Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2021 – 2022 cụm trường THPT – Hà Nội
Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 10 đề thi chọn học sinh giỏi cấp cụm môn Toán 10 năm học 2021 – 2022 cụm trường THPT trực thuộc sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, mời các bạn đón xem
Preview text:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 10 CỤM TRƯỜNG THPT
NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài I (4,0 điểm) Cho Parabol P y 2 ( ) :
x 2x 3 .
1) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P ) .
2) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y 4x 7
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài II (6,0 điểm) 2 x 2 y xy 1
1) Giải hệ phương trình
x y xy . 3
2) Giải phương trình sau: a) 2
2x 3x 5 x 1 ; b) 2
x 3x 2 6 2 x 1 3 x 2.
Bài III (4,0 điểm) Cho ba số dương a, ,
b c thỏa mãn a b c 3 . 3 3 a b 1) Chứng minh a b. 2 2 b a 3 3 3 a b c
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . 2 2 2 b c a
Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác đều A BC có cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác, M là
một điểm thỏa mãn MA 2MB 3MC 0.
1) Chứng minh: 6GM A C .
2) Gọi D, E , F là hình chiếu của M lên các cạnh BC, ,
CA AB. Tính MD ME MF theo a.
Bài V (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác A BC có các đường cao A , D BE,CF.
Biết điểm E(5, 4), điểm F(1, 2) và phương trình đường thẳng BC là y 1.
1) Viết phương trình đường thẳng EF và tìm tọa độ trung điểm của B C .
2) Tính diện tích tam giác DEF .
- - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - -
Họ và tên thí sinh:....................................................
Số báo danh:............................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LỚP 10 CỤM TRƯỜNG THPT NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Câu Nội dung điểm 1 1 TXĐ: 0,25 (4,0đ) Đỉnh I 1 ; 4 0,25 Bảng biến thiên: x -1 y 0,5 -4 Đồ thị: 0,25
(P) Giao với trục Ox : 3 ;0;1;0 0,25
(P) Giao với trục Oy :0; 3 Vẽ đồ thị hàm số 0,5
(Chú ý: học sinh biểu diễn tọa độ các điểm trên hình
vẽ vẫn được điểm tối đa) 2 Gọi M ,
x yP suy ra 2
y x 2x 3 0,25 2 y 4x 7 x 2x 4
Khi đó d M,d 0,5 17 17
Ta có: x x x 2 2 2 4 1 3 3 0,5
Suy ra d M d 3 17 , . 17
Suy ra giá trị nhỏ nhất của d M d 3 17 , . 17 0,5
Dấu bằng xảy ra khi x 1, y 0. Vậy M 1,0. 0,25 2 1 2 x 2 y xy x 2 1 ( y) 3xy 1 (6,0đ)
x y xy 3
x y xy 3 0,25
x y S Đặt xy P 0,25
Hệ phương trình trở thành 2 S 3P 1 2
S 3S 10 0
S 2, P 1 0,5 S P 3 P 3 S
S 5, P 8
Với S 5, P 8 suy ra x, y là nghiệm của phương trình 0,5 2
X 5X 8 0 ( vô nghiệm)
Với S 2, P 1 suy ra x, y là nghiệm của phương trình 2
X 2X 1 0 X 1 suy ra x y 1 0,5
Vậy hệ có nghiệm là x,y 1;1 2a x 1 x 1 2
2x 3x 5 x 1
2x 3x 5 2 2 2 x 1
x x 6 0 1,0 x 1
x 2(l) . Vậy phương trình có nghiệm là:x 3 1,0 x 3(tm ) 2b
x 1 a
Điều kiện x 2. Đặt 0,5
x 2 b a 3
Phương trình trở thành ab 6 2a 3b (a 3)(b 2) 0 0,5 b 2
Với a 3 x 10(t ) m
Với b 2 x 6(t ) m 1,0
Vậy tập nghiệm của phương trình là S {6;10}. 3 1 Biến đổi : (4,0đ) 3 3
a b a b 5 a 5 b 3 2 a b 2 3 a b 3 a 2 a 2 b 3 b 2 a 2 b 0 1,0 2 2 b a 2 2 a 2 b 3 a 3
b a b a b 2 a ab 2 0 b 0 1,0 2 3 a
Áp dụng bđt Cauchy ta có:
b b 3a 2 b 3 3 1,0 b c
c c 3b ;
a a 3c 2 c 2 a Suy ra 3 3 3 3 3 3
a b c a b c
2(a b c) 3(a b c)
a b c 3 2 2 2 2 2 2 b c a b c a 1,0
Dấu bằng xảy ra khi a =b= c =1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 khi a =b = c =1. 4 1 GM A M A G (3,0đ) Ta có: 0,25 1 1
Ta có MA 2MB 3MC 0 A M A B A C 0,25 3 2 1 1
Ta có G là trọng tâm tam giác ABC A G A B A C 0,25 3 3 1 Suy ra GM
A C 6GM A C 0,25 6 2
Từ M kẻ các đường thẳng song song với 3 cạnh
của tam giác, cắt các cạnh này tại P,Q,H,K,I,J.
Suy ra D,E,F là trung điểm các cạnh HK, IJ, PQ. 0,5 1 1 Suy ra MD
MH MK ; ME MI MJ ; 2 2 0,5
MF 1 MP MQ 2 1
Suy ra MD ME MF
MH MK MI MJ MP MQ 2 1 0,5
MA MB MC 2 3 1
Mà MA MB MC 3MG MD ME MF MG CA 2 4 0,5 1 a MD ME MF A C 4 4 5 1 (3,0đ)
Ta có: EF(4, 2) / / (2, 1) 0,25
Suy ra pt đường thẳng EF là:
x 2y 3 0 0,25
Gọi M là trung điểm BC suy ra M (x,1). 0,25
Chứng minh ME MF 1 ( BC ) 0,5 2 2 2 2 2
Suy ra x 5 1 4 x 1 1 2 8x 32 0 x 4 0,5
Vậy tọa độ trung điểm BC là: M (4,1). 0,25 2
Gọi F’ đối xứng với F qua BC suy ra F '(1, 0). 0,25
Chứng minh DA là phân giác của góc EDF suy ra F’, D, E thẳng hàng 0,25
Pt EF’: x y 1 0 Suy ra tọa độ điểm 0,25 D(2, 1). 2 2.1 3 1 1 Suy ra S
d(D, EF ).EF .2 5 3 0,25 DEF 2 2 5