA BC AC
C.
2 2 2
.BA BC BA BC AC
D.
2 2 2
.2BA BC BA BC AC
Câu 10: Cho tứ diện SABC. Đặt
,,SA a SB b SC c
. Gọi M là trung điểm của SA, N là điểm trên cạnh
BC sao cho
3NC NB
. Phân tích vectơ
MN
theo ba vectơ
,ab
và
c
ta được
A.
1 3 1
2 4 4
MN a b c
. B.
1 3 1
2 4 4
MN a b c
C.
1 3 1
2 4 4
MN a b c
D.
1 3 1
2 4 4
MN a b c
Câu 11: Cho tứ diện ABCD. Đặt
,,AB a AC b AD c
. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên
cạnh CD sao cho
2ND NC
. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MN. Biểu diễn vectơ
AO
theo ba vectơ
,ab
và
c
ta có
A.
1 1 1
4 3 3
AO a b c
B.
1 1 1
4 3 6
AO a b c
C.
1 1 1
4 4 4
AO a b c
D.
1 1 1
4 6 3
AO a b c
Câu 12: Trong không gian cho tam giác ABC. Tìm M sao cho giá trị của biểu thức
2 2 2
P MA MB MC
đạt giá trị nhỏ nhất.
A. M là trọng tâm tam giác ABC. B. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
C. M là trực tâm tam giác ABC. D. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Câu 13: Cho lăng trụ
.ABC A B C
. Đặt
,,a AA b AB c AC
.
Xét hai mệnh đề (I)
B C a b c
(II)
BC a b c
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Không có. D. Cả (I) và (II).
Câu 14: Cho lăng trụ
.ABC A B C
. Đặt
,,a AA b AB c AC
. Gọi
G
là trọng tâm của tam giác
ABC
. Vectơ
AG
bằng
A.
1
3
3
a b c
B.
1
3
3
abc
C.
1
3
3
a b c
D.
1
3
abc
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên và đáy đều bằng a và ABCD là hình vuông. Gọi
M là trung điểm của CD. Giá trị
.MS CB
bằng
A.
2
2
a
B.
2
2
a
C.
2
3
a
D.
2
2
2
a
Câu 16: Cho hình chóp S.ABC có
,,SA a SB b SC c
và các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, SC. Các điểm P, Q trên các đường thẳng SA, BN sao cho
//PQ CM
. Biểu diễn vectơ
PQ
theo ba vectơ
,,abc
được kết quả
A.
2 2 4
3 3 3
PQ a b c
B.
1 1 2
3 3 3
PQ a b c
C.
2 2 4
3 3 3
PQ a b c
D.
1 1 2
333
PQ a b c
Câu 17: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác
A BC
. Giá trị
2
AG
bằng
A.
2
a
B.
2
2
3
a
C.
2
3a
D.
2
3
a
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xét hai mệnh đề
(I). Nếu ABCD là hình bình hành thì
4SA SB SC SD SO
.
(II). Nếu
4S A SB SC SD SO
thì ABCD là hình bình hành.
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Không có. D. Cả (I) và (II).
Câu 19: Cho tứ diện S.ABC có
,2SA SB SC AB AC a BC a
. Tích vô hướng giữa
.SC AB
bằng
A.
2
2
a
B.
2
2
a
C.
2
a
D.
2
a
Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD. Xét hai mệnh đề
(I) Nếu ABCD là hình bình hành thì
SA SC SB SD
.
(II) Nếu
S A SC SB SD
thì ABCD là hình bình hành. Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Không có. D. Cả (I) và (II).
Câu 21: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Giá trị của
.AB EG
bằng
A.
2
a
B.
2
2a
C.
2
3a
D.
2
2
2
a
Câu 22: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
3AC a
B.
2
.AD AB a

C.
.0AB CD

D.
20AB B C CD D A
Câu 23: Cho lăng trụ tam giác
.ABC A B C
. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của
,BB A C
. Điểm M thuộc
cạnh
BC

sao cho
MB kMC

. Tìm k để bốn điểm
, , ,A I M K
đồng phẳng.
A.
1k 
B.
3
2
k 
C.
1
2
k 
D.
3k 
Câu 24: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Góc giữa cặp vectơ
AB
và
EG
bằng
A.
90
B.
60
C.
45
D.
120
Câu 25: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa
AO và CD bằng bao nhiêu?
A.
0
B.
30
C.
90
D.
60
Câu 26: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó
cos ,AB DM
bằng.
A.
2
2
B.
3
6
C.
1
2
D.
3
2
Câu 27: Cho hình hộp
.ABCD A B C D
có tất cả các mặt là hình thoi và các góc đỉnh A bằng
60
. Góc
giữa hai đường thẳng BD và
AC
bằng
A.
90
B.
30
C.
45
D.
60
Câu 28: Cho tứ diện ABCD có
3
, 60 ,
2
AC AD CAB DAB CD AD
. Gọi
là góc giữa AB và CD.
Chọn khẳng định đúng.
A.
3
cos
4
B.
60

C.
30

D.
1
cos
4
Câu 29: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
SA SC
B.
SA SB
C.
SA SD
D.
SA CD
Câu 30: Cho tứ diện ABCD có
AB AC AD
và
60BAC BAD
. Góc giữa cặp vectơ
AB
và
CD
bằng
A.
60
B.
45
C.
120
D.
90
Câu 31: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là điểm bất kỳ trên
đường thẳng AC. Số đo góc giữa hai đường thẳng BD, SM bằng
A.
90
B.
120
C.
60
D.
45
Câu 32: Cho tứ diện ABCD có
AB AC AD
và
60 , 90BAC BAD CAD
. Gọi I và J lần lượt là
trung điểm của AB và CD. Góc giữa cặp vectơ
AB
và
IJ
bằng
A.
120
B.
90
C.
60
D.
45
Câu 33: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Số đo giữa hai đường thẳng
BC và SA bằng
A.
45
B.
120
C.
90
D.
60
Câu 34: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh
,3a SA a
và vuông góc với mặt đáy. Gọi
M là trung điểm cạnh SB. Côsin góc giữa hai đường thẳng AM và SC bằng
A.
5
16
B.
11
16
C.
5
8
D.
3
8
Câu 35: Cho hình chóp S.ABC có
AB AC
và
SAC SAB
. Khi đó góc
,SA BC
bằng
A.
30
B.
45
C.
60
D.
90
Câu 36: Cho hình chóp S.ABC có
SA SB SC
và
ASB BSC CSA
. Góc
,SC AB
bằng
A.
120
B.
45
C.
60
D.
90
Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc
,MN SC
bằng
A.
45
B.
30
C.
90
D.
60
Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC
và BC. Số đo của góc
,IJ CD
bằng
A.
90
B.
45
C.
30
D.
60
Câu 39: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và
BC

. Côsin góc giữa hai đường thẳng MN và
BD

bằng
A.
10
10
B.
4
5
C.
3
5
D.
10
5
Câu 40: Cho hình lăng trụ đứng tam giác
.ABC A B C
có đáy ABC là tam giác cân
, 120AB AC a BAC
, cạnh bên
2AA a
. Góc giữa hai đường thẳng
AB
và BC bằng
A.
90
B.
30
C.
45
D.
60
Câu 41: Cho hình lăng trụ tam giác đều
.ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm các cạnh
,AB BC

. Côsin góc giữa hai đường thẳng MN và AC bằng
A.
1
3
B.
5
3
C.
2
3
D.
5
5
Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có
,,SA SB SC
đôi một vuông góc với nhau và
SA SB SC a
. Gọi
M là trung điểm của AB. Góc giữa hai đường thẳng SM và BC bằng
A.
30
B.
60
C.
90
D.
120
Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Các tam giác
,,SAB SAD SAC
là các tam
giác vuông tại A. Côsin góc giữa hai đường thẳng SC và BD bằng bao nhiêu, biết
3, , 3SA a AB a AD a
?
A.
1
2
B.
3
2
C.
2 130
65
D.
4 130
65
Câu 44: Cho hình lăng trụ tam giác đều
.ABC A B C
có tất cả các cạnh đều bằng a. Côsin giữa hai đường
thẳng
AC
và
BC

bằng
A.
2
2
B.
1
4
C.
3
4
D.
2
4
Câu 45: Cho hình lăng trụ tam giác
.ABC A B C
có đáy ABC là tam giác vuông tại
, , 3A AB a AC a
. Hình chiếu vuông góc của
A
lên mặt phẳng
ABC
là trung điểm H của
,3BC A H a
. Gọi
là góc giữa hai đường thẳng
AB
và
BC
. Tính
cos
.
A.
1
cos
2
B.
6
cos
4
C.
6
cos
8
D.
3
cos
2
Câu 46: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD biết
3
,
2
a
AB CD a MN
.
Côsin góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
A.
3
2
B.
2
2
C.
1
4
D.
1
2
Câu 47: Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB vuông cân tại S, có
SA a
, tam giác ABC vuông cân tại
C và
60BSC 
. Gọi M là trung điểm của SB. Côsin góc giữa hai đường thẳng AB và CM bằng
A.
6
6
B.
30
6
C.
6
3
D.
3
3
Tài liệu chuyên Toán
Hình Học 11
HKII
GV: Nguyễn Hoài Phúc
- 1 -
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
3. Hai mặt phẳng vuông góc
a) Góc giữa hai mặt phẳng
ĐỊNH NGHĨA 1. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường
thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Chú ý. Nếu gọi
n
và
'n

lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của hai mặt
phẳng và kí hiệu
là góc giữa hai mặt phẳng đó thì ta có công thức:
. '
cos cos , '
. '
n n
n n
n n
Suy ra
0 0
0 90
.
Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q).
* Nếu
/ /
P Q
hoặc
P Q
thì góc giữa (P) và (Q) là
0
0
.
* Khi (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến
, ta làm như sau:
+ Lấy
R
+ Gọi
R P p
;
R Q q
+ Góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa p và q.
Chú ý. Trong thực hành để tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)
khi chúng cắt nhau, ta làm như sau:
Xét một mặt phẳng
( ) ,
R
với
( ) ( ).P Q
Giả sử
( ) ( ) , ( ) ( ) .R P p R Q q
Khi đó đi tính
góc giữa p và q.
Nếu gọi
là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì
>
’ với
’ là góc giữa đường thẳng bất kì thuộc (Q) với (P). Thật vậy:
' '
tan , tan ' .
' '
AA AA
A B A C
Mặt khác A’B < A’C, từ đó
tan tan '
hay
>
’.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có
SA ABC
.Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Chứng minh rằng
.cos
ABC SBC
S S
, trong đó kí hiệu
ABC
S
là điện tích tam giác ABC.
Giải.
Kẻ đường cao
1
AA
của tam giác ABC.
Do
( )SA A BC
nên
1
.SA BC
Từ đó ta có
1
SA A
.
Ta có
1 1 1 1
1 1
cos . cos .
2 2
AA SA AA BC SA BC
.cos
ABC SBC
S S
.
Công thức tính diện tích hình chiếu của một đa giác
ĐỊNH LÍ 1. Giả sử S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (P) và S’ là diện tích hình chiếu H’ của H
trên mặt phẳng (P’) thì
’ .
S S cos
, trong đó
là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P’).
Tài liệu chuyên Toán
Hình Học 11
HKII
GV: Nguyễn Hoài Phúc
- 2 -
Chứng minh.
Khi (P) song song hoặc trùng với (P’), định lí trên hiển
nhiên đúng.
Xét trường hợp (P) và (P’) cắt nhau.
Trường hợp 1. H là tam giác ABC.
+ Khi tam giác ABC có một cạnh nằm trong (P’), theo ví
dụ 1, ta có điều phải chứng minh.
+ Khi tam giác ABC có một cạnh, chẳng hạn AC // (P) mà
( )AC P
, dễ dàng suy ra kết quả.
+ Khi tam giác ABC không có cạnh nào nằm trên mặt phẳng chiếu hoặc song song với mặt
phẳng chiếu: Qua đỉnh C vẽ đường thẳng song song với giao tuyến
của (ABC) và (A’B’C’) cắt AB
tại D. Vẽ qua CD mặt phẳng song song với (P’). Do đó, hình chiếu của tam giác ABC trên (P’) được
quy về hình chiếu của hai tam giác BCD, ADC trên mặt phẳng song song với (P’) mà điều kiện của
trường hợp trên được thực hiện, tức là
' ' ' ' ' '
.cos , .cos .
B C D BCD C D A CDA
S S S S
Từ đó suy ra
' ' '
.cos
A B C ABC
S S
.
Trường hợp 2. Giả sử hình đem chiếu là đa giác bất kỳ
1 2
... .
n
A A A
Có thể chia đa giác đó thành các tam
giác, chẳng hạn
1 2 3 1 3 4 1 1
, ,..., ,
n n
A A A A A A A A A
mà đối với mỗi tam giác định lí đã được chứng minh ở
trường hợp 1, tức là
1 2 3 1 2 3
' ' '
.cos
A A A A A A
S S
,
1 1 1 1
' ' '
.cos
n n n n
A A A A A A
S S
. Vì thế
1 2 1 2
' ' ... ' ...
.cos .
n n
A A A A A A
S S
ĐỊNH LÍ 2. Diện tích hình chiếu của một hình phẳng bất kỳ bằng diện tích của hình đem chiếu nhân với cosin
của góc giữa mặt phẳng chứa hình đem chiếu và mặt phẳng chiếu.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có AB= 3a, đường cao CH = a và AH = a nằm trong mp(P). Trên các đường
thẳng vuông góc với (P) kẻ từ A, B, C lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ nằm về một phía của (P) sao cho
AA’ = 3a, BB’=2a, CC’ = a. Tính diện tích tam giác A’B’C’.
Giải. Ta có
2
3
.
2
ABC
a
S
Vì
, ,
CH AB CH a AH a
nên
2, 45 .
AC a BAC
Gọi
'
I BB BC
. Do
1
' '
2
CC BB
nên BC = CI.
Gọi
' '
J A C AC
. DO
1
' '
3
CC AA
nên
1 2
.
2 2
a
CJ AC
Xét tam giác BCH ta có
2 2 2
5.
BC BH CH BC a
Mặt khác,
2 2 2
2 . cosAB CA C B CA CB C
1 1
cos cos
10 10
C ICJ
Xét tam giác ICJ, ta có
2
2 2 2
26
2 . .cos .
4
a
IJ CI CJ CI CJ ICJ
Kẻ đường cao CK của tam giác ICK, do
' ( )CC ICJ
nên
'
C K IJ
.
Vậy
'C KC
chính là góc giữa (ABC) và (A’B’C’).
Đặt
'C KC
thì
' ' '
cos (1)
ABC A B C
S S
Dễ thấy
2
1 3
.
2 4
ICJ ABC
a
S S
Mặt khác,
1 3
. .
2
26
CIJ
a
S IJ CK CK
Xét tam giác
'C CK
ta có
26
tan .
3
3
26
a
a
Tài liệu chuyên Toán
Hình Học 11
HKII
GV: Nguyễn Hoài Phúc
- 3 -
Vậy
cos
được định nghĩa
2
2
1
1 tan
cos
và như vậy
3
cos .
35
(2)
Từ (1), (2) suy ra
2
2
' ' '
3
35
2
.
3
cos 2
35
ABC
A B C
a
S
S a
Cách 2.
' ' ' ' ' , ' ' ' ' 'A B A A AB BB AB C C A C A A AC CC AC B B
2 2 2 2 2 2 2 2
' ' ' 10 , ' ' ' 6A B AB C C a A C AC B B a
2
' '. ' ' . ' . ' 5A B A C AB A C C C B B a

2
2
2 2 2
' ' '
1 35
10 .6 5 .
2 2
A B C
a
S a a a
b) Hai mặt phẳng vuông góc
ĐỊNH NGHĨA 2. Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng
0
9 0
.
Kí hiệu:
Nhận xét:
'n n
với
, 'n n
lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của
và
.
Ví dụ 3. Cho hình tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc.
1) Chứng minh rằng các mp(ABC), (ACD), (ABD) đôi một vuông góc.
2) Gọi
, ,
lần lượt là góc giữa mp(BCD) và các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC). Chứng minh
rằng
2 2 2
cos cos cos 1
.
Giải.
1) Ta có
, ( ).BA AC BA AD BA AC D
Mặt khác
( ) ( )BA ABC ABD
nên góc giữa AC và AD bằng góc giữa
(ABC) và (ABD).
Vì
AC AD
nên góc giữa AC và AD bằng
90 , ( ) ( ).ABC ABD
Tương tự, ta có:
( ) ( ), ( ) ( ).ABC ABD ACD ABD
2) Kẻ đường cao AH của tam giác ACD. Do
( ) .AB ACD BH CD AHB
Kí hiệu AB = b, AC = c, AD = d thì
tan ,
b
AH
mà
2 2
2 2 2
1 1 1
b c d
tan
AH c d cd
.
Mặt khác,
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
1
1 tan cos .
cos
c d
b c c d d b
Tương tự,
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos ,cos
b d b c
b c c d d b b c c d d b
Từ đó suy ra
2 2 2
cos cos cos 1
.
Tài liệu chuyên Toán
Hình Học 11
HKII
GV: Nguyễn Hoài Phúc
- 4 -
Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc
Định lí 3. Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt
phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
a
a
Chứng minh. Giả sử (P) là mặt phẳng chứa a mà
( ).a Q
Gọi
( ) ( ) ( ).H a Q H P Q
Trong (Q) kẻ b đi qua H và vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q).
Khi đó góc giữa a và b chính là góc giữa (P) và (Q).
Mặt khác,
( ) .a Q a b
Từ đó
( ) ( ).P Q
Định lí 4. Nếu hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong mặt
phẳng
mà vuông góc với giao tuyến của
và
đều vuông góc với mặt phẳng
.
c
a
a
a b
Chứng minh. Gọi
( ) ( ).c P Q
Gọi
.H a c
Trong (Q) kẻ đường thẳng
b c
và b đi qua H.
Khi đó góc giữa a và b chính là góc giữa (P) và (Q).
Do
( ) ( )P Q
nên
.a b
Từ đó suy ra
( )a Q
.
Nhận xét chung: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là một trong hai mặt
phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình vuông.
Tìm những mặt phẳng chứa các mặt của hình chóp vuông góc với nhau.
Giải. Vì
( )SA ABC D
nên các mặt phẳng đi qua SA đều vuông góc với (ABCD).
Từ đó suy ra
( ) ( ), ( ) ( ).SAB ABCD SAD ABCD
Do ABCD là hình vuông nên
.CB AB
Mặt khác
( )SA ABCD
nên
CB SA
.
Vậy
( ).CB SAB
Vậy mọi mặt phẳng chứa BC đều vuông góc (SAB), tức là
( ) ( ).SBC SAB
Tương tự, ta cũng có
( ) ( ).SCD SAD
* Các hệ quả
Hệ quả 1. Nếu hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau
và A là điểm thuộc
thì đường thẳng a đi qua A và vuông góc
với
sẽ nằm trong
.
,
A a
a A a
Tài liệu chuyên Toán
Hình Học 11
HKII
GV: Nguyễn Hoài Phúc
- 5 -
Hệ quả 2. Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng
vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
d
d
Chứng minh. Giả sử
( ) ( )P R
và
( ) ( ).Q R
Khi đó (P) chứa
đường thẳng a vuông góc với (R)và (Q) chứa đường thẳng b
vuông góc với (R). Từ đó suy ra a // b. Nếu (P) cắt (Q) theo giao tuyến c thì c // a, từ đó c
(R).
Hệ quả 3. Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng
có duy nhất một mặt phẳng
vuông
góc với
.
Chứng minh. Lấy
A a
, kẻ đường thẳng b đi qua A, vuông
góc với (Q).
Khi đó mp (a,b) chứa đường thẳng b vuông góc với (Q) nên
mp(a,b)
(Q).
Vậy
( ) ( , )P mp a b
.
Tính duy nhất của (P) suy ra từ hệ quả 2.
c) Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương
ĐỊNH NGHĨA 3. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
ĐỊNH NGHĨA 4. Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
ĐỊNH NGHĨA 5. Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
ĐỊNH NGHĨA 6. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
ĐỊNH NGHĨA 7. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
Tài liệu chuyên Toán
Hình Học 11
HKII
GV: Nguyễn Hoài Phúc
- 6 -
Ví dụ 5. Tính độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật khi biết độ dài ba cạnh xuất phát từ một định là
a, b, c (a, b, c gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật).
Giải. Từ
' 'AC AB AD AA
   
