Đề thi học sinh giỏi Toán 10 cấp tỉnh năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Hà Nam

UBND TỈNH HÀ NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT CẤP TỈNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 02 trang)
Câu I. (5,0 điểm). 1. Cho hàm số 2
y = x − 2x − 3 có đồ thị (C) và đường thẳng d : y = mx − m , với m là tham
số. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ
2x + m + 3 2x + m + 3
x , x thỏa mãn 1 2 + = − 4 . 1 2 x x 2 1
2. Cổng vòm hoa tại một lễ cưới có hình dạng là đường
parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng vòm hoa là
3,2m. Tại vị trí trên cổng vòm hoa có độ cao 2m so với mặt
đất người ta thả một sợi dây chạm đất cách chân A của cổng
vòm hoa một đoạn 1m (hình 1). Tính chiều cao của cổng vòm
hoa (làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu II. (4,0 điểm). Hình 1
1. Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên
đất liền ở vị trí A đến một hòn đảo ở vị trí D . Khoảng cách
ngắn nhất từ D vào đất liền là DC = 2km . Khoảng cách từ A
đến C là 5km. Người ta chọn một vị trí ( điểm B ) nằm giữa
A và C để mắc đường dây điện từ A đến B , rồi từ B đến D
(hình 2). Chi phí mắc mỗi km dây điện trên đất liền là
3000USD , chi phí mắc mỗi km dây điện ngầm dưới biển là
5000USD . Hỏi điểm B phải cách điểm A bao nhiêu km , biết Hình 2
tổng chi phí mắc dây điện nối từ vị trí A đến vị trí D theo cách trên là 23000USD .
2. Cho bất phương trình m(x + )(x − ) 2 1
3 − 2 3+ 2x − x + 3 ≥ 0 , với m là tham số. Tìm tất
cả các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x∈[ 1; − ] 3 .
Câu III. (2,0 điểm).
Một xưởng sản xuất bàn và ghế. Một chiếc bàn cần 1,5 giờ lắp ráp và 1 giờ hoàn thiện.
Một chiếc ghế cần 1 giờ lắp ráp và 2 giờ hoàn thiện. Bộ phận lắp ráp có 3 công nhân, bộ phận
hoàn thiện có 4 công nhân. Mỗi công nhân không làm việc quá 8 giờ một ngày và năng suất lao
động của công nhân ở mỗi bộ phận đều như nhau. Thị trường luôn tiêu thụ hết sản phẩm của
xưởng và lượng ghế tiêu thụ không vượt quá 3,5 lần số bàn. Một chiếc bàn lãi 600 nghìn đồng,
một chiếc ghế lãi 450 nghìn đồng. Hỏi trong một ngày, xưởng sản xuất cần sản xuất bao nhiêu
chiếc bàn, bao nhiêu chiếc ghế để thu được tiền lãi cao nhất ?
Câu IV. (2,0 điểm).
Cho tập hợp A = {0;1;2;3;4;5;6;7;8; }
9 . Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
có 7 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số tự nhiên đó không chia hết cho số 5 nhưng luôn có
mặt chữ số 1 và chữ số 5? Trang 1/2
Câu V. (4,0 điểm).
1. Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng a . Trên các cạnh BC,C ,
A AB lần lượt lấy
các điểm N,M , P sao cho a BN = , 2a CM =
, AP = x (0 < x < a) . Tìm giá trị của x theo a để 3 3
đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM .
2. Tại một tỉnh miền núi. Để tránh núi, đường đi
phải vòng qua núi như mô hình ( hình 3). Biết
AB =11km ; BC =10km ; CD = 8km và  0 ABC =101 ;  0
BCD =145 . Tính khoảng cách giữa vị trí A và vị trí D
(làm tròn đến hàng phần chục). Hình 3
Câu VI. (3,0 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hình vuông ABCD có điểm A(1;3) . Biết điểm 
M (6;4) thuộc cạnh BC và điểm 17 9
N  ; thuộc đường thẳng DC . Chứng minh ba điểm 2 2    ,
A M , N thẳng hàng. Tính tỉ số NC và xác định toạ độ các đỉnh B,C, D của hình vuông ABCD . ND --- HẾT---
Họ và tên thí sinh:………………………....…Số báo danh:.....................................................
