Đề thi HSG Toán 10 cấp trường năm 2018 – 2019 trường Thuận Thành 2 – Bắc Ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2 NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: Toán – Lớp 10 – THPT Đ Ề CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (3.0 điểm) . Cho hàm số y  x 2  4x  4  m ; P . m 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  1.
b) Tìm m để P cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn  ; 1 4 m 
Câu 2. (3.0 điểm) Cho x và x là hai nghiệm của phương trình 2
x  3x  a  0 ; x và x là hai 1 2 3 4 x x x
nghiệm của phương trình 2
x  12x  b  0 . Biết rằng 2 3 4   . Tìm a và b. x x x 1 2 3 Câu 3. (6.0 điểm)
a)Giải phương trình:  2
x  x  2 x 1  0
 x3  3x2  4x  2  y3  y
b)Giải hệ phương trình: 
4x  6 x  1  7  4x   1 y Câu 4. (3.0 điểm)
a) Cho tam giác OAB. Đặt OA  a, OB  b . Gọi C, D, E là các điểm sao cho 1 1
AC  2.AB, OD  OB, OE 
OA . Hãy biểu thị các vectơ OC, CD, DE theo các vectơ a, b . Từ 2 3
đó chứng minh C, D, E thẳng hàng.
b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh EC  ED
Câu 5. (3.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm  A   1 ; 1 ; B ; 2 4 .
a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B.
b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.
Câu 6. (2.0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  y  2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của x y biểu thức P   2019  x 2019  y
-----------------Hết-----------------
Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:........................................................................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:........................................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM
TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 - 2019
Môn: Toán – Lớp 10 – THPT Câu ĐÁP ÁN Điểm 1
Cho hàm số y  x2  4x  4  m ; P . 3.0 m 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  1
b) Tìm m để P cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn  ; 1 4 m 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  1 2.0 Với m=1 thì 2
y  x  4x  3 0.5
TXĐ: R. Đồ thị là 1 parabol, có:Đỉnh I ( 2;-1). hệ số a  1  0 parabol có bề lõm 0.5 hướng lên trên Lập BBT 0.5
Tìm giao của parabol với trục hoành, trục tung và vẽ. 0.5
b) Tìm m để P cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn  ; 1 4 1.0 m 
Xét pt hoành độ giao điểm 2
x  4x  4  m  0 2
 x  4x  3  m  1 0.5
Dựa vào đồ thị tìm được 1  m 1  3  0  m  4 0.5
Chú ý: HS có thể dùng bảng biến thiên cho hàm 2
y  x  4x  3 hoặc 2
y  x  4x  4 ... 2
Cho x và x là hai nghiệm của phương trình 2
x  3x  a  0 ; x và x là hai nghiệm của 3.0 1 2 3 4 x x x phương trình 2
x  12x  b  0 . Biết rằng 2 3 4   . Tìm a và b. x x x 1 2 3
  9  4a  0 0.5 Điều kiện có nghiệm 1  '
  36  b  0 2 x  kx 2 1 x x x  Đặt 2 3 4 k     2
x  kx  k x x x x 3 2 1 1 2 3  3 0.5
x  kx  k x 4 3 1
Theo định lý viet ta có hệ 0.5  x 1 3 1   k    2 x k 1 12 1   k    2  x k  a 1  2 5 x k  b 1  k  2 0.5
Với k  2 thì x  1 ta được a  , 2 b  32 (tm) 0.5 1 Với k  2  thì x  3
 ta được a   , 18 b  288  (tm) 0.5 1 3
1. Giải phương trình:  2
x  x  2 x 1  0 2.0
Điều kiện: x  1 0.5  2
x  x  2  0 0.5 Phương trình    x 1  0 x  1 0.5   x  2   x  1
Đối chiếu điều kiện , ta được nghiệm x   ; 1  2 0.5
 x3  3x2  4x  2  y3  y 4.0
2. Giải hệ phương trình: 
4x  6 x  1  7  4x   1 y
Phương trình thứ nhất  (x3  3x2  3x  )
1  x  1  y 3  y  x  3 1  x  
1  y 3  y 0.5
Đặt a  x  1 ta được a3  a  y3  y  a  y 2 2
a  ay  y  
1  0  a  y  0 . 0.5 2 2 2  y  3y 2
Vì a  ay  y  1   a     1  ; 0 a  , y  2  4 0.5
Ta được y  x  1 thay vào pt thứ hai ta được 2 0.5
6 x  1  x  8  4x . ĐK: x  1
  x 1  32  2x2 
x  1  3  2x 0.5  3 0.5 x  
x  1  2x  3   2
 x  2  y  3 0.5  2
 x  1  2x  3 0.5
Kết luận: Hệ pt có nghiệm  ; x y   3 ; 2 
Chú ý: +) pt thứ nhất của hệ, hs có thể dùng máy tính, phân tích nhân tử đưa về tích +) pt 2
6 x  1  x  8  4x , hs có thể chuyển vế và bình phương, đưa về tích. 4
a) Cho tam giác OAB. Đặt OA  a, OB  b . Gọi C, D, E là các điểm sao cho 3.0 1 1
AC  2.AB, OD  OB, OE 
OA . Hãy biểu thị các vectơ OC, CD, DE theo các vectơ 2 3
a, b . Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng.
b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh EC  ED
a) Cho tam giác OAB. Đặt OA  a, OB  b . Gọi C, D, E là các điểm sao cho 2.0 1 1
AC  2.AB, OD  OB, OE 
OA . Hãy biểu thị các vectơ OC, CD, DE theo các vectơ 2 3
a, b . Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng.
OC  a  b 2 0.5 0.5 3 CD  a  b 2 0.5 1 1 DE  a  b 3 2
Ta được CD  3DE . Vậy C,D,E thẳng hàng 0.5
b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các 1.0
cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh EC  ED
Chọn hệ trục tọa độ thỏa mãn O  A; B  Ox; C  Oy . Giả sử AB  AC  2 thì 0.5  A 0 ; 0 ; B ; 0 2; C 0 ;
2  ta được H   1 ; 1 ; E  1 ; 0 ; D ; 1   1 . Khi đó EC   ; 2   1 ; ED   ; 1 2
 . Nhận thấy EC.ED  0 chứng tỏ EC  ED 0.5 5
Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm  A   1 ; 1 ; B ; 2 4 . 3.0
a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B.
b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A. a) Gọi C 0 ; x . 0.5 Sử dụng .
AB BC  0  C 0 ; 6  0.5  AB.AD  0
b) Gọi Dx; y . Giải hệ  1.0  AB  AD  Tìm được D ;
2 2 hoặc D ; 4 4 1.0 6
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  y  2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2.0 x y P   2019  x 2019  y 2019  y 2019  x   1 1 1 1 4 P      2019 
  x  y . Áp dụng   , a, b  0 y x  x y    a b a  b 1.0 4 P  2019
  x  y  x  y 2 0.5
Lại có  x  y   .
2 x  y  4038  x  y  4038 4 2019 0.5 Ta được P  . 2019  4038 
4038 . Dấu "=" xảy ra khi x  y  4038 2
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập
luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa.
2. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng
không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình
chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ.
3. Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm