TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN
B MÔN CHUYÊN TOÁN
ĐỀ THI CHN HSG TOÁN 10 – LN 1
NĂM HC 2020 - 2021
Thi gian làm bài: 180 phút (không k thi gian phát đề)
Ngày 10 tháng 09 năm 2020
Bài 1. Tìm tt c các b ba s (, , )
x
yp nguyên dương, vi p là s nguyên t tha mãn:
222
312
x
xy p y y .
Bài 2. Gii h phương trình:
22
22
4
339
xyxy
xx yy


.
Bài 3. Cho
,, 0 abc
3abc. Tìm giá tr ln nht ca:
222
444
333
bc ca ab
P
abc


.
Bài 4. Cho tam giác ABC nhn ni tiếp trong đường tròn

.O P là mt đim nm trong tam giác sao
cho
PB PC . Ly đim Q trên đường tròn ngoi tiếp tam giác PBC và nm trong tam giác sao cho
90PQA OAP
. Gi M là trung đim ca BC. Đim K thuc cnh BC sao cho KAB MAC .
Chng minh rng
.QK QP
Bài 5. Tìm tt c các s nguyên dương n sao cho tt c các ước nguyên dương (phân bit) ca n có th
sp xếp thành mt bng hình ch nht (mi v trí cha đúng mt s) mà tng các s trên mi hàng bng
nhau; tng các s trên mi ct bng nhau.
--------------- HT ---------------
https://toanmath.com/

Preview text:

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN
ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 10 – LẦN 1
BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC 2020 - 2021
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày 10 tháng 09 năm 2020
Bài 1. Tìm tất cả các bộ ba số (x, y, p) nguyên dương, với p là số nguyên tố thỏa mãn: 2 2 2
x  3xy p y  12y . 2 2 
x y x y  4 
Bài 2. Giải hệ phương trình:  . 2 x x  3   2
y y  3  9 bc ca ab
Bài 3. Cho a,b,c  0 và a b c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của: P    . 4 2 4 2 4 2 a  3 b  3 c  3
Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn O. P là một điểm nằm trong tam giác sao
cho PB PC . Lấy điểm Q trên đường tròn ngoại tiếp tam giác PBC và nằm trong tam giác sao cho PQA   O
AP  90 . Gọi M là trung điểm của BC. Điểm K thuộc cạnh BC sao cho KAB MAC .
Chứng minh rằng QK  . QP
Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tất cả các ước nguyên dương (phân biệt) của n có thể
sắp xếp thành một bảng hình chữ nhật (mỗi vị trí chứa đúng một số) mà tổng các số trên mỗi hàng bằng
nhau; tổng các số trên mỗi cột bằng nhau.
--------------- HẾT --------------- https://toanmath.com/