đề thi cuối kì môn xác suất thống kê

Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện ĐỀ THI HỌC PHẦN
XÁC SUẤT THỐNG KÊ (MI2020) Mục lục 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ XÁC SUẤT THỐNG KÊ 2 1.1
Học kỳ 20242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2
Học kỳ 20242 (Toán-Tin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3
Học kỳ 20241 (CTTN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4
Học kỳ 20241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5
Học kỳ 20233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6
Học kỳ 20232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.7
Học kỳ 20232 (Toán-Tin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.8
Học kỳ 20231 (CTTN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.9
Học kỳ 20231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.10 Học kỳ 20222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.11 Học kỳ 20221 (CTTN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.12 Học kỳ 20221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.13 Học kỳ 20213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.14 Học kỳ 20212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.15 Học kỳ 20211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.16 Học kỳ 20201 (CTTN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.17 Học kỳ 20201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2
ĐỀ THI GIỮA KỲ XÁC SUẤT THỐNG KÊ 30 2.1
Học kỳ 20221 (CTTN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2
Học kỳ 20221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3
Học kỳ 20213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4
Học kỳ 20212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5
Học kỳ 20201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ XÁC SUẤT THỐNG KÊ 1.1 Học kỳ 20242
Câu 1. (2 điểm) Một cửa hàng sách ước lượng rằng: trong tổng số các khách hàng đến cửa hàng có
40% khách cần hỏi nhân viên bán hàng, 30% khách mua sách, 10% khách không hỏi nhân viên bán
hàng và vẫn mua sách. Gặp ngẫu nhiên một khách trong nhà sách. Tính xác suất để người này:
a) không hỏi nhân viên bán hàng và cũng không mua sách;
b) không mua sách, biết rằng người này đã hỏi nhân viên bán hàng.
Câu 2. (2 điểm) Để thanh toán 4 triệu đồng tiền hàng, một khách hàng gian lận đã xếp lẫn 4 tờ 200
ngàn tiền giả với 16 tờ 200 ngàn tiền thật. Chủ cửa hàng rút ngẫu nhiên 3 tờ tiền đi kiểm tra và giao
hẹn nếu phát hiện có tiền giả thì cứ mỗi tờ tiền giả khách phải trả đền 600 ngàn đồng. Tính số tiền
phạt trung bình mà khách phải trả.
Câu 3. (2 điểm) Cho (X ,Y ) là biến ngẫu nhiên hai chiều có bảng phân phối xác suất đồng thời
như sau, trong đó c, p1 và p2 là các hằng số chưa biết: P(X = x,Y = y) X = c X = 0 X = 1 Y = 0 1/8 p1 1/4 Y = 1 1/10 p2 1/5
a) Xác định p1 và p2 sao cho X và Y độc lập.
b) Giả sử p1 = 1/5, tìm c sao cho X và Y không tương quan.
Câu 4. (2 điểm) Để ước lượng trọng lượng trung bình của một loại sản phẩm, người ta cân thử 36 sản
phẩm loại này và thu được bảng số liệu: Trọng lượng (kg) 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 Số sản phẩm 6 10 9 7 4
a) Xác định khoảng tin cậy đối xứng cho trọng lượng trung bình của loại sản phẩm nói trên với độ tin cậy 95%.
b) Sản phẩm có trọng lượng không quá 3,1 kg được đánh giá là loại B. Xác định tỷ lệ sản phẩm loại
B tối đa với độ tin cậy 95%.
Câu 5. (2 điểm) Với số liệu ở Câu 4 và với mức ý nghĩa 1% liệu có thể khẳng định rằng trọng lượng
trung bình của loại sản phẩm đó lớn hơn 3,1 kg hay không?
Phụ lục: Bảng các giá trị tới hạn:
Giá trị tới hạn phân phối chuẩn tắc (za)
Giá trị tới hạn phân phối Student α a 0,1 0,05 0,025 0,05 0,01 0,005 k za 1,282 1,645 1,96 12 1,782 2,681 3,055 a 0,01 0,005 0,001 15 1,753 2,606 2,947 za 2,326 2,576 3,090 27 1,703 2,473 2,771 2 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện 1.2
Học kỳ 20242 (Toán-Tin)
Câu 1. (2 điểm) Hai phòng thí nghiệm, mỗi phòng được giao làm 2 thí nghiệm độc lập. Xác suất thành
công trong từng thí nghiệm của phòng thứ nhất là 0,8 và của phòng thứ hai là 0,85. Phòng nào thành
công ít nhất một thí nghiệm được coi là hoàn thành nhiệm vụ, phòng nào thành công cả 2 thí nghiệm
được xếp loại xuất sắc. Giả sử hai phòng làm việc độc lập.
a) Tính xác suất để cả hai phòng cùng hoàn thành nhiệm vụ.
b) Tính xác suất để phòng thứ hai hoàn thành nhiệm vụ, biết rằng có đúng một phòng được xếp loại xuất sắc.
Câu 2. (2 điểm) Một robot thực hiện 8 lần gắp vật thể. Nếu gắp thành công ít nhất 5 lần thì được coi
là hoạt động hiệu quả. Xác suất để robot gắp thành công một lần là 0,75 và các lần gắp là độc lập.
Có 150 robot được thử nghiệm. Số robot được đánh giá là hoạt động hiệu quả có khả năng xảy ra cao nhất là bao nhiêu?
Câu 3. (2 điểm) Cho (X ,Y ) là biến ngẫu nhiên hai chiều có bảng phân phối xác suất đồng thời
như sau, trong đó c, p1 và p2 là các hằng số chưa biết: P(X = x,Y = y) X = c X = 0 X = 1 Y = 0 1/8 p1 1/4 Y = 1 1/10 p2 1/5
a) Xác định p1 và p2 sao cho X và Y độc lập.
b) Giả sử p1 = 1/5, tìm c sao cho X và Y không tương quan.
Câu 4. (2 điểm) Giả sử hàm lượng nước X (%) trong cam Cao Phong - Hòa Bình là biến ngẫu nhiên
có phân phối chuẩn X ∼ N ( 2
µ , σ ). Quan sát một mẫu gồm 25 quả, ta thu được số liệu như sau: X (%) 80 81 85,6 87 88,5 90 91 Số quả 2 3 5 7 4 3 1
a) Xét mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, . . . , X25). Đâu là ước lượng không chệch của µ, vì sao? A. X2
B. X1 + X2 + · · · + X25 C. X2 − X3 + X4
D. (X1 + X2 + · · · + X25)/24
b) Hãy tìm khoảng tin cậy cho µ với độ tin cậy 90%.
