Đề thi và lời giải cuối kỳ Giải tích 1 | Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Bách Khoa Hà Nội

Đề thi và lời giải cuối kỳ Giải tích 1 | Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!

30 15 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Giải tích 1 (GT1)

Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Thông tin:

5 trang 5 tháng trước

Tác giả:

Profile Thùy Dương
1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Khoa Toán – Cơ – Tin học
*********
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
(Đề số 01)
Tên học phần: Mã học phần: Giải tích 1 MAT1091
Số tín chỉ: Thời gian: 03 90 phút
Bài 1.Tìm giới hạn:lim
→
√x
+ 2x −√x
+ 4
x
− 3x +2
Bài 2
.Tìm giá trị của tham số m để hàm số:f(x)=
sin4x
x
khi x>0
x
+ x + m khi x≤0
liên tục tại x=0.
Bài 3
.Cho hàm số: f(x) =
e

− 1
x
khi x≠0
2 khi x=0
.Tính đạo hàm f′(0).
Bài 4
.Cho hàm số f
(
x
)
=
x
+ 1
x + 1
.Tính đạo hàm f
(

)
(
0
)
.
Bài 5. Tìm họ nguyên hàm I= 𝑥sinxdx
∫
.
Bài 6
.Tính tích phân: I=
dx
1 + 3x + 1
√
.
Bài 7
.Chứng minh rằng tích phân I=
1
(x + 3𝑥+2)

dx hội tụ và tính giá trị của nó.
Bài 8
.Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:
3n + 1
4n + 2


Bài 9
.Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:
2
n + 1
(
x − 1
)


Bài 10
.Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: 󰇩
(
n + 2
)
(𝑥
− 1)
n + 1
󰇪


---------- ----------Hết
Chú ý: Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Study Hus
2
Bài làm
Bài 1:
lim
→
√x
+ 2x −
√
x
+ 4
x
− 3x + 2
=lim
→
√x
+ 2x −
√
x
+ 4
. √x
+ 2x +
√
x
+ 4
( )
x − 1 x − 2
)(
√x
+ 2x +√x
+ 4
=lim
→
(
x
+ 2x
)
−
(
x
+ 4
)
(
x − 1 x − 2
)( )
√x
+ 2x + √x
+ 4
=lim
→
2(x − 1)
( )
x − 1 x − 2
)(
√x
+ 2x + √x
+ 4
=lim
→
2
( )
x − 1√x
+ 2x +√x
+ 4
=
√
2
4
.
Bài 2:
lim
→
f(x)= lim
→
sin4x
x
= lim
→
4.
sin4x
4x
=4.1=4.
lim
→
f
(
x
)
= lim
→
(
x
+ x + m =m.
)
=m; f
(
0
)
f(x) liên tục tại x=0⇔ lim
→
f(x)= lim
→
f(x)=f(0)⇔m=4.
Vậy m = 4 thì hàm số f(x) liên tục tại x = 0.
Bài 3:
f′(0)=lim
→
f(x) − f(0)
x − 0
=lim
→
e

− 1
x
− 2
x
=lim
→
e

− 2x − 1
x
=lim
→
(
e

− 2x − 1′
)
( )
x
′
=lim
→
2e

− 2
2x
=lim
→
󰇧2.
e

− 1
2x
󰇨=2.1= .2
Bài 4.
Ta có: f
(
x
)
=
x
+ 1
x + 1
=
x
(
x + 1
)
−
(
x + 1
)
+ 2
x + 1
=x −1 +
2
x + 1
.
Mặt khác: =0 ∀n≥2;
(
x − 1
)
()
1
x + 1
(
)
=
(
−1
)
(
)
.n!
(
x + 1
)

∀n≥1.
Suy ra f
(

)
(
x
)
=
(
−1
)
(

)
.20!
(
x + 1
)

=
20!
(
x + 1
)

⇒ f
(

)
(
0
)
=20!.
Bài 5.
Study Hus
3
I= 𝑥sin xdx= 𝑥.
1 − cos2x
2
dx
Đặt
󰇫
u=x
dv=
1 − cos2x
2
dx
⇔
du=dx
v=
x
2
−
sin2x
4
⇒I=x
x
2
−
sin2x
4
−
x
2
−
sin2x
4
dx=
x
(
2x − sin2x
)
4
−
x
4
−
cos2x
8
+ C (C∈R).
⇔
I=
2x
− 2xsin2x − cos2x
8
+ C (C∈R).
Bài 6.
Đặt u=1 +
√
3x + 1⇒u − 1= 3x + 1⇒ u − 1 =3x+ 1.
√
( )
⇒2u − 1
( )
du=3dx hay dx=
2
3
(
u − 1
)
du.
Đổi cận:
󰇥
x=0
x=1
⇒󰇥
u=2
u=3
⇒I=
2
3
u − 1
u
du=
2
3
1 −
1
u
du=
2
3
(
u − ln
|
u
|)
󰇻
3
2
=
2
3
1 + ln
2
3
.
Bài 7.
I=
1
(x + 3𝑥+ 2)

