Đề thi HSG Toán 6 vòng 1 năm 2023 – 2024 trường THCS Trần Mai Ninh – Thanh Hóa

PGD&ĐT TP THANH HOÁ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH
TOÁN 6 VÒNG I NĂM HỌC 2023 - 2024
Ngày thi 22 tháng 03 năm 2024 ĐỀ CHÍ NH T
HỨC Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 02 trang
I. TRẮC NGHIỆM (4,0 điểm):
Câu 1: Để lát một căn phòng người ta dùng 250 viên gạch hình vuông có chu vi là 160 cm .
Diện tích nền căn phòng là: A. 2 80m . B. 2 400m . C. 2 20m . D. 2 40m .
Câu 2: Một cuốn sách có tất cả 2024 trang. Số lượt chữ số để đánh số trang cho cuốn sách đó là: A. 6979 B. 6987 C. 6989 D. 6998
Câu 3: Số tự nhiên x, biết a là số nguyên tố chẵn thỏa mãn x a =1024 là: A. x = 8 B. x = 9
C. x =10
D. x =16
Câu 4: Để ghép thành một hình lục giác đều, số hình tam giác đều giống nhau tối thiểu cần dùng là: A. 6 B. 5 C. 4 D. 8
Câu 5: Cho 20 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể kẻ
được bao nhiêu đoạn thẳng? A. 190 B. 180 C. 380 D. 200
Câu 6: Cho p là tích của 2023 số nguyên tố đầu tiên. Khi đó p – 1 là:
A. Số chẵn B. Chia cho 3 dư 2
C. Chia cho 3 dư 1 D. Số chia hết cho 3
Câu 7: Gọi N là tập hợp các ước nguyên của số 2024. Tổng các phần tử của tập hợp N bằng:
A. 8112 B. 4056 C. 2028 D. 0
Câu 8: Một hộp đựng 52 viên bi gồm bốn màu xanh, đỏ, tím, vàng (số viên bi mỗi màu
bằng nhau). Cần phải lấy một lần bao nhiêu viên bi (mà không nhìn trước) để chắc chắn
trong đó có không ít hơn 7 viên bi cùng màu: A. 26 B. 25 C. 27 D. 24
II. TỰ LUẬN (16,0 điểm):
Câu 9. (3,0 điểm): Tính giá trị các biểu thức sau: a) 5 1 1 4 B = 0,5 + + + 0,4 1 + − + 7 3 6 35 2 4 02 b) 1  1  1   1 C 1 1 1  1  = − − − … −  2 3 4 2023       
Câu 10. (4,0 điểm): Tìm các giá trị nguyên của x biết: a) 1  4 7  20   4 ⋅ − ≤   x ≤ . 1 6 3 + − 3    24 14  30  3 12 4  b) 1 2 3 4 5 30 31 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  ⋅ = 2 6 8 10 12 62 64 2x 1 Câu 11. (3,0 điểm):
a) Tìm số nguyên n để phân số n −5 là phân số tối giản. 3n −14
b) Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho 7p + q và pq + 11 đồng thời là số nguyên tố.
Câu 12. (4,0 điểm): Cho đoạn thẳng AB = 6 cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB sao
cho MB = 2cm. Gọi điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
a) Hỏi M có là trung điểm của IB không? Vì sao?
b) Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng AB sao cho IK = 2cm. Tính độ dài đoạn thẳng AK.
Câu 13. (2,0 điểm): Cho các số tự nhiên a, b, c khác 0 thỏa mãn 28 1 1 1 < + + < 1. 29 a b c
Tìm giá trị nhỏ nhất của M = a + b +c.