Câu 5. (2 điểm) Quan sát hai mẫu của hai biến ngẫu nhiên X ,Y với phương sai bằng nhau ta thu được kết quả sau: Tổng thể 1 Tổng thể 2 Kích thước mẫu 36 40 Trung bình mẫu 48 50
Phương sai mẫu hiệu chỉnh 5,8 5,9
Liệu có thể kết luận kỳ vọng của tổng thể 1 thấp hơn của tổng thể 2 hay không với mức ý nghĩa 0,05.
Phụ lục: Bảng các giá trị tới hạn:
Giá trị tới hạn pp chuẩn tắc
Giá trị tới hạn pp Student t(n, a) α a 0,1 0,05 0,025 0,1 0,05 0,025 n za 1,282 1,645 1,96 23 1,319 1,714 2,069 a 0,01 0,005 24 1,318 1,711 2,064 za 2,326 2,576 25 1,316 1,708 2,060 3 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện 1.3 Học kỳ 20241 (CTTN)
Câu 1. (2 điểm) Từ bộ bài tú lơ khơ 52 cây đã trộn kỹ rút ngẫu nhiên ra 3 cây. Gọi A là sự kiện "3 cây
rút ra có cây Át" và B là sự kiện "3 cây rút ra cùng chất Rô". Tính: a) P(A|B). b) P(B|A)/P(B). c) P(B|A)/P(B|A).  2x  nếu x ∈ [1; 4],
Câu 2. (2 điểm) Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X là f (x) = 15 0 nếu x / ∈ [1; 4].
Đặt Y = [X ], trong đó [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x (nghĩa là, [x] = 0 nếu 0 ≤ x < 1,
[x] = 1 nếu 1 ≤ x < 2, . . . ). Giả sử Z = 3Y − 1.
a) Tìm phân phối xác suất của Z. b) Tính E(Z).
Câu 3. (2 điểm) Người ta sử dụng hai phương pháp đo độ nhẵn bề mặt để đánh giá chất lượng giấy.
Các phép đo được ghi lại dưới dạng độ lệch so với độ nhẵn bề mặt theo đơn vị được mã hóa. Phân
phối xác suất đồng thời của hai phép đo (U và V ) là phân phối đều trên miền
D = {0 < u < 3, v > 0, u − 1 < v < u + 1},
nghĩa là fU,V (u, v) = c với u, v ∈ D.
a) Tìm hằng số c sao cho fU,V (u, v) là hàm mật độ xác suất đồng thời của hai phép đo.
b) Tính P(U < 0, 5; V < 0, 5).
Câu 4. (2 điểm)
1. Giả sử (X1, X2, . . . , X7) là một mẫu ngẫu nhiên được lập từ một tổng thể có kỳ vọng µ và phương sai 2
σ . Xét các ước lượng sau đây cho µ : X ˆ 1 + · · · + X7 2X1 − X3 + 2X7 Θ1 = và ˆ Θ2 = 7 3 a) ˆ Θ1 và ˆ
Θ2 có phải là các ước lượng không chệch cho µ không, tại sao?
b) Ước lượng nào tốt hơn và tốt hơn theo nghĩa nào?
2. Giả sử tuổi thọ (đơn vị: giờ) của loại bóng đèn 75 watt có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là
25 giờ. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 20 bóng đèn có tuổi thọ trung bình là 2014 giờ.
a) Xây dựng khoảng tin cậy đối xứng 95% cho tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn nói trên.
b) Nếu muốn chiều rộng của khoảng tin cậy ở ý a) không lớn hơn 5 giờ thì nên sử dụng kích thước mẫu là bao nhiêu?
Câu 5. (2 điểm)
1. Trong một mẫu ngẫu nhiên gồm 170 trục khuỷu ô tô, có 20 trục khuỷu có độ nhám bề mặt
không đạt thông số kỹ thuật. Dữ liệu này có đưa ra bằng chứng mạnh mẽ rằng tỷ lệ trục khuỷu
có độ nhám bề mặt không đạt thông số kỹ thuật vượt quá 0,10 không? Nêu và kiểm tra các giả
thuyết thích hợp, sử dụng mức ý nghĩa α = 0, 05. 4 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện
2. Đường kính của các thanh thép được sản xuất bằng hai máy tự động được giả thiết là có phân
phối chuẩn có cùng phương sai. Chọn hai mẫu ngẫu nhiên kích thước n1 = 13 và n2 = 16 có các
giá trị trung bình mẫu và phương sai mẫu lần lượt là x1 = 8, 86; s2 = 0, 3762 và x = 1 2 = 8, 73; s2 2
0, 3267. Có bằng chứng hỗ trợ cho tuyên bố rằng hai máy sản xuất ra các thanh thép có đường
kính trung bình khác nhau không với mức ý nghĩa α = 0, 05?
Phụ lục: Trích các bảng số 1 z (k)
Hàm phân phối chuẩn tắc R Φ(z) = √ e−t2/2dt
Phân phối Student P(T > t ) = α α 2π −∞ α z 0,178 1,000 1,645 0,05 0,025 0,005 k Φ(z) 0,5695 0,8413 0,9500 11 1,796 2,201 3,106 z 1,960 2,377 2,576 14 1,761 2,145 2,977 Φ(z) 0,9750 0,9933 0,9950 27 1,703 2,052 2,771 5 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện 1.4 Học kỳ 20241
Câu 1. (2 điểm) Cho A và B là hai sự kiện trong cùng một phép thử thỏa mãn P(A) = 0, 4; P(B) = 0, 5 và P(AB) = 0, 3.
a) A và B có xung khắc không? Tại sao? b) Tính P(A + B).  2x  nếu x ∈ [1; 4],
Câu 2. (2 điểm) Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X là f (x) = 15 0 nếu x / ∈ [1; 4].
Đặt Y = [X ], trong đó [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x (nghĩa là, [x] = 0 nếu 0 ≤ x < 1,
[x] = 1 nếu 1 ≤ x < 2, . . . ). Giả sử Z = 2Y + 1.
a) Tìm phân phối xác suất của Z. b) Tính E(Z).
Câu 3. (2 điểm) Người ta sử dụng hai phương pháp đo độ nhẵn bề mặt để đánh giá chất lượng giấy.
Các phép đo được ghi lại dưới dạng độ lệch so với độ nhẵn bề mặt theo đơn vị được mã hóa. Phân
phối xác suất đồng thời của hai phép đo (U và V ) là phân phối đều trên miền
D = {0 < u < 4, v > 0, u − 1 < v < u + 1},
nghĩa là fU,V (u, v) = c với u, v ∈ D.
a) Tìm hằng số c sao cho fU,V (u, v) là hàm mật độ xác suất đồng thời của hai phép đo.
b) Tính P(U < 0, 5; V < 0, 5).