và
. . ' . ' 0
A B A D A B A A A D A A
ta có
2
2 2 2
'
AC a b c
hay
2 2 2
' .AC a b c
Tương tự các đường chéo còn lại cũng bằng
2 2 2
a b c
.
d) Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
ĐỊNH NGHĨA 8. Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các cạnh
bên bằng nhau.
Chú ý. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường
cao của hình chóp.
ĐỊNH NGHĨA 9. Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với
đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp
cụt đều.
Chú ý. Đoạn nối tâm của hai đáy được gọi là đường cao hình chóp cụt đều.
Ví dụ 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a,
BC b
, CC’ = c. Nếu có
2 2 2
' ' '
A C BD B D a b c
thì hình hộp đó có phải là hình hộp chữ nhật không? Vì sao?
Giải.
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên
2 2 2 2 2 2 2
' ' ' ' 4 4 4AC A C BD B D a b c
Mặt khác,
2 2 2
' ' '
AC BD B D a b c
nên
2 2 2
' .A C a b c
Như vậy bốn đường chéo của hình hộp bằng nhau.
Ta lại có ACC’A’ là hình bình hành mà AC’ = A’C nên ACC’A’ là hình chữ nhật, từ đó
' .AA AC
Tương tự ta có
'BB BD
mà BB’ // AA’, vậy AA’
(ABCD).
Tương tự ta có AB
(ADD’A’).
Do đó ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật.
Ví dụ 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
1) Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’).
2) Cắt hình lập phương đó bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Xác định thiết diện thu được. Thiết
diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện.
Giải.
1) Ta có
' 'AC A B AD A A
   
