Đề thi chọn HSG Toán 10 năm học 2017 – 2018 cụm Tân Yên – Bắc Giang

SỞ GD&ĐT BẮC GIANG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 - 2018 CỤM TÂN YÊN MÔN: TOÁN 10 Ngày thi: 28/01/2018
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (6 điểm) Cho phương trình 2
x  2x  3m  4  0 (m là tham số).
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn 2 2 2 2
x x  x  x  4 . 1 2 1 2 1 2
c) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng thuộc đoạn  3;  4.
Câu 2: (2 điểm) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số):
x  m   x  m  m  2 2 3 2 1 1  0
có hai nghiệm x , x thỏa mãn điều kiện x  x  4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 1 2 1 2 của biểu thức sau: 3 3
P  x  x  x x 3x  3x  8 . 1 2 1 2  1 2  4
Câu 3: (2 điểm) Giải phương trình 3 3 2
81x  8  x  2x  x  2 ;  x 3 2 2 
Câu 4: (2 điểm) Giải hệ phương trình x  y  2y  6  2 2y  3  0  . 2 2 2 2
(x  y)(x  xy  y  3)  3(x  y )  2
Câu 5: (2 điểm) Cho các số dương a, b, c có a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  a a  b b  c c P
2c  a  b
2a  b  c
2b  c  a
Câu 6: (2 điểm) Không dùng máy tính hãy tính tổng P = 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
cos 0  cos 1  cos 2  cos 3  cos 4  ...  cos 180 .
Câu 7: (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A1;2 và B4;3 . Tìm tọa độ
điểm M nằm trên trục hoành sao cho góc bằng 0 45 .  
Câu 8: (2 điểm) Cho tam giác đều ABC và các điểm M , N, P thỏa mãn BM  k BC ,
 2   
CN  CA, 4 AP 
AB . Tìm k để AM vuông góc với PN . 3 15
…………………Hết…………………
Họ và tên thí sinh:……………………………..…………Số báo danh:……………….
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM TÂN YÊN
Năm học 2017 – 2018
Môn thi: Toán – Lớp 10
(Thời gian làm bài: 150 phút) Câu Nội dung Điểm 1 Cho phương trình 2
x  2x  3m  4  0 (m là tham số).
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm.
b) Tìm m để pt có hai nghiệm x , x thỏa mãn 2 2 2 2
x x  x  x  4 . 1 2 1 2 1 2
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng thuộc đoạn  3;  4.
a) Để phương trình có hai nghiệm thì 2 1  (3m  4)  0 1 5  m  . KL 1 3 b)
x  x   Khi 5 2 m  thì 1 2 
(Không có bước này không trừ điểm) 0.5 3 x x  3m  4  1 2 2 2 2 2
x x  x  x  4 1 2 1 2 2 2  (3m  4)  ( 2
 )  2(3m  4)  4 1 2
 9m 18m  0  m0;2 Kết hợp với 5   m  được 5 m 0; . KL 0.5 3  3   c) Nghiệm của pt 2
x  2x  3m  4  0 là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm 0.5 số 2
y  x  2x và y  3  m  4
Vẽ bảng biến thiên của hàm số 2
y  x  2x trên đoạn  3;  4. 0.5
Từ bảng biến thiên để phương trình 2
x  2x  3m  4  0 có hai nghiệm phân 0.5
biệt cùng thuộc đoạn  3;  4 thì 1   3  m  4  3. 1 5   m ;   . KL 0.5 3 3  2
Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số):
x  m   x  m  m  2 2 3 2 1 1  0
có hai nghiệm x , x thỏa mãn điều kiện x  x  4 . Tìm giá trị lớn nhất và 1 2 1 2
giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 3 3
P  x  x  x x 3x  3x  8 . 1 2 1 2  1 2 
Trước hết xét biệt thức   m  2  m  m  2 3 3 ' 1
1   m  4m  mm  2m  2.  
Phương trình có hai nghiệm x , x nên  '  0  mm  2m  2  0. 1 2 (1) b
Khi đó, theo Vi-ét ta có x  x    2 m 1 với điều kiện 2m   1  4 1 2   a 0,5 (2) c và x x 
 m  m  2 3
1 . Điều kiện (1) và (2) giải được 2
  m  0 hoặc 2  m  3. 1 2 a
Như vậy x  x   x  x 3 3 3
 3x x x  x nên biểu thức 1 2 1 2 1 2  1 2 
P   x  x 3  8x x  2  m   3 1   8 m   m  2 3 2 1   1  6m  40 . m 1 2 1 2  
Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P m 2  16
 m  40m với m 2;  02;  3 .
