Đề thi học sinh giỏi Toán 6 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Tiền Hải – Thái Bình

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TIỀN HẢI Năm học 2023 - 2024 Môn: TOÁN 6
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. (4,5 điểm)
1) Thực hiện phép tính: 202.25 + 303.9 −101.67
2) Tìm số tự nhiên x, biết: 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2x – ) 1 = 400 2 3 2023 1+ 2 + 2 + 2 + ... + 2
3) Tính giá trị biểu thức: A = 2025 2 − 2
Bài 2. (4,5 điểm)
1) Tìm số nguyên tố p sao cho các số p + 2; p + 8 và p + 28 là các số nguyên tố.
2) Cho a, b là các số nguyên, chứng tỏ rằng nếu: (2a + 3b) 7 thì (8a + 5b) 7 2 2n + 3
3) Chứng minh phân số
là phân số tối giản với mọi số nguyên n. 2 3n + 5
Bài 3. (3,0 điểm)
1) Tìm hai số nguyên x và y, biết: 6xy − 2x + 3y = 2
2) Số học sinh tham quan của một trường THCS khoảng từ 500 đến 800 em. Nếu
thuê các xe 30 chỗ thì thừa 22 ghế, nếu thuê các xe 35 chỗ thì thừa 27 ghế, nếu thuê các xe
45 chỗ thì thiếu 8 ghế. Hỏi có tất cả bao nhiêu học sinh đi tham quan (biết rằng mỗi học sinh ngồi một ghế). Bài 4. (6,0 điểm)
1) Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 6cm . Vẽ Oy là tia đối của tia Ox, trên tia 1
Oy lấy điểm B sao cho OB = .OA 3
a) Tính độ dài đoạn thẳng OB.
b) Vẽ điểm C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng tỏ AB = 4.OC
2) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 76 m được
chia thành 9 hình chữ nhật nhỏ có các chiều dài bằng nhau và
các chiều rộng bằng nhau (như hình vẽ bên). Tính chiều dài và
chiều rộng của mảnh vườn ban đầu.
3) Cho 121 điểm phân biệt trong đó chỉ có 21 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có 3
điểm nào khác thẳng hàng. Qua 2 điểm phân biệt ta kẻ 1 đường thẳng. Hỏi kẻ được tất cả
bao nhiêu đường thẳng phân biệt từ 121 điểm nói trên. Bài 5. (2,0 điểm)
Tìm ba số nguyên tố đôi một khác nhau a, b, c biết: 2 2 2 a + b + c = 5070 _____Hết_____
Họ và tên thí sinh: .......................................................... Số báo danh:..........
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Chữ kí cán bộ coi thi 1………………..……… Chữ kí cán bộ coi thi 2……..…………………
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM TIỀN HẢI
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2023 - 2024 Môn: TOÁN 6 (Gồm 05 trang)
I. Hướng dẫn chung
1. Hướng dẫn chấm chỉ trình bày các bước cơ bản của 1 cách giải. Nếu thí sinh
làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
2. Bài làm của thí sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm.
3. Bài hình học, thí sinh vẽ hình đúng ý nào thì chấm điểm ý đó, thí sinh vẽ sai
hình hoặc không vẽ hình thì cho 0 điểm bài hình đó.
4. Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh mà công nhận ý trên (hoặc làm
ý trên không đúng) để làm ý dưới mà thí sinh làm đúng thì cho 0 điểm điểm ý đó.
5. Điểm của bài thi là tổng điểm các Bài làm đúng và tuyệt đối không làm tròn.
II. Đáp án và thang điểm Biểu Bài/Ý Nội dung điểm
1) Thực hiện phép tính: 202.25 + 303.9 −101.67 Bài 1
2) Tìm số tự nhiên x, biết: 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2x – ) 1 = 400 (4,5 điểm) 2 3 2023 + + + + +
3) Tính giá trị biểu thức: 1 2 2 2 ... 2 A = 2025 2 − 2
1) Ta có: 202.25 + 303.9 −101.67 0,50 =101.2.25 +101.3.9 −101.67 1) =101.50 +101.27 −101.67 0,25 1,5 điểm =101.(50 + 27 − 67) 0,25 =101.10 0,25 =1010 0,25
2) Ta có: 1+ 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2x – ) 1 = 400 Với mọi x 
ta có 2x – 1 là số lẻ
Đặt M = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +…+ ( 2x – ) 1 2)  0,50
M là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x – 1
1,5 điểm Số số hạng của M là: (2x –1– )1:2+1= x (số hạng) 0,50  = ( ) 2 M 2x –1 +1.x : 2 = x  Mà 2 2 M = 400  x = 400 = 20 0,25
 x = 20 (Vì x  ). Vậy x = 20. 0,25 2 3 2023 1+ 2 + 2 + 2 + ... + 2 3) Ta có: A = 3) 2025 2 − 2
1,5 điểm Đặt B = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22023
Tính được B = 22024 – 1 0,50 Đặt C = 22025 – 2
Tính được C = 2.(22024 – 1) 0,50 Tính được A = 1 0,50 và kết luận. 2
1) Tìm số nguyên tố p sao cho các số p + 2; p + 8 và p + 28 là các số nguyên Bài 2 tố.