Câu 4. (2 điểm)
1. Giả sử (X1, X2, . . . , X9) là một mẫu ngẫu nhiên được lập từ một tổng thể có kỳ vọng µ và phương sai 2
σ . Xét các ước lượng sau đây cho µ : X ˆ 1 + · · · + X9 3X1 − X5 + X9 Θ1 = và ˆ Θ2 = 9 3 a) ˆ Θ1 và ˆ
Θ2 có phải là các ước lượng không chệch cho µ không, tại sao?
b) Ước lượng nào tốt hơn và tốt hơn theo nghĩa nào?
2. Giả sử tuổi thọ (đơn vị: giờ) của loại bóng đèn 75 watt có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là
25 giờ. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 20 bóng đèn có tuổi thọ trung bình là 1014 giờ.
a) Xây dựng khoảng tin cậy đối xứng 95% cho tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn nói trên.
b) Nếu muốn chiều rộng của khoảng tin cậy ở ý a) không lớn hơn 6 giờ thì nên sử dụng kích thước mẫu là bao nhiêu?
Câu 5. (2 điểm)
1. Trong một mẫu ngẫu nhiên gồm 85 trục khuỷu ô tô, có 10 trục khuỷu có độ nhám bề mặt không
đạt thông số kỹ thuật. Dữ liệu này có đưa ra bằng chứng mạnh mẽ rằng tỷ lệ trục khuỷu có độ
nhám bề mặt không đạt thông số kỹ thuật vượt quá 0,10 không? Nêu và kiểm tra các giả thuyết
thích hợp, sử dụng mức ý nghĩa α = 0, 05. 6 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện
2. Đường kính của các thanh thép được sản xuất bằng hai máy tự động được giả thiết là có phân
phối chuẩn có cùng phương sai. Chọn hai mẫu ngẫu nhiên kích thước n1 = 13 và n2 = 16 có các
giá trị trung bình mẫu và phương sai mẫu lần lượt là x1 = 8, 73; s2 = 0, 3567 và x = 1 2 = 8, 68; s2 2
0, 3765. Có bằng chứng hỗ trợ cho tuyên bố rằng hai máy sản xuất ra các thanh thép có đường
kính trung bình khác nhau không với mức ý nghĩa α = 0, 05?
Phụ lục: Trích các bảng số 1 z (k)
Hàm phân phối chuẩn tắc R Φ(z) = √ e−t2/2dt
Phân phối Student P(T > t ) = α α 2π −∞ α z 0,178 1,000 1,645 0,05 0,025 0,005 k Φ(z) 0,5695 0,8413 0,9500 11 1,796 2,201 3,106 z 1,960 2,377 2,576 14 1,761 2,145 2,977 Φ(z) 0,9750 0,9933 0,9950 27 1,703 2,052 2,771 7 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện 1.5 Học kỳ 20233
Câu 1. (2 điểm) Một lô hàng được cung cấp bởi 3 nhà cung cấp A, B, C. Số lượng sản phẩm được
cung cấp từ A cao gấp 2 lần từ B và gấp 4 lần từ C. Tỷ lệ phế phẩm của 3 nhà cung cấp tương ứng là
0,06; 0,04; 0,02. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng đó thì thấy là phế phẩm. Tính xác suất sản
phẩm đó không phải của nhà cung cấp A.
Câu 2. (2 điểm)
1. Một dây chuyền tự động khi hoạt động bình thường sản xuất ra phế phẩm với xác suất là 1 − p
và được điều chỉnh ngay lập tức khi sản xuất ra phế phẩm. Tính trung bình số sản phẩm được
sản xuất ra giữa 2 lần điều chỉnh liên tiếp.
2. Cho X1, X2, X3, X4 là các biến ngẫu nhiên độc lập theo luật phân phối Poa-xông với tham số
λ1 = 5, λ2 = 4, λ3 = 3, λ4 = 2. Tính xác suất số nhỏ nhất trong các số X1, X2, X3, X4 không nhỏ hơn 1.
Câu 3. (2 điểm) Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất: (e−x, x > 0 f (x) = 0, x ≤ 0 a) Tính P(X < 3).
b) Tính kỳ vọng, phương sai của X .
c) Xác định hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = 2X − 3.
Câu 4. (2 điểm) Một mẫu ngẫu nhiên gồm 10 thùng hàng được chọn ra từ tất cả các thùng hàng được
sản xuất bởi nhà máy A trong một tháng. Trọng lượng của 10 thùng hàng lần lượt như sau (đơn vị tính là kg): 20,5 16,7 18,9 17,5 19,3 18,1 21,3 19,4 17,7 21,6
a) Tìm khoảng tin cậy cho trọng lượng trung bình các thùng hàng loại trên với độ tin cậy 90%. Biết
rằng trọng lượng thùng hàng được chọn là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn.
b) Nếu độ tin cậy 85% thì khoảng ước lượng cho trọng lượng trung bình sẽ rộng hơn, hẹp hơn hay
bằng khoảng của ý (a)? Vì sao?
Câu 5. (2 điểm) Tại bệnh viện A, bệnh ung thư đại tràng được điều trị theo hai phác đồ. Sau một thời
gian thấy kết quả như sau:
• Phác đồ I: Trong 150 bệnh nhân được điều trị có 78 bệnh nhân khỏi bệnh.
• Phác đồ II: Trong 250 bệnh nhân được điều trị có 102 bệnh nhân khỏi bệnh.
Với mức ý nghĩa 5%, hỏi có thể khẳng dịnh: "Điều trị theo phác đồ I tốt hơn phác đồ II" hay không? Chú ý:
Phân vị chuẩn tắc: u0,975 = 1, 96; u0,95 = 1, 645; u0,9 = 1, 282.
Phân vị Student: t(9; 0, 975) = 2, 26; t(9; 0, 95) = 1, 833; t(1; 0, 975) = 12, 71; t(2; 0, 975) = 4, 303. 8 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện 1.6 Học kỳ 20232
Câu 1. (2.0 điểm) Trong một phép thử cho các sự kiện A và B thỏa mãn P(A) = 0, 5; P(B) = 0, 4; P(AB) = 0, 3. a) Tính P(AB). b) Tính P(A|B).
Câu 2. (2.0 điểm) Số lượt truy cập vào một trang web A trong khoảng thời gian bất kỳ là biến ngẫu
nhiên có phân phối Poisson với trung bình λ lượt truy cập mỗi giây. Xác suất có ít nhất một lượt truy
cập vào trang web A trong vòng 3 giây là 0,59343. a) Tìm tham số λ .
b) Tính xác suất trang web A có ít nhất một lượt truy cập trong vòng 5 giây tới.
