Đề thi và lời giải cuối kỳ Giải tích 1 | Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Bách Khoa Hà Nội

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Khoa Toán – Cơ – Tin học *********
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN (Đề số 01)
Tên học phần: Giải tích 1
Mã học phần: MAT1091 Số tín chỉ: 03 Thời gian: 90 phút √x + 2x − √x + 4 Bài 1. Tìm giới hạn: lim → x − 3x + 2 sin4x
Bài 2. Tìm giá trị của tham số m để hàm số: f(x) =  x khi x > 0 liên tục tại x = 0. x + x + m khi x ≤ 0 e − 1
Bài 3. Cho hàm số: f(x) =  x khi x ≠ 0 .Tính đạo hàm f′(0). 2 khi x = 0 Study Hus x + 1
Bài 4. Cho hàm số f(x) = x + 1 .Tính đạo hàm f()(0).
Bài 5. Tìm họ nguyên hàm I = ∫ 𝑥sinxdx.  dx
Bài 6. Tính tích phân: I =  . 1 + √3x + 1   1
Bài 7. Chứng minh rằng tích phân I =  (x + 3𝑥 + 2) dx hội tụ và tính giá trị của nó.   3n + 1 
Bài 8. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:  4n + 2   2
Bài 9. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:  ( n + 1 x − 1) 
 (n + 2)(𝑥 − 1) 
Bài 10. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:  󰇩 n + 1 󰇪 
----------Hết----------
Chú ý: Sinh viên không được sử dụng tài liệu. 1 Bài làm Bài 1: √x + 2x − √x + 4
√x + 2x − √x + 4. √x + 2x + √x + 4 lim → x − 3x + 2 = lim →
(x − 1)(x − 2)√x + 2x + √x + 4 (x + 2x) − (x + 4) 2(x − 1) = lim = lim
→ (x − 1)(x − 2)√x + 2x + √x + 4 → (x − 1)(x − 2)√x + 2x + √x + 4 2 = lim = √2
→ (x − 1)√x + 2x + √x + 4 4 . Bài 2: sin4x sin4x lim f(x) = lim 4. → → x = lim → 4x  = 4.1 = 4.
lim f(x) = lim (x + x + m) = m; f(0) = m. → → Study Hus
f(x) liên tục tại x = 0 ⇔ lim f(x) = lim f(x) = f(0) ⇔ m = 4. → →
Vậy m = 4 thì hàm số f(x) liên tục tại x = 0. Bài 3: e − 1 f(x) − f(0) e − 2x − 1 (e − 2x − 1)′ f′(0) = lim x − 2 → x − 0 = lim → x = lim → x = lim → (x)′ 2e − 2 e − 1 = lim 󰇧2. 2 → 2x = lim → 2x 󰇨 = 2.1 = . Bài 4.
x + 1 x(x + 1) − (x + 1) + 2 2 Ta có: f(x) = x+ 1 = x + 1 = x − 1 + x + 1. () (−1)(). n! Mặt khác: (x − 1)() 1
= 0 ∀n ≥ 2; x + 1 = (x + 1) ∀n ≥ 1. (−1)(). 20! 20!
Suy ra f()(x) = (x + 1) = (x + 1) ⇒ f()(0) = 20!. Bài 5. 2 1 − cos2x
I =  𝑥sinxdx =  𝑥. 2  dx u = x du = dx Đặt 󰇫 1 − cos2x dv = x sin2x 2 dx ⇔ v = 2 − 4 x sin2x x sin2x x(2x − sin2x) x cos2x
⇒ I = x 2 − 4 − 2 − 4 dx = 4 − 4 − 8 + C (C ∈ R). 2x − 2xsin2x − cos2x ⇔ I = 8 + C (C ∈ R). Bài 6.