(4,5 điểm) 2) Cho a, b là các số nguyên, chứng tỏ rằng nếu: (2a + 3b) 7 thì (8a + 5b) 7 2 2n + 3
3) Chứng minh rằng phân số
là phân số tối giản với mọi số nguyên n. 2 3n + 5
1) Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 là hợp số (không thỏa mãn) 0,25
Nếu p = 3 thì p + 2 = 5, p + 8 =11, p + 28 = 31 là các số nguyên tố 0,25 (thỏa mãn) 1)
Nếu p > 3 thì p có dạng 3k + 1; 3k + 2 ( * k  ) 0,25
1,5 điểm Với p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) chia hết cho 3, 0,25
mà 3(k + 1) > 3 nên p + 2 là hợp số (không thỏa mãn).
Với p = 3k + 2 thì p + 28 = 3k + 30 = 3(k + 10) chia hết cho 3, 0,25
mà 3(k + 10) > 3 nên p + 28 là hợp số (không thỏa mãn).
Vậy p = 3 là giá trị cần tìm. 0,25
2) Với a, b là các số nguyên, theo bài ra(2a + 3b) 7  4(2a + 3b) 7 (1) 0,50 2)
Xét 4(2a + 3b) − (8a + 5b) = 8a +12b −8a − 5b = 7b 0,25
1,5 điểm Mà 7b 7 với b , nên4(2a +3b) −(8a +5b) 7 (2) 0,25
Từ (1) và (2) suy ra (8a + 5b) 7 0,25
Vậy với a, b là các số nguyên và (2a + 3b) 7 thì (8a + 5b) 7 0,25 3) Gọi ƯCLN 2 2 (2n + 3,3n + 5) = d với * d  2  2n + 3 d và 2 3n + 5 d 0,50 2  3(2n + 3) d và 2 2(3n + 5) d 0,25 3) 1,5 điểm 2 2  + − + 2(3n 5) 3(2n 3) d 0,25  1 d  d = 1 0,25 2 + Vậy phân số 2n 3 0,25
là phân số tối giản với mọi số nguyên n. 2 3n + 5
1) Tìm hai số nguyên x và y, biết: 6xy − 2x + 3y = 2 Bài 3
2) Số học sinh tham quan của một trường THCS khoảng từ 500 đến 800 em.
(3,0 điểm) Nếu thuê các xe 30 chỗ thì thừa 22 ghế, nếu thuê các xe 35 chỗ thì thừa 27
ghế, nếu thuê các xe 45 chỗ thì thiếu 8 ghế. Hỏi có tất cả bao nhiêu học sinh
đi tham quan (biết rằng mỗi học sinh ngồi một ghế). 1) Ta có: − + = 6xy 2x 3y 2 (6xy − 2x) + (3y − ) 1 = 2 −1 0,25 2x (3y − ) 1 + (3y − ) 1 = 2 −1 1) (3y − ) 1 (2x + ) 1 = 1 (1) 0,25
1,5 điểm Vì x và y nguyên nên (3y − ) 1 à v (2x + ) 1 đều là số nguyên (2)
Từ (1) và (2) ta có 2 trường hợp: 2 0,50 Th 1: 3y −1 = 1 thì x 2 +1 = 1  y = (loại) 3 Th 2 : 3y −1 = 1 − thì x 2 +1 = −1 y = 0 (t / ) m thì x = −1 (t / ) m 0,25 Vậy x = −1 và y = 0 0,25
2) Gọi số học sinh đi tham quan là a (hs), đk: 500  a  800 , a  0,25 Theo bài ra ta có: a + 22 30 a + 22 − 30 30 a − 8 30    2)
a + 27 35 = a + 27 − 35 35 = a − 8 35 = a − 8 BC(30, 35, 45) 0,50 1,5 điểm    a − 8 45 a − 8 45 a − 8 45   
Tìm được: BCNN(30, 35, 45) = 630 0,25
Nên a − 8 B(630) = 0; 630; 1260;.. 
. = a 8; 638; 1268;..  . 0,25
Vì 500  a  800 nên a = 638 (thỏa mãn) 0,25
Vậy số học sinh đi tham quan là 638 học sinh
1) Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 6cm . Vẽ Oy là tia đối của tia Ox,
trên tia Oy lấy điểm B sao cho 1 OB = .OA 3
a) Tính độ dài đoạn thẳng OB.
b) Vẽ điểm C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng tỏ AB = 4.OC Bài 4
2) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 76
(6,0 điểm) m được chia thành 9 hình chữ nhật nhỏ có các
chiều dài bằng nhau và các chiều rộng bằng nhau
(như hình vẽ bên). Tính chiều dài và chiều rộng
của mảnh vườn ban đầu.
3) Cho 121 điểm phân biệt trong đó chỉ có 21 điểm thẳng hàng, ngoài ra
không có 3 điểm nào khác thẳng hàng. Qua 2 điểm phân biệt ta kẻ 1 đường
thẳng. Hỏi kẻ được tất cả bao nhiêu đường thẳng phân biệt từ 121 điểm nói trên. Vẽ hình: y B O C A x 0,50 1 1
a) Ta có OB = OA mà OA = 6cm nên OB = .6 = 2(cm) 3 3 0,50 Vậy OB = 2(cm) .
b) Vì điểm O nằm giữa hai điểm A và B nên 1) ta có: OA + OB = AB 0,25 2,5 điểm hay 6 + 2 = AB suy ra AB = 8 (cm) AB 8
Vì điểm C là trung điểm của đoạn thẳng AB nên BC = = = 4(cm) 0,25 2 2
Vì điểm O nằm giữa hai điểm B và C nên ta có: OB + OC = BC hay 2 + OC = 4 0,50 suy ra OC = 4 - 2 OC = 2 (cm) AB = 8(cm) Vì  nên AB = 4.OC O  C = 2(cm) 0,50 Vậy AB = 4.OC
2) Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật nhỏ lần lượt là a 0,25 và b (m) (a, b > 0).
Suy ra được chu vi mảnh vườn là: (2a + a + 2b).2 = 76 Suy ra: (3a + 2b).2 = 76 0,50 6a + 4b = 76 2)
Theo bài ra: 2a = 5b suy ra 6a = 15b 0,25
2,0 điểm Từ đó: 15b + 4b = 76 19b = 76 0,25 b = 4 Suy ra: a = 10 0,25
Khi đó: 2a = 2.10 = 20 , a + 2b = 10 + 2.4 = 18 0,25
Vậy chiều dài mảnh vườn là 20m, chiều rộng mảnh vườn là 18m 0,25
3) Qua 121 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng
hàng ta vẽ được: (121.120) : 2 = 7260 (đường thẳng). 0,50
Qua 21 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng 3)
ta vẽ được: (21.20) : 2 = 210 (đường thẳng). 0,50
1,5 điểm Do có 21 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là: 210 1 − = 209 (đường thẳng) 0,25
Vậy số đường thẳng cần tìm là:
7260 − 209 = 7051(đường thẳng). 0,25 Bài 5
Tìm ba số nguyên tố đôi một khác nhau a, b, c biết: 2 2 2 a + b + c = 5070 (2,0 điểm) Vì 2 2 2
a + b + c = 5070 là số chẵn nên trong ba số phải có ít nhất một số chẵn. 0,25 Giả sử 2
a là số chẵn  a là số chẵn, mà a là số nguyên tố  a = 2 . 0,25 2 2
 b + c = 5066 là số chẵn, mà a chẵn và a, b, c là các số nguyên tố khác nhau 2 2
 b ; c là hai số chính phương lẻ. 0,25 Nên 2 2
b , c có chữ số tận cùng là 1; 5; 9 0,25 2,0 điểm Ta có 2 2 2
b + c = 5070 − 2 = 5066 nên 2 b hoặc 2 c phải có tận cùng là 0,25 5. Giả sử 2
b có chữ số tận cùng là 5, mà b là số nguyên tố  b = 5 0,25 Thay b = 5 vào 2 2 b + c = 5066 suy ra 2 c = 5041  c = 71 (thỏa 0,25 mãn).
Vậy ba số cần tìm là 2; 5; 71. 0,25