ThS Phạm Đức Thiệu ĐT: 0974086608
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC KÌ II
TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP
Năm học 2017 – 2018 Môn Toán. Lớp 10
Thời gian làm bài: 90 phút ĐỀ CHÍNH THỨC MÃ ĐỀ: 215
Đề thi gồm: 02 trang
PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm)
Học sinh ghi mã đề và lập bảng sau vào giấy thi, chọn một trong các phương án A, B, C, D
và viết kết quả vào ô tương ứng với thứ tự của câu. Câu 1. Câu 2. Câu 3. Câu 4. Câu 5. Câu 6. Câu 7. Câu 8. Câu 9. Câu 10. Câu 11. Câu 12. x = 1 + 2t
Câu 1. Vecto nào sau đây là một vecto chỉ phương của đường thẳng (t ∈ y = 3 – 5t R). A. ~u = (3; 1). B. ~u = (–5; 2). C. ~u = (1; 3). D. ~u = (2; –5). x2 y2
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường elip (E): + = 1 có hai tiêu điểm là 32 22
F1, F2. M là điểm thuộc đường elip (E). Giá trị của biểu thức MF1 + MF2 bằng: A. 5. B. 6. C. 3. D. 2. 3π
Câu 3. Cho π < α <
· Phát biểu nào sau đây là đúng ? 2
A. sin α < 0, cos α < 0.
B. sin α < 0, cos α > 0.
C. sin α > 0, cos α < 0.
D. sin α > 0, cos α > 0.
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình x2 – 7x + 6 > 0 là
A. (–∞; 1) ∩ (6; +∞). B. (–6; –1). C. (1; 6).
D. (–∞; 1) ∪ (6; +∞). √ 1 3 Câu 5. Biểu thức sin α + cos α bằng 2 2 π π π π A. cos α – . B. sin α + . C. cos α + . D. sin α – . 3 3 3 3
Câu 6. Biểu thức sin(–α) bằng A. – sin α. B. sin α. C. cos α. D. – cos α.
Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tâm của đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 6y – 1 = 0 có tọa độ là A. (2; 3). B. (2; –3). C. (–2; 3). D. (–2; –3).
Câu 8. Cho đồ thị của hàm số y = ax + b y
có đồ thị là hình bên. Tập nghiệm của bất b
phương trình ax + b > 0 là b b A. – ; + y = ax + b ∞ B. –∞; a a b b . . C. –∞; – D. ; +∞ O b x a a – a
Trung tâm luyện thi S.E.C Trang 1
ThS Phạm Đức Thiệu ĐT: 0974086608
Câu 9. Vecto nào sau đây không là vecto pháp tuyến của đường thẳng 2x – 4y + 1 = 0 ? A. ~n = (1; –2). B. ~n = (2; –4). C. ~n = (2; 4). D. ~n = (–1; 2).
Câu 10. Biểu thức cos(α + 2π) bằng A. – sin α. B. sin α. C. cos α. D. – cos α. 2x – 6 < 0
Câu 11. Tập nghiệm của hệ bất phương trình là 3x + 15 > 0 A. (–5; –3). B. (–3; 5). C. (3; 5). D. (–5; 3).
Câu 12. Số giầy bán được trong một quý của một cửa hàng bán giầy được thống kê trong bảng sau đây Size 35 36 37 38 39 40 41 42 43 Tổng Việt Nam Tần số (số đôi 61 66 84 87 93 75 64 60 49 639 giầy bán được) Mốt của bảng trên là A. 39. B. 93. C. 639. D. 35.
PHẦN 2. TỰ LUẬN (7,0 điểm)
Học sinh phải trình bày chi tiết lời giải những bài sau đây vào giấy thi. Câu 1. (3,5 điểm)
1) Tìm m thỏa mãn bất phương trình x2 + 2mx – m + 2 > 0 nghiệm đúng ∀x ∈ R. √
2) Giải bất phương trình x + 9 < x + 3. π 1 2
3) Cho các góc α, β thỏa mãn 0 < α <
< β < π và sin α = ; sin β = · Tính sin(α + β). 2 3 3 Câu 2. (3,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng toa độ Oxy, cho hai điểm A(–1; 2) và B(1; 5). Lập phương trình tham
số và phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm I(2; 3) và đường thẳng Δ : 3x – 4y – 4 = 0. Tính
khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng Δ và lập phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng Δ.
3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng Δ1: x– y – 1 = 0 và Δ2: x+my +2 = 0.
