Đề thi giữa kỳ K70
Môn: Giải tích thực một biến
Bài thi viết tay (không đánh máy). Trang đầu ghi rõ họ tên, ngày sinh, mã sinh viên.
Scan bài thi thành 1 file PDF. Đặng tên file dạng: NguyenVanNam-123. Trong đó Nguyen-
VanNam là họ và tên và 123 là ba chữ số cuối của mã sinh viên. Dung lượng file PDF dưới 10MB.
1. Tìm số thực a sao cho giới hạn sau tồn tại 3x2 + ax + a + 3 (a) lim ; x→−2 x2 + x − 2 x3 + ax2 − 2 (b) lim . x→1 x2 − 2x + 1
2. Cho f là hàm liên tục và tuần hoàn chu kỳ T > 0 trên R. Chứng minh rằng
(a) Hàm f đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên R.
(b) Tồn tại a ∈ R sao cho f(a) = f(a + π).
3. Cho hàm số f : R → R bởi công thức  1 x2 sin nếu x 6= 0 f (x) = x2 0 nếu x = 0.
(a) Chứng minh f khả vi trên R và tìm f′(x).
(b) Hàm f′(x) có liên tục tại x = 0 không?
4. Tính các đạo hàm cấp 10 của hàm số y = x3e2x.
5. Cho hàm f liên tục trên [a, +∞) và khả vi trên (a, +∞) thỏa mãn f (a) = lim f (x) x→+∞
Chứng minh tồn tại c ∈ (a, +∞) sao cho f′(c) = 0.
6. Tồn tại hay không hàm f khả vi trên [0, 1] thỏa mãn điều kiện sau 1 1 1
√ ≤ |f( )| ≤ √ , ∀n ≥ 1. 2 n n n 7. Tính các tích phân Z Z x − 1 a) max{2x + 1, 1}dx b) dx x3 + 1 1 8. a) Tính tích phân 1 Z ln(x2 + 1)dx. 0 √
b) Tính giới hạn lim n S với n n→+∞ 1 22 32 n2 S = (1 + ).(1 + ).(1 + ) ) n · · · (1 + n2 n2 n2 n2
9. Tìm số thực a > 0 để a Z 29 |x2 − x|dx = . 6 0 10. Chứng minh rằng 1 Z xndx lim = 0. n→∞ x3 + 1 0 2