Đề thi cuối kỳ môn xác suất 2016 - Xác suất thống kê (MI2020) | Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

lOMoAR cPSD| 45254322
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN XÁC SUẤT
THỐNG KÊ – Học kì 20153
Mã học phần: MI2020 Thời gian: 90 phút
Chú ý: Thí sinh không ược sử dụng tài liệu và giám thị phải ký xác nhận số ề vào bài thi
Câu 1. Tung ngẫu nhiên 8 lần một ồng xu (khả năng ra mặt sấp và ngửa là như nhau ở mỗi lần tung). Tính xác suất ể:
a. Được mặt sấp ở các lần gieo chẵn.
b. Chỉ ược mặt sấp ở các lần gieo chẵn.
Câu 2. Một hộp có 20 sản phẩm, số chính phẩm có trong 20 sản phẩm ó là ngẫu nhiên và có khả
năng xảy ra như nhau. Người ta bỏ thêm vào hộp ó 1 chính phẩm, sau ó từ hộp này lại lấy ngẫu
nhiên ra một sản phẩm. Tính xác suất sản phẩm ó là chính phẩm.
Câu 3. Tuổi thọ của một loài côn trùng nào ó là biến ngẫu nhiên X (tháng tuổi) có hàm mật ộ xác suất như sau: f x( ) 0 x 4 ax2(4 x) 0 x [0;4]
a. Xác ịnh a, tìm tỷ lệ côn trùng sống không quá 1 tháng tuổi. b. Xác ịnh mod(X).
Câu 4. Nghiên cứu số vụ tai nạn giao thông xảy ra hàng ngày ở một khu vực ta có bảng số liệu sau: Số vụ tai nạn 0 1 2 3 4 5 6 7 Số ngày 229 211 93 35 7 0 0 1
Với ộ tin cậy 90%, hãy ước lượng khoảng ối xứng cho số tai nạn trung bình hàng ngày trong khu vực trên.
Câu 5. Có người ưa ra ý kiến tỷ lệ ngày có xảy ra tai nạn bằng 60%. Với số liệu thu ược ở trên và
với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận về ý kiến trên. Chú ý: Không ược sử dụng tài liệu x 1
Phụ lục. Trích các số Bảng hàm phân phối chuẩn ( )x e t2 /2dt 2 x 1,282 1,645 1,96 2 3 0,9 0,95 0,975 0,9772 0,9987 x) 1 lOMoAR cPSD| 45254322
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
Hàm Laplace (x) = (x) – 0,5 ĐỀ 2
ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN XÁC SUẤT
THỐNG KÊ – Học kì 20153
Mã học phần: MI2020 Thời gian: 90 phút
Chú ý: Thí sinh không ược sử dụng tài liệu và giám thị phải ký xác nhận số ề vào bài thi
Câu 1. Tung ngẫu nhiên 9 lần một ồng xu (khả năng ra mặt sấp và ngửa là như nhau ở mỗi lần tung). Tính xác suất ể:
a. Được mặt sấp ở 4 lần gieo ầu.
b. Chỉ ược mặt sấp ở 4 lần gieo ầu.
Câu 2. Một hộp có 24 sản phẩm, số phế phẩm có trong 24 sản phẩm ó là ngẫu nhiên và có khả
năng xảy ra như nhau. Người ta bỏ thêm vào hộp ó một chính phẩm, sau ó từ hộp này lại lấy ngẫu
nhiên ra một sản phẩm. Tính xác suất sản phẩm ó là phế phẩm.
Câu 3. Tuổi thọ của một loài côn trùng nào ó là biến ngẫu nhiên X (tháng tuổi) có hàm mật ộ xác suất như sau: f x( ) 0 x 2 ax(4 x2) x [0;2] 0
a. Xác ịnh a, tìm tỷ lệ côn trùng sống không quá 1 tháng tuổi. b. Xác ịnh mod(X).
Câu 4. Để xác ịnh tốc ộ của một phản ứng, người ta tiến hành 60 phép thử o tốc ộ phản ứng ó
trong cùng iều kiện và bằng cùng một phương pháp o. Kết quả thu ược như sau: Tốc ộ phản ứng
2,68 2,70 2,73 2,74 2,75 2,76 2,79 2,82 Số phép thử 1 4 12 18 17 5 2 1
Với ộ tin cậy 90%, hãy ước lượng khoảng ối xứng cho tốc ộ phản ứng trung bình theo cách trên.
Câu 5. Có người ưa ra ý kiến cho rằng xác suất ể “tốc ộ phản ứng nhỏ hơn 2,72” là thấp hơn 10%.
Với số liệu thu ược ở trên và với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận về ý kiến trên. 2 lOMoAR cPSD| 45254322
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC x 1
Phụ lục. Trích các số Bảng hàm phân phối chuẩn ( )x e t2 /2dt 2 x 1,282 1,645 1,96 2 3 (x) 0,9 0,95 0,975 0,9772 0,9987
Hàm Laplace (x) = (x) – 0,5 
ĐÁP ÁN ĐỀ 1 – XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Câu 1.(2 ) Gọi A
i : “lần gieo thứ i ược mặt sấp” , i 1,2,...,8 a.
Gọi A: “trong 8 lần gieo ta ược mặt sấp ở các lần gieo chẵn”, ( ) ) P A P A A A A( (1 ) 2 4 6 8. . .
P A P A P A P A( 2). ( 4). ( 6). ) ( 8 0,54 0,0625
b. Gọi B: “trong 8 lần gieo ta chỉ ược mặt sấp ở các lần gieo chẵn”, P A( ) P A A A A A
A A A( 1 2 3 4 5 6 7 8. . . . . . . ) P (1 )
A P A( 1). ( 2)... (P A P A7). ( 8) 0,58 0,00391 Câu 2.(2 ) Gọi Ai : “trong hộp ban ầu
có i chính phẩm”, i 0,1,2,...,20
P A( 0) P A( 1) ... P A( 20) (0,5 ) 3 lOMoAR cPSD| 45254322
Gọi H: “sản phẩm lấy ra từ hộp là chính phẩm” P H A( | i ) i 1 i 0,1,...,20
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC (0,5 ) 21 n 20 i i 20 1 i 1 (0,5 ) P H( ) P A P H A( ). ( | ) i 0 i 0 21 21 1(1 2 ... 21) 1 21.22 11 (0,5 ) 21.21 21.21 2 21 Câu 3.(2 ) 3 4 4 x 64 a. 1 4 (0,5 )
0 ax2(4 x dx a) (4 3 x4 ) |0 a. 3 a 3 64 (0,5 )
01 2 x3 x4 10 3 (4 1) 13 0,051 ax (4 x dx a) (4 ) | 3 4 64 3 4 256 b. Xét x (0;4) x 0 (0,5 ) x x f '( ) a.(8 3x2) 0 8 / 3 x
Ta có hàm f’(x) dương trong khoảng (0; 8/3) và âm trong khoảng ( ;0) (8/3; ) Do
ó hàm số f(x) ạt cực ại tại x = 8/3 và ạt cực tiểu tại 0.
Do hàm mật ộ chỉ khác 0 trong x (0;4), nên mod(X) = 8/3 (0,5 )
Câu 4.(2 ) Gọi X là số vụ tai nạn giao thông xảy ra trong một ngày, EX . (0,5 ) Chọn thống kê X n ~ N(0;1) s
Khoảng tin cậy ối xứng cho : x u s s 1 n ;x u 1 2 (0,5 ) 2 Với 1
0,9 0,1 u1 /2 u0,95 1,645
Từ bảng số liệu ta tính ược n 576 ; x 0,932 ; s 0,985 (0,5 )
Thay số ta có khoảng tin cậy: (0,8645 ; 0,9995) (0,5 )
Câu 5.(2 ) Gọi p là tỷ lệ số ngày có xảy ra tai nạn. 4 lOMoAR cPSD| 45254322
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
Kiểm ịnh cặp giả thuyết: 0 0 0 p0 (0,5 ) 0,6 H p p1 : H p p:
Chọn thống kê f p0 n ~ N(0;1) khi H0 úng p0(1 p0) Từ bảng số liệu ta
tính ược n 576 ; m m 347 f 347 0,6024 n 576 06024 06, ,
suy ra giá trị quan sát k f p0 n
576 0118 , (0,5 ) p (0 1 p )0 0604, . ,
Với = 0,05 ta có miền bác bỏ H0: w
( ; u1 /2) (u1 /2; )
(; u0,975) (u0,975; ) ( ; 1,96) (1,96; ) (0,5 )
Do k w nên ta không có cơ sở bác bỏ H0. Vậy ý kiến ưa ra là úng. (0,5 ) 5 lOMoAR cPSD| 45254322
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC 
ĐÁP ÁN ĐỀ 2 – XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Câu 1.(2 ) Gọi Ai : “lần gieo thứ i ược mặt sấp” , i 1,2,...,9 a. Gọi
A: “trong 9 lần gieo ta ược mặt sấp trong 4 lần gieo ầu”, ( ) P A P A A A A( 1 2 3 4. . . ) )
P A P A P A P A( 1). ( 2). ( 3). ( 4 0,54 0,0625 (1 )
b. Gọi B: “trong 9 lần gieo ta chỉ ược mặt sấp trong 4 lần gieo ầu”, ( ( ). ( ). (
P A( ) P A A A A A A A A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9. . . . . . . . ) P A P A 1 2)... (P A P A8 9) 0,5 .0,4
55 0,00195 (1 ) Câu 2.(2 ) Gọi Ai : “trong hộp ban ầu có i phế phẩm”, i 0,1,2,...,24
P A( 0) P A( 1) ... P A( 24) (0,5 )
Gọi H: “sản phẩm lấy ra từ hộp là phế phẩm” P H A( | i ) i i 0,1,...,24 (0,5 ) 25 24 24 P H( ) P A P H A( 1 (0,5 ) i ). ( | i )
i i 0 i 0 25 25 1(0 12 ... 24) 1 24.25 12 (0,5 ) 25.25 25.25 2 25 Câu 3.(2 ) a. 1 2 2
0 ax(4 x dx a x2) (2 2
x44 ) |0 4a a (0,5 ) 14 4 (0,5 ) 1
0 ax(4 x dx a x2) (2 2 x ) |10 1 (2 1) 7 0,4375 4 4 4 16 b. Xét x (0;2) 2 x 4 / 3 2 3 / 3
f '( )x a.(4 3x ) 0 (0,5 ) 6 lOMoAR cPSD| 45254322
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC x 4 / 3 2 3 / 3
Ta có hàm f’(x) dương trong khoảng ( 2 3 / 3 , 2 3 / 3) và âm trong khoảng ( ; 2 3 /3) (2 3 /3; )
Do ó hàm số f(x) ạt cực ại tại x 2 3 / 3 và ạt cực tiểu tại x 2 3 / 3.
Do hàm mật ộ chỉ khác 0 trong x (0;2), nên Mod X( ) 2 3 /3 Câu (0,5 )
4.(2 ) Gọi X là tốc ộ của phản ứng ang xét, EX . Chọn thống kê X n ~ N(0;1) s (0,5 ) s
Khoảng tin cậy ối xứng cho : x u s 1 2 n ;x u 1 2 n (0,5 ) Với 1
0,9 0,1 u1 /2 u0,95 1,645 s 0,021 (0,5 )
Từ bảng số liệu ta tính ược n 60 ; x 2,742 ;
Thay số ta có khoảng tin cậy: (2,738 ; 2,746) (0,5 )
Câu 5.(2 ) Gọi p là xác suất ể “tốc ộ phản ứng nhỏ hơn 2,72”.
H0 : p p0 0,1 (0,5 )
Kiểm ịnh cặp giả thuyết: p0 p0 H1 : p
Chọn thống kê f p0 n ~ N(0;1) khi H0 úng p0(1 p0)
Từ bảng số liệu ta tính ược n 60 ; m 5 f m 5 n 60
suy ra giá trị quan sát k f p0 n 1 12 01/ , 60
043, (0,5 ) p (0 1 p )0 0109, . ,
Với = 0,05 ta có miền bác bỏ H0: w (; u1 ) (; u0,95) (; 1,645) (0,5 )
Do k w nên ta không có cơ sở bác bỏ H0. Vậy ý kiến ưa ra là sai. (0,5 ) 7