và
BD AD AB
  
Vậy
'. ' 0
AC BD AB AD AA AD AB
      
tức là
'
AC BD
.
Tương tự ta có AC’
B’A. Vậy AC’
(A’BD).
Mặt khác, (CB’D’) // (A’BD) nên AC’
(CB’D’).
2) Gọi M là trung điểm BC thì MA = MC’ (vì cùng bằng
5
2
a
) nên M
thuộc mặt phẳng trung trực của AC’.
Tài liệu chuyên Toán
Hình Học 11
HKII
GV: Nguyễn Hoài Phúc
- 7 -
Tương tự, nếu gọi N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của
CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B thì các điểm đó cũng thuộc mặt phẳng
trung trực của AC’.
Từ đó thiết diện thu được là MNPQRS.
Nếu gọi O là tâm hình lập phương thì dễ thấy các cạnh của
tam giác OMN song song với các cạnh của tam giác A’BD. Mà tam
giác A’BD đều cạnh
2a
nên tam giác OMN đều cạnh bằng
2
.
2
a
Tương tự như vậy đối với các tam giác ONP, OPQ, OQR, ORS,
OSM.
Vậy MNPQRS là hình lục giác đều có cạnh bằng
2
.
2
a
Từ đó diện tích S của thiết diện là
2
2
2 3 3 3
6 . .
2 4 4
a
S a
Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = a, các cạnh còn lại bằng x.
1) Chứng minh rằng mp(SAC) vuông góc với hai mặt phẳng (ABCD) và (SBD).
2) Tính đường cao hình chóp S.ABCD theo a và x.
3) Tìm sự liên hệ giữa a và x để S.ABCD là hình chóp đều.
Giải.
1) Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Vì ABCD có các cạnh bằng x nên ABCD là hình thoi, từ đó
BD AC
và O là trung điểm của
BD.
Mặt khác SB = SD = x nên SO
BD.
Suy ra BD
(SAC), do đó mọi mặt phẳng chứa BD đều vuông góc với (SAC), nghĩa là (SBD)
và (ABCD) đều vuông góc với (SAC).
2) Vì (SAC)
(ABCD) theo giao tuyến AC nên kẻ đường cao SH của tam giác SAC thì SH
(ABCD).
Do đó SH là đường cao của hình chóp S.ABCD.
Từ giả thiết các cạnh còn lại của hình chóp có độ dài bằng
x nên tam giác SBD, ABD, CBD là các tam giác cân chung cạnh
BD. Do đó SO = AO = OC.
Suy ra tam giác SAC vuông tại S. Từ đó SH. AC = SA.SC
2 2
.
ax
SH
a x
3) Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều thì điều kiện cần là các
cạnh bên bằng nhau, tức là a = x.
Khi đó
2AC a
, mà ABCD là hình thoi cạnh a, do đó ABCD là hình vuông.
Vậy S.ABCD là hình chóp đều.
Như vậy S.ABCD là hình chóp đều điều kiện cần và đủ là a = x’ Lúc đó chân đường cao của
hình chóp là O.
Ví dụ 9. Cạnh huyền của tam giác vuông ABC nằm trên mặt phẳng (P) và các cạnh góc vuông tạo với
mp(P) hai góc
,
. Tính góc giữa mặt phẳng chứ tam giác ABC và mặt phẳng (P).
Tìm sự liên hệ giữa
,
để mặt phẳng (ABC) vuông góc với mp(P).
Giải. Giả sử ABC là tam giác vuông tại C.
Tài liệu chuyên Toán
Hình Học 11
HKII
GV: Nguyễn Hoài Phúc
- 8 -
Kẻ CH
AB. Khi đó HK
AB và
CHK
là góc giữa (ABC) và (P);
,
CBH CAH
lần lượt là góc tạo bởi hai
cạnh góc vuông với (P).
Theo giả thiết, ta có
, .
CAH CBH
Đặt CH = h thì
,
sin sin
h h
CA CB
và
2 2 2 2
2 2
1 1
sin sin
AB CA CB h
2 2
sin sin
.
sin .sin
AB h
.
Xét tam giác ABC ta có AB.CK=CA.CB, từ đó
2 2
.
.
sin sin
CA CB h
CK
AB
.
Xét tam giác vuông CHK ta có
2 2
sin sin sin 1 cos( ) cos( ).
CH
CKH
CK
(*)
Vậy góc giữa (ABC) và (P) được tính bởi hệ thức (*).
Ví dụ 10. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh cùng bằng a. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm các cạnh AA’, BB’, CC’.
1) Xác định thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mp(MNP).
2) Tính diện tích thiết diện.
Giải.
1) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của đường thẳng MN với A’C’ và CC’.
Gọi R là giao điểm của EP và B’C’, gọi Q là giao điểm của FR và BC.
Khi đó thiết diện thu được là ngũ giác MNQRP.
2) Dễ thấy
3
' ' .
2 2 2
a a a
A E C F CF
Xét tam giác A’EP có A’E = A’P và
' 120
EA P
nên
' 30
A EP
. Từ đó
'ERC
vuông tại R.
Do FC’
(A’B’C’) nên RF
ER.
Ta có
3
'
4
a
RC
,từ đó
.
4
a
QC
Xét phép chiếu lên mặt phẳng (A’B’C’) thì thiết diện MNQRP có
hình chiếu là A’N’Q’RP.
Vậy
' ' '
.cos '
A N Q RP MNQRP
S S FRC
Đặt
'
FRC
Ta có
2
2
1 5
tan 2 1 tan cos
1
cos 5
2
a
a
' ' ' ' ' ' ' ' ' 'A N Q RP A B C N C Q PB R
S S S S
Ta có
2 2 2
' ' ' ' ' ' '
3 3 3
, ,
4 32 32
A B C N C Q PB R
a a a
S S S
Từ đó
2
' ' '
3 3
.
16
A N Q RP
a
S
Vậy
2 2
3 3 3 15
. 5 .
16 16
MNQRP
a a
S
Tài liệu chuyên Toán
Hình Học 11
HKII
GV: Nguyễn Hoài Phúc
- 9 -
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Câu 1: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông
ABCD
cạnh
a
;
SA ABCD
và
SA a
. Khi
đó tan
góc giữa hai mặt phẳng
ABCD
và
SBD
bằng:
A.
tan 2
B.
2
tan
2
C.
1
tan
2
D.
tan 3
Câu 2: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
a
;
SA ABCD
và
SA a
. Tính góc
giữa hai mặt phẳng
SBC
và
SDC
?
A.
2
3
. B.
6
. C.
4
. D.
3
.
Câu 3: Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
A. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên
mặt phẳng đã cho.
B. Góc giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
P
bằng góc giữa đường thẳng
b
và mặt phẳng
P
khi
a
và
b
song song (hoặc
a
trùng với
b
).
C. Góc giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
P
bằng góc giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
Q
thì mặt phẳng
P
song song với mặt phẳng
Q
.
D. Góc giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
P
bằng góc giữa đường thẳng
b
và mặt phẳng
P
thì
a
và
b
song song.
Câu 4: Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
A. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
B. Góc giữa mặt phẳng
P
và mặt phẳng
Q
bằng góc giữa mặt phẳng
P
và mặt phẳng
R
khi mặt phẳng
R
song song với mặt phẳng
Q
(hoặc
R
trùng với
Q
).
C. Góc giữa mặt phẳng
P
và mặt phẳng
Q
bằng góc giữa mặt phẳng
P
và mặt phẳng
R
thì mặt phẳng
R
song song với mặt phẳng
Q
.
D. Cả ba mệnh đề trên đều đúng.
Câu 5: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, đường thẳng
SA
vuông góc với mặt phẳng
đáy,
SA a
. Góc giữa mặt phẳng
SCD
và mặt phẳng
ABCD
là
. Khi đó
tan
nhận giá
trị nào trong các giá trị sau:
A.
2
tan
2
. B.
tan 1
C.
tan 2
. D.
tan 3
.
Câu 6: Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
. Xét mặt phẳng
A BD
, trong các mệnh đề sau, mệnh đề
nào đúng?
A. Góc giữa mặt phẳng
A BD
và các mặt phẳng chứa các mặt bên của hình lập phương bằng nhau.
B. Góc giữa mặt phẳng
A BD
và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng nhau.
C. Góc giữa mặt phẳng
A BD
và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng
mà
1
tan
2
.
D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.
Câu 7: Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' 'ABCD A B C D
. Góc giữa hai mặt phẳng
'
A DC
và
ABCD
là góc:
A.
'A CA
B.
'A DA
C.
'BC
A
D.
'DAA
Câu 8: Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có
' 3 , , 3AA a AB a AD a
. Số đo góc giữa hai
mặt phẳng
' '
A B CD
và
ABCD
bằng:
Tài liệu chuyên Toán
Hình Học 11
HKII
GV: Nguyễn Hoài Phúc
- 10 -
A.
0
55
B.
0
45
C.
0
60
D.
0
30
Câu 9: Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
SA a
và
SA ABC
,
AB BC a
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
SAC
và
SBC
.
A.
45
. B.
30
. C.
60
. D.
90
.
Câu 10: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông và
SA ABCD
, gọi
O
là tâm hình
vuông
ABCD
. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng
SBC
và
ABCD
là góc
ABS
.
B. Góc giữa hai mặt phẳng
SBD
và
ABCD
là góc
SOA
.
C. Góc giữa hai mặt phẳng
SAD
và
ABCD
là góc
SDA
. D.
SAC SBD
.
Câu 11: Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
. Góc giữa hai mặt phẳng
' 'A BCD
và
' 'ADC B
bằng bao nhiêu?
A.
45
. B.
90
. C.
60
. D.
120
.
Câu 12: Cho hình lăng trụ tứ giác đều
.
ABCD A B C D
có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa hai mặt phẳng
ABCD
và
ABC
có số đo bằng
60
. Cạnh bên của hình lăng trụ bằng:
A.
3a
B.
3a
C.
2a
D.
2a
Câu 13: Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác cân với
AB AC a
, góc
120
BAC
và cạnh bên
'BB a
. Tính
cosin
giữa hai mặt phẳng
ABC
và
'AB I
, với
I
là
trung điểm
'CC
?
A.
30
8
B.
30
10
C.
10
4
. D.
3
2
.
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAD nằm trong vuông góc với đáy
và là tam giác cân tại S, có diện tich bằng a
2
. Hai mặt bên (SAD) và (SBC) hợp với nhau một góc 30
0
.
Tính diện tích tam giác SBC.
A.
2
2a
B.
2
2 3
3
a
C.
2
3
3
a
D.
2
2 3
a
Câu 15: Cho hình chóp S.MNP có đáy là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên SM vuông góc với đáy, SM = a. Hai
mặt bên (SMP) và (SNP) hợp với nhau một góc 30
0
. Tính diện tích tam giác SNP.
A.
2
3
3
a
B.
2
3
4
a
C.
2
3
6
a
D.
2
3
2
a
Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' 'ABCD A B C D
. Mặt phẳng
hợp với mặt phẳng đáy một góc có số
đo
0
45
và lần lượt cắt các cạnh bên của hình hộp tại
, , ,M N P Q
. Độ dài các cạnh đáy của hình hộp
lần lượt là
a
và
2
a
. Diện tích thiết diện tạo bởi hình hộp và mặt phẳng
là:
A.
2
2a
B.
2
2
4
a
C.
2
4
a
D.
2
2a
Câu 17: Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
cạnh
a
. Thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt
phẳng
' 'ADC B
là hình gì?
A. Hình vuông. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình thoi.
Câu 18: Cho hai mặt phẳng
( ), (Q)
P
vuông góc với nhau. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau là?
 Góc giữa hai mặt phẳng là
90 .
o
 Mọi đường thẳng trong
( )P
đều vuông góc với
( ).Q
 Tồn tại đường thẳng trong
( )Q
vuông góc với
( ).P
Tài liệu chuyên Toán
Hình Học 11
HKII
GV: Nguyễn Hoài Phúc
- 11 -
 Nếu
( )R
vuông góc với
( )Q
thì
( )R
song song với
( ).P
 Nếu mặt phẳng
( )R
vuông góc với
( )P
,
( )R
vuông góc với
( )Q
thì
( )R
vuông góc với giao tuyến
của
( )P
và
( ).Q
A.
3
. B.
4
. C.
1.
D.
5.
Câu 19: Cho hình chóp tứ giác
.
S ABCD
có đáy là hình vuông và có một mặt bên vuông góc với đáy. Xét
bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên và mặt phẳng chứa mặt đáy. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào
đúng?
A. Có hai cặp mặt phẳng vuông góc nhau. B. Có ba cặp mặt phẳng vuông góc nhau.
C. Có bốn cặp mặt phẳng vuông góc nhau. D. Có năm cặp mặt phẳng vuông góc nhau.
Câu 20: Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
,
SA
vuông góc với đáy. Gọi
, H K
lần lượt là hình chiếu của
A
trên
SB
,
SC
và
I
là giao điểm của
HK
với mặt phẳng
ABC
.
Khẳng định nào sau đây sai?
A.
.BC AH
B.
.AHK SBC
C.
.SC AI
D. Tam giác
IAC
đều.
Câu 21: Cho tứ diện ABCD có AB
(BCD). Trong tam giác BCD vẽ các đường cao BE và DF. Trong tam giác
ACD vẽ DK
AC. Chọn đáp án sai.
A.
( ) ( )ADC ABE
. B.
( ) ( )ADC DFK
. C.
( ) ( )ADC ABC
. D.
( ) ( )BDC ABE
.
Câu 22: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng ( ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC). Gọi BE và DF là
hai đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác ACD. Chọn khẳng định sai trong
các khẳng định sau?
A.
( ) ( )ABE ADC
. B.
( ) ( )ABD ADC
. C.
( ) ( )ABC DFK
. D.
( ) ( )DFK ADC
.
Câu 23: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hình hộp có bốn mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
B. Nếu hình hộp có ba mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
C. Nếu hình hộp có hai mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
D. Nếu hình hộp có năm mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
Câu 24: Cho hình lăng trụ
.
ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình thoi. Các cạnh bên vuông góc với đáy.
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình chữ nhật
B. Mặt
' 'BB D D
và
' 'BB C C
vuông góc với nhau.
C. Hai mặt bên
AA C
và
BB D
vuông góc với hai đáy
D. Hai hai mặt bên
AA B B
và
AA D D
bằng nhau.
Câu 25: Trong lăng trụ đều, khẳng định nào sau đây sai?
A. Đáy là đa giác đều.
B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
C. Các cạnh bên là những đường cao. D. Các mặt bên là những hình bình hành.
Câu 26: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lăng trụ tam giác có hai mặt bên là hình chữ nhật là hình lăng trụ đứng.
B. Hình chóp có đáy là đa giác đều và có các cạnh bên bằng nhau là hình chóp đều
C. Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều là hình lăng trụ đều
D. Hình lăng trụ có đáy là đa giác đều là hình lăng trụ đều.
Câu 27: Hình hộp
.
ABCD A B C D
trở thành hình lăng trụ tứ giác đều khi phải thêm các điều kiện nào sau
đây?
A. Tất cả các cạnh đáy bằng nhau và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
B. Cạnh bên bằng cạnh đáy và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
C. Có một mặt bên vuông góc với mặt đáy và đáy là hình vuông.
D. Các mặt bên là hình chữ nhật và mặt đáy là hình vuông.
Câu 28: Xét các mệnh đề sau:
(I) Hình hộp là hình lăng trụ đứng. (II) Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng.
(III) Hình lập phương là hình lăng trụ đứng. (IV) Hình lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
Tài liệu chuyên Toán
Hình Học 11
HKII
GV: Nguyễn Hoài Phúc
- 12 -
A.
4
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Câu 29: Hình lập phương có mấy mặt phẳng đối xứng?
A. 5. B. 4. C. 9. D. vô số.
Câu 30: Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau.
B. Hình chóp đều có các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
C. Hình chóp đều có các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
D. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều.