Đặt u = 1 + √3x + 1 ⇒ u − 1 = √3x + 1 ⇒ (u − 1) = 3x + 1. 2
⇒ 2(u − 1)du = 3dx hay dx = ( 3 u − 1)du. Đổi cận: 󰇥x = 0 Study Hus x = 1 ⇒ 󰇥u = 2 u = 3   2 u − 1 2 1 2 2 2 ⇒ I = 3 (
u du = 3  1 − udu = 3 u − ln|u|) 󰇻32 = 3 1 + ln 3.   Bài 7.  1
I =  (x + 3𝑥 + 2) dx  1 1
Khi x → +∞, ta có: x + 3𝑥 + 2~x ⇒ (x + 3𝑥 + 2)~x ⇒ (x + 3𝑥 +2)~x.   1 1 Mà 
hội tụ do α = 4 > 1 nên tích phân suy rộng  x dx
(x + 3𝑥 + 2) dx cũng hội tụ.     1 1
I =  (x + 3𝑥 + 2) dx = lim  → (x + 3𝑥 + 2) dx   3 1 1 A B C D
Ta có: (x + 3𝑥 + 2) = (x + 1).(x + 2) = x + 1 + x + 2 + (x + 1) +(x + 2). 1
A(x + 1)(x + 2) + B(x + 2)(x + 1) + C(x + 2) + D(x + 1) ⇔ (x + 3x + 2) = (x + 3x + 2)
⇒ 1 = A(x + 1)(x + 2) + B(x + 2)(x + 1) + C(x + 2) + D(x + 1)
⇔ 1 = (A + B)x + (5A + 4B + C + D)x + (8A + 5B + 4C + 2D)x + 4A + 2B + 4C + D A + B = 0 A = −2 ⇒ 󰇱 5A + 4B + C + D = 0 B = 2
8A + 5B + 4C + 2D = 0 ⇔ 󰇱 C = 1 4A + 2B + 4C + D = 1 D = 1 1 2 2 1 1
⇒ (x + 3𝑥 +2) = −x+ 1 + x+ 2+ (x +1) +(x+ 2).   1 2 2 1 1
⇒  (x + 3𝑥 +2)dx = −x+ 1 +x+ 2+ (x +1) + (x+ 2)dx Study Hus   1 1 𝑥 + 2 1 1
= −2ln|𝑥 + 1| + 2ln|𝑥 + 2| − x + 1 −x + 2󰇻a1 = 2ln𝑥 + 1 − x + 1 −x + 2󰇻a1 𝑎 + 2 1 1 3 5
= 2ln 𝑎 + 1 − a+ 1 −a+ 2 −2ln2 + 6. 𝑎 + 2 I = lim 2ln  1 1 3 5 5 3 5 2 →
𝑎 + 1 − a + 1 − a + 2 − 2ln 2 + 6 = 6 − 2ln 2 = 6 + 2ln 3. Bài 8. 3n + 1   3n + 1  3n + 1 3 Đặt u   =  
4n + 2 , ta có: lim u = lim = lim →  → 4n + 2
→ 4n + 2 = 4 < 1.
Vậy chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy. Bài 9. 2 u 2 n + 1 Đặt u   = (
n + 1 x − 1), ta có: lim   = lim 󰈅 (x − 1). → u → n + 2 2. (x − 1)󰈅 2(n + 1)(x − 1) n + 1 = lim 󰈅 | | | | → n + 2 󰈅 = 2 x − 1 lim
→ n + 2 = 2 x − 1 . 4 1 3
Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi: 2|x − 1| < 1 ⇔ 2 < x < 2. 1  (−1)
Xét x = 2,ta có: n + 1 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.  3  1  1
Xét x = 2,ta có:n +1 phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh với  n.   1 3
Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là: 2,2. Bài 10.
 (n + 2)(𝑥 − 1)   󰇩 n + 1 󰇪  (n + 2)(𝑥 − 1)   (n + 2)(𝑥 − 1)  (n + 2)(𝑥 − 1) Study Hus Đặt u = 󰇩  n + 1 󰇪 , ta có: lim 󰈅󰇩 󰈅 = lim 󰈅 → n + 1 󰇪 → n + 1 󰈅 n + 2 = |𝑥 − 1| lim
→ n + 1 = |𝑥 − 1|.
Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi: |𝑥 − 1| < 1 ⇔  x ≠ 0 −√2 < x < √2   n + 2 
Xét x = 0, ta có: (−1) n + 2 .   󰇣󰇡 󰇢󰇤 n + 1 phân kỳ do: lim = e  → → n + 1  
= e  󰇣󰇡  →
󰇢󰇤 = e 
→(VCB) = e ≠ 0.  n + 2  n + 2 
Xét x = ±√2, ta có:   
n + 1 cũng phân kỳ với lý do lim = e ≠ 0. → n + 1 
Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là: −√2, 0 ∪ 0, √2. 5