dx
Khi x→+∞,ta có: x
+ 3𝑥+ 2~x ⇒(x + 3𝑥+ 2)~x
⇒
1
(x + 3𝑥+ 2)
~
1
x
.
Mà
1
x
dx

hội tụ do α=4>1 nên tích phân suy rộng
1
(x + 3𝑥+ 2)

dx cũng hội tụ.
I=
1
(x + 3𝑥+ 2)

dx= lim
→
1
(x + 3𝑥+ 2)
dx
Study Hus
4
Ta có:
1
(x + 3𝑥+ 2)
=
1
(x + 1).(x + 2)
=
A
x + 1
+
B
x + 2
+
C
(x + 1)
+
D
(x + 2)
.
⇔
1
(x + 3x+ 2)
=
A
(
x + 1 x + 2 + Bx + 2(x + 1) +C(x + 2) + D(x +1)
)( )
( )
(x + 3x+ 2)
⇒1=Ax + 1 x + 2 + Bx +2(x + 1) + C(x + 2) + D(x + 1)
( )( )
( )
⇔1= A + B 5A + 4B + C + D 8A + 5B+4C + 2Dx + 4A + 2B + 4C + D
( )
x
+
( )
x
+
( )
⇒
󰇱
A + B =0
5A + 4B + C+ D= 0
8A + 5B + 4C +2D=0
4A + 2B + 4C + D=1
⇔󰇱
A=−2
B=2
C=1
D=1
⇒
1
(x + 3𝑥+ 2)
=−
2
x + 1
+
2
x + 2
+
1
(x + 1)
+
1
(x + 2)
.
⇒
1
(x + 3𝑥+ 2)
dx
=
−
2
x + 1
+
2
x + 2
+
1
(x + 1)
+
1
(x + 2)
dx
=−2ln𝑥+ 1 + 2ln𝑥+ 2
| | | |
−
1
x + 1
−
1
x + 2
󰇻
a
1
=2ln
𝑥+ 2
𝑥+ 1
−
1
x + 1
−
1
x + 2
󰇻
a
1
=2ln
𝑎+ 2
𝑎 + 1
−
1
a + 1
−
1
a + 2
− 2ln
3
2
+
5
6
.
I= lim
→
2ln
𝑎 + 2
𝑎 + 1
−
1
a + 1
−
1
a + 2
− 2ln
3
2
+
5
6
=
5
6
− 2ln
3
2
=
5
6
+ 2ln
2
3
.
Bài 8.
Đặt u
=
3n + 1
4n + 2
,ta có: lim
→
u
= lim
→
3n + 1
4n + 2
= lim
→
3n + 1
4n + 2
=
3
4
<1.
Vậy chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy.
Bài 9.
Đặt u
=
2
n + 1
(
x − 1
)
,ta có: lim
→
u

u
= lim
→
󰈅
2

n + 2
(
x − 1
)

.
n + 1
2
.
(
x − 1
)
󰈅
= lim
→
󰈅
2
(
n + 1 x − 1
)( )
n + 2
󰈅=2x − 1 lim
| |
→
n + 1
n + 2
=2x− 1.
| |
Study Hus
5
Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi: 2
|
x − 1
|
<1⇔
1
2
<x<
3
2
.
Xét x=
1
2
,ta có:
(
−1
)
n + 1


hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.
Xét x=
3
2
,ta có:
1
n + 1


phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh với
1
n


.
Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là:
1
2
,
3
2
.
Bài 10.
󰇩
(
n + 2
)
(𝑥
− 1)
n + 1
󰇪


