Đề thi học sinh giỏi Toán 6 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Lâm Thao – Phú Thọ

Xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 6 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 6 cấp huyện năm học 2023 – 2024 phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Lâm Thao, tỉnh Phú Thọ; đề thi gồm 02 trang, hình thức 30% trắc nghiệm (12 câu – 06 điểm) + 70% tự luận (04 câu – 14 điểm), thời gian làm bài 90 phút, có đáp án và hướng dẫn chấm điểm.

81 41 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 6

Môn: Toán 6

Thông tin:

6 trang 4 tháng trước

Tác giả:

Profile M. Hậu
PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023- 2024
MÔN THI: TOÁN 6
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi có 02 trang)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (6,0 điểm)
Câu 1. Giá trị của
x
thỏa mãn
2
7 7 2450
xx
+=
là
A.
25.x =
B.
2.
x =
C.
5.x =
D.
35.x =
Câu 2. Với
(
)
;xy
là cặp số nguyên tố thỏa mãn
Khi đó
94xy+
có giá trị là
A. 18.
B. 28.
C. 46.
D. 71.
Câu 3. Tập hợp
A
gồm các số tự nhiên
n
để
4
21n −
có giá trị là số nguyên. Số phần tử của
tập hợp
A
là
A.
2.
B.
1.
C.
6.
D.
4.
Câu 4. Tổng
1 2 3 4 5 6 ... 2019 2020 2021 2022 2023 2024S =−+−+−+ + − + − + −
có giá trị bằng
A.
2022.−
B.
1012.
C.
0.
D.
1012.−
Câu 5. Số các giá trị nguyên của
x
thỏa mãn biểu thức
( ) ( )
2024 2022
2 11 2 11xx−=−
là
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Câu 6. Giá trị của biểu thức
1 2 3 4 5 30 31
...
4 6 8 10 12 62 64
C =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
là
A.
31
1
.
2
B.
30
1
.
2
C.
32
1
.
2
D.
36
1
.
2
Câu 7. Cho phép toán
⊗
thỏa mãn với hai số
,ab
ta có:
2. . .a b a ab⊗= +
Giá trị của biểu thức
11 1
23 4