Người coi thi số 1………………………….. . Người coi thi số 2……………......................... Trang 2/2 UBND TỈNH HÀ NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NĂM HỌC 2023 – 2024
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 08 trang)
I. HƯỚNG DẪN CHUNG
o Hướng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ,
hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng.
o Đối với bài toán hình học nếu học sinh chứng minh có sử dụng đến hình vẽ thì yêu cầu phải vẽ hình,
nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng.
o Điểm toàn bài không làm tròn.
II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu
Sơ lược lời giải Điểm
Câu I. 1. Cho hàm số 2
y = x − 2x −3 có đồ thị (C) và đường thẳng d : y = mx − m , với m là (5,0
điểm) tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm 2,5 phân biệt có hoành độ + + + +
x , x thỏa mãn 2x m 3 2x m 3 1 2 + = − 4 . 1 2 x x 2 1
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2
x − 2x − 3 = mx − m ⇔ x − (m + 2) x + m −3 = 0 ( ) 1
2x + m + 3 2x + m + 3
d cắt (C)tại hai điểm phân biệt thoả mãn 1 2 + = − 4 thì phương x x 0,5 2 1 trình ( )
1 cần phải có hai nghiệm phân biệt x , x khác 0. 1 2 ∆ > 0 (
 −m − 2)2 − 4(m −3) > 0 2 m +16 > 0 ⇔  ⇔ ⇔  ⇔ m ≠ 3 2 0 0,5 
(m 2).0 m 3 0  − + + − ≠ m − 3 ≠ 0 m ≠ 3
Do x , x là hai nghiệm của phương trình ( )
1 nên: x + x = m + 2 ; x .x = m − 3 1 2 1 2 1 2
2x + m + 3 2x + m + 3 2 2
2x + 2x + m + 3 x + x 0,5 1 2 ( )( 1 2) 1 2 + = − 4 ⇔ = − 4 x x x x 2 1 1 2 2 2
⇔ 2x + 2x + m + 3 x + x = − 4x x ⇔ 2(x + x )2 + m + 3 x + x = 0 0,5 1 2 ( )( 1 2) 1 2 ( )( 1 2) 1 2  m = 2 − ⇔ (m + )2 2
2 + (m + 3)(m + 2) = 0 (m 2)2
 (m 2) (m 3) 0  ⇔ + + + + = ⇔  7 m = −  3 0,5
Kết hợp điều kiện m ≠ 3 ta thấy hai giá trị của m đều thoả mãn. Vậy 7 m = 2; − m = − . 3
2. Cổng vòm hoa tại một lễ cưới có hình dạng là đường
parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng vòm hoa là
3,2m . Tại vị trí trên cổng vòm hoa có độ cao 2m so với
mặt đất người ta thả một sợi dây chạm đất cách chân A 2,5
của cổng vòm hoa một đoạn 1m (hình 1). Tính chiều cao
của cổng vòm hoa (làm tròn đến hàng phần trăm).
+ Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ ta có: A(0;0), M (1;2) , 16 C  ;0  0,5 5    Trang 1/8 Câu
Sơ lược lời giải Điểm + Parabol (P): 2
y = ax + bx + c với a,b,c∈ và a < 0 Parabol (P): 2
y = ax + bx + c đi qua các điểm A( ) M ( ) 16 0;0 , 1;2 ,C  ;0  nên ta có: 5       2 0 .0 a .0 b c  = + + c = 0   0,5  2 2 .1 a .1 b c  = + +
⇔ a + b + c = 2  2  2  16  16 16  16 0 = . a + . b + c a + b + c =     0  5 5     5  5 10 32 ⇔ a = − ;b = ;c = 0 0,5 11 11 ⇒ (P) 10 2 32 : y = − x + x 0,5 11 11 2
Chiều cao của cổng vòm hoa là:  b   8  10  8  32 8 y 128 − =  y = −   . +   . =   2,33(m) 0,5  2a   5  11  5  11 5 55
Câu II. 1. Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện
( 4,0 trên đất liền ở vị trí A đến một hòn đảo ở vị trí
điểm) D. Khoảng cách ngắn nhất từ D vào đất liền là
DC = 2km . Khoảng cách từ A đến C là 5km .