Xác định giá trị của m biết rằng góc giữa hai đường thẳng đã cho bằng 450. Câu 3. (0.5 điểm) 1
Cho x thỏa mãn (cos4 x – sin4 x)2 = · Tính giá trị của biểu thức cos 8x. 3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Học sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trung tâm luyện thi S.E.C Trang 2
ThS Phạm Đức Thiệu ĐT: 0974086608
ĐÁP ÁN CHI TIẾT MÃ ĐỀ 215
PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm) Câu 1. D Câu 2. B Câu 3. A Câu 4. D Câu 5. B Câu 6. A Câu 7. B Câu 8. C Câu 9. C Câu 10. C Câu 11. D Câu 12. A
PHẦN 2. TỰ LUẬN (7,0 điểm) Câu 1. (3,5 điểm)
1) Để bất phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ 0 R thì Δ < 0
Khi đó: m2 – 1.(–m + 2) < 0 ⇔ m2 + m – 2 < 0 ⇔ (m – 1)(m + 2) < 0 ⇔ –2 < m < 1
Vậy các giá trị của m cần tìm là: –2 < m < 1 . 2) Điều kiện: x ≥ 9 √ x + 3 > 0 x > –3 Khi đó: x + 9 < x + 3 ⇔ ⇔ x + 9 < (x + 3)2 x + 9 < x2 + 6x + 9 x > –3 x > –3 ⇔ ⇔ x2 + 5x > 0 x(x + 5) > 0  x > –3  ⇔ x < –5 ⇔ x > 0 (TMĐK)  x > 0
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (0; +∞) . π sin α > 0 π sin α > 0 3) Ta có: 0 < α < ⇒ và < β < π ⇒ 2 cos α > 0 2 cos α < 0 s √ 1 √ 12 2 2 Do đó: sin α = ⇒ cos α = 1 – sin2 α = 1 – = 3 3 3 s √ 2 q 22 5 sin β = ⇒ cos β = – 1 – sin2 β = – 1 – = – 3 3 3 √ √ ! √ √ 1 5 2 2 2 4 2 – 5
Vì vậy sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β = · – + · = . 3 3 3 3 9 Câu 2. (3,0 điểm) ( ––→
~uAB = (2; 3) là một VTCP của đường thẳng AB 1) Ta có: AB = (2; 3) ⇒
~nAB = (3; –2) là một VTPT của đường thẳng AB
Mà đường thẳng AB đi qua A(–1; 2). Do đó: x = –1 + 2t
Phương trình tham số của đường thẳng AB là: (t ∈ y = 2 + 3t R) .
Trung tâm luyện thi S.E.C Trang 3
ThS Phạm Đức Thiệu ĐT: 0974086608
Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là: 3(x + 1) – 2(y – 2) = 0 ⇔ 3x – 2y + 7 = 0 .
2) Đường thẳng Δ có một VTPT là ~n = (3; –4) Δ
Do đó, khoảng cách từ điểm I(2; 3) đến đường thẳng Δ là: | 3.2 – 4.3 – 4 | | – 10 | 10 d(I; Δ) = = √ = = 2 . p(3)2 + (–4)2 25 5
Để đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng Δ thì bán kính R = d(I; Δ) = 2
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: (x – 2)2 + (y – 3)2 = 4 .
3) Đường thẳng Δ1 và Δ2 lần lượt có VTPT là ~n1 = (1; –1) và ~n2 = (1; m)
Do đó, góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2 cho bởi: |1.1 + (–1).m | | 1 – m | cos(Δ1; Δ2) = √ = √ √ (1) p12 + (–1)2. 12 + m2 2. m2 + 1
Theo giả thiết, góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2 bằng 450 nên ta có: √2 cos(Δ1; Δ2) = cos 450 = (2) 2 √ | 1 – m | 2 √
Từ (1) và (2) suy ra: √ √ = ⇔ | 1 – m | = m2 + 1 2. m2 + 1 2
⇔ (1 – m)2 = m2 + 1 ⇔ 1 – 2m + m2 = m2 + 1 ⇔ m = 0
Vậy giá trị của m cần tìm là: m = 0 . Câu 3. (0,5 điểm) 1 Ta có
= (cos4 x– sin4 x)2 = (cos2 x)2 – (sin2 x)22 = (cos2 x + sin2 x)(cos2 x – sin2 x)2 3 = (cos 2x)2 = cos2 2x
Mà cos 8x = 2 cos2 4x – 1 = 2 (cos 4x)2 – 1 = 2 2 cos2 2x – 12 – 1 1 2 12 7 = 2 2 · – 1 – 1 = 2 – – 1 = – 3 3 9 7 Vậy cos 8x = – · 9
Trung tâm luyện thi S.E.C Trang 4