--------------- Hết ---------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh …………………………………….Số báo danh……… 2 PGD&ĐT TP THANH HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH
HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TOÁN 6 VÒNG I
NĂM HỌC 2023 – 2024
I. TRẮC NGHIỆM (4,0 điểm): Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4
Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 D C C A A B D B
II. TỰ LUẬN (16,0 điểm): Câu Đáp án Điểm 1
a) Tính giá trị các biểu thức sau: 5 1 1 4 B = 0,5 + + + 0,4 + − + 7 3 6 35 2 4 02 1,5 5 1 1 4 B = 0,5 + + + 0,4 1 + − + 7 3 6 35 2024 1 5 1 2 1 4 1 B = + + + + − + 0,5 2 7 3 5 6 35 2024  1 1 1   5 2 4  1 B = + + + + − + 0,5  2 3 6   7 5 35     2024 B = 1+1 1 + = 2 1 0,5 2024 4 202 9
b) Tính giá trị các biểu thức sau: 1  1  1   1 C 1 1 1  1  = − − − … − (3,0 điểm) 2 3 4 2023  1,5       1  1  1   1 C 1 1 1  1  = − − − … −  2 3 4 2023       
 2 1 3 1 4 1  2023 1 0,5 C − − − −  = …
 2  3  4   2023        1 2 3 2022 = . . ... 2 3 4 2023 0,5 1 = 2023 0,5
a) Tìm các giá trị nguyên của x biết: 1  4 7  20   4 ⋅ − ≤   x ≤ . 1 6 3 + − 2,0 3    24 14  30  3 12 4  Ta có: 13  1 1  2  1 1 3 .  x .  − ≤ ≤ + − 3 6 2 3  3 2 4      10 13  1 3  2  4 6 9  0,5 (4,0 điểm) . − ≤   x ≤ . + − 3 6 6 3 12 12 12      13 2 − 2 1 . ≤ x ≤ . 3 6 3 12 0,5 13 − 1 ≤ x ≤ 9 18 0,5 Mà x∈ Z Vậy x ∈{ 1; − } 0 0,5 3
b) Tìm các giá trị nguyên của x biết: 1 2 3 4 5 30 31 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  ⋅ = 2,0 2 6 8 10 12 62 64 2x
Vế trái có số thừa số là: (31 – 1) : 1 + 1 = 31 1 2 3 4 5 30 31 0,25 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 3 4 5 30 31  ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  ⋅ 2 6 8 10 12
62 64 2 2⋅3 2⋅4 2⋅5 2⋅6 2⋅31 2⋅32 1 1 0,5 = = 30 35 2 ⋅32 2 Khi đó: 1 2 3 4 5 30 31 1 0,5 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  ⋅ = 2 6 8 10 12 62 64 2x 1 1 ⇒ = ⇒ x = 35 35 2 2x 0,5 Vậy x = 35 0,25 11
a) Tìm số nguyên n để phân số n −5 là phân số tối giản. 1,5 (3,0 điểm) 3n −14
Gọi ƯCLN (n – 5; 3n – 14) = d n −  d  n −  d Ta có: 5 3 15  ⇒  0,5 3
 n −14  d 3
 n −14  d
⇒ 3n −14 − (3n −15)d ⇒1d 0,5 ⇒ d =1 0,25
ƯCLN (n – 5; 3n – 14) = 1
Vậy với mọi số nguyên n thì phân số n −5 là phân số tối giản. 0,25 3n −14
b) Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho 7p + q và pq + 11 đồng
thời là số nguyên tố. 1,5
Vì p, q là các số nguyên tố sao cho 7p + q và pq + 11 đồng thời là số
nguyên tố nên 7p + q và pq + 11 đồng thời lớn hơn 3 => 7p + q và pq + 11 đều là số lẻ.
=> p, q không đồng thời cùng tính chẵn lẻ. 0,25
*) Nếu p chẵn, p nguyên tố => p = 2
Khi đó q + 14 và 2q + 11 là số nguyên tố.
- Nếu q = 3 thì q + 14 = 17; 2q + 11 = 17 là số nguyên tố (chọn).