⊗⊗


là
A.
7
.
6
B.
1
.
4
C.
21
.
8
D.
8
.
21
Câu 8. Cho (1), (2), (3), (4) là các hình thang vuông có kích thước bằng nhau (như hình vẽ),
biết rằng
4
PQ cm=
. Diện tích hình chữ nhật
ABCD
bằng
A.
2
12 .cm
B.
2
24 .cm
C.
2
48 .cm
D.
2
96 .cm
Câu 9. Cho điểm
M
nằm giữa hai điểm
A
và
.B
Điểm
I
là trung điểm của đoạn thẳng
AB
và
58AB BM=
, biết
4MI cm=
. Độ dài đoạn thẳng
AB
là
A.
32 .cm
B.
26 .cm
C.
16 .cm
D.
8.cm
Câu 10. Cho
0
90 ,xOy =
tia
Ot
nằm giữa 2 tia
Ox
và
.Oy
Biết
5.xOt tOy=
. Số đo của
xOt
là
A.
0
150 .
B.
0
75 .
C.
0
60 .
D.
0
15 .
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 11. Cho đường thẳng
xy
và điểm
O
nằm ngoài đường thẳng
.xy
Trên
xy
lấy
2024
điểm
phân biệt. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu góc đỉnh
,O
có 2 cạnh là 2 tia bất kì đi qua các điểm
thuộc đường thẳng
xy
?
A.
4049255.
B.
2047726.
C.
4094552.
D.
2047 276.
Câu 12. Bạn Hải tung đồng xu một số lần liên tiếp. Biết xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt
sấp là
3
7
và tích của số lần xuất hiện mặt sấp với số lần xuất hiện mặt ngửa là
300.
Hỏi bạn
Hải đã tung đồng xu bao nhiêu lần?
A.
5.
B.
9.
C.
14.
D.
35.
II. PHẦN TỰ LUẬN: (14,0 điểm)
Câu 1. (4,0 điểm)
1.1. Rút gọn
( )
( )
9
19 3 4
10
9 10
2 .27 15. 4 .9
202420242024
.
607260726072
6 .2 12
A
−−
= −
+−
1.2. Tìm các số tự nhiên
,xy
sao cho ƯCLN
(
)
, 21
xy a= −
và BCNN
( )
, 5 3.xy a= +
Câu 2. (4,0 điểm)
2.1. Cho phân số
12 7
.
43
n
A
n
+
=
+
a) Chứng minh rằng
A
là một phân số tối giản với mọi
.n ∈
b) Tìm
n
∈
để
A
đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
2.2. Tìm các cặp số nguyên
( )
,
xy
thỏa mãn
6 4 15 18.xy x y+− =
Câu 3. (4,0 điểm)
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia
,Ox
vẽ góc
00
60 ; 100 .xOz xOy= =
a) Tính số đo
.yOz
b) Trên tia
Ox
lấy điểm
A
sao cho
2024
2.OA cm
=
Gọi
1
A
là trung điểm của
,OA
2
A
là trung
điểm của
1
,OA
3
A
là trung điểm của
2 2024
,...,OA A
là trung điểm của
2023
.
OA
Tính độ dài đoạn
thẳng
1 2024
.AA
c) Cần phải vẽ thêm bao nhiêu tia gốc
O
nữa (không kể các tia
,,Ox Oy Oz
) để trên hình vẽ ta
có tất cả
5356
góc đỉnh
O
được tạo thành.
Câu 4. (2,0 điểm)
4.1. Cho
a
là số tự nhiên và
m
là ước tự nhiên của
2
2.a
Chứng minh rằng
2
am+
không là
số chính phương.
4.2. Cho
100
số tự nhiên bất kỳ. Chứng minh rằng ta có thể chọn được ít nhất
15
số mà hiệu
hai số tùy ý chia hết cho
7.
------------------------------ Hết-----------------------------
- Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023- 2024
MÔN THI: TOÁN 6
HƯỚNG DẪN CHẤM
A. TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm).
Mỗi câu đúng cho 0,5 điểm.
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Đáp án
B
C
A
D
B
D
C
D
A
B
D
D
B- TỰ LUẬN (14 điểm)
Câu/ý
Nội dung
Điểm
Câu 1. (4,0 điểm)
1.1. Rút gọn
( )
( )
9
19 3 4
10
9 10
2 .27 15. 4 .9
202420242024
.
607260726072
6 .2 12
A
−−
= −
+−
1.2. Tìm các số tự nhiên
,xy
sao cho ƯCLN
(
)
, 21xy a
= −
và BCNN
( )
, 5 3.xy a= +
1.1
1.1.
19 3 9 4
9 10 10
19 9 18 8
9 9 10 2 10
19 9 18 9
19 9 20 10
18 9
19 9
2 .27 15.( 4) .9 202420242024
6 .2 ( 12) 607260726072
2 .3 3.5.2 .3 1
2 .3 .2 (2 .3) 3
2 .3 5.2 .3 1
2 .3 2 .3 3
2 .3 (2 5) 1
2 .3 (1 2.3) 3
11 1
236
A
−−
= −
+−
+
= −
+
+
= −
+
+
= −
+
=−=
0,5
0,5
0,5
0,5
1.2
Ta có
5 3 2 1 10 5 11 2 1aa a a+ −⇒ −+ −
{ }
11 2 1 2 1 11; 1; 1; 11aa−⇒ −∈− −
Mà
{ }
2 1 1; 6a Na
−∈ ⇒ ∈
Với
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
{ }
1 , 1; , 8 ; 1; 8 ; 8; 1 .a xy xy xy=⇒= =⇒∈
Với
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
{ }
6 , 11; , 33 ; 11;33 ; 33;11 .a xy xy xy=⇒= =⇒∈
Vậy
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
; 1;8 ; 8;1 ; 11;33 ; 33;11 .xy∈
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 2. (4,0 điểm)
2.1. Cho phân số
12 7
.
43
n
A
n
+
=
+
a) Chứng minh rằng
A
là một phân số tối giản với mọi
.n
∈
b) Tìm
n ∈
để
A
đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
2.2.
Tìm các cặp số nguyên
,
xy
thỏa mãn
6 4 15 18.xy x y+− =
2.1)
a)
Ta có
12 7 2
3
43 43
n
A
nn
+
= = −
++
Vì
43n +
không chia hết cho 2 (thỏa mãn với mọi số nguyên n)
Nên
2
43n +
là phân số tối giản. Vậy A là phân số tối giản.
0,5
0,5
b)
Để A có giá trị lớn nhất khi
2
43n +
có giá trị nhỏ nhất khi
43n +
là số
nguyên âm lớn nhất với n nguyên
4 3 1 1.nn+ =−⇒ =−
khi đó
( )
2
3 5 1.
1
Max A khi n=−= =−
−
0,5
0,5
2.2)
Tìm các cặp số nguyên
( )
,xy
thỏa mãn
6 4 15 18.
xy x y+− =
( )
( )
( )
( )
(
)
6 4 15 18 2 3 2 15 10 8
2325328 25328
xy x y x y y
xy y x y
+ − =⇒ +− −=
⇔ +− +=⇒ − +=
(
8 4. 2 1. 8 2.4 1.8=−−=−−= =
)
Vì
25x −
không chia hết cho 2 nên
{ }
2 5 1; 1x − ∈−
TH1:
2 51 3
3 28 2
xx
yy
−= =