Người ta chọn một vị trí ( điểm B ) nằm giữa A
và C để mắc đường dây điện từ A đến B , rồi từ 2,0
B đến D (hình 2). Chi phí mắc mỗi km dây điện
trên đất liền là 3000USD , chi phí mắc mỗi km dây
điện ngầm dưới biển là 5000USD . Hỏi điểm B phải cách điểm A bao nhiêu km ,
biết tổng chi phí mắc dây điện nối từ vị trí A đến vị trí D theo cách trên là 23000USD .
Đặt AB = x(km) với 0 < x < 5 . Ta có: BC = 5 − x (km) 0,5 Xét B
∆ CD vuông tại C ta có: 2 2
BD = BC + CD = ( − x)2 2 2 5
+ 2 = x −10x + 29
Chi phí để mắc dây điện trên đất liền là: 3000x(USD)
Chi phí để mắc dây điện ngầm dưới biển là: 2
5000 x −10x + 29 (USD) 0,5
Vì tổng chi phí là 23000(USD) nên ta có: 2
3000x + 5000 x −10x + 29 = 23000 2
⇔ 5000 x −10x + 29 = 23000 − 3000x 2
⇔ 5 x −10x + 29 = 23− 3x 0,5 23 − 3x ≥ 0  23   x ≤ ⇔  ⇔  3 25 0,25  ( 2 x −10x + 29) 2 = 529 −138x +  9x 2 2
25x − 250x + 725 = 9x −138x +529 Trang 2/8 Câu
Sơ lược lời giải Điểm  23  23 x  x ≤ ≤  3 ⇔  3 ⇔ 
⇔ x = 3,5 . Vậy điểm B cách điểm A là:3,5(km). 0,25 2 7 16
 x −112x +196 = 0  x =  2
2. Cho bất phương trình m(x + )(x − ) 2 1
3 − 2 3+ 2x − x + 3 ≥ 0 , với m là tham số. 2,0
Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x∈[ 1; − ] 3 . Xét với x = 1; − x = 3 ta có: .0
m − 2.0 + 3 ≥ 0 luôn đúng m ∀ ∈  nên x = 1; − x = 3 luôn là
nghiệm của bất phương trình với mọi m . 0,25
Xét với x∈(−1;3) . Hàm số f (x) 2
= −x + 2x + 3 có bảng biến thiên 0,25
Dựa vào bảng biến thiên ta có: 0 < f (x) ≤ 4 với x∈(−1;3) . 2 1 1
⇒ 0 < 3+ 2x − x ≤ 2 ⇒ ≥ 0,25 2 3+ 2x − x 2 m( 2 x − x − ) 2 −
+ x − x + ≥ ⇔ −m( 2 + x − x ) 2 2 3 2 3 2 3 0 3 2
− 2 3+ 2x − x + 3 ≥ 0 2  1  1 0,25 ⇔ 3  − 2 ≥ m ( do 2
3+ 2x − x > 0 ) 2 2
 3+ 2x − x  3+ 2x − x Đặt 1 t = x∈(− ) 1 , 1;3 ⇔ t ≥ . 2 3+ 2x − x 2 0,25
Bất phương trình trở thành 2
3t − 2t ≥ m với 1 t ≥ 2
Lập bảng biến thiên hàm số g (t) 2
= 3t − 2t với 1 t  ;  ∈ +∞  2   0,25 Trang 3/8 Câu
Sơ lược lời giải Điểm Từ bảng biến thiên 1 m ≤ −
t − t ≥ m với mọi 1 t  ;  ∈ +∞ 4 thì 2 3 2  0,25 2   Vậy 1
m ≤ − thì m(x + )(x − ) 2 1
3 − 2 3+ 2x − x + 3 ≥ 0 nghiệm đúng với mọi 4 x∈[ 1; − ] 3 0,25
Câu Một xưởng sản xuất bàn và ghế. Một chiếc bàn cần 1,5 giờ lắp ráp và 1 giờ hoàn III.