Đặt u
=󰇩
(
n + 2
)
(𝑥
− 1)
n + 1
󰇪
,ta có: lim
→
󰈅󰇩
(
n + 2(𝑥
)
− 1)
n + 1
󰇪
󰈅
= lim
→
󰈅
(
n + 2(𝑥
)
− 1)
n + 1
󰈅
=
|
𝑥
− 1 lim
|
→
n + 2
n + 1
=
|
𝑥
− 1
|
.
Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi:
|
𝑥
− 1 <1⇔
|
x≠0
−
√
2<x<
√
2
Xét x=0,ta có:
(
−1 .
)
n + 2
n + 1


phân kỳ do: lim
→
n + 2
n + 1
=e

→
󰇣󰇡


󰇢󰇤
=e

→
󰇣󰇡

󰇢󰇤
=e

→

(VCB) =e≠0.
Xét x=± 2, ta có:
√
n + 2
n + 1


cũng phân kỳ với lý do lim
→
n + 2
n + 1
=e≠0.
Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là: −
√
2,0 0, ∪
√
2.
Study Hus
| 1/5
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Khoa Toán – Cơ – Tin học *********
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN (Đề số 01)
Tên học phần: Giải tích 1
Mã học phần: MAT1091 Số tín chỉ: 03 Thời gian: 90 phút √x + 2x − √x + 4 Bài 1. Tìm giới hạn: lim → x − 3x + 2 sin4x
Bài 2. Tìm giá trị của tham số m để hàm số: f(x) =  x khi x > 0 liên tục tại x = 0. x + x + m khi x ≤ 0 e − 1
Bài 3. Cho hàm số: f(x) =  x khi x ≠ 0 .Tính đạo hàm f′(0). 2 khi x = 0 Study Hus x + 1
Bài 4. Cho hàm số f(x) = x + 1 .Tính đạo hàm f()(0).
Bài 5. Tìm họ nguyên hàm I = ∫ 𝑥sinxdx.  dx
Bài 6. Tính tích phân: I =  . 1 + √3x + 1   1
Bài 7. Chứng minh rằng tích phân I =  (x + 3𝑥 + 2) dx hội tụ và tính giá trị của nó.   3n + 1 
Bài 8. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:  4n + 2   2
Bài 9. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:  ( n + 1 x − 1) 
 (n + 2)(𝑥 − 1) 
Bài 10. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:  󰇩 n + 1 󰇪 
----------Hết----------
Chú ý: Sinh viên không được sử dụng tài liệu. 1 Bài làm Bài 1: √x + 2x − √x + 4
√x + 2x − √x + 4. √x + 2x + √x + 4 lim → x − 3x + 2 = lim →
(x − 1)(x − 2)√x + 2x + √x + 4 (x + 2x) − (x + 4) 2(x − 1) = lim = lim
→ (x − 1)(x − 2)√x + 2x + √x + 4 → (x − 1)(x − 2)√x + 2x + √x + 4 2 = lim = √2
→ (x − 1)√x + 2x + √x + 4 4 . Bài 2: sin4x sin4x lim f(x) = lim 4. → → x = lim → 4x  = 4.1 = 4.
lim f(x) = lim (x + x + m) = m; f(0) = m. → → Study Hus
f(x) liên tục tại x = 0 ⇔ lim f(x) = lim f(x) = f(0) ⇔ m = 4. → →
Vậy m = 4 thì hàm số f(x) liên tục tại x = 0. Bài 3: e − 1 f(x) − f(0) e − 2x − 1 (e − 2x − 1)′ f′(0) = lim x − 2 → x − 0 = lim → x = lim → x = lim → (x)′ 2e − 2 e − 1 = lim 󰇧2. 2 → 2x = lim → 2x 󰇨 = 2.1 = . Bài 4.
x + 1 x(x + 1) − (x + 1) + 2 2 Ta có: f(x) = x+ 1 = x + 1 = x − 1 + x + 1. () (−1)(). n! Mặt khác: (x − 1)() 1
= 0 ∀n ≥ 2; x + 1 = (x + 1) ∀n ≥ 1. (−1)(). 20! 20!
Suy ra f()(x) = (x + 1) = (x + 1) ⇒ f()(0) = 20!. Bài 5. 2 1 − cos2x
I =  𝑥sinxdx =  𝑥. 2  dx u = x du = dx Đặt 󰇫 1 − cos2x dv = x sin2x 2 dx ⇔ v = 2 − 4 x sin2x x sin2x x(2x − sin2x) x cos2x
