Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 năm học 2018 - 2019
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 năm học 2018 - 2019 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN LỚP 6
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5,0 điểm) . Cho 50 48 46 44 6 4 2 A = 5 – 5 + 5 −5 + +5 - 5 5 + −1. a) Tính A.
b) Tìm số tự nhiên n biết n 26.A +1 = 5
c) Tìm số dư trong phép chia A cho 100.
Bài 2: (3,0 điểm). Tìm số tự nhiên x ,biết:
a) 1+ 3 + 5 + 7 + 9 ++ (2x – ) 1 = 225 x x 1 + x +2 x +3 x +2015 2019 b) 2 + 2 + 2 + 2 + +2 = 2 − . 8 Bài 3: (5,0 điểm)
a) Cho số abc chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37.
b) Tìm số x, y nguyên biết x.y +12 = x + y
Bài 4 (3,0 điểm): Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia
cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3. Bài 5: (4,0 điểm)
1. Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường
thẳng. Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng.
2. Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm . Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho AC + BD = 9cm.
a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C.
b) Tính độ dài đoạn thẳng CD? --- Hết ---
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN LỚP 6 Bài 1: (4,0 điểm) Đáp án Điểm 50 48 46 44 6 4 2 a. A = 5 – 5 + 5 − 5 + +5 - 5 + 5 −1. 2 50 48 46 44 6 4 2
25A = 5 .(5 – 5 + 5 − 5 + +5 - 5 + 5 −1 ) . 0,25 52 50 48 46 8 6 4 2 = 5 – 5 + 5 − 5 + +5 - 5 + 5 −5 . 0,25 Suy ra 52 25A + A = 5 −1 0,50 Vậy = ( 52 A 5 − ) 1 : 26 0,25
b) Tìm số tự nhiên n biết n 26.A +1 = 5 Ta có n 26.A +1 = 5 mà 52 26A = 5 −1 nên 52 n 5 −1+1 = 5 0,25 52 n Suy ra 5 = 5 n = 52 .Vậy n = 52 0,25
c). Tìm số dư trong phép chia A cho 100. 50 48 46 44 6 4 2 A = 5 – 5 + 5 −5 + +5 - 5 + 5 − . 1 ( có 26 số hạng) 0,25 50 48 46 44 6 4 2 0,25
=( 5 – 5 ) + (5 − 5 ) + +(5 - 5 ) + 5 − . 1 =( 50 48 ) + ( 46 44 −5 )+ ( 6 4 )+ ( 2 5 – 5 5 + 5 - 5 5 − ) 0,25 1 . 48 = .( 2 ) 44 + 5 .( 2 ) 4 + .( 2 )+ ( 2 5 5 –1 5 –1 +5 5 –1 5 − ) 0,25 1 . 48 44 4 = 5 .24 + 5 .24 + +5 .24+ 24. 0,25 46 42 2 = 5 .25.24 + 5 .25.24 + +5 .25.24+ 2 . 4 0,50 46 42 2 = 5 + + +5 24 = ( 46 42 2 .600 5 .600 .600+ . 6.100. 5 + 5 + ... + 5 ) + 24 0,25
Suy ra A chia cho 100 dư 24. 0,25
Bài 2: (3,0 điểm). Tìm số tự nhiên x ,biết: Đáp án Điểm
a) 1+ 3 + 5 + 7 + 9 ++ (2x – ) 1 = 225
Với mọi x N ta có 2x – 1 là số lẻ 0,25
Đặt A = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +…+ ( 2 x – ) 1
A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x – 1 0,25
Số số hạng của A là: (2x –1 – ) 1 : 2 +1 = x (Số hạng) 0,25 = ( ) 2 A 2x –1 +1.x : 2 = x 0,25 Mà 2 2 A = 225 x = 225 = 15 0,25 x = 15 Vậy x = 15 0,25 x x 1 + x +2 x +3 x +2015 2019 b) 2 + 2 + 2 + 2 + +2 = 2 − . 8 x x x 2 x 3 x 2015 2019 3 2 .1+ 2 .2 + 2 .2 + 2 .2 + +2 .2 = 2 − 2 . 0,25 x ( 2 3 2015 + + + + ) 3 = .( 2016 2 . 1 2 2 2 +2 2 2 − ) 1 . 0,25 Đặt 2 3 2015 M = 1+ 2 + 2 + 2 + +2 Ta được 2 3 4 2016 2.M = 2 + 2 + 2 + 2 +2 0,25 2016 Suy ra M = 2 −1 0,25 x 2016 3 2016 Vậy ta có 2 .(2 − ) 1 = 2 .(2 − ) 1 . 0,25 x 3
2 = 2 x = 3.Vậy x = 3 0,25 Bài 3: (5,0 điểm). Đáp án Điểm
a) Cho số abc chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37.