Câu 3. (2.0 điểm) Hàm mật độ xác suất đồng thời của hai biến ngẫu nhiên X và Y là
(kx2y, nếu 0 < x < 1, 0 < y < 1, fX,Y (x, y) = 0, nếu trái lại. a) Tìm hằng số k.
b) Tìm fX (x), hàm mật độ xác suất biên của X; từ đó tính E(Y |X = x), kỳ vọng có điều kiện của Y
với điều kiện X = x, 0 < x < 1.
Câu 4. (2.0 điểm) Giả sử tuổi thọ (đơn vị: giờ) của một loại bóng đèn là biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn với độ lệch chuẩn là 10 giờ. Quan sát tuổi thọ của 24 bóng đèn loại này, thu được kết quả (giờ): 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019, 2020, 2021, 2022, 2023, 2024, 2024, 2025, 2026, 2027, 2028, 2029, 2030, 2031, 2032, 2033, 2034, 2035.
a) Xây dựng khoảng tin cậy đối xứng 99% cho tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn nói trên.
b) Nếu muốn sai số của khoảng tin cậy đối xứng 95% cho tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn này
không quá 2 giờ thì cần một mẫu kích thước bao nhiêu?
Câu 5. (2.0 điểm) Quan sát hai mẫu ngẫu nhiên độc lập kích thước n1 = 16 và n2 = 13 từ hai tổng thể có phân phối chuẩn, X 2
i ∼ N (µi, σ ), i = 1, 2, với phương sai bằng nhau ta thu được kết quả sau: i Tổng thể 1 Tổng thể 2 Trung bình mẫu 34,5 32,2
Phương sai mẫu hiệu chỉnh 5,7 5,9
a) Liệu có thể kết luận kỳ vọng của tổng thể 1 cao hơn của tổng thể 2 hay không với mức ý nghĩa 0,01. b) Tính P(X1 > 36, 89).
Phụ lục: Trích các bảng số 1 z (k) Giá trị hàm R Φ(z) = √ e−t2/2dt
Giá trị tới hạn của phân phối Student: P(T > t ) = α α 2π −∞ α z 0,178 1,000 1,645 0,05 0,01 0,005 k Φ(z) 0,5695 0,8413 0,95 12 1,782 2,681 3,055 z 1,96 2,326 2,576 15 1,753 2,606 2,947 Φ(z) 0,975 0,99 0,995 27 1,703 2,473 2,771 9 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện 1.7
Học kỳ 20232 (Toán-Tin)
Câu 1. (2.0 điểm)
1. Trong một phép thử cho hai sự kiện A và B thỏa mãn P(A) = 0, 5; P(B) = 0, 4; P(AB) = 0, 3. Tính P(AB).
2. Có 5 hộp được đánh số từ 1 đến 5 và 20 viên bi giống nhau. Bỏ ngẫu nhiên 20 viên bi vào trong
5 hộp (ta chỉ quan tâm đến mỗi hộp có bao nhiêu viên bi). Tính số trường hợp để mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi.
Câu 2. (2.0 điểm) Số lượt truy cập vào một trang web A trong khoảng thời gian bất kỳ là biến ngẫu
nhiên có phân phối Poisson với trung bình λ lượt truy cập mỗi giây. Xác suất có ít nhất một lượt truy
cập vào trang web A trong vòng 3 giây là 0,59343. a) Tìm tham số λ .
b) Quan sát 10 trang web có lượt truy cập như trang web A. Tính xác suất trong vòng 5 giây tới có
đúng 8 trang web có lượt truy cập.
Câu 3. (2.0 điểm) Hàm mật độ xác suất đồng thời của hai biến ngẫu nhiên X và Y là
(kx2y, nếu 0 < x < 1, 0 < y < 1, fX,Y (x, y) = 0, nếu trái lại. a) Tìm hằng số k.
b) Tính E(Y |X = x), kỳ vọng có điều kiện của Y với điều kiện X = x, 0 < x < 1.
Câu 4. (2.0 điểm) Giả sử tuổi thọ (đơn vị: giờ) của một loại bóng đèn là biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn với độ lệch chuẩn là 10 giờ. Quan sát tuổi thọ của 24 bóng đèn loại này, thu được kết quả (giờ): 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019, 2020, 2021, 2022, 2023, 2024, 2024, 2025, 2026, 2027, 2028, 2029, 2030, 2031, 2032, 2033, 2034, 2035.
a) Tìm khoảng tin cậy đối xứng 99% cho tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn nói trên.
b) Nếu muốn sai số của khoảng tin cậy đối xứng 95% cho tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn này
không quá 2 giờ thì cần một mẫu kích thước bao nhiêu?
Câu 5. (2.0 điểm) Quan sát hai mẫu ngẫu nhiên độc lập kích thước n1 = 16 và n2 = 13 từ hai tổng thể có phân phối chuẩn, X 2
i ∼ N (µi, σ ), i = 1, 2, với phương sai bằng nhau ta thu được kết quả sau: i Tổng thể 1 Tổng thể 2 Trung bình mẫu 34,5 32,2
Phương sai mẫu hiệu chỉnh 5,7 5,9
a) Liệu có thể kết luận kỳ vọng của tổng thể 1 cao hơn của tổng thể 2 hay không với mức ý nghĩa 0,01. b) Tính P(X1 > 36, 89).
Phụ lục: Trích các bảng số 1 z (k) Giá trị hàm R Φ(z) = √ e−t2/2dt
Giá trị tới hạn của phân phối Student: P(T > t ) = α α 2π −∞ α z 0,178 1,000 1,645 0,05 0,01 0,005 k Φ(z) 0,5695 0,8413 0,95 12 1,782 2,681 3,055 z 1,96 2,326 2,576 15 1,753 2,606 2,947 Φ(z) 0,975 0,99 0,995 27 1,703 2,473 2,771 10 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện 1.8 Học kỳ 20231 (CTTN)
Câu 1. (2.0 điểm) Có hai hộp đựng bóng đèn cùng loại. Hộp I có 6 bóng đèn đỏ, 4 bóng đèn xanh;
hộp II có 7 bóng đèn đỏ, 3 bóng đèn xanh.
a) Từ mỗi hộp lấy ra 1 bóng đèn. Tính xác suất 2 bóng đèn được lấy ra là cùng màu.
b) Lấy ngẫu nhiên một hộp, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 2 bóng đèn. Tính xác suất lấy được 2 bóng đèn cùng màu.
Câu 2. (2.0 điểm) Trong văn phòng có 2 máy tính và 1 máy in với xác suất sự cố trong tuần của mỗi
máy tính là 0,05 và của máy in là 0,2.
a) Tính giá trị trung bình của số máy bị sự cố trong tuần.
b) Biết trong tuần có nhiều nhất 2 máy bị sự số. Hỏi trung bình trong tuần có bao nhiêu máy tính bị sự cố trong số đó?
