Giáo án điện tử Toán 11 Bài 26 Kết nối tri thức: Khoảng cách

CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC! KHỞI ĐỘNG
Các đầu phun nước chữa cháy sprinkler cần
được lắp đặt theo tiêu chuẩn kĩ thuật, trong đó
có tiêu chuẩn về khoảng cách tới từng loại trần, tường, nhà.
Khoảng cách từ đầu phun nước chữa
cháy đến mặt đất có thể tính như thế nào?
Khoảng cách từ trần nhà đến mặt đất
được tính như thế nào?
CHƯƠNG VII: QUAN HỆ
VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 26. KHOẢNG CÁCH NỘI DUNG BÀI HỌC
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, 1 đến một mặt phẳng
Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng 2
song song, giữa hai mặt phẳng song song 3
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
1. Khoảng cách từ một điểm đến
một đường thẳng,
đến một mặt phẳng  HĐ1:
a) Cho điểm và đường thẳng . Gọi là hình chiếu của trên . Với mỗi
điểm thuộc , giải thích vì sao (H.7.74).
b) Cho điểm và mặt phẳng . Gọi là hình chiếu của lên Với mỗi điểm
thuộc , giải thích vì sao (H7.75). Giải
a) Xét tam giác vuông tại H nên . Vậy
b) Tương tự câu a, sử dụng tính chất cạnh huyền và cạnh góc vuông ta có: Kết luận:
• Khoảng cách từ một điềm đến một đường thẳng , kí hiệu là
khoảng cách giữa và hình chiếu của trên .
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , kí hiệu , là
khoảng cách giữa và hình chiếu của trên . Chú ý: Nhận xét
Khoảng cách từ đến đường thẳng (mặt phẳng là khoảng cách
nhỏ nhất giữa và một điểm thuộc (thuộc ). Chú ý
Khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng chứa mặt đáy của hình chóp
được gọi là chiều cao của hình chóp đó.
Ví dụ 1: Cho hình chóp đều . Biết độ dài cạnh đáy, cạnh bên tương ứng bằng
Tính chiều cao của hình chóp. Giải
Hình chiếu của trên mặt phẳng là tâm của tam giác đều .
Trong tam giác đều , ta có
Trong tam giác vuông , ta có
Vậy chiều cao của hình chóp là
Cho hình lăng trụ đứng có là tam giác vuông cân tại
Luyện tập 1 (H.7.77).
a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng
b) Tam giác là tam giác gì? Tính khoảng cách từ đến Giải a) Kẻ tại Giải b) vuông tại . Kẻ vuông góc với tại Ta có:
2. Khoảng cách giữa các đường thẳng
và mặt phẳng song song,
giữa hai mặt phẳng song song
 HĐ2: Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Lấy hai điểm bất kỳ thuộc và
gọi tương ứng là các hình chiếu của chúng trên (H.7.78). Giải thích vì sao là một
hình chữ nhật và có cùng khoảng cách đến Giải Ta có: // .
// nên mặt phẳng cắt theo giao tuyến //. Mặt khác .
Do đó là một hình chữ nhật.
Vì nên và có cùng khoảng cách đến . Kết luận
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với
kí hiệu là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đến
 HĐ3: a) Cho hai đường thẳng và song song với
nhau. Khi một điểm thay đổi trên thì khoảng cách từ
nó đến đường thẳng có thay đổi hay không?
b) Cho hai mặt phẳng song song và và một điểm thay
đổi trên (H.7.79). Hỏi khoảng cách từ đến thay đổi thế nào khi thay đổi? Giải
a) Khi một điểm thay đổi trên đường thẳng , khoảng cách từ đến đường
thẳng không thay đổi vì .
 HĐ3: a) Cho hai đường thẳng và song song với
nhau. Khi một điểm thay đổi trên thì khoảng cách từ
nó đến đường thẳng có thay đổi hay không?
b) Cho hai mặt phẳng song song và và một điểm thay
đổi trên (H.7.79). Hỏi khoảng cách từ đến thay đổi thế nào khi thay đổi? Giải
b) Vì nên các đường thẳng trên mặt đều song song với
Dựa vào kết quả của hoạt động 2 ta có khi một điểm thay đổi trên mặt phẳng ,
khoảng cách từ đến mặt phẳng không thay đổi. Kết luận
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và , kí hiệu , là
khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
• Khoảng cách giữa hai đường đường thẳng song song và kí
hiệu là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Nếu đường thẳng thuộc mặt phẳng và mặt phẳng song song với
thì giữa và có mối quan hệ gì? Trả lời: Lấy • // nên • nên Chú ý
Khoảng cách giữa hai đáy của một hình lăng trụ
được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đó.
Ví dụ 2: Cho hình hộp đứng , đáy là các hình thoi có cạnh bằng , . Tính các khoảng cách giữa và và Giải
Đường thẳng thuộc mặt phẳng nên nó song song với mặt phẳng .
Do là hình hộp đứng nên ). Vậy .
Do song song với nên song song với
Gọi là tâm của hình thoi .
Ví dụ 2: Cho hình hộp đứng , đáy là các hình thoi có cạnh bằng , . Tính các khoảng cách giữa và và Giải Do và nên
Vậy khoảng cách giữa và bằng độ dài đoạn thẳng Tam giác cân tại và có nên
Do đó, trong tam giác vuông , ta có
Vậy khoảng cách giữa và bằng .
Cho hình chóp có . Gọi tương ứng là trung điểm của Luyện tập 2 a) Tính và
b) Giả sử tam giác vuông tại và . Tính Giải a) // ;
Cho hình chóp có . Gọi tương ứng là trung điểm của Luyện tập 2 a) Tính và
b) Giả sử tam giác vuông tại và . Tính Giải b) Kẻ tại Ta có: . 𝑯 Vậy Vận Vậ dụng n
Ở một con dốc lên cầu, người ta đặt một khung khống chế chiều cao, hai cột của
khung có phương thẳng đứng và có chiều dài bằng 2,28 m. Đường thẳng nối hai
chân cột vuông góc với hai đường mép dốc. Thanh ngang được đặt trên đỉnh hai cột.
Biết dốc nghiêng 15° so phương nằm ngang.
Tính khoảng cách giữa thanh ngang của
khung và mặt đường (theo đơn vị mét và làm
tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Hỏi cầu này có cho phép xe cao 2,21 m đi qua hay không? Giải
Gọi là một điểm nằm trên thanh ngang và là hình chiếu vuông góc xuống mặt dốc.
Khoảng cách từ đến mặt phẳng dốc là .
Do đó không cho phép xe cao đi qua.
3. Khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau
 HĐ4: Cho hai đường thẳng chéo nhau và . Gọi là mặt phẳng chứa
đường thẳng và song song với . Hình chiếu của trên cắt tại . Gọi là
hình chiếu của trên (H.7.83).
a) Mặt phẳng chứa và có vuông góc với hay không?
b) Đường thẳng có vuông góc với cả hai
đường thẳng và hay không?
c) Nêu mối quan hệ của khoảng cách giữa
và độ dài đoạn thẳng . Giải
a) Vì là hình chiếu vuông góc của trên nên và
thuộc cùng một mặt phẳng.
Gọi phương chiếu của đường thẳng xuống là đường thẳng
Mặt phẳng chứa nên mặt phẳng . b) Ta có: // // Do nên . Mà // . Vậy . c) Do // và nên . Kết luận
- Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo
nhau và vuông góc với hai đường đó được gọi
là đường vuông góc chung của và .
- Nếu đường vuông góc chung cắt tương ứng
tại thì độ dài đoạn thẳng được gọi là khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Nhận xét
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng
khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến
mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại. (Hình 7.85)
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng
khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, tương
ứng chứa hai đường thẳng đó. (Hình 7.86)
Ví dụ 3: Cho hình chóp có Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng và . Giải
Gọi là hình chiếu của trên
Tam giác vuông tại và có nên
Do vuông góc với mặt phẳng nên là đường vuông
góc chung của và ( thuộc tia và )
Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là Khám p ám há
Cho đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và cắt tại . Cho đường thẳng
thuộc mặt phẳng . Hãy tìm mối quan hệ giữa khoảng cách giữa và khoảng cách từ đến (H.7.88). Giải Ta có
Mà là đoạn vuông góc chung của và nên Vậy
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , . Luyện tập 3
a) Tính khoảng cách từ đến . b) Chứng minh rằng
c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa và . Giải a) Kẻ Ta có: Vậy . b) .
