Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 10 năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Hà Nam

UBND TỈNH HÀ NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (5,0 điểm) 1. Cho parabol P 2
: y  x  m  2 x  2m 1 và đường thẳng d y  m   2 : 1 x  m  5m  3
(với m là tham số). Biết đường thẳng d cắt đồ thị P tại hai điểm phân biệt , A . B Tìm điều kiện của m để AB  26. 2. Cho phương trình 2 x  2b  
1 x  c  0 với b, c  .
 Biết phương trình có hai nghiệm
dương x , x thỏa mãn x .x  4. 1 2 1 2 a) Chứng minh 2 2b  4b  c  2.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  b 2
c  6b   3bb   1  2022. Câu 2. (6,0 điểm)
1. Giải phương trình:  x   x   2 4 1 x   x   1  x  4   3 .x 2 2
x  x  2x  2  y 1  y 1 
2. Giải hệ phương trình:  2 x   2 y  
1 17  2x  8x   2 2 1 x  3  3y . Câu 3. (5,0 điểm)
     
1. Cho ABC , các điểm E, M thỏa mãn 4AE  AB  0; 3BM  BC  0. Gọi I là trung điểm  
của đoạn thẳng AM . Biết điểm N thỏa mãn BN  k.BC k  . Tìm k để ba điểm E, I, N thẳng hàng.
2. Cho ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF. Gọi diện tích các tam giác DEF và ABC lần lượt là S , S . Biết rằng 3 S  S . DEF ABC DEF 10 ABC 2021 2 2 2
sin A  sin B  sin C   2022
Tính giá trị biểu thức: T  . 2 2 2 cos A  cos B  cos C Câu 4. (2,0 điểm)
Cho ABC nội tiếp đường tròn  ;
O R và có trọng tâm là .
G Các đường thẳng AG, BG, CG 1 1 1
theo thứ tự cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là M , N, . P Biết    2 . R sin A sin B sin C Chứng minh 1 1 1    3. GM GN GP Câu 5. (2,0 điểm)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 2 2 2
x  y  z  9 và x  y  z  3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ   nhất của biểu thức x z 1 P  . y  4 ---HẾT---
Họ và tên thí sinh………………………………..Số báo danh…………………………………..
Người coi thi số 1………………………….. Người coi thi số 2…………………………………