7 trang 10 lượt tải

Đề thi và đáp án Phương pháp tính đề số 1 kỳ 2 năm học 2022-2023

20

Đề thi và đáp án Phương pháp tính đề số 1 kỳ 2 năm học 2022-2023. Tài liệu tổng hợp được sưu tầm gồm 7 trang. Mời các bạn tham khảo 

Môn: Công nghệ phần mềm (Software Engineering) 30 tài liệu

Trường: Trường Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh 671 tài liệu

Tác giả:

Profile

Phạm Thanh Thảo

3 tuần trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/7
Trường Đại học Công nghệ
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Khoa CNTT
PHƯƠNG PHÁP TÍNH
Bộ môn Khoa học và KTTT
Mã học phần: INT3102 20
Năm học: 2022-2023
Số của đề thi: 01
Ngày thi: 10/6/2023
Họ và tên SV:
Thời gian: 90 phút
Mã SV:
Hệ: Đại học Số TC: 03
- Sinh viên được sử dụng vở ghi chép cá nhân và máy tính cầm tay.
- Trong các câu hỏi, ký hiệu “M” là chữ số cuối cùng của Mã SV (Ví dụ MSV là 20020129
thì M=9; nếu M=0 thì lấy M=1 để tính toán).
Câu 1 (2,0 điểm):
Cho phương trình
3
( ) 9 1 0f x x x= + + =
(1)
a) Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình (1).
b) Áp dụng phương pháp lặp đơn, tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình
(1) với sai số
.
Câu 2 (3,0 điểm): Cho bảng số
x
1,2
2,1
2,3
3,1
y
2,32
2,3
𝜶
3,4
a) Sử dụng đa thức nội suy Lagrange, tìm
để đa thức nội suy có giá trị của đạo
hàm
'
(2,2) 3,2y
b) Với
3,1
=
: Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất tìm hàm
( ) sin( ) cos( )f x A B x C x= + +
xấp xỉ tốt nhất bảng số trên.
Câu 3 (2,0 điểm):
Cho bảng số:
x
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
f(x)
1,3
3,2
2,1
5,6
4,2
5,4
2,1
3,6
4,5
Sử dụng công thức Simpson, hãy tính gần đúng tích phân sau:
( )
2,6
22
1,0
2,5 ( ) 0,5I x f x x M dx= + +
Câu 4 (3,0 điểm):
a) Giải phương trình vi phân với điều kiện ban đầu bằng phương pháp Runghe-
Kutta bậc 4:
2
12
1
xy
y
x
−
=
+
;
x [0;1]; (0) 2; 0,5yh = − =
b) Sử dụng kết quả phần a) và công thức nội suy Newton tiến để xây dựng đa thức
nội suy bậc 2. Dùng đa thức nhận được ước lượng y(0,3); y(0,7). Sai số thực tế là bao
nhiêu biết nghiệm đúng là
2
2
1
x
y
x
−
=
+
--- Hết ---
TailieuVNU.com
ĐÁP ÁN KIỂM TRA CUỐI KỲ
ĐỀ SỐ 01
Câu 1: (2,0 điểm):
Cho phương trình
3
( ) 9 1 0f x x x= + + =
(1)
a) Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình (1).
b) Áp dụng phương pháp lặp đơn, tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình
(1) với sai số
.
Giải
a) Ta có
3 ' 2
( ) 9 1 0 ( ) 3 9 0f x x x f x x x= + + = = +
Mặt khác, có:
(0) 1; ( 1) 9 (0) ( 1) 0f f f f= − = − −
Vậy phương trình f(x)=0 có 1 khoảng phân ly nghiệm là (-1;0).
(0,5 điểm)
b) Ta có
3
1
3
( ) 0 9 1 0
9
x
f x x x x
+
= + + = = −
Đặt
32
11
'
( ) ( ) 0,3334 1 [-1;0]
9 3 3
xx
x x q x

+
= − = =
Áp dụng phương pháp lặp đơn, ta có công thức lặp để tính toán như sau:
3
1
1
1
( ) ; 1;2;...
9
n
nn
x
x x n
−
−
+
= = − =
Công thức đánh giá sai số:
1
; 1;2;...
1
n n n
q
x x x n
q
−
= − =
−
(0,5 điểm)
Chọn
0
0.5x =−
Bảng tính kết quả và sai số:
n
n
x
()
n
x
n
x
So sánh
n
x
với yêu cầu
0
-0,5
−0,097222
1
−0,097222
−0,111009
0,201449
4
10
−
2
−0,111009
−0,110959
0,006896
4
10
−
3
−0,110959
0,000025
4
10
−
Kết luận: Nghiệm thực gần đúng cần tìm của phương trình là
3
0,110959x −
với
44
3
0,25*10 10x
−−
=
(1,0 điểm).
TailieuVNU.com
Câu 2 (3,0 điểm):
Cho bảng số
x
1,2
2,1
2,3
3,1
y
2,32
2,3
𝜶
3,4
a) Sử dụng đa thức nội suy Lagrange, tìm 𝛼 để đa thức nội suy có giá trị của đạo
hàm
'
(2,2) 3,2y
b) Với
3,1
=
: Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất tìm hàm
( ) sin( ) cos( )f x A B x C x= + +
xấp xỉ tốt nhất bảng số trên.
Giải
a) Đa thức nội suy Lagrange có dạng
3
(x 2,1)(x 2,3)(x 3,1) (x 1,2)(x 2,3)(x 3,1)
( ) 2,32. 2,3.
(1,2 2,1)(1,2 2,3)(1,2 3,1) (2,1 1,2)(2,1 2,3)(2,1 3,1)
xP
− − − − − −
= + +
− − − − − −
0 1 2 3
(x 1,2)(x 2,1)(x 3,1) (x 1,2)(x 2,1)(x 2,3)
. 3,4.
(2,3 1,2)(2,3 2,1)(2,3 3,1) (3,1 1,2)(3,1 2,1)(3,1 2,3)
L L L L
− − − − − −
+ + = + + +
− − − − − −
(0,5 điểm)
Với
0
(x 2,1)(x 2,3)(x 3,1)
2,32. 1,2334(x 2,1)(x 2,3)(x 3,1)
(1,2 2,1)(1,2 2,3)(1,2 3,1)
L
− − −
= − − − −
− − −
1
(x 1,2)(x 2,3)(x 3,1)
2,3. 12,7778(x 1,2)(x 2,3)(x 3,1)
(2,1 1,2)(2,1 2,3)(2,1 3,1)
L
− − −
= − − −
− − −
2
(x 1,2)(x 2,1)(x 3,1) (x 1,2)(x 2,1)(x 3,1)
.
(2,3 1,2)(2,3 2,1)(2,3 3,1) 0,176
L
− − − − − −
=
− − − −
3
(x 1,2)(x 2,1)(x 2,3)
3,4. 2,2368(x 1,2)(x 2,1)(x 2,3)
(3,1 1,2)(3,1 2,1)(3,1 2,3)
L
−−−
= − − −
−−−
Tính đạo hàm cấp 1
' ' ' ' '
3 0 1 2 3
(x) (x) (x) (x) (x)P L L L L + + +
'
0
( ) 1,2334 (x 2,1)(x 2,3) (x 2,3)(x 3,1) (x 2,1)(x 3,1)Lx= − − − + − − + − −
'
0
(2,2) 1,2334 (2,2 2,1)(2,2 2,3) (2,2 2,3)(2,2 3,1) (2,2 2,1)(2,2 3,1)L = − − − + − − + − − =
1,2334[(0,1)( 0,1) ( 0,1)( 0,9) (0,1)( 0,9)] 0,0123= − − + − − + −
'
1
( ) 12,7778[(x 1,2)(x 2,3) (x 1,2)(x 3,1) (x 2,3)(x 3,1)]Lx= − − + − − + − −
'
1
(2,2) 12,7778[(2,2 1,2)(2,2 2,3) (2,2 1,2)(2,2 3,1) (2,2 2,3)(2,2 3,1)] 11,6278L = − − + − − + − − −
'
2
( ) [(x 1,2)(x 2,1) (x 2,1)(x 3,1) (x 1,2)(x 3,1)]
0,176
Lx
= − − − + − − + − −
'
2
(2,2) [(2,2 1,2)(2,2 2,1) (2,2 2,1)(2,2 3,1) (2,2 1,2)(2,2 3,1)] 5,0568
0,176
L
= − − − + − − + − − =
'
3
( ) 2,2368[(x 1,2)(x 2,1) (x 1,2)(x 2,3) (x 2,1)(x 2,3)]Lx= − − + − − + − −
'
3
(2,2) 2,2368[(2,2 1,2)(2,2 2,1) (2,2 1,2)(2,2 2,3) (2,2 2,1)(2,2 2,3)] 0,0224L = − − + − − + − − = −
Ta có:
' ' ' ' '
3 0 1 2 3
(2,2) (2,2) (2,2) (2,2) (2,2) 0,0123 11,6278 5,0568 0,0224P L L L L
+ + + = − + − =
11,6379 5,0568
= − +
Để
'
3
11,6379 3,2
(2,2) 3,2 11,6379 5,0568 3,2
5,0568
2,9342P

+
− + = =
(1,0 điểm)
TailieuVNU.com
b) Ta có bảng số
x
1,2
2,1
2,3
3,1
y
2,32
2,3
3,1
3,4
Chọn hệ hàm số:
0 1 2
( ) 1; ( ) sin( ); ( ) cos( );x x x x x
= = =
Ta có bảng giá trị:
i
x
i
y
0
( ) 1
i
x
=
1
( ) sin( )
ii
xx
=
2
( ) cos( )
ii
xx
=
1,2
2,32
1
0,9320
0,3624
2,1
2,3
1
0,8632
-0,5048
2,3
3,1
1
0,7457
-0,6663
3,1
3,4
1
0,0416
-0,9991
Tọa độ của các vecto
Y=(2,32;2,3;3,1;3,4);
0
(1;1;1;1)
=
1
(0,9320;0,8632;0,7457;0,0416);
=
2
(0,624; 0,5048; 0,6663; 0,9991)
= − − −
(0,5 điểm)
0 1 2
( ) sin( ) cos( ) (x) (x) (x)f x A B x C x A B C
= + + = + +
A, B, C là nghiệm của hệ phương trình sau
0 0 0 1 0 2 0
1 0 1 1 1 2 1
2 0 2 1 2 2 2
, , , ,Y
, , , ,Y
, , ,
4 2,5825 1,5462 11,12
2,5825 2,171537 0,3926 6,60071
1,5462 0,3926 2,0863, 56 5, 8Y 175 3
A B C
AB
AB
A B C
A B C
C
A B C C
+ + =

+ + =
=

+ + = + =
+−
=
+−
− − −
,2426
0,8599
0,
3
2395
A
B
C
−
−
Vậy
( ) 3,2426 0,8599sin( ) 0,2395cos( )f x x x − −
(1,0 điểm)
Câu 3 (2,0 điểm):
Cho bảng số:
x
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
f(x)
1,3
3,2
2,1
5,6
4,2
5,4
2,1
3,6
4,5
Sử dụng công thức Simpson, hãy tính gần đúng tích phân sau:
( )
2,6
22
1,0
2,5 ( ) 0,5I x f x x M dx= + +
Giải
Đặt
22
( ) 2,5 ( ) 0,5g x x f x x M= + +
, ta có:
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
()fx
1,3
3,2
2,1
5,6
4,2
5,4
2,1
3,6
4,5
()gx
3,75+M
12,24+M
11,27
+M
37,12
+M
35,64
+M
56
+M
27,83
+M
54,72
+M
79,43
+M
(0,5 điểm)
TailieuVNU.com
Ta thấy
0,2h =
và
2 8 4nn= =
Áp dụng công thức Simpson:
( )
( ) ( )
2,6 2,6
22
0 8 1 3 5 7 2 4 6
1,0 1,0
2,5 ( ) 0,5 ( ) 4 2( )
3
h
I x f x x M dx g x dx g g g g g g g g g= + + = + + + + + + + +



( ) ( )
0,2
3,75 79,43 2 4 12,24 37,12 56 54,72 4 2(11,27 35,64 27,83 3 )
3
I M M M + + + + + + + + + + +


( ) ( )
0,2
83,05 2 4 160,08 4 2(74.74 3 )
3
I M M M + + + + +


(872,85
0,2
24 )
3
IM+
(1,0 điểm)
Bảng kết quả:
M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
I
59,79
61,39
62,99
64,59
66,19
67,79
69,39
70,99
72,59
(0,5 điểm)
Câu 4 (3,0 điểm):
a) Giải phương trình vi phân với điều kiện ban đầu bằng phương pháp Runghe-
Kutta bậc 4:
2
12
1
xy
y
x
−
=
+
;
x [0;1]; (0) 2; 0,5yh = − =
b) Sử dụng kết quả phần a) và công thức nội suy Newton tiến để xây dựng đa thức
nội suy bậc 2. Dùng đa thức nhận được ước lượng y(0,3); y(0,7). Sai số thực tế là
bao nhiêu biết nghiệm đúng là
2
2
1
x
y
x
−
=
+
Giải:
a) Đặt
2
12
( , )
1
xy
f x y
x
−
=
+
Công thức Runghe-Kutta bậc 4 như sau
TailieuVNU.com
1 1 2 3 4
1
2
1
1
2
2
1
2
2
3
3
43
1
(k 2k 2k k );i 0,1,...
6
12
k 0,5.
1
0,5
1 2( )( )
k ( , )
22
k 0,5.
0,5
k ( , )
1 ( )
22
2
0
k ( , ) 1 2(
22
k 0,5.
k ( , k )
i i i i i i
ii
i
i
i
ii
i i i
i
i
i i i
i
i
i i i i
i
i i i i
yy
xy
x
k
xy
hf x y
k
h
hf x y
x
k
h
hf x y x
hf x h y
+
= + + + + =
−
=
+
− + +
=
=
= + +
++
= + + − +
=
= + +
2
2
3
4
2
,5
)( )
22
0,5
1 ( )
2
1 2( 0,5)( k )
k 0,5.
1 ( 0,5)
i
i
i
i i i
i
i
k
y
x
xy
x
+
++
− + +
=
++
(0,5 điểm)
Ta có bảng tính kết quả:
i
h
i
x
i
y
1i
k
2i
k
3i
k
4i
k
1 2 3 4
1
(k 2k 2k k )
6
i i i i
+ + +
0
0,5
0
-2
0,5
0,882353
0,83737
0,865052
0,80075
1
0,5
0,5
-1,19925
0,87970
0,684512
0,731357
0,483947
0,699231
2
0,5
1,0
-0,50002
0,50001
0,31708
0,361697
0,217687
-
(1,0 điểm)
b) Công thức đa thức nội suy Newton tiến bậc 2 có dạng
2
00
2 0 0 1
2
(x) ( )( )
2
yy
P y x x x x
hh

= + + − −
- Tính các sai phân, ta có:
0 1 0
2
0 2 1
1,19925 2 0,80075;
0,50002 1,19925 0,69923
y y y
y y y
= − = − + =
= − = − + =
- Suy ra đa thức cần tìm là
2
2
2
0,80075 0,69923
(x) 2 ( 0) ( 0)( 0,5) 2 1,6015x 1,39846x(x 0,5)
0,5 2.(0,5)
1,39846x 0,90227 2
P x x x
x
= − + − + − − = − + + − =
= + −
(0,5 điểm)
- Ước lượng giá trị hàm tại các điểm
2
2
2
2
(0,3) 1,39846.(0,3) 0,90227.0,3 2 1,603458
(0,7) 1,39846.(0,7) 0,90227.0,7 2 0,683166
P
P
= + − = −
= + − = −
(0,5 điểm)
TailieuVNU.com
- Nghiệm đúng
2
2
0,3 2
(0,3) 1,55963
1 (0,3)
0,7 2
(0,7) 0.87248
1 (0,7)
y
y
−
= = −
+
−
= = −
+
- Sai số thực tế:
2
2
(0,3) (0,3) 0,043828 0,05
(0,7) (0,7) 0,189314 0,5
yP
yP
−
−
(0,5 điểm)
- Nhận xét, nếu dùng công thức Newton tiến thì sai số của các giá trị gần cuối bảng
cao hơn sai số của các giá trị gần đầu bảng.
TailieuVNU.com