Ta lập bảng biến thiên của hàm số P m 2  16
 m  40m với m 2;  02;  3 . 0,5 5 m  2 0 2 3  4 0,5 0 16 Pm 144 24
Từ đó ta kết luận được: 0,5
Giá trị lớn nhất của biểu thức P 16 khi m  2 ,
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  144 khi m  2  . 3 4 Giải phương trình 3 3 2
81x  8  x  2x  x  2 ;  x 3 3  2  46  2  46
PT đã cho tương dương với 3.3 3 x    x        3  27  3  27  2 u  x   46  3 3u  v   3  Đặt 27  ta có hệ:  0.5  2  46 46  46 v  3  3 3 3 x    3u    3v  u    3  27 27  27
Trừ hai phương trình cho nhau theo từng vế ta có: u  v 
3u  v  v  u 0, 1 2 2
v  uv  u      2 2
v  uv  u  3,  0,5  2 Dễ thấy 2 2
v  uv  u  0 nên (2) vô nghiệm.   8 2 0.5 3 2 5 3
1  u  v  3x 
 x   x  2x  x  0 27 3 3 x  0   3  2 6 0.5  và kết luận. x   3 4 2 2 
Giải hệ phương trình x  y  2y  6  2 2y  3  0 (1)  . 2 2 2 2
(x  y)(x  xy  y  3)  3(x  y )  2 (2) ĐKXĐ: y  1,  5 .
(2)  x  y  x  y  x  y    x  3   y  3 3 3 2 2 3 3 3 2 1
1  x 1  y 1  y  x  2 1
Thay vào pt thứ nhất ta được: 2 2  1   1  
2x 1  1 x 2
x  3x 1   2x 1  x   2x 1         2   2  0.5
 2x 1  x
(Có thể bình phương được pt:  x  2 2
1 (x  4x  2)  0 )
Giải hai pt này ta được x 1, x  2  2
Vậy hệ có hai nghiệm là  ; x y  1;  1 ,2  2, 2 . 0.5 5
Cho các số dương a, b, c có a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  a a  b b  c c P .
2c  a  b
2a  b  c
2b  c  a 3 3 3 a a a 1 a a c  3 c  3 1   (   ) 
2c  a  b
c  (a  b  c) 2 c  3 c  3 8 16 3 3 1 a a
c  3 c  3 3a c  3 3  3    2
c  3 c  3 8 16 4 16 Suy ra: a a 3a c  3  
2c  a  b 4 16 0.5 Tương tự b b 3b a  3 c c c b    và 3 3  
2a  b  c 4 16
2b  a  c 4 16
Cộng các vế tương ứng của ba BĐT cùng chiều ta được 3 P  , 2 0.5 3 P  khi a=b=c=1. KL 2 6 Tính 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
P=cos 0  cos 1  cos 2  cos 3  cos 4  ...  cos 180 . 0 0 2 0 2 0
cos0 =-cos180  cos 0 =cos 180 . … 0 0 2 0 2 0
cos89 =-cos91  cos 89 =cos 91 . 0,5 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
 P=2cos 0  2(cos 1  cos 2  cos 3  cos 4  ...  cos 89 )  cos 90 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
=2  2(cos 1  cos 2  cos 3  cos 4  ...  cos 89 ) 0,5 0 0 2 0 2 0
cos89 =sin1  cos 89 =sin 1 . … 0,5 0 0 2 0 2 0
cos46 =sin44  cos 46 =sin 44 . 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
 P=2  2(cos 1  sin 1  cos 2  sin 2  ...  cos 44  sin 44  cos 45 ) 2 0
=2  2(44  cos 45 )  91 KL 0,5 7
A1;2 và B4;3 . Tìm M nằm trên trục hoành sao cho góc bằng 0 45 .
Điểm M mằm trên trục hoành nên gọi M(m;0) , 0.5   MA  (1 ;
m 2) , MB  (4  ; m 3)    0 (1 m)(4 m) 2.3 cos45  0.5 2 2 2 2 (1 ) m  2 (4  ) m  3 4 3 2 2 2
 m 10m  44m 110m  75  0  (m  6m  5)(m  4m 15)  0 1
m=1 hoặc m=5 . KL: M(1;0) hoặc M(5;0)   8
Cho tam giác đều ABC và các điểm M , N, P thỏa mãn BM  k BC ,
 2   
CN  CA, 4 AP 
AB . Tìm k để AM vuông góc với PN . 3 15      
+) BM  k BC  AM  AB  k(AC  AB) A   
 AM  (1 k)AB  k AC . P N
   4  1 
+) PN  AN  AP   AB  AC 15 3 0.5 B C   M
Để AM vuông góc với PN thì AM .PN  0 
  4  1 
 (1 k)AB  k AC  AB  AC  0 0.5     15 3  4(  1 ) k    k 2 2 1 k 4    k AB AC (  )AB AC  0 15 3 3 15 4(  1 k) k 1 k 4k 0    (  )cos60  0 15 3 3 15 1  k  1 3 1 KL: k  3