Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 năm học 2018 - 2019

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN LỚP 6
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5,0 điểm) . Cho 50 48 46 44 6 4 2 A = 5 – 5 + 5 −5 +  +5 - 5 5 + −1. a) Tính A.
b) Tìm số tự nhiên n biết n 26.A +1 = 5
c) Tìm số dư trong phép chia A cho 100.
Bài 2: (3,0 điểm). Tìm số tự nhiên x ,biết:
a) 1+ 3 + 5 + 7 + 9 ++ (2x – ) 1 = 225 x x 1 + x +2 x +3 x +2015 2019 b) 2 + 2 + 2 + 2 +  +2 = 2 − . 8 Bài 3: (5,0 điểm)
a) Cho số abc chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37.
b) Tìm số x, y nguyên biết x.y +12 = x + y
Bài 4 (3,0 điểm): Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia
cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3. Bài 5: (4,0 điểm)
1. Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường
thẳng. Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng.
2. Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm . Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho AC + BD = 9cm.
a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C.
b) Tính độ dài đoạn thẳng CD? --- Hết ---
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN LỚP 6 Bài 1: (4,0 điểm) Đáp án Điểm 50 48 46 44 6 4 2 a. A = 5 – 5 + 5 − 5 +  +5 - 5 + 5 −1. 2 50 48 46 44 6 4 2
 25A = 5 .(5 – 5 + 5 − 5 +  +5 - 5 + 5 −1 ) . 0,25 52 50 48 46 8 6 4 2 = 5 – 5 + 5 − 5 +  +5 - 5 + 5 −5 . 0,25 Suy ra 52 25A + A = 5 −1 0,50 Vậy = ( 52 A 5 − ) 1 : 26 0,25
b) Tìm số tự nhiên n biết n 26.A +1 = 5 Ta có n 26.A +1 = 5 mà 52 26A = 5 −1 nên 52 n 5 −1+1 = 5 0,25 52 n Suy ra 5 = 5  n = 52 .Vậy n = 52 0,25
c). Tìm số dư trong phép chia A cho 100. 50 48 46 44 6 4 2 A = 5 – 5 + 5 −5 +  +5 - 5 + 5 − . 1 ( có 26 số hạng) 0,25 50 48 46 44 6 4 2 0,25
=( 5 – 5 ) + (5 − 5 ) +  +(5 - 5 ) + 5 − . 1 =( 50 48 ) + ( 46 44 −5 )+  ( 6 4 )+ ( 2 5 – 5 5 + 5 - 5 5 − ) 0,25 1 . 48 = .( 2 ) 44 + 5 .( 2 ) 4 +  .( 2 )+ ( 2 5 5 –1 5 –1 +5 5 –1 5 − ) 0,25 1 . 48 44 4 = 5 .24 + 5 .24 +  +5 .24+ 24. 0,25 46 42 2 = 5 .25.24 + 5 .25.24 +  +5 .25.24+ 2 . 4 0,50 46 42 2 = 5 + +  +5 24 = ( 46 42 2 .600 5 .600 .600+ . 6.100. 5 + 5 + ... + 5 ) + 24 0,25
Suy ra A chia cho 100 dư 24. 0,25
Bài 2: (3,0 điểm). Tìm số tự nhiên x ,biết: Đáp án Điểm
a) 1+ 3 + 5 + 7 + 9 ++ (2x – ) 1 = 225
Với mọi x  N ta có 2x – 1 là số lẻ 0,25
Đặt A = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +…+ ( 2 x – ) 1
 A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x – 1 0,25
Số số hạng của A là: (2x –1 – ) 1 : 2 +1 = x (Số hạng) 0,25  = (  ) 2 A 2x –1 +1.x : 2 = x  0,25 Mà 2 2 A = 225  x = 225 = 15 0,25  x = 15 Vậy x = 15 0,25 x x 1 + x +2 x +3 x +2015 2019 b) 2 + 2 + 2 + 2 +  +2 = 2 − . 8 x x x 2 x 3 x 2015 2019 3 2 .1+ 2 .2 + 2 .2 + 2 .2 +  +2 .2 = 2 − 2 . 0,25 x ( 2 3 2015 + + + +  ) 3 = .( 2016 2 . 1 2 2 2 +2 2 2 − ) 1 . 0,25 Đặt 2 3 2015 M = 1+ 2 + 2 + 2 +  +2 Ta được 2 3 4 2016 2.M = 2 + 2 + 2 + 2  +2 0,25 2016 Suy ra M = 2 −1 0,25 x 2016 3 2016 Vậy ta có 2 .(2 − ) 1 = 2 .(2 − ) 1 . 0,25 x 3
 2 = 2  x = 3.Vậy x = 3 0,25 Bài 3: (5,0 điểm). Đáp án Điểm
a) Cho số abc chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37.