Tài liệu khác của Trường Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh

Preview text:

TailieuVNU.com
Trường Đại học Công nghệ
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa CNTT PHƯƠNG PHÁP TÍNH
Bộ môn Khoa học và KTTT Mã học phần: INT3102 20 Năm học: 2022-2023 Số của đề thi: 01 Ngày thi: 10/6/2023 Họ và tên SV: Thời gian: 90 phút Mã SV:
Hệ: Đại học Số TC: 03
- Sinh viên được sử dụng vở ghi chép cá nhân và máy tính cầm tay.
- Trong các câu hỏi, ký hiệu “M” là chữ số cuối cùng của Mã SV (Ví dụ MSV là 20020129
thì M=9; nếu M=0 thì lấy M=1 để tính toán). Câu 1 (2,0 điểm): Cho phương trình 3
f (x) = x + 9x +1 = 0 (1)
a) Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình (1).
b) Áp dụng phương pháp lặp đơn, tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình (1) với sai số −4 x  10 .
Câu 2 (3,0 điểm): Cho bảng số x 1,2 2,1 2,3 3,1
y 2,32 2,3 𝜶 3,4
a) Sử dụng đa thức nội suy Lagrange, tìm  để đa thức nội suy có giá trị của đạo hàm ' y (2, 2)  3, 2
b) Với  = 3,1: Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất tìm hàm
f (x) = A + B sin(x) + C cos(x) xấp xỉ tốt nhất bảng số trên. Câu 3 (2,0 điểm): Cho bảng số: x
1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6
f(x) 1,3 3,2 2,1 5,6 4,2 5,4 2,1 3,6 4,5
Sử dụng công thức Simpson, hãy tính gần đúng tích phân sau: 2,6 I =  ( 2 2
2,5x f (x) + 0,5x + M )dx 1,0 Câu 4 (3,0 điểm):
a) Giải phương trình vi phân với điều kiện ban đầu bằng phương pháp Runghe- 1− 2xy Kutta bậc 4: y =  y = − h = 2 1+ ; x [0;1]; (0) 2; 0, 5 x
b) Sử dụng kết quả phần a) và công thức nội suy Newton tiến để xây dựng đa thức
nội suy bậc 2. Dùng đa thức nhận được ước lượng y(0,3); y(0,7). Sai số thực tế là bao x − 2
nhiêu biết nghiệm đúng là y = 2 1+ x --- Hết --- TailieuVNU.com
ĐÁP ÁN KIỂM TRA CUỐI KỲ ĐỀ SỐ 01 Câu 1: (2,0 điểm): Cho phương trình 3
f (x) = x + 9x +1 = 0 (1)
a) Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình (1).
b) Áp dụng phương pháp lặp đơn, tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình (1) với sai số −4 x  10 . Giải a) Ta có 3 ' 2
f (x) = x + 9x +1 = 0  f (x) = 3x + 9  0 x   Mặt khác, có: f (0) =1; f ( 1 − ) = 9
−  f (0) f ( 1 − )  0
Vậy phương trình f(x)=0 có 1 khoảng phân ly nghiệm là (-1;0). (0,5 điểm) b) Ta có 3 3 x +1
f (x) = 0  x + 9x +1 = 0  x = − 9 3 2 x +1 ' x 1 Đặ  = −   =  =    t (x) (x) 0,3334 q 1 x [-1;0] 9 3 3