⇒

+= =

TH2:
25 1
328
x
y
−=−
+=−
(loại)
Vậy
( ) ( )
, 3, 2 .xy =
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 3. (4,0 điểm)
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia
,Ox
vẽ góc
00
60 ; 100 .xOz xOy= =
a) Tính số đo
.yOz
b) Trên tia
Ox
lấy điểm
A
sao cho
2024
2.OA cm=
Gọi
1
A
là trung điểm của
,
OA
2
A
là trung
điểm của
1
,
OA
3
A
là trung điểm của
2 2024
,...,
OA A
là trung điểm của
2023
.OA
Tính độ dài đoạn
thẳng
1 2024
.AA
c) Cần phải vẽ thêm bao nhiêu tia gốc
O
nữa (không kể các tia
,,Ox Oy Oz
) để trên hình vẽ ta
có tất cả
5356
góc đỉnh
O
được tạo thành.
0,25
a)
Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vì
xOz xOy
<
(
00
60 100<
)
=> Oz nằm giữa Ox và Oy
=>
00 0
100 60 40xOz yOz xOy yOz+ = ⇒ = −=
0,5
0,25
0,5
b)
Vì
1
A
là trung điểm của
OA
nên
1
1
2
OA OA
=
Vì
2
A
là trung điểm của
1
OA
nên
21
2
11
22
OA OA OA= =
Vì
3
A
là trung điểm của
2
OA
nên
32
3
11
22
OA OA OA= =
…..
Vì
2024
A
là trung điểm của
2023
OA
nên
2024 2023
2024
11
22
OA OA OA= =
Trên tia Ox, vì
2024 1
OA OA<
(do
2024
11
22
OA OA<
)
=>
2024
A
nằm giữa hai điểm
O
và
1
A
2024 1 2024 1 1 2024
2024
2023
2024 2023
1 2024
2024 2024
11
22
11 2 1
. .2 2 1
22 2
OA A A OA OA A A OA
A A OA
⇒+=⇒ +=
−