thiện. Một chiếc ghế cần 1 giờ lắp ráp và 2 giờ hoàn thiện. Bộ phận lắp ráp có 3 (2,0
điểm) công nhân, bộ phận hoàn thiện có 4 công nhân. Mỗi công nhân không làm việc quá
8 giờ một ngày và năng suất lao động của công nhân ở mỗi bộ phận đều như nhau.
Thị trường luôn tiêu thụ hết sản phẩm của xưởng và lượng ghế tiêu thụ không vượt 2,0
quá 3,5 lần số bàn. Một chiếc bàn lãi 600 nghìn đồng, một chiếc ghế lãi 450 nghìn
đồng. Hỏi trong một ngày, xưởng sản xuất cần sản xuất bao nhiêu chiếc bàn, bao
nhiêu chiếc ghế để thu được tiền lãi cao nhất ?
Gọi x là số bàn, y là số ghế mà xưởng sản xuất trong một ngày x ≥ 0; y ≥ 0 (x, y∈). 0,25
Tiền lãi trong một ngày là F ( ;
x y) = 600x + 450y (nghìn đồng)
Để sản xuất x chiếc bàn cần: 1,5x giờ lắp ráp và x giờ hoàn thiện.
Để sản xuất y chiếc ghế cần: y giờ lắp ráp và 2y giờ hoàn thiện.
Tổng số thời gian lắp ráp x chiếc bàn và y chiếc ghế là: 1,5x + y (giờ) 0,25
Tổng số thời gian hoàn thiện x chiếc bàn và y chiếc ghế là: x + 2y (giờ)
Bộ phận lắp ráp có 3 công nhân và mỗi công nhân làm việc không quá 8 giờ một ngày nên
ta có: 1,5x + y ≤ 3.8 ⇔ 1,5x + y ≤ 24
Bộ phận hoàn thiện có 4 công nhân và mỗi công nhân làm việc không quá 8 giờ một ngày 0,25
nên ta có: x + 2y ≤ 4.8 ⇔ x + 2y ≤ 32
Số lượng ghế tiêu thụ không vượt quá 3,5 lần số bàn nên ta có: y ≤ 3,5x ⇔ 3,5x − y ≥ 0 1,
 5x + y ≤ 24 x + 2y ≤ 32 
Ta có hệ bất phương trình: 3,
 5x − y ≥ 0 (I )  0,25 x ≥ 0  y ≥ 0
+ Bài toán đưa về tìm các số tự nhiên x, y là nghiệm
của hệ bất phương trình (I ) sao cho
F ( ;x y) = 600x + 450y có giá trị lớn nhất.
+ Miền nghiệm (ứng với x, y là hai số thực) của hệ 0,5
(I ) là miền tứ giác OABC với O(0;0); A(4;14);
B(8;12) ;C (16;0)
F (0;0) = 0;F (4;14) = 8700;F (8;12) =10200;F (16;0) = 9600 0,25
Vậy để thu được tiền lãi cao nhất thì một ngày, xưởng sản xuất 8 chiếc bàn và 12 chiếc
ghế. Khi đó tiền lãi mỗi ngày là 10200000 đồng 0,25
Câu Cho tập hợp A = {0;1;2;3;4;5;6;7;8; }
9 . Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số 2,0 Trang 4/8 Câu
Sơ lược lời giải Điểm IV.
tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số tự nhiên đó không chia hết (2,0
cho số 5 nhưng luôn có mặt chữ số 1 và chữ số 5?
điểm) Gọi số tự nhiên thoả mãn yêu cầu bài toán là n=aa a a a a a 1 2 3 4 5 6 7
với a ∈ A, i ∈{1;2;3;4;5;6; }
7 , các chữ số a đôi một khác nhau. i i 0,5
Vì số tự nhiên n không chia hết cho 5 nên: a ∉ 0;5 ⇒ a ∈ 1;2;3;4;6;7;8;9 7 { } 7 { }
Trường hợp 1 : Nếu a =1 7 • a = 5 , có 5
A cách chọn 5 chữ số còn lại từ tập A \{1; } 5 1 8 • a ≠ 5 1
+ Có 5 vị trí cho chữ số 5.
+ Có 7 cách chọn a ( do a ∈ A \ 0;5;1 ) 0,5 1 { } 1 + Có 4
A cách chọn 4 chữ số còn tại từ 7 chữ số của tập A \{1;5;a 1} 7 ⇒ có 4 5.7.A số. 7 ⇒ Trường hợp 1 có: 5 4
A + 5.7.A = 36120 số. 8 7
Trường hợp 2: Nếu a ≠ 1 7
• Số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau, luôn có số 1 và số 5, có số 0.
+ Chọn a có 7 cách chọn (do a ∉ 0;1;5 ) 7 { } 7
+ Có 5 vị trí cho chữ số 0 + Có 2
A vị trí cho hai chữ số 1;5 5 + Có 3
A cách chọn 3 chữ số còn lại từ tập A \{a ;0;1;5 7 } 6 ⇒ có 2 3 7.5.A .A số. 5 6
• Số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau, luôn có chữ số 1 và chữ số 5, không có 0,5 chữ số 0.
+ Chọn a có 7 cách chọn (do a ∉ 0;1;5 ) 7 { } 7 + Có 2
A vị trí cho hai chữ số 1;5 6 + Có 4
A cách chọn 4 chữ số còn lại từ tập A \{a ;0;1;5 7 } 6 ⇒ có 2 4 7.A .A số. 6 6 ⇒ Trường hợp 2 có: 2 3 2 4
7.5.A .A + 7.A .A =159600 số. 5 6 6 6
Vậy có tất cả: 36120 +159600 =195720 số 0,5
Tham khảo hướng giải khác:
n = a a a a a a a với a ∈ A, i ∈{1;2;3;4;5;6; }
7 , các chữ số a đôi một khác nhau. 1 2 3 4 5 6 7 i i
Vì số tự nhiên n không chia hết cho 5 nên: a ∉ 0;5 ⇒ a ∈ 1;2;3;4;6;7;8;9 7 { } 7 { }
Trường hợp 1: a =1. 7
• Xét các số tự nhiên n = a a a a a a a trong đó a có thể bằng 0 hoặc khác không. 1 2 3 4 5 6 7 1
+ Chọn a có 1 cách. 7
+ Có 6 cách xếp vị trí cho chữ số 5. + Có 5
A cách chọn 5 chữ số còn lại từ tập A \{a ;5 . 7 } 8 ⇒ có 5 6.A số. 8
• Xét các số tự nhiên n = 0a a a a a a trong đó: 2 3 4 5 6 7
+ Chọn a có 1 cách. 7
+ Có 5 cách xếp vị trí cho chữ số 5. + Có 4
A cách chọn 4 số còn lại từ tập A \{a ;5;0 . 7 } 7 Trang 5/8 Câu
Sơ lược lời giải Điểm ⇒ có 4 1.5.A số. 7 Vậy trường hợp 1 có 5 4
6.A −1.5.A = 36120 số. 8 7
Trường hợp 2: a ∉ 0;1;5 . 7 { }
• Xét các số tự nhiên n = a a a a a a a trong đó a có thể bằng 0 hoặc khác không. 1 2 3 4 5 6 7 1
+ Chọn a có 7 cách. 7 + Có 2
A cách xếp vị trí cho chữ số 1 và chữ số 5 vào 6 vị trí còn lại. 6 + Có 4
A cách chọn 4 chữ số còn lại từ tập A \{a ;1;5 . 7 } 7 ⇒ có 2 4 7.A .A số. 6 7
• Xét các số tự nhiên n = 0a a a a a a trong đó 2 3 4 5 6 7
+ Chọn a có 7 cách. 7 + Có 2
A cách xếp vị trí cho chữ số 1 và chữ số 5 vào 5 vị trí còn lại. 5 + Có 3
A cách chọn 3 chữ số còn lại từ tập A \{a ;1;5;0 . 7 } 6 ⇒ có 2 3 7.A .A số. 5 6 Vậy trường hợp 2 có 2 4 2 3
7.A .A − 7.A .A =159600 số. 6 7 5 6
Vậy có tất cả: 36120 +159600 =195720 số.
Câu V. 1. Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng a . Trên các cạnh BC,C , A AB lần ( 4,0 a 2a
điểm) lượt lấy các điểm N, M , P sao cho BN = , CM =
, AP = x (0 < x < a) . Tìm giá trị 3 3 2,0
của x theo a để đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM . 0,5
          Ta có 1 1 2 1
AN = AB + BN = AB + BC = AB + (AC − AB) = AB + AC 3 3 3 3
     Ta lại có x 1
PM = PA + AM = − AB + AC 0,5 a 3  
 2  1    x  1  AN PM AN PM 0 AB AC AB AC  ⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + ⋅ − + =     0 0,5  3 3   a 3 
2x 2 2   x   1 2 ⇔ −
AB + AB ⋅ AC −
AB ⋅ AC + AC = 0 3a 9 3a 9 2x 2 0,5 2 2 2 1 x 2 1 1 2 ⇔ − .a + .a . − .a . + .a = 0 2a 5xa ⇔ − = 0 4a ⇔ x = 3a 9 2 3a 2 9 9 6 15
2. Tại một tỉnh miền núi. Để tránh núi, đường đi
phải vòng qua núi như mô hình ( hình 3). Biết
AB =11km ; BC =10km ; CD = 8km và  0 ABC =101 ;  0
BCD =145 . Tính khoảng cách 2,0
giữa vị trí A và vị trí D (làm tròn đến hàng phần chục).
Gọi M là giao điểm của AB và CD. 0,25 Trang 6/8 Câu
Sơ lược lời giải Điểm  0 0 0
MBC =180 −101 = 79 ;  0 0 0 MCB =180 −145 = 35 0,25
Trong tam giác MBC ta có:  0 = −  −  0 0 0 0
BMC 180 MBC MCB =180 − 79 − 35 = 66  0,25 =  0 AMD BMC = 66
Áp dụng định lí sin trong tam giác MBC ta có: 0 BC BM 10 BM 10.sin 35  =  ⇔ = ⇒ BM = 0,25 0 0 0 sin BMC sin MCB sin 66 sin 35 sin 66 0 BC CM 10 CM 10.sin 79  =  ⇔ = ⇒ CM = 0,25 0 0 0 sin BMC sin MBC sin 66 sin 79 sin 66 0 10.sin 35 0
AM = AB + BM =11+ ; 10.sin 79
DM = DC + CM = 8 + 0,5 0 sin 66 0 sin 66 Xét tam giác AMD có: 2 2 2 = + −  AD MA MD 2. . MA . MD cos AMD 0,25 2 2 ⇒ = + −  AD MA MD 2. . MA .
MD cos AMD ≈19,7(km)
Câu Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hình vuông ABCD có điểm A(1;3) . VI. (3,0
Biết điểm M (6;4) thuộc cạnh BC  và điểm 17 9
N  ;  thuộc đường thẳng DC . điểm)  2 2  3,0 Chứng minh ,
A M , N thẳng hàng. Tính tỉ số NC và xác định toạ độ các đỉnh ND
B,C, D của hình vuông ABCD .   Với     
A(1;3) , M (6;4) , 17 9 N  ; ta có: 15 3 5 1 AN = ; ;MN =    ; 2 2      2 2   2 2    0,5
Vì AN = 3.MN nên ,
A M , N thẳng hàng
Do điểm M thuộc cạnh BC nên ta có hình vẽ.
MC / / AD nên NCM ∆ đồng dạng với N ∆ DA   NM MN 0,5 NC NM 1 ⇒ =
=  =  = ND NA NA AN 3
Xét hình vuông ABCD có cạnh có độ dài bằng a(a > 0) = 3 ⇔ + = 3 ⇔ = 2 CD a ND NC NC CD NC CD NC ⇔ NC = ⇔ NC = 2 23a 0,25 a 3a
ND = NC + CD = + a = ;  ND ND 2 3 cos DNA = = = = 2 2 2 2 2 AN ND + AD 13  3a  2 +   a  2  Trang 7/8 Câu
Sơ lược lời giải Điểm  
+ A(1;3),M (6;4) ⇒ AM = (5; )
1 là 1 vtcp của AM ⇒ n = − là 1vtpt của AM AM (1; 5) 
Gọi n(a;b) là vtpt của đường thẳng CD với 2 2 a + b > 0   0,25    = ( n n AND n n = AM ) AM . cos cos ,   n n AM . 2 2 3 1.a − 5.b 9
a −10ab + 25b = ⇔ = 2 13 1 ( 5)2 2 2 13 26 . ( 2 2 a + + − + b a b )  a = b − 0,25 2 2 2 2 2 2 18a 18b
a 10ab 25b
17a 10ab 7b 0  ⇔ + = − + ⇔ + − = ⇔ 7  a = b  17
Nếu b = 0 thì a = 0 (loại vì không thoả mãn 2 2 a + b > 0 ). a = 1 −
Với b ≠ 0 , chọn b 1  = ⇒ 7  0,25 a =  17
Trường hợp 1: a = 1; − b =1. 
Đường thẳng CD đi qua điểm 17 9 N  ;   , nhận n( 1; − )
1 làm một véctơ pháp tuyến 2 2   
⇒ CD : x − y − 4 = 0 0,25
AB đi qua A(1;3) và AB / /CD ⇒ AB : x − y + 2 = 0
AD đi qua A(1;3) và AD ⊥ CD ⇒ AD : x + y − 4 = 0
BC đi qua M (6;4) và BC ⊥ CD ⇒ BC : x + y −10 = 0
x + y − 4 = 0 x = 4 AD  CD = { }
D ⇒ D có toạ độ là nghiệm của  ⇔  ⇔ D(4;0)
x − y − 4 = 0 y = 0
 x − y + 2 = 0 x = 4 AB  BC = { }
B ⇒ B có toạ độ là nghiệm của  ⇔  ⇔ B(4;6) 0,25
x + y −10 = 0 y = 6
 x − y − 4 = 0 x = 7
CD  BC = {C} ⇒ C có toạ độ là nghiệm của  ⇔  ⇔ C (7;3)
x + y −10 = 0 y = 3 Trường hợp 2: 7 a = ;b =1. 17
Cách làm tương tự trường hợp 1 ta có: 0,25
CD : 7x +17y −136 = 0; AB : 7x +17y − 58 = 0;
AD :17x − 7y + 4 = 0; BC :17x − 7y − 74 = 0 34 90 D ;       ; 64 18 85 69
B ; ;C  ; . 13 13      13 13   13 13  0,25
Kiểm tra thấy điểm M nằm trên cạnh BC nên cả hai trường hợp đều thoả mãn. ---HẾT--- Trang 8/8
Document Outline