Áp dụng phương pháp lặp đơn, ta có công thức lặp để tính toán như sau: 3 x + − 1 n 1 x = (x = − = − ) ; n 1;2;... n n 1 9 q  = − =
Công thức đánh giá sai số: x x x ; n 1;2;... n n n 1 1− q − (0,5 điểm) − Chọn x = 0.5 0
Bảng tính kết quả và sai số: n x (x ) x So sánh x với yêu cầu n n n n 0 -0,5 −0,097222 1 −0,097222 −0,111009 0,201449 4 10−  2 −0,111009 −0,110959 0,006896 4 10−  3 −0,110959 0,000025 4 10− 
Kết luận: Nghiệm thực gần đúng cần tìm của phương trình là x 0 − ,110959 với 3 4 − 4 x  0, 25*10 10− =  3 (1,0 điểm). TailieuVNU.com Câu 2 (3,0 điểm): Cho bảng số x 1,2 2,1 2,3 3,1
y 2,32 2,3 𝜶 3,4
a) Sử dụng đa thức nội suy Lagrange, tìm 𝛼 để đa thức nội suy có giá trị của đạo hàm ' y (2, 2)  3, 2
b) Với  = 3,1: Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất tìm hàm
f (x) = A + B sin(x) + C cos(x) xấp xỉ tốt nhất bảng số trên. Giải
a) Đa thức nội suy Lagrange có dạng (x− 2,1)(x− 2,3)(x− 3,1) (x−1, 2)(x− 2,3)(x− 3,1) P (x) = 2,32. + 2,3. + 3
(1, 2 − 2,1)(1, 2 − 2,3)(1, 2 − 3,1)
(2,1−1, 2)(2,1− 2,3)(2,1− 3,1) (x 1, 2)(x 2,1)(x 3,1) (x 1, 2)(x 2,1)(x 2,3)  − − − − − − + . + 3,4.
= L + L + L + L 0 1 2 3
(2,3 −1, 2)(2,3 − 2,1)(2,3 − 3,1)
(3,1−1, 2)(3,1− 2,1)(3,1− 2,3) (0,5 điểm) Với (x− 2,1)(x− 2,3)(x− 3,1) L = 2,32. 1
− ,2334(x− 2,1)(x− 2,3)(x−3,1) 0
(1, 2 − 2,1)(1, 2 − 2,3)(1, 2 − 3,1) (x−1, 2)(x− 2,3)(x− 3,1) L = 2,3.
12, 7778(x−1, 2)(x− 2,3)(x− 3,1) 1
(2,1−1, 2)(2,1− 2,3)(2,1− 3,1) (x 1, 2)(x 2,1)(x 3,1) (x 1,2)(x 2,1)(x 3,1) L  − − − − − − = . 2
(2,3 −1, 2)(2,3 − 2,1)(2,3 − 3,1) 0 − ,176 (x−1, 2)(x− 2,1)(x− 2,3) L = 3, 4.
2, 2368(x−1, 2)(x− 2,1)(x− 2,3) 3
(3,1−1, 2)(3,1− 2,1)(3,1− 2,3) Tính đạo hàm cấp 1 ' ' ' ' '
P (x)  L (x) + L (x) + L(x) + L (x) 3 0 1 2 3 ' L ( ) x = 1
− ,2334 (x− 2,1)(x− 2,3) + (x− 2,3)(x−3,1) + (x− 2,1)(x−3,1) 0   ' L (2, 2) = 1
− ,2334 (2,2 − 2,1)(2,2 − 2,3) +(2,2 −2,3)(2,2 −3,1) + (2,2− 2,1)(2,2−3,1) = 0   = 1 − ,2334[(0,1)( 0 − ,1) + ( 0 − ,1)( 0 − ,9) + (0,1)( 0 − ,9)] 0,0123 '
L (x) = 12, 7778[(x−1, 2)(x− 2, 3) + (x−1, 2)(x− 3,1) + (x− 2, 3)(x− 3,1)] 1 '
L (2, 2) = 12, 7778[(2, 2 −1, 2)(2, 2 − 2, 3) + (2, 2 −1, 2)(2, 2 − 3,1) + (2, 2 − 2, 3)(2, 2 − 3,1)] 1 − 1,6278 1  ' L (x) = −
[(x−1, 2)(x− 2,1) + (x− 2,1)(x− 3,1) + (x−1, 2)(x− 3,1)] 2 0,176  ' L (2, 2) = −