Câu 3. (2.0 điểm) Hàm mật độ xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X ,Y ) có dạng
(k(x − y) nếu 0 < y < x < 1, fX,Y (x, y) = 0 nếu trái lại. a) Tìm hằng số k.
b) Tính E(Y |X = x), kỳ vọng có điều kiện của Y với điều kiện X = x, 0 < x < 1.
Câu 4. (2.0 điểm) Giả sử trọng lượng sản phẩm (đơn vị: gam) do một nhà máy sản xuất ra là biến
ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Cân thử trọng lượng 22 sản phẩm của nhà máy, ta thu được kết quả dưới đây: 20,8 11,1 15,9 8,5 16,4 16,4 16,4 19,5 8,9 13,7 12,9 12,4 12,4 15,1 18,6 17,7 16,8 20,5 9,8 14,6 12,9 12,4
a) Tìm khoảng tin cậy đối xứng 95% cho trọng lượng trung bình của loại sản phẩm nói trên.
b) Có ý kiến cho rằng trọng lượng trung bình của loại sản phẩm này lớn hơn 14 gam. Hãy cho kết
luận về ý kiến nêu trên với mức ý nghĩa 5%.
Câu 5. (2.0 điểm) Một phân xưởng có hai máy A và B cùng sản xuất một loại sản phẩm.
a) Để đánh giá tỷ lệ sản phẩm loại II do máy A sản xuất, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 200 sản phẩm
thấy có 30 sản phẩm loại II. Giả sử máy A sản xuất 10.000 sản phẩm, theo anh (chị), có bao nhiêu
sản phẩm là loại II với độ tin cậy 1 − α = 95%.
b) Kiểm tra ngẫu nhiên 150 sản phẩm do máy B sản xuất thấy có 18 sản phẩm loại II. Với mức ý
nghĩa 5%, có thể xem tỷ lệ sản phẩm loại II do máy A và B sản xuất là như nhau hay không?
Phụ lục: Trích các bảng số 1 x (n) Giá trị hàm R Φ(x) = √ e−t2/2dt Phân vị Student P(X < t ) = α α 2π −∞ α x 1,282 1,645 1,96 0,950 0,975 0,995 n Φ(x) 0,9 0,95 0,975 10 1,812 2,228 3,169 x 2,326 2,576 2,377 21 1,721 2,080 2,831 Φ(x) 0,99 0,995 0,9933 22 1,717 2,074 2,819 x 1 Z Hàm Laplace φ (x) := √ e−t2/2dt = Φ(x) − 0, 5. 2π 0 11 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện 1.9 Học kỳ 20231
Câu 1. (2.0 điểm) Có hai hộp đựng bóng đèn cùng loại. Hộp I có 6 bóng đèn đỏ, 4 bóng đèn xanh;
hộp II có 7 bóng đèn đỏ, 3 bóng đèn xanh.
a) Từ mỗi hộp lấy ra 1 bóng đèn. Tính xác suất 2 bóng đèn được lấy ra là cùng màu.
b) Lấy ngẫu nhiên một hộp, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 2 bóng đèn. Tính xác suất lấy được 2 bóng đèn cùng màu.
Câu 2. (2.0 điểm) Cho biến ngẫu nhiên W có phân phối nhị thức với tham số n = 30 và p = 0, 5. a) Tính E(W ) và E(W 2).
b) Tính P(14 < W < 18) bằng công thức chính xác và công thức xấp xỉ.
Câu 3. (2.0 điểm) Hàm mật độ xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X ,Y ) có dạng
(k(x − y) nếu 0 < y < x < 1, fX,Y (x, y) = 0 nếu trái lại. a) Tìm hằng số k.
b) Tính E(Y |X = x), kỳ vọng có điều kiện của Y với điều kiện X = x, 0 < x < 1.
Câu 4. (2.0 điểm) Giả sử trọng lượng sản phẩm (đơn vị: gam) do một nhà máy sản xuất ra là biến
ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Cân thử trọng lượng 22 sản phẩm của nhà máy, ta thu được kết quả dưới đây: 20,8 11,1 15,9 8,5 16,4 16,4 16,4 19,5 8,9 13,7 12,9 12,4 12,4 15,1 18,6 17,7 16,8 20,5 9,8 14,6 12,9 12,4
a) Tìm khoảng tin cậy đối xứng 95% cho trọng lượng trung bình của loại sản phẩm nói trên.
b) Có ý kiến cho rằng trọng lượng trung bình của loại sản phẩm này lớn hơn 14 gam. Hãy cho kết
luận về ý kiến nêu trên với mức ý nghĩa 5%.
Câu 5. (2.0 điểm) Một phân xưởng có hai máy A và B cùng sản xuất một loại sản phẩm.
a) Để đánh giá tỷ lệ sản phẩm loại II do máy A sản xuất, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 200 sản phẩm
thấy có 30 sản phẩm loại II. Giả sử máy A sản xuất 10.000 sản phẩm, theo anh (chị), có bao nhiêu
sản phẩm là loại II với độ tin cậy 1 − α = 95%.
b) Kiểm tra ngẫu nhiên 150 sản phẩm do máy B sản xuất thấy có 18 sản phẩm loại II. Với mức ý
nghĩa 5%, có thể xem tỷ lệ sản phẩm loại II do máy A và B sản xuất là như nhau hay không? Phụ lục: 1 z Trích bảng giá trị hàm R Φ(z) := √ e−t2/2dt 2π −∞ x 0,18 0,22 0,37 0,45 0,55 0,67 0,73 0,89 0,91 Φ(x) 0,57142 0,58706 0,64431 0,67364 0,70884 0,74857 0,76730 0,81327 0,81859 x 1,10 1,12 1,28 1,34 1,57 1,645 1,96 2,326 2,576 Φ(x) 0,86433 0,86864 0,89973 0,90988 0,94179 0,95 0,975 0,99 0,995 (v)
Trích bảng giá trị tới hạn của phân phối Student: P(T > t ) = α α , ở đây T ∼ t(v) 12 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện α 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 v 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 13 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện 1.10 Học kỳ 20222
Câu 1. (2.0 điểm) Xét dãy n phép thử độc lập, mỗi phép thử ta gieo 2 con xúc xắc cân đối đồng chất một lần.
a) Với n = 10, tính xác suất để có đúng 5 phép thử mà mỗi phép thử có tổng số chấm thu được bằng 7.
b) Với n = 100, tính xác suất để có nhiều hơn 25 phép thử mà mỗi phép thử có tổng số chấm thu được bằng 7.