Ta có abc 37 100.abc 37 abc00 37 0,50 (ab .1000+ c00) 37 0,25 ab .999 + (c00+ab) 37 0,25 (ab .999+cab) 37 0,25 Mà ab .999 = ab .37.27 37 0,25 cab 37 0,25
Vậy nếu abc 37 thì cab 37 0,25
b) Tìm số x, y nguyên biết x.y +12 = x + y
Ta có x.y +12 = x + y x.y − x − y +12 = 0 0,25 x.( y − ) 1 − y +12 = 0 0,25 x.( y − ) 1 − ( y − ) 1 +11 = 0 0,25 ( x − ) 1 .( y − ) 1 = 11 − ( ) 1 0,25
Vì x, y Z nên x −1 Z; y −1 Z 0,25 Do đó từ ( )
1 x −1; y −1 là các ước của -11 0,25
Các ước của -11 là -11; -1;1;11 0,25 +) Với x −1 = 1
− 1 thì y −1 =1. Suy ra x = 1
− 0; y = 2 ( Thỏa mãn) 0,25 +) Với x −1 = 1
− thì y −1 =11. Suy ra x = 0; y = 12 ( Thỏa mãn) 0,25
+) Với x −1 = 1thì y −1 = 1
− 1. Suy ra x = 2; y = -10 ( Thỏa mãn) 0,25
+) Với x −1 = 11 thì y −1 = 1
− . Suy ra x =12; y = 0 ( Thỏa mãn) 0,25 Vậy (x; y) ( 1 − 0;2);(0;12);(2; 1 − 0);(12;0). 0,25 Bài 4: (3,0 điểm). Đáp án Điểm
Vì a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3 0,25
Nên a −1 2 ; a −1 3 ; a − 4 5 ; a − 3 7
a +1 2 ; a + 2 3 ; a +1 5 ; a + 4 7 0,25
a +11 2 ; a +11 3 ; a +11 5 ; a +11 7 0,50 a +11 BC(2;3;5;7) 0,25 .
Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất 0,25 a +11 = BCNN (2;3;5;7) 0,25 .
Mà các số 2; 3; 5; 7 nguyên tố cùng nhau 0,25 BCNN (2;3;5;7) 0,25 = 2.3.5.7 = 210 a +11 = 210. 0,25 a = 199. 0,25
Vậy số tự nhiên cần tìm là 199. 0,25 Bài 5: (4,0 điểm) Đáp án Điểm
1. – Giả sử trong 30 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng : 0,25
+ Chọn một điểm bất kì trong 30 điểm đã cho. Qua điểm đó và từng điểm trong
29 điểm còn lại ta vẽ được 29 đường thẳng.
+ Làm như vậy với 30 điểm thì ta vẽ được tất cả là 29.30 đường thẳng. 0,25
+ Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ
được là (29.30) : 2 = 435 đường thẳng. 0,25
Vậy qua 30 điểm phân biệt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được 435 đường thẳng.
– Tương tự như trên, giả sử trong a điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng 0,25
hàng ta vẽ được a.(a − ) 1 : 2 đường thẳng.
Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta chỉ vẽ được một đường thẳng nên số đường thẳng 0,25 bị giảm đi là a.(a − ) 1 : 2 −1 đường thẳng.
Theo bài ra ta có : a.(a − ) 1 : 2 −1 = 435 − 421 = 14 0,25 a.(a − ) 1 = 30 = 6.5 0,25
Vì a-1 và a là hai số tự nhiên liên tiếp và a −1 a nên a = 6. 0,25 2. Hình vẽ A D C B :
a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C.
Vì D nằm giữa A và B nên: AD + DB = AB 0,25
Thay AB = 6 cm ta có AD + DB = 6 cm . 0,25
Lại có AC + DB = 9 cm AD + DB AC + DB hay AD AC. 0,25
Trên tia AB có : AD AC suy ra D nằm giữa A và C 0,25
b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?
Vì D nằm giữa A và C suy ra AD + DC = AC. 0,25
Lại có AC + DB = 9 cm , suy ra AD + DC + DB = 9cm 0,25 Hay ( AD + DB) + DC = 9cm 0,25
Thay AD + DB = 6 cm , ta có 6cm + DC = 9 (cm) . Vậy DC = 3(cm) 0,25
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng câu, từng bài theo hướng dẫn trên./.