[(2, 2 −1, 2)(2, 2 − 2,1) + (2, 2 − 2,1)(2, 2 − 3,1) + (2, 2 −1, 2)(2, 2 − 3,1)] = 5, 0568 2 0,176 '
L (x) = 2, 2368[(x−1, 2)(x− 2,1) + (x−1, 2)(x− 2, 3) + (x− 2,1)(x− 2, 3)] 3 '
L (2, 2) = 2, 2368[(2, 2 −1, 2)(2, 2 − 2,1) + (2, 2 −1, 2)(2, 2 − 2, 3) + (2, 2 − 2,1)(2, 2 − 2, 3)] = 0 − ,0224 3 Ta có: ' ' ' ' '
P (2, 2)  L (2, 2) + L (2, 2) + L (2, 2) + L (2, 2) = 0, 0123 −11, 6278 + 5, 0568 − 0, 0224 = 3 0 1 2 3 = 11 − ,6379 + 5,0568 Để 11, 6379 3, 2 ' P (2, 2) 3, 2 11, 6379 5, 0568 3, 2  +  − + =  = 2,9342 3 (1,0 điể 5, 0568 m) TailieuVNU.com b) Ta có bảng số x 1,2 2,1 2,3 3,1 y 2,32 2,3 3,1 3,4
Chọn hệ hàm số:  (x) = 1;  (x) = sin(x);  (x) = cos(x); 0 1 2 Ta có bảng giá trị: x y  (x ) =1
 (x ) = sin(x )  (x ) = cos(x ) i i 0 i 1 i i 2 i i 1,2 2,32 1 0,9320 0,3624 2,1 2,3 1 0,8632 -0,5048 2,3 3,1 1 0,7457 -0,6663 3,1 3,4 1 0,0416 -0,9991 Tọa độ của các vecto
Y=(2,32;2,3;3,1;3,4);  = (1;1;1;1) 0
 = (0,9320;0,8632;0,7457;0,0416);  = (0,624; 0 − ,5048; 0 − ,6663; 0 − ,9991) 1 2 (0,5 điểm)
f (x) = A + B sin(x) + C cos(x) = A (x) + B (x) + C (x) 0 1 2
A, B, C là nghiệm của hệ phương trình sau
  ,  A+   ,  B+   ,  C =  ,Y  
4A + 2,5825B −1,5462C = 11,12 0 0 0 1 0 2 0    
 ,  A+   ,  B+   ,  C =  ,Y   2,5825A+ 2,171537B −0,3926C = 6,60071 1 0 1 1 1 2 1  
,  A+   ,  B+   ,  C =  , Y   1
− ,5462A− 0,3926B + 2,086356C = 5 − ,17 8 5 3  2 0 2 1 2 2 2  A  , 3 2426  B  0 − ,8599
Vậy f (x)  3, 2426 − 0,8599 sin(x) − 0, 2395 cos(x) C   0, − 2395 (1,0 điểm)
Câu 3 (2,0 điểm): Cho bảng số: x
1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6
f(x) 1,3 3,2 2,1 5,6 4,2 5,4 2,1 3,6 4,5
Sử dụng công thức Simpson, hãy tính gần đúng tích phân sau: 2,6 I =  ( 2 2
2,5x f (x) + 0,5x + M )dx 1,0 Giải Đặ 2 2
t g(x) = 2,5x f (x) + 0,5x + M , ta có: i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 f (x) 1,3 3,2 2,1 5,6 4,2 5,4 2,1 3,6 4,5 g (x) 11,27 37,12 35,64 56 27,83 54,72 79,43 3,75+M 12,24+M +M +M +M +M +M +M +M (0,5 điểm) TailieuVNU.com Ta thấy h = 0, 2 =  = và 2n 8 n 4
Áp dụng công thức Simpson: 2,6 =  ( h I
2,5x f (x) + 0,5x + M ) 2,6 2 2 dx =
g(x)dx   
(g + g + 4 g + g + g + g + 2(g + g + g )  0 8 ) ( 1 3 5 7 ) 2 4 6  3 1,0 1,0 0, 2 I
(3,75 + 79,43+ 2M ) + 4(12,24 + 37,12 + 56 + 54,72 + 4M ) + 2(11,27 + 35,64 + 27,83+ 3M )   3 0, 2 I