Câu 2. (2.0 điểm) Có hai lô sản phẩm cùng loại. Lô thứ nhất có 7 sản phẩm loại I và 3 sản phẩm loại
II; lô thứ hai có 8 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II. Từ lô thứ nhất lấy ra 2 sản phẩm, từ lô thứ hai lấy ra 1 sản phẩm.
a) Tính xác suất để 3 sản phẩm được lấy ra là cùng loại.
b) Gọi W là "số sản phẩm loại I có trong 3 sản phẩm được lấy ra". Tính E(W 2).
Câu 3. (2.0 điểm) Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối đều trên khoảng (1; 2) và với điều kiện
X = x thì biến ngẫu nhiên Y có phân phối đều trên khoảng (2; x).
a) Tìm hàm mật độ xác suất đồng thời của (X ,Y ).
b) Tính E(X |Y = y), kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Y = y, 1 < y < 2.
Câu 4. (2.0 điểm) Một nhà máy có hai phân xưởng A và B sản xuất cùng một loại sản phẩm. Người ta
cân ngẫu nhiên trọng lượng của 100 sản phẩm này do phân xưởng A sản xuất và thu được dữ liệu sau: Trọng lượng (gam) (118;120] (120;122] (122;124] (124;126] (126;128] (128;130] Số sản phẩm 10 15 20 30 15 10
a) Tìm khoảng tin cậy đối xứng cho trọng lượng trung bình của loại sản phẩm nói trên do phân xưởng
A sản xuất với độ tin cậy 99%.
b) Cân ngẫu nhiên 200 sản phẩm do phân xưởng B sản xuất thấy trọng lượng trung bình là 125 gam
và độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh là 3,01 gam. Với mức ý nghĩa 1%, có thể xem trọng lượng trung
bình của sản phẩm do hai phân xưởng A và B sản xuất là như nhau hay không?
Câu 5. (2.0 điểm) Sử dụng dữ liệu ở Câu 4.
a) Nếu yêu cầu độ tin cây 95%, sai số của ước lượng khoảng cho tỷ lệ những sản phẩm có trọng lượng
lớn hơn 126 gam do phân xưởng A sản xuất là 0,05, thì cần cân bao nhiêu sản phẩm do phân xưởng này sản xuất?
b) Cân ngẫu nhiêu 200 sản phẩm do phân xưởng B sản xuất thấy có 60 sản phẩm có trọng lượng lớn
hơn 126 gam. Với mức ý nghĩa 5%, có thể xem tỷ lệ sản phẩm có trọng lượng lớn hơn 126 gam do
phân xưởng B sản xuất là cao hơn so với phân xưởng A hay không? 1 x
Phụ lục: Trích bảng giá trị hàm R Φ(x) := √ e−t2/2dt 2π −∞ x 0,49 0,63 1,645 1,83 1,96 1,97 2,326 2,576 Φ(x) 0,68739 0,73565 0,95 0,96638 0,975 0,97558 0,99 0,995 1 x Hàm Laplace R φ (x) := √ e−t2/2dt = Φ(x) − 0, 5. 2π 0 14 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện Đáp án Đề 20222
Câu 1. (2.0 điểm) 1 5 5 5
a) Áp dụng công thức Bernoulli: P10(5) = C5 . . ≈ 0, 0130 10 6 6
b) Gọi Z là "số phép thử có tổng số chấm thu được bằng 7". Khi đó: Z ∼ N (np, np(1 − p)) với 1 n = 100, p = . 6
• P(Z > 25) ≈ 0, 03362 hoặc P(Z > 25) ≈ 0, 02442
Câu 2. (2.0 điểm) C2.C1 + C2.C1 29 a) p = 7 8 3 2 = ≈ 0, 3867 C2 .C1 75 10 10
b) Gọi W là "số sản phẩm loại I có trong 3 sản phẩm được lấy ra". SW = {0; 1; 2; 3}. i 0 1 2 3
Bảng phân phối xác suất của W là: 6 66 210 168 P(W = i) 450 450 450 450 3
E(W 2) = ∑ i2.P(W = i) = 5,3733. i=0
Câu 3. (2.0 điểm) ( ( 1, nếu 1 < x < 2
1 , nếu 1 < y < x < 2, a) f x−1 X (x) = và fY|X=x(y) = 0, nếu trái lại 0, nếu trái lại (
1 , nếu 1 < y < x < 2 Suy ra, f x−1
X ,Y (x, y) = fX (x) fY |X=x(y) = 0, nếu trái lại  ∞ Z 2 dx ( Z  , nếu 1 < y < 2 − ln(y − 1), nếu 1 < y < 2 b) fY (y) = fX,Y (x, y)dx = y x − 1 = 0, nếu trái lại −  ∞ 0, nếu trái lại  1 f − , nếu 1 < y < x < 2 ⇒ X ,Y (x, y) f (x − 1) ln(y − 1) X |Y =y(x) = = fY (y) 0, nếu trái lại ∞ 2 Z Z xdx ⇒ E(X|Y = y) = x fX|Y=y(x)dx = − (x−1)ln(y−1) −∞ y 15 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện 1.11 Học kỳ 20221 (CTTN)
Câu 1. (2.0 điểm) Trong kho có 3 bao hạt giống loại A, 5 bao hạt giống loại B và 2 bao hạt giống loại
C. Xác suất nảy mầm của hạt giống loại A, loại B, loại C tương ứng là 0,8; 0,9; 0,7. Chọn ngẫu nhiên
một bao hạt giống và lấy ngẫu nhiên 5 hạt giống từ bao đã chọn đem gieo thử.
a) Tính xác suất để trong 5 hạt giống được chọn có đúng 3 hạt nảy mầm.
b) Biết trong 5 hạt giống được chọn có 3 hạt nảy mầm, khả năng các hạt giống đó được lấy từ bao hạt
giống loại nào là cao nhất?
Câu 2. (2.0 điểm) Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X tuân theo luật phân phối mũ với tham số λ = 7.
Định nghĩa biến ngẫu nhiên Y = [X ] là số nguyên lớn nhất không vượt quá X (nghĩa là, [x] = 0 nếu
0 ≤ x < 1, [x] = 1 nếu 1 ≤ x < 2, . . . ). a) Tính E(Y ).
b) Nếu xem biến ngẫu nhiên Y là số chu kỳ đã hoạt động của một máy trước khi hỏng. Tính xác suất
để máy vẫn hoạt động khi kết thúc chu kỳ thứ 10, biết rằng máy vẫn hoạt động tốt ở trước chu kỳ thứ 6.
Câu 3. (2.0 điểm) Giả sử X1 và X2 là hai biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất đồng thời:
(81e−9x2 nếu 0 < x1 < x2 fX (x . 1,X2 1, x2) = 0 nếu trái lại
a) Tìm hàm mật độ xác suất biên của X1. b) Tìm E(X2|X1 = x1).
Câu 4. (2.0 điểm) Cân thử trọng lượng 100 sản phẩm do một nhà máy sản xuất ta thu được bảng số liệu sau: Trọng lượng (gam) [50-52) [52-54) [54-56) [56-58) [58-60) [60-62) [62-64) Số sản phẩm 2 9 21 31 22 12 3
a) Tìm khoảng tin cậy cho trọng lượng trung bình của các sản phẩm nói trên với độ tin cậy 95%.
b) Tìm ước lượng khoảng cho tỷ lệ sản phẩm có trọng lượng từ 60 gam với độ tin cậy 99%.
Câu 5. (2.0 điểm) Năng suất Y1 của giống lúa A và năng suất Y2 của giống lúa B là các biến ngẫu
nhiên chuẩn có cùng phương sai. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 10 thửa ruộng cấy giống lúa A và 9 thửa
ruộng cấy giống lúa B sau khi thu hoạch ta thu được kết quả: Y1 (tấn/ha) 5,8 6,2 6,9 6,4 6,7 5,9 6,1 5,6 6,5 6,3 Y2 (tấn/ha) 5,9 6,3 6,2 6,5 6,6 6,1 6,0 6,8 6,7
Với mức ý nghĩa α = 5%, năng suất của hai giống lúa có như nhau không?
Phụ lục: Trích các bảng số 1 x (n) Giá trị hàm R Φ(x) = √ e−t2/2dt Phân vị Student P(X < t ) = α α 2π −∞ α x 1,282 1,645 1,96 0,950 0,975 0,995 n Φ(x) 0,9 0,95 0,975 10 1,812 2,228 3,169 x 2,326 2,576 2,377 9 1,833 2,262 3,25 Φ(x) 0,99 0,995 0,9933 17 1,74 2,11 2,898 x 1 Z Hàm Laplace φ (x) := √ e−t2/2dt = Φ(x) − 0, 5. 2π 0 16 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện 1.12 Học kỳ 20221
Câu 1. (2.0 điểm) Có 3 kiện hàng, mỗi kiện có 10 sản phẩm trong đó số lượng sản phẩm loại A ở mỗi
kiện hàng lần lượt là 8, 5 và 2. Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng, rồi từ kiện hàng đó lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm.
a) Tính xác suất để 2 sản phẩm đó đều là sản phẩm loại A.
b) Nếu trong 2 sản phẩm lấy ra đều là loại A, trả 2 sản phẩm đó lại kiện hàng rồi lấy ngẫu nhiên từ
kiện hàng đó ra 1 sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm lấy được lần sau không phải là sản phẩm loại A.
Câu 2. (2.0 điểm) Biết rằng thời gian chờ đồ ăn của mỗi khách hàng tại một cửa hàng là biến ngẫu  e−x/5  , x > 0
nhiên X (phút) có hàm mật độ xác suất: f (x) = 5 . 0, x ≤ 0
a) Tính xác suất để thời gian chờ đồ ăn của một khách hàng nằm trong khoảng từ 5 đến 10 phút.
b) Biết rằng một người khách đã chờ một lúc nhưng chưa có đồ ăn, tính xác suất người này phải chờ
ít nhất 5 phút nữa mới có đồ ăn.
Câu 3. (2.0 điểm) Cho X ,Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất đồng thời: X 1 3 4 8 Y 3 0,15 0,10 0,25 0,04 6 0,30 0,06 0,03 0,07
a) Tìm kỳ vọng và phương sai của X .
b) Tìm kỳ vọng của X khi biết Y = 3.
Câu 4. (2.0 điểm) Giả sử mức hao phí nguyên liệu (gam) để làm ra một đơn vị sản phẩm là một biến
ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Quan sát 28 sản phẩm ta thu được số liệu sau:
Lượng nguyên liệu hao phí (gam) 18,75 19,25 19,75 20,25 20,75 Số sản phẩm 2 5 8 10 3
a) Tìm khoảng tin cậy cho mức hao phí nguyên liệu trung bình cho một đơn vị sản phẩm với độ tin cậy 95%.
b) Nếu độ tin cậy là 99% thì độ dài khoảng tin cậy sẽ tăng lên hay giảm xuống, vì sao?
Câu 5. (2.0 điểm) Với số liệu ở câu 4 và với mức ý nghĩa 1%, hỏi có thể khẳng định "mức hao phí
nguyên liệu trung bình cho một đơn vị sản phẩm thấp hơn 20 gam" hay không?
Phụ lục: Phân vị chuẩn tắc: u0,95 = 1, 645; u0,975 = 1, 96; u0,99 = 2, 326; u0,995 = 2, 576. p 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 n
Phân vị Student tnp với P(T < tnp) = p 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 17 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện 1.13 Học kỳ 20213
Câu 1. (2.0 điểm) Một hệ thống điện gồm 15 thành phần hoạt động độc lập nhau. Giả sử xác suất để
mỗi thành phần của hệ thống bị lỗi đều là 0,2.
a) Tính xác suất để hệ thống điện có đúng 3 thành phần bị lỗi.
b) Tính kỳ vọng và phương sai của số thành phần bị lỗi của hệ thống điện này.
Câu 2. (2.0 điểm) Nhân viên của một hãng điện tử sẽ được cử đến một khu vực để hỗ trợ kỹ thuật nếu
khu vực đó có ít nhất 3 đơn đặt hàng điện tử của hãng. Giả sử số lượng đơn hàng trong một tuần là
một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson và với một khu vực có 100000 dân thì số lượng đơn hàng
trung bình (trong một tuần) là 0,2.
a) Tính xác suất để trong một tuần có nhân viên của hãng được cử đến một khu vực có 700000 dân.
b) Tính xác suất để ở khu vực có 700000 dân, người đầu tiên đặt đơn hàng phải chờ nhiều hơn hai
tuần để được gặp nhân viên của hãng.
Câu 3. (2.0 điểm) Giả sử thời gian làm bài tập môn Xác suất thống kê của hai sinh viên B và C là các
biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối mũ với các tham số λ1 = 5, λ2 = 3 tương ứng. Ký hiệu
hai biến ngẫu nhiên này là X1 và X2.
a) Tìm hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều (X1, X2).
b) Tìm xác suất để B hoàn thành bài tập trước C.
Câu 4. (2.0 điểm) Trọng lượng (gam) của một loại sản phẩm là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N ( 2
µ , σ ) với σ = 25 gam. Cân thử trọng lượng của 20 sản phẩm loại này ta được dữ liệu sau:
2005; 2006; 2007; 2008; 2009; 2010; 2011; 2012; 2013; 2014; 2014; 2015; 2016; 2017; 2018; 2019; 2020; 2021; 2022; 2023 (gam).
a) Với mức ý nghĩa 5% có thể nói rằng trọng lượng trung bình của loại sản phẩm nói trên là 2010 gam hay không?
b) Nếu muốn độ tin cậy khi ước lượng trọng lượng trung bình loại sản phẩm nói trên bằng khoảng tin
cậy đối xứng là 99% và sai số của ước lượng này nhỏ hơn 3 gam thì cần cân bao nhiêu sản phẩm?
Câu 5. (2.0 điểm) Hai máy M1 và M2 của một công ty sản xuất cùng loại sản phẩm. Kiểm tra ngẫu
nhiên 1250 sản phẩm do máy M1 sản xuất thấy 50 sản phẩm lỗi; kiểm tra 1800 sản phẩm do máy M2
sản xuất thấy 45 sản phẩm lỗi.
a) Với mức ý nghĩa 1%, có thể cho rằng tỷ lệ sản phẩm lỗi do hai máy sản xuất là như nhau không?
b) Ước lượng khoảng cho tỷ lệ sản phẩm lỗi do máy M1 sản xuất với độ tin cậy 95%.
Phụ lục: Trích các bảng số 1 x (n) Giá trị hàm R Φ(x) = √ e−t2/2dt Phân vị Student P(X < t ) = α α 2π −∞ α x 0,1786 1,585 1,645 0,95 0,975 0,99 n Φ(x) 0,5692 0,9429 0,95 19 1,729 2,093 2,539 x 1,96 2,326 2,576 20 1,725 2,086 2,528 Φ(x) 0,975 0,99 0,995 21 1,721 2,080 2,518 x 1 Z Hàm Laplace φ (x) := √ e−t2/2dt = Φ(x) − 0, 5. 2π 0 18 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện Đáp án Đề 20213
Câu 1. (2.0 điểm)
a) Gọi X là số thành phần bị lỗi. Ta có X ∼ B(n, p) với n = 15; p = 0, 2.
Xác suất cần tính là: P3(15) = C3 .0, 23.(1 − 0, 2)15−3 ≈ 0, 2501 15
b) E(X ) = np = 3; V (X ) = np(1 − p) = 2, 4
Câu 2. (2.0 điểm)
a) Gọi X là số lượng đơn hàng trong 1 tuần ở khu vực có 700000 dân.
Ta có X ∼ P(λ ) với λ = 0, 2 × 7 = 1, 4.
• Xác suất để trong 1 tuần có nhân viên đến chính là xác suất để có ít nhất 3 đơn hàng. Vậy xác 1, 40 1, 41 1, 42
suất cần tính là: P(X ≥ 3) = 1 − P(X < 3) = e−1,4 + + ≈ 0, 1665 0! 1! 2! b)
Câu 3. (2.0 điểm) ( ( 5e−5x1, x1 ≥ 0 3e−3x2, x2 ≥ 0 a) Ta có: fX (x ; f (x 1 1) = X 2) = 0, x 2 1 < 0 0, x2 < 0
(15e−5x1−3x2, x1 ≥ 0,x2 ≥ 0
Vì X 1, X2 độc lập nên fX (x (x (x 1,X2 1, x2) = fX1 1). fX2 2) = 0, trái lại +∞ +∞ Z Z b) P(X1 < X2) = dx1 15e−5x1−3x2dx2 = 0, 625 0 x1
Câu 4. (2.0 điểm)
a) Gọi X là trọng lượng của sản phẩm. X ∼ N ( 2 µ , σ ) với σ = 25.
Cặp giả thuyết: H0 : µ = µ0; H1 : µ ̸= µ0, với µ0 = 2010. X − µ0 √
Chọn tiêu chuẩn kiểm định U =
n nếu H0 đúng. Khi đó U ∼ N (0, 1). σ • Với
α = 0, 05, miền bác bỏ H0: W = − ∪ u = (− α ∞; −u1−α/2 1−α/2; +∞
∞; −1, 96) ∪ (1, 96; +∞) x − µ0 √
• n = 20; µ0 = 2010, x = 2014, σ = 25 ⇒ uqs = n ≈ 0, 7155 σ Do uqs /
∈ W nên ta chưa đủ cơ sở bác bỏ H α 0.
Vậy chưa có cơ sở để khẳng định trọng lượng trung bình của loại sản phẩm là 2010 gam. X − µ0 √
b) Cần ước lượng cho kỳ vọng E(X ) = µ. Chọn thống kê U = n ∼ N (0, 1). σ σ σ
• Khoảng tin cậy cho E(X ) là x − u √ √ 1− ; x + u α /2 n 1−α/2 n
γ = 1 − α = 0, 99 ⇒ α = 0, 01 ⇒ u1−α/2 = u0,995 = 2, 58. σ σ 2
• Sai số của ước lượng trên: u √ 1− < 3 ⇒ n > u
= 462, 25. Cần cân tối thiểu α /2 n 1−α/2. 3 463 sản phẩm. 19 Đề thi XSTK
Mảng Học tập Đội Điện
Câu 5. (2.0 điểm)
a) Gọi p1, p2 lần lượt là tỷ lệ sản phẩm lỗi của máy M1 và M2.
Cặp giả thuyết: H0 : p1 = p2; H1 : p1 ̸= p2. 50 45 m1 + m2 95
• n1 = 1250; m1 = 50; n2 = 1800; m2 = 45 ⇒ f1 = ; f2 = ; f = = 1250 1800 n1 + n2 3050 f1 − f2 Giá trị quan sát uqs = ≈ 2, 3470 s 1 1 f 1 − f + n1 n2
• Với α = 0, 01, miền bác bỏ H0: W = (u ; + α 1−α
∞) = (−∞; −2, 58) ∪ (2, 58; +∞) • Do uqs /
∈ W nên chưa có cơ sở bác bỏ H α
0, tức là chưa có cơ sở để nói rằng tỷ lệ sản phẩm lỗi
do hai máy sản xuất là như nhau.
b) Cần ước lượng cho p1 chưa biết. Kiểm tra n1 f1 > 5; n1(1 − f1) > 5. f1 − p1 √ Chọn thống kê U = n p 1 ∼ N (0, 1). f1(1 − f1)
• n1 = 1250; f1 = 0, 04; 1 − α = 0, 95 ⇒ α = 0, 05 ⇒ u1−α/2 = u0,975 = 1, 96 r f r 1(1 − f1) f1(1 − f1) • Khoảng tin cậy: f1 − u1−α ; f1 + u1−α = (0, 0291; 0, 0509) 2 n1 2 n1
Vậy khoảng ước lượng cho tỷ lệ sản phẩm bị lỗi do máy M1 sản xuất với độ tin cậy 95% là từ 2,91% đến 5,09%. 20