⇒=− = =−


0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
c)
Giả sử cần vẽ thêm
n
tia gốc O (
n
là số tự nhiên khác 0)
Tổng số tia gốc O là
3n +
(tia)
Lấy 1 tia bất kì
Vẽ góc tạo bởi tia đó với
2n +
tia còn lại, ta được
2n
+
(góc)
Làm tương tự như vậy với
3n +
tia, ta được
( )
( )
32nn++
(góc)
Nhưng như thế mỗi góc đã được tính hai lần
=> số góc tạo thành là
( )( )
3 2 :2
nn++
(góc)
Theo bài ra ta có:
( )( )
( )( )
3 2 : 2 5356 3 2 10712 104.103 101nn nn n+ + = ⇒+ += = ⇒=
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4. (2,0 điểm)
4.1. Cho
a
là số tự nhiên và
m
là ước tự nhiên của
2
2.a
Chứng minh rằng
2
am+
không là
số chính phương.
4.2. Cho
100
số tự nhiên bất kỳ. Chứng minh rằng ta có thể chọn được ít nhất
15
số mà hiệu
hai số tùy ý chia hết cho
7.
4.1
Giả sử
2
am+
là số chính phương
Đặt
( )
2 2*
a mbb+= ∈
(1)
Theo bài ra ta có
m
là ước tự nhiên của
2
2a
( )
2
2*
2
2
a
a km k m
k
⇒ = ∈ =>=
Thay vào (1) ta được:
( )
( )
2
2
2 222 22222
2
22
a
a b a k ka k b a k k kb
k
+ ==> + = => +=
Do
( )
2
2
,a kb
là các số chính phương nên
2
2kk+
cũng là số chính
phương.
Mà:
( )
2
22 2
21 2kkkk kk<+<+ =>+
không là số chính phương
0,25
0,25
0,25
(Mâu thuẫn với giả sử).
Vậy
2
am
+
không là số chính phương.
0,25
4.2
Ta có 100 số khi đem chia cho 7 thì các số dư nhận được nhiều nhất là
7 giá trị khác nhau
Vì
100 7.14 2= +
nên theo nguyên lý Dirichlet sẽ tìm được 15 số mà
khi chia cho 7 có cùng số dư. Vậy hiệu của 2 số tùy ý trong 15 số này
chia hết cho 7
0,5
0,5
.................Hết.............
| 1/6
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2023- 2024 MÔN THI: TOÁN 6 ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi có 02 trang)
I. PHẦN TRẮ C NGHIỆM KHÁCH QUAN: (6,0 điểm)
Câu 1. Giá trị c ủa x thỏa mãn x 2 7 7 x + = 2450 là
A. x = 25.
B. x = 2.
C. x = 5.
D. x = 35.
Câu 2. Với ( ;x y) là cặp số nguyên tố thỏa mãn 35x + 2y = 84. Khi đó 9x + 4y có giá trị là A. 18. B. 28. C. 46. D. 71.
Câu 3. Tập hợp A gồm các số tự nhiên n để 4 có giá trị là số nguyên. Số phần tử của 2n −1 tập hợp A là A. 2. B. 1. C. 6. D. 4.
Câu 4. Tổng S =1− 2 + 3− 4 + 5− 6 +...+ 2019 − 2020 + 2021− 2022 + 2023− 2024 có giá trị bằng A. 2022. − B. 1012. C. 0. D. 1012. −
Câu 5. Số các giá trị nguyên của x thỏa mãn biểu thức ( x − )2024 = ( x − )2022 2 11 2 11 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 6. Giá trị của biểu thức 1 2 3 4 5 30 31
C = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅...⋅ ⋅ là 4 6 8 10 12 62 64 A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . 31 2 30 2 32 2 36 2
Câu 7. Cho phép toán ⊗ thỏa mãn với hai số a,b ta có: a ⊗b = 2.a + .a .b Giá trị của biểu thức  1 1  1 ⊗ ⊗  là 2 3    4 A. 7 . B. 1 . C. 21. D. 8 . 6 4 8 21
Câu 8. Cho (1), (2), (3), (4) là các hình thang vuông có kích thước bằng nhau (như hình vẽ),
biết rằng PQ = 4cm. Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng A. 2 12cm . B. 2 24cm . C. 2 48cm . D. 2 96cm .
Câu 9. Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và .
B Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB
và 5AB = 8BM , biết MI = 4cm. Độ dài đoạn thẳng AB là A. 32c . m B. 26c . m C. 16c . m D. 8c . m Câu 10. Cho  0
xOy = 90 , tia Ot nằm giữa 2 tia Ox và . Oy Biết  = 
xOt 5.tOy . Số đo của  xOt là A. 0 150 . B. 0 75 . C. 0 60 . D. 0 15 .
Câu 11. Cho đường thẳng xy và điểm O nằm ngoài đường thẳng x .y Trên xy lấy 2024 điểm
phân biệt. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu góc đỉnh O, có 2 cạnh là 2 tia bất kì đi qua các điểm
thuộc đường thẳng xy ? A. 4049255. B. 2047726. C. 4094552. D. 2047276.
Câu 12. Bạn Hải tung đồng xu một số lần liên tiếp. Biết xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt
sấp là 3 và tích của số lần xuất hiện mặt sấp với số lần xuất hiện mặt ngửa là 300. Hỏi bạn 7
Hải đã tung đồng xu bao nhiêu lần? A. 5. B. 9. C. 14. D. 35.
II. PHẦN TỰ LUẬN: (14,0 điểm)
Câu 1. (4,0 điểm) 19 3 9 4 1.1. Rút gọn 2 .27 −15.( 4 − ) .9 202420242024 A = − . 9 10 6 .2 + ( 12 − )10 607260726072
1.2. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho ƯCLN(x, y) = 2a −1 và BCNN(x, y) = 5a + 3.
Câu 2. (4,0 điểm) 2.1. Cho phân số 12n + 7 A = . 4n + 3
a) Chứng minh rằng A là một phân số tối giản với mọi n∈ . 
b) Tìm n∈ để A đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
2.2. Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 6xy + 4x −15y =18.
Câu 3. (4,0 điểm)
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ góc  0 =  0
xOz 60 ; xOy =100 . a) Tính số đo  yOz.
b) Trên tia Ox lấy điểm A sao cho 2024 OA = 2 c .
m Gọi A là trung điểm của , OA A là trung 1 2
điểm của OA , A là trung điểm của OA ,..., A là trung điểm của OA . Tính độ dài đoạn 1 3 2 2024 2023 thẳng A A . 1 2024
c) Cần phải vẽ thêm bao nhiêu tia gốc O nữa (không kể các tia Ox,Oy,Oz ) để trên hình vẽ ta
có tất cả 5356 góc đỉnh O được tạo thành.
Câu 4. (2,0 điểm)
4.1. Cho a là số tự nhiên và m là ước tự nhiên của 2
2a . Chứng minh rằng 2
a + m không là số chính phương.
4.2. Cho 100 số tự nhiên bất kỳ. Chứng minh rằng ta có thể chọn được ít nhất 15 số mà hiệu
hai số tùy ý chia hết cho 7.
------------------------------ Hết-----------------------------
- Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2023- 2024 MÔN THI: TOÁN 6 HƯỚNG DẪN CHẤM
A. TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm).
Mỗi câu đúng cho 0,5 điểm. Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Đáp án B C A D B D C D A B D D
B- TỰ LUẬN (14 điểm) Câu/ý Nội dung Điểm
Câu 1. (4,0 điểm) 19 3 9 4 1.1. Rút gọn 2 .27 −15.( 4 − ) .9 202420242024 A = − . 9 10 6 .2 + ( 12 − )10 607260726072
1.2. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho ƯCLN(x, y) = 2a −1 và BCNN(x, y) = 5a + 3. 1.1. 19 3 9 4 2 .27 15.( 4) .9 202420242024 A − − = − 9 10 10 6 .2 + ( 12) − 607260726072 19 9 18 8 2 .3 + 3.5.2 .3 1 = − 0,5 9 9 10 2 10 2 .3 .2 + (2 .3) 3 1.1 19 9 18 9 2 .3 + 5.2 .3 1 = − 0,5 19 9 20 10 2 .3 + 2 .3 3 18 9 2 .3 (2 + 5) 1 = − 0,5 19 9 2 .3 (1+ 2.3) 3 1 1 1 = − = 0,5 2 3 6
Ta có 5a + 32a −1⇒10a −5+112a −1 0,5
112a −1⇒ 2a −1∈{ 1 − 1; 1; − 1;1 } 1
Mà 2a −1∈ N ⇒ a∈{1; } 6 0,5 1.2
Với a =1⇒ (x, y) =1;[x, y] = 8 ⇒ ( ;x y)∈ ( { 1;8);(8; )1}. 0,5
Với a = 6 ⇒ (x, y) =11;[x, y] = 33 ⇒ ( ;x y)∈ ( { 11;33);(33; ) 11 }. Vậy ( ;x y)∈ ( { 1;8);(8; )1;(11;33);(33; ) 11 }. 0,5
Câu 2. (4,0 điểm) 2.1. Cho phân số 12n + 7 A = . 4n + 3
a) Chứng minh rằng A là một phân số tối giản với mọi n∈ . 
b) Tìm n∈ để A đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
2.2. Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn 6xy + 4x −15y =18. Ta có 12n + 7 2 A = = 3− 4n + 3 4n + 3 2.1) 0,5
Vì 4n + 3 không chia hết cho 2 (thỏa mãn với mọi số nguyên n) a)
Nên 2 là phân số tối giản. Vậy A là phân số tối giản. 0,5 4n + 3
Để A có giá trị lớn nhất khi 2 có giá trị nhỏ nhất khi 4n + 3 là số 4n + 3 0,5 b)
nguyên âm lớn nhất với n nguyên 4n + 3 = 1 − ⇒ n = 1. − khi đó Max( A) 2 = 3− = 5 khi n = 1. − 0,5 1 −
Tìm các cặp số nguyên (x, y)thỏa mãn 6xy + 4x −15y =18.
6xy + 4x −15y =18 ⇒ 2x(3y + 2) −15y −10 = 8
⇔ 2x(3y + 2) − 5(3y + 2) = 8 ⇒ (2x − 5)(3y + 2) = 8 0,5 (8 = 4. − − 2 = 1. − − 8 = 2.4 =1.8 )
Vì 2x − 5 không chia hết cho 2 nên 2x − 5∈{ 1; − } 1 0,5 2.2) 2x − 5 =1 x = 3 TH1:  ⇒ 0,5 3  y 2 8  + = y = 2 2x − 5 = 1 − TH2: (loại) 3   y + 2 = 8 − 0,5
Vậy (x, y) = (3,2).
Câu 3. (4,0 điểm)
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ góc  0 =  0
xOz 60 ; xOy =100 . a) Tính số đo  yOz.
b) Trên tia Ox lấy điểm A sao cho 2024 OA = 2 c .
m Gọi A là trung điểm của , OA A là trung 1 2
điểm của OA , A là trung điểm của OA ,..., A là trung điểm của OA . Tính độ dài đoạn 1 3 2 2024 2023 thẳng A A . 1 2024
c) Cần phải vẽ thêm bao nhiêu tia gốc O nữa (không kể các tia Ox,Oy,Oz ) để trên hình vẽ ta
có tất cả 5356góc đỉnh O được tạo thành. 0,25
Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vì  <  xOz xOy ( 0 0 60 <100 ) a)
=> Oz nằm giữa Ox và Oy 0,5 =>  +  =  ⇒  0 0 0 xOz yOz xOy
yOz =100 − 60 = 40 0,25 0,5
Vì A là trung điểm của OA nên 1 OA = OA 1 1 2 0,25
Vì A là trung điểm của OA nên 1 1 OA = OA = OA 2 1 2 1 2 2 2
Vì A là trung điểm của OA nên 1 1 OA = OA = OA 3 2 3 2 3 2 2 0,25 ….. 1 1 b)
Vì A là trung điểm của OA nên OA = OA = OA 2024 2023 2024 2023 2024 2 2 0,25
Trên tia Ox, vì OA < OA (do 1 1 OA < OA ) 2024 1 2024 2 2 0,25
=> A nằm giữa hai điểm O và A 2024 1 1 1 ⇒ OA + A A = OA ⇒ OA + A A = OA 0,25 2024 1 2024 1 2024 1 2024 2 2 2023  1 1  2 −1 2024 2023 ⇒ A A = − .OA = .2 = 2 −   1 1 2024 2024 2024  2 2  2 0,25
Giả sử cần vẽ thêm n tia gốc O ( n là số tự nhiên khác 0)
Tổng số tia gốc O là n + 3 (tia) 0,25 Lấy 1 tia bất kì
Vẽ góc tạo bởi tia đó với n + 2 tia còn lại, ta được n + 2 (góc) c)
Làm tương tự như vậy với n + 3 tia, ta được (n + 3)(n + 2) (góc) 0,25
Nhưng như thế mỗi góc đã được tính hai lần
=> số góc tạo thành là (n + 3)(n + 2): 2 (góc) Theo bài ra ta có: 0,25 (
n + 3)(n + 2) : 2 = 5356 ⇒ (n + 3)(n + 2) =10712 =104.103 ⇒ n =101 0,25
Câu 4. (2,0 điểm)
4.1. Cho a là số tự nhiên và m là ước tự nhiên của 2
2a . Chứng minh rằng 2
a + m không là số chính phương.
4.2. Cho 100 số tự nhiên bất kỳ. Chứng minh rằng ta có thể chọn được ít nhất 15 số mà hiệu
hai số tùy ý chia hết cho 7. Giả sử 2
a + m là số chính phương Đặt 2 2 + = ( * a m b b∈ ) (1) 0,25
Theo bài ra ta có m là ước tự nhiên của 2 2a ⇒ = ( ∈ ) 2 2 * 2 2 a a km k => m = k 0,25 4.1 Thay vào (1) ta được: 2 2a a +
= b => a k + 2ka = k b => a (k + 2k) = (kb)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k Do 0,25 a (kb)2 2 ,
là các số chính phương nên 2
k + 2k cũng là số chính phương.
Mà: k < k + k < (k + )2 2 2 2 2
1 => k + 2k không là số chính phương
(Mâu thuẫn với giả sử). Vậy 2
a + m không là số chính phương. 0,25
Ta có 100 số khi đem chia cho 7 thì các số dư nhận được nhiều nhất là 7 giá trị khác nhau 0,5 4.2
Vì 100 = 7.14 + 2 nên theo nguyên lý Dirichlet sẽ tìm được 15 số mà
khi chia cho 7 có cùng số dư. Vậy hiệu của 2 số tùy ý trong 15 số này 0,5 chia hết cho 7
.................Hết.............
Document Outline

  • Câu 9. Cho điểm nằm giữa hai điểm và Điểm là trung điểm của đoạn thẳng và , biết . Độ dài đoạn thẳng là