Đề thi và đáp án môn Toán khối A năm 2014

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO
ÑEÀ THI TUYEÅN SINH ÑAÏI HOÏC NAÊM 2014 −−−−−−−−− −
Moân: TOAÙN; Khoái A vaø Khoái A1 ÑEÀ CHÍNH THÖÙC
Thôøi gian laøm baøi: 180 phuùt, khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà
−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Caâu 1 (2,0 x + 2 ñieåm). Cho haøm soá y = (1). x − 1
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1).
b) Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc (C) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán ñöôøng thaúng y = −x baèng √2.
Caâu 2 (1,0 ñieåm). Giaûi phöông trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x.
Caâu 3 (1,0 ñieåm). Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong y = x2 − x + 3 vaø ñöôøng thaúng y = 2x + 1. Caâu 4 (1,0 ñieåm).
a) Cho soá phöùc z thoûa maõn ñieàu kieän z + (2 + i) z = 3 + 5i. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa z.
b) Töø moät hoäp chöùa 16 theû ñöôïc ñaùnh soá töø 1 ñeán 16, choïn ngaãu nhieân 4 theû. Tính xaùc suaát
ñeå 4 theû ñöôïc choïn ñeàu ñöôïc ñaùnh soá chaün.
Caâu 5 (1,0 ñieåm). Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho maët phaúng (P ) : 2x+y−2z−1 = 0 vaø ñöôøng thaúng x − 2 y z + 3 d : = =
. Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa d vaø (P ). Vieát phöông 1 −2 3
trình maët phaúng chöùa d vaø vuoâng goùc vôùi (P ). Caâu 6 (1,0 3a
ñieåm). Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SD = , 2
hình chieáu vuoâng goùc cuûa S treân maët phaúng (ABCD) laø trung ñieåm cuûa caïnh AB. Tính theo a
theå tích khoái choùp S.ABCD vaø khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (SBD).
Caâu 7 (1,0 ñieåm). Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho hình vuoâng ABCD coù ñieåm M
laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB vaø N laø ñieåm thuoäc ñoaïn AC sao cho AN = 3NC. Vieát phöông
trình ñöôøng thaúng CD, bieát raèng M(1; 2) vaø N(2; −1). ( √ Caâu 8 (1,0 x 12
ñieåm). Giaûi heä phöông trình − y + py(12 − x2) = 12 √ (x, y ∈ R). x3 − 8x − 1 = 2 y − 2
Caâu 9 (1,0 ñieåm). Cho x, y, z laø caùc soá thöïc khoâng aâm vaø thoûa maõn ñieàu kieän x2 + y2 + z2 = 2.
Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc x2 y + z 1 + yz P = + − . x2 + yz + x + 1 x + y + z + 1 9 −−−−− −Heát−−−−− −
Thí sinh khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu. Caùn boä coi thi khoâng giaûi thích gì theâm.
Hoï vaø teân thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Soá baùo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO ÑAÙP AÙN - THANG ÑIEÅM −−−−−−−−−−
ÑEÀ THI TUYEÅN SINH ÑAÏI HOÏC NAÊM 2014 ÑEÀ CHÍNH THÖÙC
Moân: TOAÙN; Khoái A vaø Khoái A1
(Ñaùp aùn - Thang ñieåm goàm 03 trang)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Caâu Ñaùp aùn Ñieåm 1 a) (1,0 ñieåm)
(2,0ñ) • Taäp xaùc ñònh D = R \ {1}. • Söï bieán thieân: - Chieàu bieán thieân: 3 y 0 = − ; y0 < 0, ∀x ∈ D. 0,25 (x − 1)2
Haøm soá nghòch bieán treân töøng khoaûng (−∞; 1) vaø (1; +∞).
- Giôùi haïn vaø tieäm caän: lim y = lim y = 1; tieäm caän ngang: y = 1. x→−∞ x→+∞ 0,25
lim y = −∞; lim y = +∞; tieäm caän ñöùng: x = 1. x→1− x→1+ - Baûng bieán thieân: x −∞ 1 +∞ y0 − − 1 + 0,25 P ∞ P y P P P P P P P P P P P q P q −∞ 1 • Ñoà thò: y 1 0,25 O 1 x −2 −2 b) (1,0 ñieåm) a + 2 M ∈ (C) ⇒ M a; , a 6= 1. 0,25 a − 1 a + 2 a + Khoaûng caùch töø a
M ñeán ñöôøng thaúng y = −x laø d = − 1 √ . 0,25 2 √ h a2 − 2a + 4 = 0 d =
2 ⇔ |a2 + 2| = 2|a − 1| ⇔ 0,25 a2 + 2a = 0.
• a2 − 2a + 4 = 0: phöông trình voâ nghieäm. h a = 0 • a2 + 2a = 0 ⇔
Suy ra toïa ñoä ñieåm M caàn tìm laø: M(0; −2) hoaëc M(−2; 0). 0,25 a = −2. 1 Caâu Ñaùp aùn Ñieåm 2
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi
sin x + 4 cos x = 2 + 2 sin x cos x 0,25
(1,0ñ) ⇔ (sin x − 2)(2 cosx − 1) = 0. 0,25
• sin x − 2 = 0: phöông trình voâ nghieäm. 0,25 π
• 2 cos x − 1 = 0 ⇔ x = ± + k2π (k ∈ Z). 3 0,25
Nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø: π x = ± + k2π (k ∈ Z). 3 3
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong y = x2 − x + 3 vaø ñöôøng thaúng (1,0ñ) 0,25 h x = 1
y = 2x + 1 laø x2 − x + 3 = 2x + 1 ⇔ x = 2. 2 Z
Dieän tích hình phaúng caàn tìm laø S = |x2 − 3x + 2|dx 0,25 1 2 Z x3 3x2 2 = (x2 − 3x + 2)dx = − + 2x 0,25 3 2 1 1 1 = . 0,25 6 4 a) Ñaët 3a + b = 3
z = a + bi (a, b ∈ R). Töø giaû thieát suy ra 0,25 (1,0ñ) a − b = 5
⇔ a = 2, b = −3. Do ñoù soá phöùc z coù phaàn thöïc baèng 2, phaàn aûo baèng −3. 0,25
b) Soá phaàn töû cuûa khoâng gian maãu laø: C4 = 1820. 0,25 16
Soá keát quaû thuaän lôïi cho bieán coá “4 theû ñöôïc ñaùnh soá chaün” laø: C4 = 70. 8 0,25 Xaùc suaát caàn tính laø 70 1 p = = . 1820 26 5
Goïi M laø giao ñieåm cuûa d vaø (P), suy ra M(2 + t; −2t; −3 + 3t). 0,25 (1,0ñ) 3 7 3
M ∈ (P ) suy ra 2(2 + t) + (−2t) − 2(−3 + 3t) − 1 = 0 ⇔ t = . Do ñoù M ; −3; . 0,25 2 2 2
d coù vectô chæ phöông − →
u = (1; −2; 3), (P ) coù vectô phaùp tuyeán − → n = (2; 1; −2). 0,25
Maët phaúng (α) caàn vieát phöông trình coù vectô phaùp tuyeán [ − → u , − → n ] = (1; 8; 5).
Ta coù A(2; 0; −3) ∈ d neân A ∈ (α). Do ñoù (α) : (x − 2) + 8(y − 0) + 5(z + 3) = 0, 0,25
nghóa laø (α) : x + 8y + 5z + 13 = 0. 6
Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB, suy ra SH ⊥ (ABCD). 0,25 (1,0ñ) Do ñoù √ SH ⊥ HD. Ta coù SH = SD2 − DH2 = pSD2 − (AH2 + AD2) = a. S Suy ra 1 a3 VS.ABCD = .SH.SABCD = . 0,25 3 3
Goïi K laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa H treân BD vaø
E laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa H treân SK. Ta coù 0,25
BD ⊥ HK vaø BD ⊥ SH, neân BD ⊥ (SHK).