Tài liệu khác của Toán 11

Preview text:

VECTO TRONG KHÔNG GIAN – GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Câu 1:
Cho bốn vectơ a, b, c, d bất kỳ. Khẳng định nào sau đây sai?
A. a b và c d a c b d
B. a b a b
C. a c b d a d b c
D. a b  và c d
  a d c b Câu 2:
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Từ AB  3AC ta suy ra BA  3  CA. B. Từ AB  3
AC ta suy ra CB  2AC .
C. Nếu AB  2
AC  5AD thì bốn điểm , A ,
B C, D cùng thuộc một mặt phẳng. 1
D. Nếu AB  
BC thì B là trung điểm của đoạn AC. 2 Câu 3:
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây.
A. Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có SB SD SA SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB CD .
C. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB BC CD DA  0 .
D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB AC AD . Câu 4:
Cho a  3, b  5 , góc giữa a và b bằng 120 . Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
A. a b  7
B. a b  19
C. a  2b  9
D. a  2b  139 Câu 5:
Cho tứ diện ABCD, O là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm của AD. Khẳng định nào dưới đây đúng? 1 1 1 2 1 1 A. OM AB AC AD B. OM   AB AC AD 3 3 6 3 3 6 1 1 1 1 1 1
C. OM   AB AC AD D. OM AB AC AD 3 3 6 3 3 6 Câu 6:
Cho 2 điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM OB k BA .
B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM OB k OB OA .
C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM kOA  1 k OB .
D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM OA OB . Câu 7:
Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  có cạnh bằng a. Giá trị A . B C A   bằng A. 2 a B. 2 a 2 C. 2 a 2 D. 2 a Câu 8:
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Vì NM NP  0 nên N là trung điểm của đoạn MP. 1
B. Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điểm O bất kì ta có OI
OAOB. 2
C. Từ hệ thức AB  2AC 8AD ta suy ra ba vectơ AB, AC, AD đồng phẳng.
D. Vì AB BC CD DA  0 nên bốn điểm , A ,
B C, D cùng thuộc một mặt phẳng. Câu 9:
Trong không gian cho ba điểm , A ,
B C bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 A. B . A BC   2 2 2
BA BC  2AC B. B . A BC   2 2 2
BA BC AC 2 2 C. 2 2 2 B .
A BC BA BC AC D. 2 2 2 B .
A BC BA BC  2AC
Câu 10: Cho tứ diện SABC. Đặt SA a, SB b, SC c . Gọi M là trung điểm của SA, N là điểm trên cạnh
BC sao cho NC  3NB . Phân tích vectơ MN theo ba vectơ a, b và c ta được 1 3 1 1 3 1
A. MN   a b c . B. MN a b c 2 4 4 2 4 4 1 3 1 1 3 1
C. MN   a b c D. MN a b c 2 4 4 2 4 4
Câu 11: Cho tứ diện ABCD. Đặt AB a, AC b, AD c . Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên
cạnh CD sao cho ND  2NC . Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MN. Biểu diễn vectơ AO
theo ba vectơ a, b và c ta có 1 1 1 1 1 1 A. AO
a b c B. AO a b c 4 3 3 4 3 6 1 1 1 1 1 1 C. AO a b
c D. AO a b c 4 4 4 4 6 3
Câu 12: Trong không gian cho tam giác ABC. Tìm M sao cho giá trị của biểu thức 2 2 2
P MA MB MC
đạt giá trị nhỏ nhất.
A. M là trọng tâm tam giác ABC.
B. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
C. M là trực tâm tam giác ABC.
D. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Câu 13: Cho lăng trụ AB . C A BC
 . Đặt a AA ,b AB,c AC .
Xét hai mệnh đề (I) B C
  a b c (II) BC  a b c Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Không có. D. Cả (I) và (II).
Câu 14: Cho lăng trụ AB . C A BC
 . Đặt a AA ,b AB,c AC . Gọi G là trọng tâm của tam giác A BC
  . Vectơ AG bằng 1 1 1 1
A. a  3b c
B. 3a b c
C. a b  3c
D. a b c 3 3 3 3
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên và đáy đều bằng a và ABCD là hình vuông. Gọi
M là trung điểm của CD. Giá trị MS.CB bằng 2 a 2 a 2 a 2 2a A. B. C. D. 2 2 3 2
Câu 16: Cho hình chóp S.ABC có SA a, SB b, SC c và các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, SC. Các điểm P, Q trên các đường thẳng SA, BN sao cho PQ / /CM . Biểu diễn vectơ
PQ theo ba vectơ a, b, c được kết quả 2 2 4 1 1 2
A. PQ   a b c B. PQ a b c 3 3 3 3 3 3 2 2 4 1 1 2 C. PQ a b
c D. PQ   a b c 3 3 3 3 3 3
Câu 17: Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác A BC . Giá trị 2 AG bằng 2 2a 2 a A. 2 a B. C. 2 3a D. 3 3
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xét hai mệnh đề
(I). Nếu ABCD là hình bình hành thì SA SB SC SD  4SO .
(II). Nếu SA SB SC SD  4SO thì ABCD là hình bình hành. Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Không có. D. Cả (I) và (II).
Câu 19: Cho tứ diện S.ABC có SA SB SC AB AC a, BC a 2 . Tích vô hướng giữa SC.AB bằng 2 a 2 a A. B. C. 2 a D. 2 a 2 2
Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD. Xét hai mệnh đề
(I) Nếu ABCD là hình bình hành thì SA SC SB SD .
(II) Nếu SA SC SB SD thì ABCD là hình bình hành. Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Không có. D. Cả (I) và (II).
Câu 21: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Giá trị của A . B EG bằng 2 a 2 A. 2 a B. 2 a 2 C. 2 a 3 D. 2
Câu 22: Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai?
A. AC  a 3 B. 2
AD .AB  a
C. AB .CD  0
D. 2AB B C
  CD D A    0
Câu 23: Cho lăng trụ tam giác AB . C A BC
 . Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BB , A C
 . Điểm M thuộc cạnh B C
  sao cho MB  kMC. Tìm k để bốn điểm ,
A I, M , K đồng phẳng. 3 1 A. k  1 
B. k  
C. k   D. k  3  2 2
Câu 24: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Góc giữa cặp vectơ AB và EG bằng A. 90 B. 60 C. 45 D. 120
Câu 25: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa
AO và CD bằng bao nhiêu? A. 0 B. 30 C. 90 D. 60
Câu 26: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos  A , B DM  bằng. 2 3 1 3 A. B. C. D. 2 6 2 2
Câu 27: Cho hình hộp ABC . D A BCD
  có tất cả các mặt là hình thoi và các góc đỉnh A bằng 60. Góc
giữa hai đường thẳng BD và AC bằng A. 90 B. 30 C. 45 D. 60 3
Câu 28: Cho tứ diện ABCD có AC A ,
D CAB DAB  60 ,
CD AD . Gọi  là góc giữa AB và CD. 2
Chọn khẳng định đúng. 3 1 A. cos 
B.   60
C.   30 D. cos  4 4
Câu 29: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. SA SC
B. SA SB
C. SA SD
D. SA CD
Câu 30: Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và BAC BAD  60 . Góc giữa cặp vectơ AB và CD bằng A. 60 B. 45 C. 120 D. 90
Câu 31: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là điểm bất kỳ trên
đường thẳng AC. Số đo góc giữa hai đường thẳng BD, SM bằng A. 90 B. 120 C. 60 D. 45
Câu 32: Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và BAC BAD  60 ,
CAD  90 . Gọi I và J lần lượt là
trung điểm của AB và CD. Góc giữa cặp vectơ AB và IJ bằng A. 120 B. 90 C. 60 D. 45
Câu 33: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Số đo giữa hai đường thẳng
BC và SA bằng A. 45 B. 120 C. 90 D. 60
Câu 34: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA  3a và vuông góc với mặt đáy. Gọi
M là trung điểm cạnh SB. Côsin góc giữa hai đường thẳng AM và SC bằng 5 11 5 3 A. B. C. D. 16 16 8 8
Câu 35: Cho hình chóp S.ABC có AB AC và SAC SAB . Khi đó góc S , A BC  bằng A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
Câu 36: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC và ASB BSC CSA . Góc SC, AB bằng A. 120 B. 45 C. 60 D. 90
Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc MN, SC bằng A. 45 B. 30 C. 90 D. 60
Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC
và BC. Số đo của góc  IJ,CD bằng A. 90 B. 45 C. 30 D. 60
Câu 39: Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và B C  
. Côsin góc giữa hai đường thẳng MN và B D   bằng 10 4 3 10 A. B. C. D. 10 5 5 5
Câu 40: Cho hình lăng trụ đứng tam giác AB . C A BC
  có đáy ABC là tam giác cân AB AC  ,
a BAC  120 , cạnh bên AA  a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng A. 90 B. 30 C. 45 D. 60
Câu 41: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A BC
  có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh A , B B C
  . Côsin góc giữa hai đường thẳng MN và AC bằng 1 5 2 5 A. B. C. D. 3 3 3 5
Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có S , A S ,
B SC đôi một vuông góc với nhau và SA SB SC a . Gọi
M là trung điểm của AB. Góc giữa hai đường thẳng SM và BC bằng A. 30 B. 60 C. 90 D. 120
Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Các tam giác SA , B SA , D SAC là các tam giác vuông tại
A. Côsin góc giữa hai đường thẳng SC và BD bằng bao nhiêu, biết
SA a 3, AB a, AD  3a ? 1 3 2 130 4 130 A. B. C. D. 2 2 65 65
Câu 44: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A BC
  có tất cả các cạnh đều bằng a. Côsin giữa hai đường
thẳng AC và B C   bằng 2 1 3 2 A. B. C. D. 2 4 4 4
Câu 45: Cho hình lăng trụ tam giác AB . C A BC
  có đáy ABC là tam giác vuông tại ,
A AB a, AC a 3
. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của BC, AH a 3 . Gọi
 là góc giữa hai đường thẳng A B  và B C  . Tính cos . 1 6 6 3 A. cos  B. cos  C. cos  D. cos  2 4 8 2 a 3
Câu 46: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD biết AB CD a, MN  . 2
Côsin góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 3 2 1 1 A. B. C. D. 2 2 4 2
Câu 47: Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB vuông cân tại S, có SA a , tam giác ABC vuông cân tại
C và BSC  60 . Gọi M là trung điểm của SB. Côsin góc giữa hai đường thẳng AB và CM bằng 6 30 6 3 A. B. C. D. 6 6 3 3
Tài liệu chuyên Toán Hình Học 11 HKII
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
3. Hai mặt phẳng vuông góc
a) Góc giữa hai mặt phẳng
ĐỊNH NGHĨA 1. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường
thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.  
Chú ý. Nếu gọi n và n ' lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của hai mặt
phẳng và kí hiệu  là góc giữa hai mặt phẳng đó thì ta có công thức:     . n n '
cos  cos n, n '    n . n ' Suy ra 0 0 0    90 .
Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q).
* Nếu P / /Q hoặc P  Q thì góc giữa (P) và (Q) là 0 0 .
* Khi (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến  , ta làm như sau:
+ Lấy  R  
+ Gọi  R P  p ;  R Q  q
+ Góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa p và q.
Chú ý. Trong thực hành để tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)
khi chúng cắt nhau, ta làm như sau:
Xét một mặt phẳng (R)  , với   ( P)  (Q ). Giả sử (R)  (P)  p, (R)  (Q )  q. Khi đó đi tính
góc giữa p và q.
Nếu gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì  >  ’ với
 ’ là góc giữa đường thẳng bất kì thuộc (Q) với (P). Thật vậy: AA ' AA ' tan   , tan  ' 
. Mặt khác A’B < A’C, từ đó A ' B A ' C
tan   tan  ' hay  >  ’.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC .Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC). Chứng minh rằng SS .cos S ABC SBC
, trong đó kí hiệu ABClà điện tích tam giác ABC. Giải.
Kẻ đường cao AA của tam giác ABC. 1
Do SA  ( ABC ) nên SA B . C Từ đó ta có  SA A  . 1 1 1 1
Ta có AA SA cos   AA .BC SA cos .BC 1 1 1 1 2 2  SS .cos . ABC SBC
Công thức tính diện tích hình chiếu của một đa giác
ĐỊNH LÍ 1. Giả sử S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (P) và S’ là diện tích hình chiếu H’ của H
trên mặt phẳng (P’) thì ’ S  .
S cos , trong đó là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P’). - 1 - GV: Nguyễn Hoài Phúc
Tài liệu chuyên Toán Hình Học 11 HKII Chứng minh.
Khi (P) song song hoặc trùng với (P’), định lí trên hiển nhiên đúng.
Xét trường hợp (P) và (P’) cắt nhau.
Trường hợp 1. H là tam giác ABC.
+ Khi tam giác ABC có một cạnh nằm trong (P’), theo ví
dụ 1, ta có điều phải chứng minh.
+ Khi tam giác ABC có một cạnh, chẳng hạn AC // (P) mà AC  (P) , dễ dàng suy ra kết quả.
+ Khi tam giác ABC không có cạnh nào nằm trên mặt phẳng chiếu hoặc song song với mặt
phẳng chiếu: Qua đỉnh C vẽ đường thẳng song song với giao tuyến  của (ABC) và (A’B’C’) cắt AB
tại D. Vẽ qua CD mặt phẳng song song với (P’). Do đó, hình chiếu của tam giác ABC trên (P’) được
quy về hình chiếu của hai tam giác BCD, ADC trên mặt phẳng song song với (P’) mà điều kiện của
trường hợp trên được thực hiện, tức là SS .cos, SS .cos. B'C ' D' BCD C 'D' A' CDA Từ đó suy ra SS .cos . A' B'C ' ABC
Trường hợp 2. Giả sử hình đem chiếu là đa giác bất kỳ A A ...A . Có thể chia đa giác đó thành các tam 1 2 n
giác, chẳng hạn A A A , A A A ,..., A A A , mà đối với mỗi tam giác định lí đã được chứng minh ở 1 2 3 1 3 4 1 n 1  n trường hợp 1, tức là SS .cos SS .cos SS .cos .  A , . Vì thế 1 ' A 2' A3' 1 A 2 A 3 A A1' ' A n 1 ' An 1 A n A 1  n A A1' A 2'... ' A n 1 A 2 A ... n A
ĐỊNH LÍ 2. Diện tích hình chiếu của một hình phẳng bất kỳ bằng diện tích của hình đem chiếu nhân với cosin
của góc giữa mặt phẳng chứa hình đem chiếu và mặt phẳng chiếu.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có AB= 3a, đường cao CH = a và AH = a nằm trong mp(P). Trên các đường
thẳng vuông góc với (P) kẻ từ A, B, C lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ nằm về một phía của (P) sao cho
AA’ = 3a, BB’=2a, CC’ = a. Tính diện tích tam giác A’B’C’. 2 3aGiải. Ta có S  . ABC
Vì CH AB, CH a, AH a nên AC a 2, BAC  45 .  2 1
Gọi I BB ' BC . Do CC '  BB ' nên BC = CI. 2 1 1 a 2
Gọi J A'C ' AC . DO CC '  AA ' nên CJ AC  . 3 2 2 Xét tam giác BCH ta có 2 2 2
BC BH CH BC a 5. Mặt khác, 1 1 2 2 2
AB C A C B  2C A.C B cos C   cos C    cos ICJ   10 10 26a 2 2 2  2
Xét tam giác ICJ, ta có IJ CI CJ  2CI.CJ.cos ICJ  . 4
Kẻ đường cao CK của tam giác ICK, do CC '  ( IC J ) nên C ' K IJ . 
Vậy C' KC chính là góc giữa (ABC) và (A’B’C’). Đặt 
C'KC  thì SS
cos (  1) ABC ' A ' B C' 2 1 3a 1 3a Dễ thấy SS  . ICJ Mặt khác, S
IJ.CK CK  . 2 ABC 4 CIJ 2 26 a 26
Xét tam giác C 'CK ta có tan   . 3a 3 26 - 2 - GV: Nguyễn Hoài Phúc
Tài liệu chuyên Toán Hình Học 11 HKII 1 3 2
Vậy cos được định nghĩa 1 tan   và như vậy cos  . (2) 2 cos  35 2 3a S 35 ABC 2 2 Từ (1), (2) suy ra S    a . A' B 'C ' cos 3 2 35
           
Cách 2. A' B'  '
A AAB BB'  ABC' ,
C A'C'  A' AAC CC'  AC B' B 2 2 2 2 2 2 2 2  '
A B'  AB C'C 1  0a , '
A C'  AC  ' B B 6a
   
  2 2 1 35a 2 2 2 2
A ' B '. A ' C '  A B . A C C ' C .B ' B  5 a S
10a .6a  5a  . A' B'C '   2 2
b) Hai mặt phẳng vuông góc
ĐỊNH NGHĨA 2. Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 0 9 0 .
Kí hiệu:        
Nhận xét:        n n ' với , n '
n lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của   và   .
Ví dụ 3. Cho hình tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc.
1) Chứng minh rằng các mp(ABC), (ACD), (ABD) đôi một vuông góc.
2) Gọi  ,  ,  lần lượt là góc giữa mp(BCD) và các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC). Chứng minh rằng 2 2 2
cos  cos  cos  1. Giải.
1) Ta có BA AC , BA AD BA  ( ACD ).
Mặt khác BA  ( ABC )  ( ABD ) nên góc giữa AC và AD bằng góc giữa
(ABC) và (ABD).
Vì AC AD nên góc giữa AC và AD bằng 90,  ( ABC )  ( ABD ).
Tương tự, ta có: ( ABC )  ( ABD), ( ACD)  ( ABD).
2) Kẻ đường cao AH của tam giác ACD. Do  AB  (AC )
D BH CD   AH . B 2 2 b 1 1 1 b c d
Kí hiệu AB = b, AC = c, AD = d thì tan   , mà    tan  . AH 2 2 2 AH c d cd 2 2 1 c d 2 2 Mặt khác, 1 tan    cos   . 2 2 2 2 2 2 2 cos 
b c c d d b 2 2 2 2 b d b c 2 2 Tương tự, cos   ,cos   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b c c d d b
b c c d d b Từ đó suy ra 2 2 2
cos   cos   cos  1. - 3 - GV: Nguyễn Hoài Phúc
Tài liệu chuyên Toán Hình Học 11 HKII
Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc
Định lí 3. Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt
phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.       a        a     
Chứng minh. Giả sử (P) là mặt phẳng chứa a mà a  (Q ).
Gọi H a  (Q )  H  ( P )  (Q ).
Trong (Q) kẻ b đi qua H và vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q).
Khi đó góc giữa a và b chính là góc giữa (P) và (Q).
Mặt khác, a  (Q )  a b. Từ đó (P)  (Q).
Định lí 4. Nếu hai mặt phẳng   và   vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong mặt
phẳng   mà vuông góc với giao tuyến của   và   đều vuông góc với mặt phẳng   .       
       c a     a     a b
Chứng minh. Gọi c  ( P )  (Q ). Gọi H a  . c
Trong (Q) kẻ đường thẳng b c và b đi qua H.
Khi đó góc giữa a và b chính là góc giữa (P) và (Q).
Do ( P)  (Q ) nên a  .
b Từ đó suy ra a  (Q ) .
Nhận xét chung: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là một trong hai mặt
phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình vuông.
Tìm những mặt phẳng chứa các mặt của hình chóp vuông góc với nhau.
Giải. Vì SA  ( ABCD ) nên các mặt phẳng đi qua SA đều vuông góc với (ABCD). Từ đó suy ra
(SAB )  ( ABCD ), ( SAD )  ( ABC D ).
Do ABCD là hình vuông nên CB A . B Mặt khác
SA  ( ABC D ) nên CB SA .
Vậy CB  (SAB ).
Vậy mọi mặt phẳng chứa BC đều vuông góc (SAB), tức là
(SBC )  ( SAB ).
Tương tự, ta cũng có (SCD)  (SAD).
* Các hệ quả
Hệ quả 1. Nếu hai mặt phẳng   và    vuông góc với nhau
và A là điểm thuộc   thì đường thẳng a đi qua A và vuông góc
với   sẽ nằm trong   .         A   a    a  , A a     - 4 - GV: Nguyễn Hoài Phúc
Tài liệu chuyên Toán Hình Học 11 HKII
Hệ quả 2. Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng
vuông góc với mặt phẳng thứ ba.       
    d   
    d
Chứng minh. Giả sử ( P)  ( R ) và (Q)  (R). Khi đó (P) chứa
đường thẳng a vuông góc với (R)và (Q) chứa đường thẳng b
vuông góc với (R). Từ đó suy ra a // b. Nếu (P) cắt (Q) theo giao tuyến c thì c // a, từ đó c  (R).
Hệ quả 3. Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng   có duy nhất một mặt phẳng   vuông
góc với   .
Chứng minh. Lấy Aa , kẻ đường thẳng b đi qua A, vuông góc với (Q).
Khi đó mp (a,b) chứa đường thẳng b vuông góc với (Q) nên
mp(a,b)  (Q).
Vậy (P )  mp(a, b) .
Tính duy nhất của (P) suy ra từ hệ quả 2.
c) Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương
ĐỊNH NGHĨA 3. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
ĐỊNH NGHĨA 4. Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
ĐỊNH NGHĨA 5. Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
ĐỊNH NGHĨA 6. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
ĐỊNH NGHĨA 7. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau. - 5 - GV: Nguyễn Hoài Phúc
Tài liệu chuyên Toán Hình Học 11 HKII
Ví dụ 5. Tính độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật khi biết độ dài ba cạnh xuất phát từ một định là
a, b, c (a, b, c gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật).    
Giải. Từ AC '  AB AD AA '      
và A B.A D A B.A A '  A D .A A '  0 ta có 2 2 2 2
AC'  a b c hay 2 2 2
AC '  a b c .
Tương tự các đường chéo còn lại cũng bằng 2 2 2
a b c .
d) Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
ĐỊNH NGHĨA 8. Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Chú ý. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường cao của hình chóp.
ĐỊNH NGHĨA 9. Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với
đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
Chú ý. Đoạn nối tâm của hai đáy được gọi là đường cao hình chóp cụt đều.
Ví dụ 6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC b , CC’ = c. Nếu có 2 2 2
A'C BD'  B' D a b c thì hình hộp đó có phải là hình hộp chữ nhật không? Vì sao? Giải.
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên 2 2 2 2 2 2 2
AC '  A ' C BD '  B ' D  4a  4b  4c Mặt khác, 2 2 2
AC '  BD'  B ' D a b c nên 2 2 2
A'C a b c .
Như vậy bốn đường chéo của hình hộp bằng nhau.
Ta lại có ACC’A’ là hình bình hành mà AC’ = A’C nên ACC’A’ là hình chữ nhật, từ đó AA '  AC.
Tương tự ta có BB'  BD mà BB’ // AA’, vậy AA’  (ABCD).
Tương tự ta có AB  (ADD’A’).
Do đó ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật.
Ví dụ 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
1) Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’).
2) Cắt hình lập phương đó bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Xác định thiết diện thu được. Thiết
diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện. Giải.       
1) Ta có A C '  AB A D A A ' và BD AD AB  
    
Vậy AC '.BD   AB AD AA ' AD AB   0 tức là AC '  BD .
Tương tự ta có AC’ B’A. Vậy AC’  (A’BD).
Mặt khác, (CB’D’) // (A’BD) nên AC’  (CB’D’). a 5
2) Gọi M là trung điểm BC thì MA = MC’ (vì cùng bằng ) nên M 2
thuộc mặt phẳng trung trực của AC’. - 6 - GV: Nguyễn Hoài Phúc
Tài liệu chuyên Toán Hình Học 11 HKII
Tương tự, nếu gọi N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của
CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B thì các điểm đó cũng thuộc mặt phẳng
trung trực của AC’.
Từ đó thiết diện thu được là MNPQRS.
Nếu gọi O là tâm hình lập phương thì dễ thấy các cạnh của
tam giác OMN song song với các cạnh của tam giác A’BD. Mà tam a 2
giác A’BD đều cạnh a 2 nên tam giác OMN đều cạnh bằng . 2
Tương tự như vậy đối với các tam giác ONP, OPQ, OQR, ORS, OSM. a 2
Vậy MNPQRS là hình lục giác đều có cạnh bằng . 2 2  a 2  3 3 3
Từ đó diện tích S của thiết diện là 2 S  6  .  a .  2  4 4  
Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = a, các cạnh còn lại bằng x.
1) Chứng minh rằng mp(SAC) vuông góc với hai mặt phẳng (ABCD) và (SBD).
2) Tính đường cao hình chóp S.ABCD theo a và x.
3) Tìm sự liên hệ giữa a và x để S.ABCD là hình chóp đều. Giải.
1) Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Vì ABCD có các cạnh bằng x nên ABCD là hình thoi, từ đó BD AC và O là trung điểm của BD.
Mặt khác SB = SD = x nên SO BD.
Suy ra BD  (SAC), do đó mọi mặt phẳng chứa BD đều vuông góc với (SAC), nghĩa là (SBD)
và (ABCD) đều vuông góc với (SAC).
2) Vì (SAC)  (ABCD) theo giao tuyến AC nên kẻ đường cao SH của tam giác SAC thì SH  (ABCD).
Do đó SH là đường cao của hình chóp S.ABCD.
Từ giả thiết các cạnh còn lại của hình chóp có độ dài bằng
x nên tam giác SBD, ABD, CBD là các tam giác cân chung cạnh
BD. Do đó SO = AO = OC.
Suy ra tam giác SAC vuông tại S. Từ đó SH. AC = SA.SC axSH  . 2 2 a x
3) Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều thì điều kiện cần là các
cạnh bên bằng nhau, tức là a = x.
Khi đó AC a 2 , mà ABCD là hình thoi cạnh a, do đó ABCD là hình vuông.
Vậy S.ABCD là hình chóp đều.
Như vậy S.ABCD là hình chóp đều điều kiện cần và đủ là a = x’ Lúc đó chân đường cao của hình chóp là O.
Ví dụ 9. Cạnh huyền của tam giác vuông ABC nằm trên mặt phẳng (P) và các cạnh góc vuông tạo với
mp(P) hai góc ,  . Tính góc giữa mặt phẳng chứ tam giác ABC và mặt phẳng (P).
Tìm sự liên hệ giữa ,  để mặt phẳng (ABC) vuông góc với mp(P).
Giải. Giả sử ABC là tam giác vuông tại C. - 7 - GV: Nguyễn Hoài Phúc
Tài liệu chuyên Toán Hình Học 11 HKII
Kẻ CH AB. Khi đó HK AB và 
CHK là góc giữa (ABC) và (P);  
CBH,CAH lần lượt là góc tạo bởi hai
cạnh góc vuông với (P). Theo giả thiết, ta có  
CAH ,CBH  . h h
Đặt CH = h thì CA  ,CB  và sin sin   1 1  2 2 2 2
AB CA CB h   2 2  sin  sin    2 2 sin   sin   AB h. . sin  .sin  C . A CB h
Xét tam giác ABC ta có AB.CK=CA.CB, từ đó CK   . . 2 2 AB sin   sin 
Xét tam giác vuông CHK ta có CH  2 2 sin CKH   sin   sin  
1  cos(   ) cos(   ). (*) CK
Vậy góc giữa (ABC) và (P) được tính bởi hệ thức (*).
Ví dụ 10. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh cùng bằng a. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm các cạnh AA’, BB’, CC’.
1) Xác định thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mp(MNP).
2) Tính diện tích thiết diện. Giải.
1) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của đường thẳng MN với A’C’ và CC’.
Gọi R là giao điểm của EP và B’C’, gọi Q là giao điểm của FR và BC.
Khi đó thiết diện thu được là ngũ giác MNQRP. a 3a a
2) Dễ thấy A ' E   C ' F   CF  . 2 2 2
Xét tam giác A’EP có A’E = A’P và  E ' A P 120 nên  '
A EP30. Từ đó E
RC ' vuông tại R.
Do FC’  (A’B’C’) nên RF ER. 3a a Ta có RC '  ,từ đó QC  . 4 4
Xét phép chiếu lên mặt phẳng (A’B’C’) thì thiết diện MNQRP có
hình chiếu là A’N’Q’RP. Vậy  SS .cos FRC '
A ' N 'Q ' RP MNQRP Đặt  FRC '   a 1 5 Ta có 2 tan   2  1 tan    cos  2 1 cos  5 a 2 SSSS ' A N'Q'RP ' A B'C' N'C'Q' PB'R 2 2 2 a 3 a 3 a 3 Ta có S  , S  , SA' B'C ' N 'C'Q' PB' 4 32 R 32 2 3a 3 Từ đó S  .
A' N 'Q' RP 16 2 2 3a 3 3a 15 Vậy S  . 5  . MNQRP 16 16 - 8 - GV: Nguyễn Hoài Phúc
Tài liệu chuyên Toán Hình Học 11 HKII
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Câu 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a ; SA   ABCD và SA a . Khi
đó tan góc giữa hai mặt phẳng  ABCD và  SBD bằng: 2 1 A. tan   2 B. tan  C. tan   D. tan  3 2 2 Câu 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a; SA   ABCD và SA a . Tính góc
 giữa hai mặt phẳng  SBC  và SDC  ? 2    A. . B. . C. . D. . 3 6 4 3 Câu 3:
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
A. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng  P
khi a và b song song (hoặc a trùng với b ).
C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng Q
thì mặt phẳng  P song song với mặt phẳng Q .
D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng  P
thì a và b song song. Câu 4:
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
A. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
B. Góc giữa mặt phẳng  P và mặt phẳng Q bằng góc giữa mặt phẳng  P và mặt phẳng  R
khi mặt phẳng  R song song với mặt phẳng Q (hoặc  R trùng với Q ).
C. Góc giữa mặt phẳng  P và mặt phẳng Q bằng góc giữa mặt phẳng  P và mặt phẳng  R
thì mặt phẳng  R song song với mặt phẳng Q .
D. Cả ba mệnh đề trên đều đúng. Câu 5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng
đáy, SA a . Góc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng  ABCD là  . Khi đó tan  nhận giá
trị nào trong các giá trị sau: 2 A. tan  . B. tan   1 C. tan   2 . D. tan  3 . 2 Câu 6:
Cho hình lập phương AB . CD A BCD
  . Xét mặt phẳng  ABD , trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Góc giữa mặt phẳng  ABD và các mặt phẳng chứa các mặt bên của hình lập phương bằng nhau.
B. Góc giữa mặt phẳng  ABD và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng nhau. 1
C. Góc giữa mặt phẳng  ABD và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng  mà tan  . 2
D. Cả ba mệnh đề trên đều sai. Câu 7:
Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A' B 'C ' D ' . Góc giữa hai mặt phẳng  A' DC  và  ABCD là góc:    
A. A'CA
B. A ' DA C. A'BC D. AA'D Câu 8:
Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A' B 'C ' D ' có AA'  3a, AB a, AD a 3 . Số đo góc giữa hai
mặt phẳng  A' B 'CD và  ABCD bằng: - 9 - GV: Nguyễn Hoài Phúc
Tài liệu chuyên Toán Hình Học 11 HKII A. 0 55 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 30 Câu 9:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , SA a và SA   ABC  ,
AB BC a . Tính góc giữa hai mặt phẳng SAC  và SBC  . A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . Câu 10:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA   ABCD , gọi O là tâm hình
vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây sai? 
A. Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABCD là góc ABS . 
B. Góc giữa hai mặt phẳng  SBD và  ABCD là góc SOA . 
C. Góc giữa hai mặt phẳng  SAD và  ABCD là góc SDA . D. SAC    SBD . Câu 11:
Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' . Góc giữa hai mặt phẳng  A' BCD ' và  ADC ' B ' bằng bao nhiêu? A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 120 . Câu 12:
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABC . D A BCD
  có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng
ABCDvà  ABC có số đo bằng 60 . Cạnh bên của hình lăng trụ bằng: A. 3a B. a 3 C. 2a D. a 2 Câu 13:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.AB C
  có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a , góc 
BAC  120 và cạnh bên BB '  a . Tính cosin giữa hai mặt phẳng  ABC và  AB ' I  , với I là trung điểm CC ' ? 30 30 10 3 A. B. C. . D. . 8 10 4 2 Câu 14:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAD nằm trong vuông góc với đáy
và là tam giác cân tại S, có diện tich bằng a2. Hai mặt bên (SAD) và (SBC) hợp với nhau một góc 300.
Tính diện tích tam giác SBC. 2 2a 3 2 a 3 A. 2 2a B. C. D. 2 2a 3 3 3 Câu 15:
Cho hình chóp S.MNP có đáy là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên SM vuông góc với đáy, SM = a. Hai
mặt bên (SMP) và (SNP) hợp với nhau một góc 300. Tính diện tích tam giác SNP. 2 a 3 2 a 3 2 a 3 2 a 3 A. B. C. D. 3 4 6 2 Câu 16:
Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A' B 'C ' D ' . Mặt phẳng   hợp với mặt phẳng đáy một góc có số đo 0
45 và lần lượt cắt các cạnh bên của hình hộp tại M , N , P, Q . Độ dài các cạnh đáy của hình hộp a lần lượt là a và
. Diện tích thiết diện tạo bởi hình hộp và mặt phẳng   là: 2 2 2a 2 a A. 2 2a B. C. D. 2 2a 4 4 Câu 17:
Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' cạnh a. Thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt
phẳng  ADC ' B ' là hình gì? A. Hình vuông.
B. Hình bình hành.
C. Hình chữ nhật. D. Hình thoi. Câu 18:
Cho hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau là?
Góc giữa hai mặt phẳng là 90 . o
Mọi đường thẳng trong (P) đều vuông góc với (Q).
Tồn tại đường thẳng trong (Q) vuông góc với (P). - 10 - GV: Nguyễn Hoài Phúc
Tài liệu chuyên Toán Hình Học 11 HKII
Nếu (R) vuông góc với (Q) thì (R) song song với (P).
Nếu mặt phẳng (R) vuông góc với (P) , (R) vuông góc với (Q) thì (R) vuông góc với giao tuyến
của (P) và (Q). A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 5. Câu 19:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông và có một mặt bên vuông góc với đáy. Xét
bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên và mặt phẳng chứa mặt đáy. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Có hai cặp mặt phẳng vuông góc nhau.
B. Có ba cặp mặt phẳng vuông góc nhau.
C. Có bốn cặp mặt phẳng vuông góc nhau.
D. Có năm cặp mặt phẳng vuông góc nhau. Câu 20:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA vuông góc với đáy. Gọi H , K
lần lượt là hình chiếu của A trên SB , SC và I là giao điểm của HK với mặt phẳng  ABC  .
Khẳng định nào sau đây sai?
A. BC AH.
B. AHK   SBC .
C. SC AI. D. Tam giác IAC đều. Câu 21:
Cho tứ diện ABCD có AB  (BCD). Trong tam giác BCD vẽ các đường cao BE và DF. Trong tam giác
ACD vẽ DK  AC. Chọn đáp án sai.
A. ( ADC)  ( ABE) .
B. ( ADC)  (DFK ) .
C. ( ADC)  ( ABC) . D. (BDC)  ( ABE) . Câu 22:
Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng ( ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC). Gọi BE và DF là
hai đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác ACD. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. ( ABE)  ( ADC) .
B. ( ABD)  ( ADC) .
C. ( ABC)  (DFK ) . D. (DFK )  ( ADC) . Câu 23:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hình hộp có bốn mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
B. Nếu hình hộp có ba mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
C. Nếu hình hộp có hai mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
D. Nếu hình hộp có năm mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật. Câu 24:
Cho hình lăng trụ ABC . D A BCD
  có đáy ABCD là hình thoi. Các cạnh bên vuông góc với đáy.
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình chữ nhật
B. Mặt  BB ' D ' D và BB 'C 'C  vuông góc với nhau.
C. Hai mặt bên  AAC  và  BB D
  vuông góc với hai đáy
D. Hai hai mặt bên  AA BB   và  AA DD   bằng nhau. Câu 25:
Trong lăng trụ đều, khẳng định nào sau đây sai?
A. Đáy là đa giác đều.
B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
C. Các cạnh bên là những đường cao.
D. Các mặt bên là những hình bình hành. Câu 26:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lăng trụ tam giác có hai mặt bên là hình chữ nhật là hình lăng trụ đứng.
B. Hình chóp có đáy là đa giác đều và có các cạnh bên bằng nhau là hình chóp đều
C. Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều là hình lăng trụ đều
D. Hình lăng trụ có đáy là đa giác đều là hình lăng trụ đều. Câu 27: Hình hộp ABC . D A BCD
  trở thành hình lăng trụ tứ giác đều khi phải thêm các điều kiện nào sau đây?
A. Tất cả các cạnh đáy bằng nhau và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
B. Cạnh bên bằng cạnh đáy và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
C. Có một mặt bên vuông góc với mặt đáy và đáy là hình vuông.
D. Các mặt bên là hình chữ nhật và mặt đáy là hình vuông. Câu 28: Xét các mệnh đề sau:
(I) Hình hộp là hình lăng trụ đứng.
(II) Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng.
(III) Hình lập phương là hình lăng trụ đứng. (IV) Hình lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là: - 11 - GV: Nguyễn Hoài Phúc
Tài liệu chuyên Toán Hình Học 11 HKII A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Câu 29:
Hình lập phương có mấy mặt phẳng đối xứng? A. 5. B. 4. C. 9. D. vô số. Câu 30:
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau.
B. Hình chóp đều có các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
C. Hình chóp đều có các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
D. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều. - 12 - GV: Nguyễn Hoài Phúc

Tài liệu liên quan: