Đề Thi Đề Xuất Chọn HSG Toán 8 Năm 2025-2026 Có Đáp Án-Đề 1

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học 2025 - 2026 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
( Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (6,0 điểm):Cho biểu thức: 2𝑥−9 𝑥+3 2𝑥−1 𝐴 = − −
(𝑉ớ𝑖 𝑥 ≠ 2, 𝑥 ≠ 3) 𝑥2−5𝑥+6 𝑥−2 3−𝑥 a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi |2𝑥 − 1| = 3
c) Tìm các giá trị nguyên của x để 𝑥2−𝑥+1 𝑃 =
. 𝐴 nhận giá trị nguyên 𝑥−1
d)Tìm các giá trị của x để 𝑥 𝐴 = 𝑥+2 Câu 2 (3,0 điểm):
1. Cho 3 số 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛𝑥𝑦𝑧 = 2022. Tính 2022𝑥 𝑦 𝑧 𝑀 = + + 𝑥𝑦 + 2022𝑥 + 2022 𝑦𝑧 + 𝑦 + 2022 𝑥𝑧 + 𝑧 + 1
2. Xác định các số a , b biết 2𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 chia cho 𝑥 + 1 dư -6, chia cho x-2 dư 21 Câu 3 (3,0 điểm):
1. Giải phương trình: (𝑥 − 7)(𝑥 − 5)(𝑥 − 4)(𝑥 − 2) = 72
2.Tìm giá trị nhỏ nhất của 𝐾 = 2𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥𝑦 + 2𝑦 + 2024 Câu 4 (6,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường
thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC.
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi.
c) Kẻ DH ⊥ BC (H  BC) . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH,
DH. Chứng minh CQ ⊥ PD .
Câu 5 (2,0 điểm): Cho 1
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1. Chứng minh rằng:𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≥ 3
-----------------Hết--------------- HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học 2025 – 2026 MÔN: TOÁN Câu Nội dung Điểm a)Rút gọn A 1,5 2𝑥 − 9 𝑥 + 3 2𝑥 − 1 𝐴 = − − 𝑥2 − 5𝑥 + 6 𝑥 − 2 3 − 𝑥 2𝑥 − 9 𝑥 + 3 2𝑥 − 1 0,75 𝐴 = − + (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) 𝑥 − 2 𝑥 − 3 𝑥2 − 3𝑥 + 2 (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) 𝑥 − 1 0,75 𝐴 = = = (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) 𝑥 − 3 Trang 1
b) Tính giá trị của biểu thức A khi |2𝑥 − 1| = 3 1,5 1:(6,0 Ta có 𝑥−1 𝐴 =
(𝑉ớ𝑖 𝑥 ≠ 2, 𝑥 ≠ 3) điểm) 𝑥−3
|2𝑥 − 1| = 32𝑥 − 1 = ±3 0,5
*2𝑥 − 1 = 3 2𝑥 = 4 x = 2 0,5
*2𝑥 − 1 = −3 2𝑥 = −2 x = −1
Với 𝑥 = 2 không thỏa mãn ĐK ta không thay vào A 0,5 Với −1−1 1
𝑥 = −1 thỏa mãn ĐK thay vào A ta được 𝐴 = = −1−3 2
c) Tìm các giá trị nguyên của x để 𝑥2−𝑥+1 𝑃 = . 𝐴 nhận giá trị 1,5 𝑥−1 nguyên Ta có 𝑥−1 𝐴 =
(𝑉ớ𝑖 𝑥 ≠ 2, 𝑥 ≠ 3) 0,5 𝑥−3 𝑥2−𝑥+1 𝑥2−𝑥+1 𝑥−1 𝑥2−𝑥+1 𝑃 = . 𝐴 = . =
(𝑉ớ𝑖 𝑥 ≠ 2, 𝑥 ≠ 3,𝑥 ≠ 1) 𝑥−1 𝑥−1 𝑥−3 𝑥−3 𝑥2 − 𝑥 + 1 7 0,5 𝑃 = = 𝑥 + 2 + 𝑥 − 3 𝑥 − 3
Để P nguyên khi 𝑥 − 3 𝑙à ướ𝑐 𝑐ủ𝑎 7 𝑚à Ư(7) = {±1; ±7}
Kết hợp với ĐKXĐ ta tìm được 𝑥 ∈ {−4; 4; 10} thỏa mãn yêu cầu 0,5 đề bài
d)Tìm các giá trị của x để 𝑥 𝐴 = 1,5 𝑥+2 Ta có 𝑥−1 𝐴 =
(𝑉ớ𝑖 𝑥 ≠ 2, 𝑥 ≠ 3) 0,5 𝑥−3 𝑥−1 𝑥 =
(𝑉ớ𝑖 𝑥 ≠ 2, 𝑥 ≠ 3, 𝑥 ≠ −2) 𝑥−3 𝑥+2
=>(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 𝑥(𝑥 − 3) 1,0
𝑥2 + 𝑥 − 2 = 𝑥2 − 3𝑥
𝑥2 + 𝑥 − 𝑥2 + 3𝑥 = 2 4𝑥 = 2  1 𝑥 = (thỏa mãn ĐK) 2 1. 2022𝑥 𝑦 𝑧 𝑀 = + + 1,5 𝑥𝑦+2022𝑥+2022 𝑦𝑧+𝑦+2022 𝑥𝑧+𝑧+1 0,5 𝑥2𝑦𝑧 𝑦 𝑧 𝑀 = + +
𝑥𝑦 + 𝑥2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 𝑦𝑧 + 𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 𝑥𝑧 + 𝑧 + 1 𝑥2𝑦𝑧 𝑦 𝑧 0,5 𝑀 = + + 𝑥𝑦(𝑥𝑧 + 𝑧 + 1) 𝑦(𝑥𝑧 + 𝑧 + 1) 𝑥𝑧 + 𝑧 + 1 Trang 2 𝑥𝑧 1 𝑧 0,5 𝑀 = + + = 1 2:(3,0 1 + 𝑥𝑧 + 𝑧 𝑥𝑧 + 𝑧 + 1 𝑥𝑧 + 𝑧 + 1 điểm)
2. Xác định các số a , b biết 2𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 chia cho 𝑥 + 1 dư -6, 1,,5 chia cho x-2 dư 21
2𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 chia cho 𝑥 + 1 dư -6 =>2𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = (𝑥 + 1)𝑓(𝑥) − 6 0,25
=>−2 − 𝑎 + 𝑏 = −6 =>𝑏 − 𝑎 = −4 (1)
2𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 chia cho x-2 dư 21 =>2𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = (𝑥 − 2)𝑔(𝑥) + 21 0,25
=>16 + 2𝑎 + 𝑏 = 21=>2𝑎 + 𝑏 = 5 (2)
Từ (1) và (2) ta tìm được 𝑎 = 3, 𝑏 = −1 1,0
1. Giải pt: (𝑥 − 7)(𝑥 − 5)(𝑥 − 4)(𝑥 − 2) = 72 1,75
[(𝑥 − 7)(𝑥 − 2)][(𝑥 − 5)(𝑥 − 4)] = 72
(𝑥2 − 9𝑥 + 14)(𝑥2 − 9𝑥 + 20) = 72 0,25
Đặt 𝑥2 − 9𝑥 + 17 = 𝑡
=>(𝑡 − 3)(𝑡 + 3) = 72 𝑡2 − 9 − 72 = 0 0,25 𝑡2 − 81 = 0 0,25 (𝑡 − 9)(𝑡 + 9) = 0 
𝑡 − 9 = 0 hoặc 𝑡 + 9 = 0 3:(3,0 * 𝑡 − 9 = 0 𝑡 = 9 0,25 điểm) * 𝑡 + 9 = 0  𝑡 = −9
Với 𝑡 = 9𝑥2 − 9𝑥 + 17 = 9𝑥2 − 9𝑥 + 8 = 0𝑥 = 1 hoặc 𝑥 = 8 0,25
Với 𝑡 = −9𝑥2 − 9𝑥 + 17 = −9𝑥2 − 9𝑥 + 26 = 0 2  81 25 9 25 25 𝑥2 − 9𝑥 + + = 0(𝑥 − ) + ≥ ∀𝑥 => pt vô 4 4 2 4 4 0,25 nghiệm
Vậy pt có tập nghiệm 𝑆 = {1; 8} 0,25
2.Tìm giá trị nhỏ nhất của 𝐾 = 2𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥𝑦 + 2𝑦 + 2024 1,25
Phân tích :𝐾 = 𝑥2 + 𝑦2 + 1 − 2𝑥𝑦 − 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 2022 0,5
𝐾 = (𝑥 − 𝑦 − 1)2 + (𝑥 + 1)2 + 2022 0,25
Lập luận rồi kết luận GTNN là 2021 khi 𝑥 = −1, 𝑦 = −2 0,5 Hinh vẽ 0,5 E D A M Q B C P I H
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC. 2,0 Trang 3
Chứng minh  EBD ∽  ECA (g-g) 1,0 EB ED - Từ đó suy ra =  E . A EB = E . D EC 1,0 EC EA
b)Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng 2,0 4:(6,0
BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi điểm)
Kẻ MI vuông góc với BC ( I  BC) 0,25
Ta có  BIM ∽  BDC (g-g) 0,5 BM BI  =
 BM.BD = BI.BC (1) 0,25 BC BD
Tương tự:  ACB ∽  ICM (g-g) 0,5 CM CI  =
 CM.CA = CI.BC (2) 0,25 BC CA Từ (1) và (2) suy ra 2
BM .BD + CM .CA = BI.BC + CI.BC = BC(BI + CI ) = BC (không 0,25 đổi)
c) Chứng minh CQ ⊥ PD . 1,5
Chứng minh  BHD ∽  DHC (g-g) 0,5 BH BD 2BP BD BP BD  =  =  = 0,25 DH DC 2DQ DC DQ DC
- Chứng minh  DPB ∽  CQD (c-g-c)=>𝐵𝐷𝑃 ̂ = 𝐷𝐶𝑄 ̂ 0,5 mà 𝐵𝐷𝐶 ̂ + 𝑃𝐷𝐶 ̂ = 90°=>𝐷𝐶𝑄 ̂ + 𝑃𝐷𝐶
̂ = 90°  CQ ⊥ PD 0,25 Cho 1
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1. Chứng minh rằng:𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≥ 3 2,0 Ta có: 0,25
(𝑥 − 𝑦)2 ≥ 0 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 ≥ 0𝑥2 + 𝑦2 ≥ 2𝑥𝑦
(𝑥 − 𝑧)2 ≥ 0 𝑥2 − 2𝑥𝑧 + 𝑧2 ≥ 0𝑥2 + 𝑧2 ≥ 2𝑥𝑧 0,25
(𝑦 − 𝑧)2 ≥ 0 𝑦2 − 2𝑦𝑧 + 𝑧2 ≥ 0𝑦2 + 𝑧2 ≥ 2𝑦𝑧 0,25
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được:
2(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) ≥ 2𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 0,25
3(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) ≥ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 2𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 + 2𝑥𝑧 0,25
3(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) ≥ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 5:(2,0
3(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) ≥ 1 0,25 điểm) 0,25  1 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≥ 3 Dấu “=” xảy ra khi 1 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0,25 3
Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa nhưng không được vượt qúa số điểm của mỗi câu.
-----------------Hết--------------- Trang 4