(83,05 + 2M ) + 4(160,08 + 4M ) + 2(74.74 + 3M )   3 0, 2 I  (872,85 + 24M ) 3 (1,0 điểm) Bảng kết quả: M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I 59,79 61,39 62,99 64,59 66,19 67,79 69,39 70,99 72,59 (0,5 điểm)
Câu 4 (3,0 điểm):
a) Giải phương trình vi phân với điều kiện ban đầu bằng phương pháp Runghe- 1− 2xy Kutta bậc 4: y = ; x [0;1]; y(0) = 2 − ;h = 0,5 2 1+ x
b) Sử dụng kết quả phần a) và công thức nội suy Newton tiến để xây dựng đa thức
nội suy bậc 2. Dùng đa thức nhận được ước lượng y(0,3); y(0,7). Sai số thực tế là x − 2
bao nhiêu biết nghiệm đúng là y = 2 1+ x Giải: 1− 2xy
a) Đặt f (x, y) = 2 1+ x
Công thức Runghe-Kutta bậc 4 như sau TailieuVNU.com 1 y
= y + (k + 2 k + 2 k + k );i = 0,1,... i 1 + i 1i 2i 3i 4 6 i  1− 2x y k = 0, 5. i i  1i 2 1+ xi   0, 5 k1  = 1− 2(x + )( i y + ) k
hf (x , y )  1 i 2 i i i i 2  k = 0,5. 2i h k 0, 5 1i 2
k = hf (x + , y + )  1+ (x + ) 2i i  2 i 2 i  2    h k 0  , 5 k 2 k = hf (x + , i y + )  1− 2(x + 2 )( i y + ) 3i i  2 i 2 i i k = 0,5. 2 2 3i   k = hf (x + , h y + k )  0, 5 2 4i i i 3i  1+ (x + ) i 2  
1− 2(x + 0, 5)( y + k ) i i 3 k = 0,5. i 4i  2 1+ (x + 0, 5)  i (0,5 điểm)
Ta có bảng tính kết quả: 1 i h x y k k k k (k + 2 k + 2 k + k ) i i 1i 2i 3i 4i 1 2 3 4 6 i i i i 0 0,5 0 -2 0,5 0,882353 0,83737 0,865052 0,80075
1 0,5 0,5 -1,19925 0,87970 0,684512 0,731357 0,483947 0,699231 2 0,5 1,0 -0,50002 0,50001 0,31708 0,361697 0,217687 - (1,0 điểm)
b) Công thức đa thức nội suy Newton tiến bậc 2 có dạng 2 y   y 0 0 P (x) = y + +
(x − x )(x − x ) 2 0 2 0 1 h 2h
- Tính các sai phân, ta có: y
 = y − y = 1 − ,19925 + 2 = 0,80075; 0 1 0 2
y = y − y = 0 − ,50002 +1,19925 = 0,69923 0 2 1
- Suy ra đa thức cần tìm là 0,80075 0, 69923 P (x) = 2 − + (x − 0) +
(x − 0)(x − 0, 5) = −2 +1, 6015 x+1, 39846 x(x− 0, 5) = 2 2 0, 5 2.(0, 5) 2
= 1,39846 x + 0,90227x − 2 (0,5 điểm)
- Ước lượng giá trị hàm tại các điểm 2
P (0,3) =1,39846.(0,3) + 0,90227.0,3− 2 = 1 − ,603458 2 2
P (0, 7) = 1,39846.(0, 7) + 0,90227.0, 7 − 2 = 0 − ,683166 2 (0,5 điểm) TailieuVNU.com - Nghiệm đúng 0,3 − 2 y(0,3) = = 1 − ,55963 2 1+ (0,3) 0, 7 − 2 y(0, 7) = = 0 − .87248 2 1+ (0, 7)
y(0, 3) − P (0, 3)  0, 043828  0, 05 2
- Sai số thực tế: y(0,7) − P (0,7)  0,189314  0, 5 2 (0,5 điểm)
- Nhận xét, nếu dùng công thức Newton tiến thì sai số của các giá trị gần cuối bảng
cao hơn sai số của các giá trị gần đầu bảng.

Tài liệu liên quan: