Đề thi HSG Toán 12 (vòng 1) năm 2020 – 2021 trường chuyên Nguyễn Du – Đắk Lắk

SỞ GD&ĐT ĐẮK LẮK
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN DU NĂM HỌC 2020 - 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN - Lớp: 12 – Vòng: 1
(Đề thi có: 01 trang)
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (5,0 điểm) 1 x
a) Giải phương trình: x  2x  2x  2x 1  x  x 2 4 3 2 3 . x 2
xy  2  y x  2
b) Giải hệ phương trình:  . 2 2 2
y  2(x 1) x  2x  3  2x  4x
Bài 2. (3,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  1. Chứng minh rằng: 1 x 1 y 1 z  x z y     2     . y  z z  x x  y  z y x 
Bài 3. (4,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi n 
 , luôn tồn tại m   sao cho:  n 2  
1  m 1  m .
Bài 4. (5,0 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn C . Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của các
cặp đường thẳng AB và CD, AD và BC, AC và BD. Gọi I , I , I , I lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp các 1 2 3 4
tam giác ABN, BCM, CDN và ADM tương ứng với các đỉnh A, C, D và D.
a) Chứng minh các điểm I , I , I , I đồng viên. 1 2 3 4
b) Gọi I là tâm đường tròn qua I , I , I , I . Chứng minh PI vuông góc với MN. 1 2 3 4
Bài 5. (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f :    thỏa mãn:
f (x  f ( y))  f ( f (x)  x)  f ( y)  f (x)  2x  2 y , , x  y   .
-------------------- HẾT -------------------- https://toanmath.com/