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , . Luyện tập 3
a) Tính khoảng cách từ đến . b) Chứng minh rằng
c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa và . Giải c) Kẻ Lại có
Vậy đường vuông góc chung giữa và là Thảo lu ận
Khoảng cách giữa hai hình được nêu trong bài học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng)
là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc hình này và một điểm thuộc hình kia.
Hãy thảo luận để làm rõ nhận xét này. Trả lời:
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là khoảng cách giữa và hình chiếu của trên .
• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là khoảng cách giữa và hình chiếu của trên .
• Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với là khoảng cách từ
một điểm bất kì trên đến Thảo lu ận
Khoảng cách giữa hai hình được nêu trong bài học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng)
là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc hình này và một điểm thuộc hình kia.
Hãy thảo luận để làm rõ nhận xét này. Trả lời:
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và là khoảng cách từ một điểm bất
kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Mà đường vuông góc là đường ngắn nhất nên khoảng cách giữa hai hình được nêu
trong bài học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) là khoảng cách nhỏ nhất giữa một
điểm thuộc hình này và một điểm thuộc hình kia. LUYỆN TẬP TRÒ CHƠI BÓNG ĐÁ
Câu 1. Cho hình chóp tam giác với vuông góc với và . Diện tích tam giác
bằng . Khoảng cách từ đến bằng bao nhiêu? SAI RỒI ĐÚNG A. 2a B. 3a C. 4a D. 5a
Câu 2. Cho hình chóp trong đó vuông góc với nhau từng đôi một. Biết .
Khoảng cách từ đến bằng: SAI RỒI ĐÚNG 𝐴 𝑎 𝑎 . √ 3 𝐵 . √2 2 3 𝐶 2 𝑎 . √ 5 𝐷 𝑎 . √ 6 5 2
Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? SAI Đ R SAI ÚNỒI G
A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng
B. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của
chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa
hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với
đường thẳng này và song song với đường thẳng kia
cả hai đường thẳng đó
C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng
D. Một đường thẳng là đường vuông góc chung
chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường
của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai
thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia đường thẳng đó
Câu 4. Cho hình chóp có , đáy là hình thang vuông cạnh . Gọi và lần lượt
là trung điểm của và . Tính khoảng cách giữa đường thẳng và . SAI RỒI ĐÚNG 𝐴 𝑎 𝑎 . √ 2 𝐵 . √3 2 3 𝑎 𝑎 𝐶 . 𝐷 . 2 3
Câu 5. Cho hình lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng . Gọi , , lần lượt là trung
điểm của , , . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng và . SAI RỒI ĐÚNG 𝑎 𝐴 𝑎 . √ 3 𝐵 . 3 4 𝑎 𝐶 . 𝐷 𝑎 . √ 2 3 4
Cho hình chóp có đáy là một hình vuông cạnh , mặt bên
Bài 7.22 (SGK – tr.59) là một tam giác đều và
a) Tính chiều cao của hình chóp.
b) Tính khoảng cách giữa và
c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa và Giải a) Kẻ tại Vì mà nên
Vì tam giác là tam giác đều cạnh nên
Vậy chiều cao của hình chóp bằng Giải b) Vì là hình vuông nên Khi đó Vì là hình vuông nên Và nên suy ra Do đó . c) Kẻ tại , mà nên
Mà nên suy ra là đường vuông góc chung của và .
Vì tam giác đều có là đường cao nên Vậy
Cho hình hộp chữ nhật có
Bài 7.23 (SGK – tr.59)
a) Tính khoảng cách giữa và
b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa và Giải a) Kẻ tại Vì nên mà nên
Vì là hình chữ nhật nên nên Khi đó
Vì là hình chữ nhật nên
Cho hình hộp chữ nhật có
Bài 7.23 (SGK – tr.59)
a) Tính khoảng cách giữa và
b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa và Giải
Xét tam giác vuông tại là đường cao nên Giải
b) Gọi là giao điểm của và là giao điểm của và
Do là hình chữ nhật nên là trung điểm của và là hình chữ
nhật nên là trung điểm của và
Có và nên là hình bình hành mà nên .
Do đó là hình chữ nhật.
Do là hình chữ nhật và là trung điểm của , là trung điểm của nên và
Chứng minh tương tự ta có
Suy ra là đường vuông góc chung của và . Vậy Bài 7 .24 (SG K – tr .5
9) Cho tứ diện có các cạnh đều bằng . Gọi tương ứng là trung
điểm của các cạnh . Chứng minh rằng:
a) là đường vuông góc chung của và
b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện đều vuông góc với nhau. Giải
a) Vì là trung điểm của nên là trung tuyến
Vì tam giác đều nên là trung tuyến đồng thời là đường cao hay . Tương tự ta có . Vậy suy ra . Chứng minh tương tự .
Vì và nên là đường vuông góc chung của và Giải b) Vì nên Gọi là trung điểm của
Tam giác đều nên là trung tuyến đồng thời là đường 𝑀 cao hay
Xét tam giác đều nên là trung tuyến đồng thời là 𝑁 đường cao hay Có và nên suy ra Gọi là trung điểm của
Chứng minh tương tự ta có suy ra .
Bài 7.25 (SGK – tr.59)
Cho hình lập phương có cạnh .
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng và song song với nhau và
vuông góc với hai mặt phẳng đó.
b) Xác định các giao điểm của với Tính Giải
a) Vì và nên là hình bình hành, suy ra do đó
Vì và (do chúng cùng song song và bằng ) nên là
hình bình hành suy ra do đó Vì và nên Vì là hình vuông nên Vì nên mà nên suy ra Giải Vì mà nên Do nên Vì là hình vuông nên mà nên Suy ra Có và ' nên
Vì và (do cùng song song và bằng ) nên là hình bình hành. Suy ra mà nên Có và nên Giải
b) Gọi và lần lượt là tâm của hai hình vuông và Trong mặt phẳng , có . Khi đó Trong mặt phẳng có . Khi đó . Vì nên Vì nên và nên , suy ra Giải
Xét tam giác , có nên theo định lí Ta lét, ta có:
Xét tam giác có nên theo định lí Ta lét, ta có: Do đó
Xét tam giác vuông tại , có
Xét tam giác vuông tại , có Vậy . VẬN DỤNG B à i 7 . 2 6 (SG K – tr . 5 9
) Giá đỡ ba chân ở Hình 7.90 đang được mở sao cho
ba gốc chân cách đều nhau một khoảng cách bằng 110 cm. Tính chiều cao của
giá đõ, biết các chân của giá đỡ dài 129 cm. Giải
Vì đáy là tam giác đều cạnh 110 cm nên chiều cao của đáy bằng .
Khoảng cách từ chân đến tâm là . Chiều cao giá đỡ là .
Bài 7.27 (SGK – tr.59)
Một bể nước có đáy thuộc mặt phẳng nằm ngang. Trong trường hợp
này, độ sâu của bể là khoảng cách giữa mặt nước và đáy bể. Giải thích
vì sao để đo độ sâu của bể, ta có thể thả quả dọi chạm đáy bể và đo
chiều dài của đoạn dây dọi nằm trong bể nước. Giải
Sợi dây của quả dọi có phương vuông góc với đáy bể và vuông góc với mặt nước.
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
 Ôn tập kiến thức đã học
 Hoàn thành bài tập trong SBT
 Đọc và chuẩn bị trước Bài 27. Thể tích CẢM ƠN CÁC EM
ĐÃ THAM GIA TIẾT HỌC!
Document Outline

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• 3
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35
• Slide 36
• Slide 37
• Slide 38
• Slide 39
• Slide 40
• Slide 41
• Slide 42
• Slide 43
• Slide 44
• Slide 45
• Slide 46
• Slide 47
• Slide 48
• Slide 49
• Slide 50
• Slide 51
• Slide 52
• Slide 53
• Slide 54
• Slide 55
• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61