Ta có abc 37  100.abc 37  abc00 37 0,50  (ab .1000+ c00) 37 0,25  ab .999 +  (c00+ab) 37  0,25  (ab .999+cab) 37 0,25 Mà ab .999 = ab .37.27 37 0,25  cab 37 0,25
Vậy nếu abc 37 thì cab 37 0,25
b) Tìm số x, y nguyên biết x.y +12 = x + y
Ta có x.y +12 = x + y  x.y − x − y +12 = 0 0,25  x.( y − ) 1 − y +12 = 0 0,25  x.( y − ) 1 − ( y − ) 1 +11 = 0 0,25  ( x − ) 1 .( y − ) 1 = 11 − ( ) 1 0,25
Vì x, y  Z nên x −1 Z; y −1 Z 0,25 Do đó từ ( )
1  x −1; y −1 là các ước của -11 0,25
Các ước của -11 là -11; -1;1;11 0,25 +) Với x −1 = 1
− 1 thì y −1 =1. Suy ra x = 1
− 0; y = 2 ( Thỏa mãn) 0,25 +) Với x −1 = 1
− thì y −1 =11. Suy ra x = 0; y = 12 ( Thỏa mãn) 0,25
+) Với x −1 = 1thì y −1 = 1
− 1. Suy ra x = 2; y = -10 ( Thỏa mãn) 0,25
+) Với x −1 = 11 thì y −1 = 1
− . Suy ra x =12; y = 0 ( Thỏa mãn) 0,25 Vậy (x; y) (  1 − 0;2);(0;12);(2; 1 − 0);(12;0). 0,25 Bài 4: (3,0 điểm). Đáp án Điểm
Vì a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3 0,25
Nên a −1 2 ; a −1 3 ; a − 4 5 ; a − 3 7
 a +1 2 ; a + 2 3 ; a +1 5 ; a + 4 7 0,25
 a +11 2 ; a +11 3 ; a +11 5 ; a +11 7 0,50  a +11 BC(2;3;5;7) 0,25 .
Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất 0,25  a +11 = BCNN (2;3;5;7) 0,25 .
Mà các số 2; 3; 5; 7 nguyên tố cùng nhau 0,25  BCNN (2;3;5;7) 0,25 = 2.3.5.7 = 210  a +11 = 210. 0,25  a = 199. 0,25
Vậy số tự nhiên cần tìm là 199. 0,25 Bài 5: (4,0 điểm) Đáp án Điểm
1. – Giả sử trong 30 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng : 0,25
+ Chọn một điểm bất kì trong 30 điểm đã cho. Qua điểm đó và từng điểm trong
29 điểm còn lại ta vẽ được 29 đường thẳng.
+ Làm như vậy với 30 điểm thì ta vẽ được tất cả là 29.30 đường thẳng. 0,25
+ Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ
được là (29.30) : 2 = 435 đường thẳng. 0,25
Vậy qua 30 điểm phân biệt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được 435 đường thẳng.
– Tương tự như trên, giả sử trong a điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng 0,25
hàng ta vẽ được a.(a − ) 1 : 2 đường thẳng.
Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta chỉ vẽ được một đường thẳng nên số đường thẳng 0,25 bị giảm đi là a.(a − ) 1 : 2 −1 đường thẳng.
Theo bài ra ta có : a.(a − ) 1 : 2 −1 = 435 − 421 = 14 0,25  a.(a − ) 1 = 30 = 6.5 0,25
Vì a-1 và a là hai số tự nhiên liên tiếp và a −1  a nên a = 6. 0,25 2. Hình vẽ A D C B :
a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C.
Vì D nằm giữa A và B nên: AD + DB = AB 0,25
Thay AB = 6 cm ta có AD + DB = 6 cm . 0,25
Lại có AC + DB = 9 cm  AD + DB  AC + DB hay AD  AC. 0,25
Trên tia AB có : AD  AC suy ra D nằm giữa A và C 0,25
b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?
Vì D nằm giữa A và C suy ra AD + DC = AC. 0,25
Lại có AC + DB = 9 cm , suy ra AD + DC + DB = 9cm 0,25 Hay ( AD + DB) + DC = 9cm 0,25
Thay AD + DB = 6 cm , ta có 6cm + DC = 9 (cm) . Vậy DC = 3(cm) 0,25
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng câu, từng bài theo hướng dẫn trên./.