Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Đan Phượng – Hà Nội

Giới thiệu đến bạn đọc nội dung đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Đan Phượng – Hà Nội được biên soạn theo hình thức tự luận nhằm đánh giá chính xác khả năng tư duy logic của các em, đề gồm 5 bài toán, thang điểm 20

32 16 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 10

Môn: Toán 10

Thông tin:

6 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Thanh Tâm
Trang 1
SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG
Đề chính thức
(Đề thi có 1 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN
Năm học: 2018-2019
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Câu I (6 điểm)
1) Cho parabol
2
( ): 2 6 1P y x x
;
Tìm giá trị của
k
để đường thẳng
: ( 6) 1y k x
cắt parabol
P
tại hai điểm phân biệt
,MN
sao
cho trung điểm của đoạn thẳng
MN
nằm trên đường thẳng
2) Giả sử phương trình bậc hai ẩn
x
(
m
là tham số):
2 3 2
2( 1) ( 1) 0x m x m m
có hai nghiệm
12
,xx
thỏa mãn điều kiện
12
4xx
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:
33
1 2 1 2 1 2
3 3 8P x x x x x x
Câu II (5điểm):
1) Giải bất phương trình:
2
( 1)( 4) 5 5 28 ( )x x x x x R
2) Giải hệ phương trình :
22
2 2 2 2
2 6 2 2 3 0
( ; )
( ) 3 3 2
x y y y
x y R
x y x xy y x y
Câu III (2 điểm). Cho
0, 0xy
là những số thay đổi thỏa mãn
2018 2019
1
xy

. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
P x y
Câu IV(4 điểm)
1) Cho tam giác
ABC
có
,BC a AC b
diện tích bằng
S
.
Tính số đo các góc của tam giác này biết
2) Cho tam giác
ABC
là tam giác đều có độ dài cạnh bằng
a
. Trên các cạnh
,,BC CA AB
lần lượt lấy
các điểm
,,N M P
sao cho
2
, , 0
33
aa
BN CM AP x x a
.
Tìm giá trị của
x
theo
a
để đường thẳng
AN
vuông góc với đường thẳng
PM
Câu IV(3 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho hình thang
ABCD
với hai đáy là
AB
và
CD
. Biết
diện tích hình thang bằng
14
( đơn vị diện tích), đỉnh
1;1A
và trung điểm cạnh
BC
là
1
;0
2
H



.
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
AB
biết đỉnh
D
có hoành độ dương và
D
nằm trên
đường thẳng
:5 1 0d x y
.
------------------Hết------------------
Trang 2
ĐÁP ÁN
Câu I:
Câu I
6 điểm
Nội dung
Điểm
Tìm m... với parabol
2
2 6 1y x x
Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì phương trình
2
2 6 1 4 6 1x x x x
có hai nghiệm phân biệt
12
;xx
hay phương trình :
2
2 2 0x kx
có hai nghiệm phân biệt
12
;xx
có
2
16 0k
0.75
Khi đó giao điểm
1 1 2 2
;( 6) 1 , ;( 6) 1M x k x N x k x
nên trung điểm của
đoạn thẳng MN là
1 2 1 2
( 6) 1 ( 6) 1
;
22
x x x x x x
I



0.75
Theo định lý Viet ta có
12
2
k
xx
nên
2
1
23
2
;
42
kk
k
I






0.75
Do I thuộc đường thẳng
3
2
2
yx
nên
2
8 2 0kk
hay
4 3 2k
thì
thỏa mãn bài toán.
0.75
2.
3 điểm
Giả sử phương trình bậc hai ẩn
x
(
m
là tham số);
2 3 2
2( 1) ( 1) 0 (1)x m x m m
có hai nghiệm
12
,xx
thỏa mãn điều kiện
12
4xx
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:
33
1 2 1 2 1 2
3 3 8P x x x x x x
Phương trình (1) có hai nghiệm
12
,xx
thỏa mãn điều kiện
12
4xx
khi
2 3 2
12
( 1) ( 1) 0
2( 1) 4
m m m
x x m
3
20
40
(*)
23
3
m
mm
m
m



.
0.75
Với
m
thỏa mãn điều kiện (*), áp dụng Viet ta có :
0.75
Trang 3
12
32
12
2( 1)
( 1)
x x m
x x m m
Nên
3
33
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3 3 8 8P x x x x x x x x x x
3 3 2
2 2 2 2
8( 1) 8 ( 1)
8 3 3 1 2 1 8 2 5 16 40
m m m
m m m m m m m m
Ta có bảng biến thiên hàm số trên miền điều kiện
Ta có giá trị lớn nhất của P là 16 khi
2m
Giá trị nhỏ nhất của P là -144 khi
2m 
0.75
0.75
Câu II
Câu II
Nội dung
Điểm
1.
2 điểm
Đk:
x
Ta có
22
(1) 5 28 24 5 5 28 0x x x x
0.5
Đặt
2
5 28( 0)t x x t
Bất phương trình trở thành
2
5 24 0 3 8t t t
0.5
So sánh điều kiện ta được
08t
0.5
Với
08t
2
5 28 64 9 4x x x
KL đúng
0.5
2.
(3 điểm)
ĐKXĐ:
1,5y 
(2)
3 3 2 2 3 3
3 3 3 2 ( 1) ( 1)x y x y x y x y
0.5
1 1 2x y y x
0.5
Trang 4
Thay vào phương trình thứ nhất ta được;
22
2
2 1 1
11
3 1 2 1 2 1
22
21
xx
x x x x x
xx

(Có
thể bình phương được phương trình:
22
( 1) 4 2 0)x x x
1.0
Giải hai pt này ta được
1, 2 2xx
. Thử lại nghiệm...
KL: Hệ phương trình có hai nghiệm là
( ; ) (1; 1),(2 2, 2)xy
1.0
Câu III
Câu III
Nội dung
Điểm
1.
2 điểm
Có
2018 2019
()
2018 2019
2018 2019
P x y
xy
yx
xy



0.5
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số đương
2018y
x
và
2019x
y
ta được
2018 2019
2 2018.2019
yx
xy

Suy ra
2
( 2018 2019)P 
0.5
GTNN của P là
2
( 2018 2019)
khi
0; 0
2018 2019
10.5
2018 2019
xy
xy
yx
xy


0.5
2018( 2018 2019)
2019( 2019 2018)
x
y


0,5
Trang 5
Câu IV
Câu IV
Nội dung
Điểm
1.
2 điểm
Ta có
22
11
sin
42
S a b ab C
0,5
22
2 sina b ab C
2
( ) 2 (1 sin ) 0 (1)a b ab C
0,5
Hai số hạng của tổng (1) đều không âm nên
00
1 sin 0 sin 1
a b a b
CC



0,5
45
90
AB
C

KL đúng
0,5
1.
2 điểm
Ta có
1 2 1
()
3 3 3
AN AB BN AB AC AB AB AC
0,5
Ta lại có
1
3
x
PM PA AM AC AB
a
0,5
2 1 1
00
3 3 3
x
AN PM AN PM AB AC AC AB
a

22
2 2 1
0
9 3 3 9
xx
AB AC AB AB AC AC
aa
0.5
5 2 4
6 9 15
xa
x
a
. KL đúng
0.5
Trang 6
Câu V
Câu V
Nội dung
Điểm
3 điểm
Gọi
E AH DC
Dễ thấy
14
ADE ABCD
HAB HEC S S
0.5
13
, E 2AH 13
2
AH A
, phương trình tổng quát của đường thẳng AE:
2 3 1 0xy
0.5
( ;5d 1), 0D d D d d
2
1 28
( , ) 14 ( , )
30
2
()
13
13
ADE
d
S AE d D AE d D AE
dL
0.5
Suy ra
(2;11)D
+ H là trung điểm AE
( 2; 1)E
0.5
Phương trình tổng quát của CD:
3 5 0xy
0.5
Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD
PT tổng quát của AB :
3 2 0xy
0.5
| 1/6
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG MÔN: TOÁN Năm học: 2018-2019 Đề chính thức
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi có 1 trang)
(Không kể thời gian giao đề) Câu I (6 điểm) 1) Cho parabol 2
(P) : y  2x  6x 1 ;
Tìm giá trị của k để đường thẳng  : y  (k  6)x 1 cắt parabol  P  tại hai điểm phân biệt M, N sao cho trung điể 3
m của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d : y  2  x  2
2) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số): 2 3 2
x  2(m 1)x m  (m 1)  0 có hai nghiệm
x , x thỏa mãn điều kiện x x  4 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau: 1 2 1 2 3 3
P x x x x 3x  3x  8 1 2 1 2  1 2  Câu II (5điểm):
1) Giải bất phương trình: 2
(x 1)(x  4)  5 x  5x  28 (x  ) R 2 2
x y  2y  6  2 2y  3  0 
2) Giải hệ phương trình :  x y R (x y)   ( ; ) 2 2
x xy y  3  3 2 2
x y   2 2018 2019
Câu III (2 điểm). Cho x  0, y  0 là những số thay đổi thỏa mãn  1. Tìm giá trị nhỏ x y
nhất của biểu thức P x y Câu IV(4 điểm)
1) Cho tam giác ABC có BC  ,
a AC b diện tích bằng S . 1
Tính số đo các góc của tam giác này biết S   2 2 a b  4
2) Cho tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a . Trên các cạnh BC,C ,
A AB lần lượt lấy các điể a 2a
m N, M , P sao cho BN  ,CM
, AP x 0  x a . 3 3
Tìm giá trị của x theo a để đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM
Câu IV(3 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD . Biết  1 
diện tích hình thang bằng 14 ( đơn vị diện tích), đỉnh A1; 
1 và trung điểm cạnh BC là H  ; 0   .  2 
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB biết đỉnh D có hoành độ dương và D nằm trên
đường thẳng d :5x y 1 0.
------------------Hết------------------ Trang 1 ĐÁP ÁN Câu I: Câu I Nội dung Điểm 6 điểm Tìm m... với parabol 2
y  2x  6x 1
Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì phương trình 2
2x  6x 1  4x  6x 1 có hai nghiệm phân biệt x ; x hay phương trình : 1 2 0.75 2
2x kx  2  0 có hai nghiệm phân biệt x ; x có 2   k 16  0 1 2
Khi đó giao điểm M x ;(k  6)x 1 , N x ;(k  6)x 1 nên trung điểm của 1 1   2 2          0.75 đoạ x x (x 6)x 1 (x 6)x 1 n thẳng MN là 1 2 1 2 I ;    2 2   1  2 2  3k k   Theo đị k k
nh lý Viet ta có x x  nên 2 I  ;  0.75 1 2 2 4 2     3
Do I thuộc đường thẳng y  2  x  nên 2
k  8k  2  0 hay k  4   3 2 thì 2 0.75 thỏa mãn bài toán. 2.
Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số); 3 điểm 2 3 2
x  2(m 1)x m  (m 1)  0
(1) có hai nghiệm x , x thỏa mãn điều kiện 1 2
x x  4 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau: 1 2 3 3
P x x x x 3x  3x  8 1 2 1 2  1 2 
Phương trình (1) có hai nghiệm x , x thỏa mãn điều kiện x x  4 khi 1 2 1 2  2 3 2   0.75
(m 1)  m  (m 1)  0 3
m  4m  0  2   m  0     (*)  .
x x  2(m 1)  4  m  3 2  m  3 1 2
Với m thỏa mãn điều kiện (*), áp dụng Viet ta có : 0.75 Trang 2
x x  2(m 1) 1 2  3 2
x x  m  (m 1)  1 2
Nên P x x x x 3x  3x  8   x x 3 3 3  8x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3
 8(m 1)  8 3 2
m  (m 1)  0.75 2 2 2 2  8 3
m  3m 1 m  2m 1  8 2
m  5m  1  6m  40m    
Ta có bảng biến thiên hàm số trên miền điều kiện
Ta có giá trị lớn nhất của P là 16 khi m  2 0.75
Giá trị nhỏ nhất của P là -144 khi m  2  Câu II Câu II Nội dung Điểm 1. Đk: x 0.5 2 điểm Ta có 2 2
(1)  x  5x  28  24  5 x  5x  28  0 Đặt 2 t
x  5x  28(t  0) 0.5
Bất phương trình trở thành 2
t  5t  24  0  3   t  8
So sánh điều kiện ta được 0  t  8 0.5 Với 0  t  8 2
x 5x  28  64  9   x  4 0.5 KL đúng 2. (3 điểm) ĐKXĐ: y  1  ,5 0.5 (2) 3 3
x y x y   2 2 x y  3 3 3 3 3
 2  (x 1)  (y 1)
x 1 y 1 y x  2 0.5 Trang 3
Thay vào phương trình thứ nhất ta được; 2 2  1   1  
2x 1  1 x 2
x  3x 1   2x 1  x   2x 1        (Có 1.0  2   2 
 2x 1  x
thể bình phương được phương trình: 2 x   2 ( 1)
x  4x  2  0)
Giải hai pt này ta được x  1, x  2  2 . Thử lại nghiệm... 1.0
KL: Hệ phương trình có hai nghiệm là ( ; x y)  (1; 1  ),(2  2, 2) Câu III Câu III Nội dung Điểm 1.  2018 2019  P  (x y)    2 điểx y m  Có 0.5 2018y 2019x  2018    2019 x y 2019x
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số đương 2018y và ta được x y 2018y 2019x   2 2018.2019 0.5 x y Suy ra 2 P  ( 2018  2019) 
x  0; y  0  2018 2019 GTNN của P là 2 ( 2018  2019) khi    10.5 0.5 x y  2018y 2019x    x y
x  2018( 2018  2019)   0,5
y  2019( 2019  2018)  Trang 4 Câu IV Câu IV Nội dung Điểm 1. 1 1 Ta có S   2 2
a b   absin C 0,5 4 2 2 điểm   2 2
a b   2absin C 0,5 2
 (a b)  2ab(1 sin C)  0 (1)
Hai số hạng của tổng (1) đều không âm nên a b  0 a b  0 0,5    1  sin C  0 s  in C 1
A B  45   C   90 0,5 KL đúng 1. 1 2 1 0,5
Ta có AN AB BN AB  (AC AB)  AB AC 3 3 3 2 điểm 1 x
Ta lại có PM PA AM AC AB 0,5 3 a  2 1   1 x
AN PM AN PM  0  AB AC AC AB  0      3 3   3 a  0.5 2 2 2 2x x 1  ABAC AB AB AC AC  0 9 3a 3a 9 5x 2 4a    x  . KL đúng 0.5 6a 9 15 Trang 5 Câu V Câu V Nội dung Điểm
Gọi E AH DC 3 điểm 0.5 Dễ thấy HAB HEC SS  14 ADE ABCD 13 AH  , E
A  2AH  13 , phương trình tổng quát của đường thẳng AE: 2 0.5
2x  3y 1  0 Dd  (
D d;5d 1), d  0 d  2 1 28  0.5 S
AE d(D, AE) 14  d(D, AE)      ADE 30 2 13 d  (L)  13 Suy ra (2 D ;11) 0.5
+ H là trung điểm AE  E( 2  ; 1  )
Phương trình tổng quát của CD: 3x y 5  0 0.5
Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD
PT tổng quát của AB : 3x y  2  0 0.5 Trang 6