Suy ra BD ⊥ HE. Maø HE ⊥ SK, do ñoù HE ⊥ (SBD). E √ B C Ta coù a 2 H K = HB. sin \ KBH = . 4 H K Suy ra H S.H K a H E = √ = . 0,25 H S2 + HK2 3 A 2a D
Do ñoù d(A, (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2HE = . 3 2 Caâu Ñaùp aùn Ñieåm 7 Ta coù √ M N =
10. Goïi a laø ñoä daøi caïnh cuûa hình vuoâng ABCD, (1,0ñ) √ D I C a 3AC 3a 2 a > 0. Ta coù AM = vaø AN = = , 2 4 4 N neân 5a2
M N 2 = AM 2 + AN 2 − 2AM.AN. cos \ M AN = . 0,25 8
Do ñoù 5a2 = 10, nghóa laø a = 4. 8
Goïi I(x; y) laø trung ñieåm cuûa CD. Ta coù IM = AD = 4 √ A BD M B vaø IN = =
2, neân ta coù heä phöông trình 0,25 4 (x − 1)2 + (y − 2)2 = 16 x = 1; y = −2 h ⇔ 17 6 (x − 2)2 + (y + 1)2 = 2 x = ; y = − . 5 5
• Vôùi x = 1; y = −2 ta coù I(1; −2) vaø −−→ IM = (0; 4).
Ñöôøng thaúng CD ñi qua I vaø coù vectô phaùp tuyeán laø −−→
IM, neân coù phöông trình y + 2 = 0. 0,25 17 6 17 6 12 16 • Vôùi x = ; y = − ta coù I ; − vaø −−→ IM = − ; . 5 5 5 5 5 5 0,25
Ñöôøng thaúng CD ñi qua I vaø coù vectô phaùp tuyeán laø −−→
IM, neân coù phöông trình 3x−4y−15 = 0. 8 ( √
x 12 − y + py(12 − x2) = 12 (1) Ñieàu kieän: √ √ (1,0ñ) √
−2 3 ≤ x ≤ 2 3; 2 ≤ y ≤ 12. x3 − 8x − 1 = 2 y − 2 (2). Ta coù √ x2 + 12 − y y + 12 − x2 x 12 − y ≤ vaø py(12 − x2) ≤ 0,25 2 2 neân √ x ≥ 0
x 12 − y + py(12 − x2) ≤ 12. Do ñoù (1) ⇔ y = 12 − x2. Thay vaøo √ √
(2) ta ñöôïc x3 − 8x − 1 = 2 10 − x2 ⇔ x3 − 8x − 3 + 2(1 − 10 − x2) = 0 2(x + 3) 0,25 ⇔ (x − 3) x2 + 3x + 1 + √ = 0 (3). 1 + 10 − x2 Do 2(x + 3) x ≥ 0 neân x2 + 3x + 1 + √ > 0. 0,25 1 + 10 − x2
Do ñoù (3) ⇔ x = 3. Thay vaøo heä vaø ñoái chieáu ñieàu kieän ta ñöôïc nghieäm: (x; y) = (3; 3). 0,25 9
Ta coù 0 ≤ (x − y − z)2 = x2 + y2 + z2 − 2xy − 2xz + 2yz = 2(1 − xy − xz + yz),
(1,0ñ) neân x2 + yz + x + 1 = x(x + y + z + 1) + (1 − xy − xz + yz) ≥ x(x + y + z + 1). 0,25 Suy ra x2 x ≤ . x2 + yz + x + 1 x + y + z + 1
Maëc khaùc, (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2x(y + z) + 2yz = 2 + 2yz + 2x(y + z) x + y + z (x + y + z)2 0,25
≤ 2 + 2yz + [x2 + (y + z)2] = 4(1 + yz). Do ñoù P ≤ − . x + y + z + 1 36
Ñaët t = x + y + z, suy ra t ≥ 0 vaø t2 = (x + y + z)2 = (x2 + y2 + z2) + 2xy + 2yz + 2zx √
≤ 2 + (x2 + y2) + (y2 + z2) + (z2 + x2) = 6. Do ñoù 0 ≤ t ≤ 6. Xeùt t t2 √ 0,25 f (t) = − , vôùi 0 ≤ t ≤ 6. t + 1 36 Ta coù 1 t (t − 2)(t2 + 4t + 9) f 0(t) = − = − , neân f 0(t) = 0 ⇔ t = 2. (t + 1)2 18 18(t + 1)2 √ Ta coù 5 √ 31 6 5 √ f (0) = 0; f (2) = vaø f( 6) = −
, neân f(t) ≤ khi 0 ≤ t ≤ 6. 9 30 5 9 0,25 Do ñoù 5 5
P ≤ . Khi x = y = 1 vaø z = 0 thì P = . Do ñoù giaù trò lôùn nhaát cuûa P laø 5. 9 9 9
−−−−−−Heát−−−−−− 3