⇒ I = x 2 − 4 − 2 − 4 dx = 4 − 4 − 8 + C (C ∈ R). 2x − 2xsin2x − cos2x ⇔ I = 8 + C (C ∈ R). Bài 6.
Đặt u = 1 + √3x + 1 ⇒ u − 1 = √3x + 1 ⇒ (u − 1) = 3x + 1. 2
⇒ 2(u − 1)du = 3dx hay dx = ( 3 u − 1)du. Đổi cận: 󰇥x = 0 Study Hus x = 1 ⇒ 󰇥u = 2 u = 3   2 u − 1 2 1 2 2 2 ⇒ I = 3 (
u du = 3  1 − udu = 3 u − ln|u|) 󰇻32 = 3 1 + ln 3.   Bài 7.  1
I =  (x + 3𝑥 + 2) dx  1 1
Khi x → +∞, ta có: x + 3𝑥 + 2~x ⇒ (x + 3𝑥 + 2)~x ⇒ (x + 3𝑥 +2)~x.   1 1 Mà 
hội tụ do α = 4 > 1 nên tích phân suy rộng  x dx
(x + 3𝑥 + 2) dx cũng hội tụ.     1 1
I =  (x + 3𝑥 + 2) dx = lim  → (x + 3𝑥 + 2) dx   3 1 1 A B C D
Ta có: (x + 3𝑥 + 2) = (x + 1).(x + 2) = x + 1 + x + 2 + (x + 1) +(x + 2). 1
A(x + 1)(x + 2) + B(x + 2)(x + 1) + C(x + 2) + D(x + 1) ⇔ (x + 3x + 2) = (x + 3x + 2)
⇒ 1 = A(x + 1)(x + 2) + B(x + 2)(x + 1) + C(x + 2) + D(x + 1)
⇔ 1 = (A + B)x + (5A + 4B + C + D)x + (8A + 5B + 4C + 2D)x + 4A + 2B + 4C + D A + B = 0 A = −2 ⇒ 󰇱 5A + 4B + C + D = 0 B = 2
8A + 5B + 4C + 2D = 0 ⇔ 󰇱 C = 1 4A + 2B + 4C + D = 1 D = 1 1 2 2 1 1
⇒ (x + 3𝑥 +2) = −x+ 1 + x+ 2+ (x +1) +(x+ 2).   1 2 2 1 1
⇒  (x + 3𝑥 +2)dx = −x+ 1 +x+ 2+ (x +1) + (x+ 2)dx Study Hus   1 1 𝑥 + 2 1 1
= −2ln|𝑥 + 1| + 2ln|𝑥 + 2| − x + 1 −x + 2󰇻a1 = 2ln𝑥 + 1 − x + 1 −x + 2󰇻a1 𝑎 + 2 1 1 3 5
= 2ln 𝑎 + 1 − a+ 1 −a+ 2 −2ln2 + 6. 𝑎 + 2 I = lim 2ln  1 1 3 5 5 3 5 2 →
𝑎 + 1 − a + 1 − a + 2 − 2ln 2 + 6 = 6 − 2ln 2 = 6 + 2ln 3. Bài 8. 3n + 1   3n + 1  3n + 1 3 Đặt u   =  
4n + 2 , ta có: lim u = lim = lim →  → 4n + 2
→ 4n + 2 = 4 < 1.
Vậy chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy. Bài 9. 2 u 2 n + 1 Đặt u   = (
n + 1 x − 1), ta có: lim   = lim 󰈅 (x − 1). → u → n + 2 2. (x − 1)󰈅 2(n + 1)(x − 1) n + 1 = lim 󰈅 | | | | → n + 2 󰈅 = 2 x − 1 lim
→ n + 2 = 2 x − 1 . 4 1 3
Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi: 2|x − 1| < 1 ⇔ 2 < x < 2. 1  (−1)
Xét x = 2,ta có: n + 1 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.  3  1  1
Xét x = 2,ta có:n +1 phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh với  n.   1 3
Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là: 2,2. Bài 10.
 (n + 2)(𝑥 − 1)   󰇩 n + 1 󰇪  (n + 2)(𝑥 − 1)   (n + 2)(𝑥 − 1)  (n + 2)(𝑥 − 1) Study Hus Đặt u = 󰇩  n + 1 󰇪 , ta có: lim 󰈅󰇩 󰈅 = lim 󰈅 → n + 1 󰇪 → n + 1 󰈅 n + 2 = |𝑥 − 1| lim
→ n + 1 = |𝑥 − 1|.
Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi: |𝑥 − 1| < 1 ⇔  x ≠ 0 −√2 < x < √2   n + 2 
Xét x = 0, ta có: (−1) n + 2 .   󰇣󰇡 󰇢󰇤 n + 1 phân kỳ do: lim = e  → → n + 1  
= e  󰇣󰇡  →
󰇢󰇤 = e 
→(VCB) = e ≠ 0.  n + 2  n + 2 
Xét x = ±√2, ta có:   
n + 1 cũng phân kỳ với lý do lim = e ≠ 0. → n + 1 
Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là: −√2, 0 ∪ 0, √2. 5