- Nếu q = 3k + 1 thì q + 14 = 3k + 15 chia hết cho 3 mà q + 13> 3 nên
không là số nguyên tố (loại).
- Nếu q = 3k + 2 thì 2q + 11 = 6k + 15 chia hết cho 3 mà 2q + 11>3
nên không là số nguyên tố (loại). 0,5 4
*) Nếu q chẵn, q nguyên tố => q = 2
Khi đó 7p + 2 và 2p + 11 là số nguyên tố.
- Nếu p = 3 thì 2p +11= 17; 7q + 2 =23 là số nguyên tố (chọn).
- Nếu p = 3k + 1 thì 7q + 2 = 21k + 9 chia hết cho 3 và 7q + 2 > 3 nên
không là số nguyên tố (loại).
- Nếu p = 3k + 2 thì 2p + 11 = 6k + 15 chia hết cho 3 và 2p +11 > 3 0,5
nên không là số nguyên tố (loại).
Vậy cặp số (p; q) thỏa mãn bài toán là: (2; 3); (3; 2) 0,25
Cho đoạn thẳng AB = 6 cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB
sao cho MB = 2cm. Gọi điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
a) Hỏi M có là trung điểm của IB không? Vì sao? 2,0 12 I M (4,0 điểm) A B
Vì M nằm giữa hai điểm A, B nên 0,5
AM + MB = AB ⇒ AM = 6 − 2 = 4 ⇒ AM = 4(cm)
Vì I là trung điểm AB nên AI = IB = AB : 2 = 3 ⇒ AI = IB = 3(cm) 0,5
Vì điểm I nằm giữa hai điểm A và M
⇒ AM = AI + IM ⇒ IM = AM − AI = 4 − 3 =1 ⇒ IM =1(cm) 0,5 ⇒ IM < .
MB Nên M không là trung điểm của IB. 0,5
b) Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng AB sao cho IK = 2cm. Tính độ
dài đoạn thẳng AK. 2,0 A K I M B
Trường hợp 1: Nếu K nằm giữa hai điểm A và I 0,5
⇒ AK + KI = AI ⇒ AK + 2 =3 ⇒ AK =1cm 0,5 A I M K B 0,5
Trường hợp 2: Nếu điểm I nằm giữa hai điểm A và K 0,5
⇒ AK = AI + IK = 3+ 2 = 5⇒ AK =5(cm) 13
Cho các số tự nhiên a, b, c khác 0 thỏa mãn 28 1 1 1 < + + < 1. 29 a b c (2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của M = a + b +c. 1 1 1
Không làm mất tính chất tổng quát giả sử 1< a ≤ b ≤ c ⇒ ≥ ≥ a b c 0,5 1 1 1 3 28 3 3 ⇒ + + ≤ ⇒ < ⇒ 1< a ≤ 3 ⇒ a ∈{2; }
3 (do a ∈ N) a b c a 29 a 28 1 1
* Nếu a = 2 => b > 2 nếu b = 2 thì + =1. Không thỏa mãn đề bài. a b 0,5 5
M = a + b +c đạt giá trị nhỏ nhất khi a, b, c đạt giá trị nhỏ nhất.
Nên ta chọn được b = 3; c = 7.
* Nếu a = 3 thì c ≥ b ≥ 3 0,25 1 1 1
Vì b = c = 3 thì + + =1. Không thỏa mãn đề bài. Nên c ≥ b ≥ 4 a b c * Nếu 1 1 1 1 1 1 5 28
a = 3; c ≥ b ≥ 4 thì + + ≤ + + = ≤ a b c 3 4 4 6 29
Không thỏa mãn đề bài. 0,5
Với a = 2, b = 3 và c = 7 thì M = a + b + c = 2 + 3 + 7 = 12
Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 12 khi a = 2; b = 3; c = 7 và các hoán vị của nó 0,25
* Ghi chú: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Bài hình học học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm điểm.
- Điểm của toàn bài là tổng điểm của các câu không làm tròn. 6